Teorie Normative Della Scelta Razionale: Utilità Attesa

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Teorie normative della scelta razionale: utilità attesa

Pubblicato per la prima volta venerdì 8 agosto 2014; revisione sostanziale gio 15 ago 2019

Spesso dobbiamo prendere decisioni in condizioni di incertezza. Perseguire una laurea in biologia può portare a un'occupazione redditizia o alla disoccupazione e alla frantumazione del debito. La nomina di un medico può comportare la diagnosi precoce e il trattamento di una malattia, oppure può essere uno spreco di denaro. La teoria dell'utilità attesa è un resoconto di come scegliere razionalmente quando non si è sicuri di quale risultato deriverà dai propri atti. Il suo slogan di base è: scegliere l'atto con la massima utilità prevista.

Questo articolo discute la teoria dell'utilità attesa come una teoria normativa, cioè una teoria di come le persone dovrebbero prendere decisioni. Nell'economia classica, la teoria dell'utilità attesa è spesso usata come una teoria descrittiva, cioè una teoria di come le persone prendono le decisioni, o come una teoria predittiva, cioè una teoria che, sebbene possa non modellare accuratamente i meccanismi psicologici di il processo decisionale, predice correttamente le scelte delle persone. La teoria dell'utilità attesa fa previsioni errate sulle decisioni delle persone in molte situazioni di scelta nella vita reale (vedi Kahneman e Tversky 1982); tuttavia, ciò non stabilisce se le persone debbano prendere decisioni sulla base delle attese considerazioni di utilità.

L'utilità attesa di un atto è una media ponderata delle utilità di ciascuno dei suoi possibili esiti, in cui l'utilità di un risultato misura la misura in cui tale risultato è preferito, o preferibile, alle alternative. L'utilità di ciascun risultato è ponderata in base alla probabilità che l'atto conduca a tale risultato. La sezione 1 completa questa definizione di base dell'utilità attesa in termini più rigorosi e discute la sua relazione con la scelta. La sezione 2 discute due tipi di argomenti per la teoria dell'utilità attesa: teoremi di rappresentazione e argomenti statistici a lungo termine. La sezione 3 considera le obiezioni alla teoria dell'utilità attesa; la sezione 4 discute le sue applicazioni in filosofia di religione, economia, etica ed epistemologia.

  • 1. Definizione dell'utilità attesa

    • 1.1 Probabilità condizionali
    • 1.2 Utilità di risultato
  • 2. Argomenti della teoria dell'utilità attesa

    • 2.1 Argomenti a lungo termine
    • 2.2 Teoremi di rappresentazione
  • 3. Obiezioni alla teoria dell'utilità attesa

    • 3.1 Massimizzare l'utilità attesa è impossibile
    • 3.2 Massimizzare l'utilità attesa è irrazionale
  • 4. Applicazioni

    • 4.1 Economia e politiche pubbliche
    • 4.2 Etica
    • 4.3 Epistemologia
    • 4.4 Legge
  • Bibliografia
  • Strumenti accademici
  • Altre risorse Internet
  • Voci correlate

1. Definizione dell'utilità attesa

Il concetto di utilità prevista è meglio illustrato dall'esempio. Supponiamo che stia pianificando una lunga passeggiata e che debba decidere se portare il mio ombrello. Preferirei non toteggiare l'ombrello in una giornata di sole, ma preferirei affrontare la pioggia con l'ombrello piuttosto che senza di essa. Sono disponibili due atti: prendere l'ombrello e lasciarlo a casa. Quale di questi atti dovrei scegliere?

Questa descrizione informale del problema può essere rifusa, leggermente più formalmente, in termini di tre tipi di entità. Innanzitutto, ci sono esiti - oggetti di preferenze non strumentali. Nell'esempio, potremmo distinguere tre risultati: o finisco secco e libero; Finisco secco e appesantito da un ombrello ingombrante; o finisco bagnato. In secondo luogo, ci sono cose al di fuori del controllo del decisore che influenzano l'esito della decisione. Nell'esempio, ci sono due stati: o sta piovendo o non lo è. Infine, ci sono atti - oggetti delle preferenze strumentali del decisore e, in un certo senso, cose che lei può fare. Nell'esempio, ci sono due atti: posso portare l'ombrello; o lasciarlo a casa. La teoria dell'utilità attesa fornisce un modo per classificare gli atti in base alla loro scelta:maggiore è l'utilità attesa, migliore è scegliere l'atto. (È quindi meglio scegliere l'atto con la massima utilità prevista o uno di essi, nel caso in cui più atti siano legati.)

A seguito della convenzione generale, farò le seguenti ipotesi sulle relazioni tra atti, stati e risultati.

  • Stati, atti e risultati sono proposizioni, cioè gruppi di possibilità. Esiste una serie massima di possibilità, (Omega), di cui ogni stato, atto o risultato è un sottoinsieme.
  • L'insieme di atti, l'insieme di stati e l'insieme di risultati sono tutte partizioni su (Omega). In altre parole, gli atti e gli stati sono individuati in modo tale che ogni possibilità in (Omega) sia quella in cui si ottiene esattamente uno stato, l'agente compie esattamente un atto e ne consegue esattamente un risultato.
  • Atti e stati sono logicamente indipendenti, quindi nessuno stato esclude l'esecuzione di alcun atto.
  • Presumo per il momento che, dato uno stato del mondo, ogni atto abbia esattamente un esito possibile. (La sezione 1.1 discute brevemente di come si potrebbe indebolire questa ipotesi.)

Quindi l'esempio dell'ombrello può essere rappresentato nella seguente matrice, in cui ogni colonna corrisponde a uno stato del mondo; ogni riga corrisponde a un atto; e ogni voce corrisponde al risultato che risulta quando l'atto è compiuto nello stato del mondo.

stati
Piove non piove
atti prendi l'ombrello gravato, secco gravato, secco
lascia l'ombrello bagnato libero, asciutto

Avendo impostato il framework di base, ora posso definire rigorosamente l'utilità attesa. L'utilità attesa di un atto (A) (ad esempio, prendendo il mio ombrello) dipende da due caratteristiche del problema:

  • Il valore di ogni risultato, misurato da un numero reale chiamato utility.
  • La probabilità di ogni risultato dipende da (A).

Date queste tre informazioni, l'utilità prevista di (A) è definita come:

[EU (A) = / sum_ {o / in O} P_ {A} (o) U (o))

dove (O) è l'insieme dei risultati, (P_ {A} (o)) è la probabilità del risultato (o) condizionata da (A) e (U (o)) è l'utilità di (o).

Le due sottosezioni successive decomprimeranno la funzione di probabilità condizionale (P_A) e la funzione di utilità (U).

1.1 Probabilità condizionali

Il termine (P_ {A} (o)) rappresenta la probabilità di (o) dato (A) - approssimativamente, quanto è probabile che si verifichi il risultato (o), supponendo che il l'agente sceglie act (A). (Per gli assiomi della probabilità, vedere la voce relativa alle interpretazioni della probabilità.) Per capire cosa significhi, dobbiamo rispondere a due domande. Innanzitutto, quale interpretazione della probabilità è appropriata? E in secondo luogo, cosa significa assegnare una probabilità sulla supposizione che l'agente scelga act (A)?

I teorici delle utilità attese spesso interpretano la probabilità come misura del grado di credenza individuale, quindi una proposizione (E) è probabile (per un agente) nella misura in cui tale agente è fiducioso di (E) (vedere, ad esempio, Ramsey 1926, Savage 1972, Jeffrey 1983). Ma nulla nel formalismo della teoria dell'utilità attesa ci impone questa interpretazione. Potremmo invece interpretare le probabilità come opportunità oggettive (come in von Neumann e Morgenstern 1944) o come i gradi di credenza giustificati dalle prove, se pensassimo che queste fossero una guida migliore all'azione razionale. (Vedi la voce sulle interpretazioni della probabilità per la discussione di queste e altre opzioni.)

Cos'è avere una probabilità sulla supposizione che l'agente scelga (A)? Qui, ci sono due tipi fondamentali di risposta, corrispondenti alla teoria della decisione probatoria e alla teoria della decisione causale.

Secondo la teoria delle decisioni probatorie, approvata da Jeffrey (1983), la probabilità supposta rilevante (P_ {A} (o)) è la probabilità condizionale (P (o / metà A)), definita come il rapporto di due probabilità incondizionate: (P (A / amp o) / P (A)).

Contro la definizione di utilità attesa di Jeffrey, Spohn (1977) e Levi (1991) obiettano che un decisore non dovrebbe assegnare le probabilità agli stessi atti deliberati: quando si decide liberamente se compiere un atto (A), non si deve ' tieni conto delle tue convinzioni sul fatto che eseguirai (A). Se Spohn e Levi hanno ragione, allora il rapporto di Jeffrey non è definito (poiché il suo denominatore non è definito).

Nozick (1969) solleva un'altra obiezione: la definizione di Jeffrey dà strani risultati nel Newcomb Problem. Un predittore ti consegna una scatola chiusa, contenente $ 0 o $ 1 milione, e ti offre una scatola aperta, contenente altri $ 1.000. Puoi rifiutare la scatola aperta ("scatola singola") o prendere la scatola aperta ("scatola doppia"). Ma c'è un problema: il predittore ha previsto in anticipo la tua scelta e tutte le sue previsioni sono accurate al 90%. In altre parole, la probabilità che tu abbia una scatola, dato che ti predice una scatola, è del 90%, e la probabilità che tu due scatole, dato che ti prevede due scatole, è del 90%. Infine, il contenuto della scatola chiusa dipende dalla previsione: se il predittore pensava che avresti fatto due scatole, non avrebbe messo nulla nella scatola chiusa, mentre se pensava che avresti fatto una scatola, avrebbe messo $ 1 milione nella scatola chiusa. La matrice per la tua decisione è simile alla seguente:

stati
$ 1 milione in scatola chiusa $ 0 in scatola chiusa
atti una scatola $ 1.000.000 di $ 0
due-box $ 1.001.000 $ 1.000

Il pugilato doppio domina il pugilato: in ogni stato, il pugilato produce un risultato migliore. Tuttavia, secondo la definizione di probabilità condizionale di Jeffrey, il pugilato ha un'utilità attesa superiore rispetto al pugilato. C'è un'alta probabilità condizionata di trovare $ 1 milione nella scatola chiusa, dato che hai una scatola, quindi la scatola singola ha un'alta utilità prevista. Allo stesso modo, esiste un'alta probabilità condizionata di non trovare nulla nella casella chiusa, dato che si tratta di due box, quindi due box ha un'utilità attesa bassa.

La teoria delle decisioni causali è una proposta alternativa che aggira questi problemi. Non richiede (ma consente ancora) che gli atti abbiano probabilità e raccomanda il doppio pugilato nel problema Newcomb.

La teoria delle decisioni causali è disponibile in molte varietà, ma prenderò in considerazione una versione rappresentativa proposta da Savage (1972), che calcola (P_ {A} (o)) sommando le probabilità degli stati che, se combinati con l'atto (A), porta al risultato (o). Sia (f_ {A, s} (o)) un risultato, che associa (o) a 1 se (o) risulta dall'esecuzione (A) in stato s, mappe (o) a 0 altrimenti. Poi

[P_ {A} (o) = / sum_ {s / in S} P (s) f_ {A, s} (o))

Su proposta di Savage, il pugilato doppio ha un'utilità attesa superiore rispetto al pugilato. Questo risultato vale indipendentemente dalle probabilità che assegni agli stati prima della tua decisione. Sia (x) la probabilità assegnata allo stato in cui la casella chiusa contiene $ 1 milione. Secondo Savage, le utilità attese rispettivamente di one-boxing e two-boxing sono:

[x { cdot} U ({$ 1,000,000}) + (1 - x) { cdot} U ($ 0))

e

[x { cdot} U ({$ 1,001,000}) + (1 - x) { cdot} U ({$ 1,000}))

Fintanto che agli importi monetari maggiori vengono assegnate utilità strettamente maggiori, la seconda somma (l'utilità del pugilato doppio) è garantita maggiore della prima (l'utilità del pugilato unico).

Il selvaggio presuppone che ogni atto e stato siano sufficienti per determinare in modo univoco un risultato. Ma ci sono casi in cui questa ipotesi viene meno. Supponi di offrirti di vendermi la seguente scommessa: lancerai una moneta; se la moneta finisce, vinco $ 100; e se la moneta atterra croce, perdo $ 100. Ma rifiuto la scommessa e la moneta non viene mai lanciata. Non ci sarebbe alcun risultato che sarebbe risultato se la moneta fosse stata lanciata, avrei potuto vincere $ 100 e avrei perso $ 100.

Possiamo generalizzare la proposta di Savage lasciando che (f_ {A, s}) sia una funzione di probabilità che associ i risultati a numeri reali nell'intervallo ([0, 1]). Lewis (1981), Skyrms (1980) e Sobel (1994) equiparano (f_ {A, s}) con la possibilità oggettiva che (o) sarebbe il risultato se lo stato (s) ottenuto e il l'agente ha scelto l'azione (A).

In alcuni casi, notoriamente il problema di Newcomb, la definizione di Jeffrey e la definizione Savage di utilità prevista si rompono. Ma ogni volta che sono soddisfatte le seguenti due condizioni, sono d'accordo.

  • Gli atti sono probabilisticamente indipendenti dagli stati. In termini formali, per tutti gli atti (A) e stati (s), [P (s) = P (s / mid A) = / frac {P (s / amp A)} {P (A)}.) (Questa è la condizione che è stata violata nel problema Newcomb.)
  • Per tutti i risultati (o), atti (A) e stati (s), (f_ {A, s} (o)) è uguale alla probabilità condizionata di (o) data (A) e (s); in termini formali, [f_ {A, s} (o) = P (o / mid A / amp s) = / frac {P (o / amp A / amp s)} {P (A / amp s)}.) (La necessità di questa condizione sorge quando atti e stati non riescono a determinare in modo univoco un risultato; vedi Lewis 1981.)

1.2 Utilità di risultato

Il termine (U (o)) rappresenta l'utilità del risultato (o) - approssimativamente, quanto è prezioso (o). Formalmente, (U) è una funzione che assegna un numero reale a ciascuno dei risultati. (Le unità associate a (U) sono in genere chiamate util, quindi se (U (o) = 2), diciamo che (o) vale 2 util.) Maggiore è l'utilità, più prezioso il risultato.

Che tipo di valore viene misurato in util? In genere, le utenze non sono considerate unità di valuta, come dollari, sterline o yen. Bernoulli (1738) sosteneva che il denaro e altri beni hanno un'utilità marginale decrescente: man mano che un agente diventa più ricco, ogni dollaro successivo (o orologio d'oro o mela) ha meno valore per lei dell'ultimo. Dà il seguente esempio: ha senso razionale per un uomo ricco, ma non per un povero, pagare 9000 ducati in cambio di un biglietto della lotteria che offre una probabilità del 50% a 20.000 ducati e una probabilità del 50% a nulla. Poiché la lotteria offre ai due uomini la stessa possibilità per ogni premio in denaro, i premi devono avere valori diversi a seconda che il giocatore sia povero o ricco.

Gli utilitaristi classici come Bentham (1789), Mill (1861) e Sidgwick (1907) interpretarono l'utilità come una misura di piacere o felicità. Per questi autori, dire (A) ha un'utilità maggiore di (B) (per un agente o un gruppo di agenti) significa dire che (A) si traduce in più piacere o felicità di (B) (per quell'agente o quel gruppo di agenti).

Un'obiezione a questa interpretazione dell'utilità è che potrebbe non esserci un singolo bene (o addirittura alcun bene) che la razionalità ci richiede di cercare. Ma se comprendiamo "l'utilità" in modo sufficientemente ampio da includere tutti i fini potenzialmente desiderabili: piacere, conoscenza, amicizia, salute e così via, non è chiaro che esiste un modo unico e corretto di effettuare i compromessi tra beni diversi in modo che ogni risultato riceva un utilità. Potrebbe non esserci una buona risposta alla domanda se la vita di un monaco ascetico contenga più o meno bene della vita di un felice libertino, ma l'assegnazione di utilità a queste opzioni ci costringe a confrontarle.

I teorici delle decisioni contemporanee in genere interpretano l'utilità come una misura di preferenza, in modo da dire che (A) ha un'utilità maggiore di (B) (per un agente) significa semplicemente che l'agente preferisce (A) a (B). È fondamentale per questo approccio che le preferenze si attengono non solo tra i risultati (come quantità di piacere o combinazioni di piacere e conoscenza), ma anche tra prospettive incerte (come una lotteria che paga $ 1 milione di dollari se una determinata moneta atterra, e provoca un'ora di dolorose scosse elettriche se la moneta atterra croce). La sezione 2 di questo articolo affronta in dettaglio la relazione formale tra preferenza e scelta.

La teoria dell'utilità attesa non richiede che le preferenze siano egoistiche o egoiste. Qualcuno può preferire dare soldi in beneficenza piuttosto che spendere soldi per cene sontuose, o preferire sacrificare la propria vita piuttosto che permettere a suo figlio di morire. Sen (1977) suggerisce che la psicologia di ogni persona è meglio rappresentata usando tre classifiche: una che rappresenta lo stretto interesse personale della persona, una seconda che rappresenta l'interesse personale della persona interpretata in modo più ampio per spiegare i sentimenti di simpatia (ad esempio, la sofferenza quando si guarda un'altra persona soffrire) e un terzo rappresenta gli impegni della persona, il che potrebbe richiedere che agisca contro il suo interesse personale in senso lato.

Broome (1991) interpreta i programmi di utilità come la misurazione di confronti di betterness oggettivo e peggioramento, piuttosto che preferenze personali: dire che (A) ha un'utilità maggiore di (B) è dire che (A) è oggettivamente migliore di (B), o che una persona razionale preferirebbe (A) a (B). Proprio come nel formalismo della teoria della probabilità non c'è nulla che ci imponga di usare le probabilità soggettive piuttosto che oggettive, così non c'è nulla nel formalismo della teoria dell'utilità attesa che ci imponga di usare valori soggettivi piuttosto che oggettivi.

Coloro che interpretano le utilità in termini di preferenze personali affrontano una sfida speciale: il cosiddetto problema dei confronti interpersonali di utilità. Quando prendiamo decisioni su come distribuire risorse condivise, spesso vogliamo sapere se i nostri atti renderebbero Alice migliore di Bob e, in tal caso, quanto meglio. Ma se l'utilità è una misura delle preferenze individuali, non esiste un modo chiaro e significativo di fare questi confronti. Le utilità di Alice sono costituite dalle preferenze di Alice, le utilità di Bob sono costituite dalle preferenze di Bob e non ci sono preferenze che abbracciano Alice e Bob. Non possiamo supporre che l'utilità 10 di Alice sia equivalente all'utilità 10 di Bob, non più di quanto possiamo supporre che ottenere un grado A in equazioni differenziali equivale a ottenere un grado A nella tessitura a cestino.

Ora è un buon momento per considerare quali caratteristiche della funzione di utilità contengono informazioni significative. I confronti sono informativi: se (U (o_1) gt U (o_2)) (per una persona), allora (o_1) è migliore di (o preferisce) (o_2). Ma non sono solo i confronti a essere informativi: la funzione di utilità deve trasportare altre informazioni, se la teoria dell'utilità attesa deve dare risultati significativi.

Per capire perché, considera di nuovo l'esempio dell'ombrello. Questa volta, ho compilato una probabilità per ogni stato e un'utilità per ogni risultato.

stati
piove ((P = 0.6)) non piove ((P = 0.4))
atti prendi l'ombrello ingombrato, secco ((U = 5)) ingombrato, secco ((U = 5))
lascia l'ombrello bagnato ((U = 0)) libero, asciutto ((U = 10))

L'utilità attesa di prendere l'ombrello è

(begin {align} EU (take) & = P _ { take} (encumbered, / dry) cdot 5 \& / quad + P _ { take} (wet) cdot 0 \& / quad + P _ { take} (free, dry) cdot 10 \& = 5 / end {align})

mentre l'utilità attesa di lasciare l'ombrello è

(begin {align} EU (leave) & = P _ { leave} (encumbered, / dry) cdot 5 \& / quad + P _ { leave} (wet) cdot 0 \& / quad + P _ { leave} (free, dry) cdot 10 \& = 4 / end {align})

Poiché (EU (take) gt EU (leave)), la teoria dell'utilità attesa mi dice che prendere l'ombrello è meglio che lasciarlo.

Ma ora supponiamo di cambiare le utilità dei risultati: invece di usare (U), usiamo (U ').

stati
piove ((P = 0.6)) non piove ((P = 0.4))
atti prendi l'ombrello ingombrato, secco ((U '= 4)) ingombrato, secco ((U '= 4))
lascia l'ombrello bagnato ((U '= 2)) libero, secco ((U '= 8))

La nuova utilità prevista di prendere l'ombrello è

(begin {align} EU '(take) & = P _ { take} (encumbered, / dry) cdot 4 \& / quad + P _ { take} (wet) cdot 2 \& / quad + P _ { take} (free, dry) cdot 8 \& = 4 / end {align})

mentre la nuova utilità prevista di lasciare l'ombrello è

(begin {align} EU '(leave) & = P _ { leave} (encumbered, / dry) cdot 4 \& / quad + P _ { leave} (wet) cdot 2 \& / quad + P _ { leave} (free, dry) cdot 8 \& = 4.4 / end {align})

Dal momento che (EU '(take) lt EU' (leave)), la teoria dell'utilità attesa mi dice che lasciare l'ombrello è meglio che prenderlo.

Le funzioni di utilità (U) e (U ') classificano i risultati esattamente allo stesso modo: libero, secco è il migliore; ingombri, ranghi asciutti nel mezzo; e bagnato è peggio. Tuttavia, la teoria dell'utilità attesa offre diversi consigli nelle due versioni del problema. Quindi ci deve essere una differenza sostanziale tra le preferenze descritte in modo appropriato da (U) e le preferenze descritte in modo appropriato da (U '). Altrimenti, la teoria dell'utilità attesa è instabile e può cambiare il suo consiglio quando viene alimentata con descrizioni diverse dello stesso problema.

Quando due funzioni di utilità rappresentano lo stesso stato di cose di base? La teoria della misurazione risponde alla domanda caratterizzando le trasformazioni consentite di una funzione di utilità-modi di cambiarla che lasciano intatte tutte le sue caratteristiche significative. Se caratterizziamo le trasformazioni consentite di una funzione di utilità, abbiamo quindi specificato quali delle sue caratteristiche sono significative.

I difensori della teoria dell'utilità attesa in genere richiedono che l'utilità sia misurata da una scala lineare, in cui le trasformazioni consentite sono tutte e solo le trasformazioni lineari positive, ovvero le funzioni (f) della forma

[f (U (o)) = x { cdot} U (o) + y)

per numeri reali (x / gt 0) e (y).

Le trasformazioni lineari positive delle utilità di risultato non influenzeranno mai i verdetti della teoria dell'utilità attesa: se (A) ha un'utilità attesa maggiore di (B) dove l'utilità viene misurata dalla funzione (U), quindi (A) avrà anche una maggiore utilità prevista rispetto a (B) dove l'utilità viene misurata da qualsiasi trasformazione lineare positiva di (U).

2. Argomenti della teoria dell'utilità attesa

Perché scegliere atti che massimizzano l'utilità attesa? Una possibile risposta è che la teoria dell'utilità attesa è il fondamento razionale, il che significa che la razionalità finale implica essenzialmente la massimizzazione dell'utilità attesa. Per coloro che trovano insoddisfacente questa risposta, tuttavia, ci sono altre due fonti di giustificazione. In primo luogo, ci sono argomenti a lungo termine, che si basano su prove del fatto che la massimizzazione dell'utilità attesa è una politica redditizia a lungo termine. In secondo luogo, ci sono argomenti basati su teoremi di rappresentazione, che suggeriscono che alcuni vincoli razionali sulla preferenza comportano che tutti gli agenti razionali massimizzino l'utilità attesa.

2.1 Argomenti a lungo termine

Uno dei motivi per massimizzare l'utilità attesa è che a lungo termine costituisce una buona politica. Feller (1968) fornisce una versione di questo argomento. Fa affidamento su due fatti matematici sulle probabilità: le leggi forti e deboli di grandi numeri. Entrambi questi fatti riguardano sequenze di prove indipendenti, distribuite in modo identico, il tipo di configurazione che deriva dal puntare ripetutamente allo stesso modo su una sequenza di giri di roulette o giochi di craps. Entrambe le leggi deboli e forti di grandi numeri dicono, approssimativamente, che nel lungo periodo, la quantità media di utilità acquisita per prova ha una stragrande maggioranza probabilità di essere vicina al valore atteso di una prova individuale.

La legge debole dei grandi numeri afferma che dove ogni prova ha un valore atteso di (mu), per qualsiasi numero reale arbitrariamente piccolo (epsilon / gt 0) e (delta / gt 0), lì è un numero finito di prove (n), tale che per tutti (m) maggiore o uguale a (n), con probabilità almeno (1- / delta), i guadagni medi del giocatore per le prime (m) prove rientreranno in (epsilon) di (mu). In altre parole, nel lungo periodo di una scommessa simile, è molto probabile che il guadagno medio per prova diventi arbitrariamente vicino al valore atteso della scommessa entro un tempo limitato. Quindi, nel lungo termine, il valore medio associato a una scommessa è estremamente probabile che sia vicino al suo valore atteso.

La solida legge dei grandi numeri afferma che laddove ogni prova ha un valore atteso di (mu), per qualsiasi numero reale arbitrariamente piccolo (epsilon / gt 0), all'aumentare del numero di prove, la probabilità che il Le vincite medie del giocatore per prova rientrano in (epsilon) di (mu) converge a 1. In altre parole, poiché il numero di ripetizioni di una scommessa si avvicina all'infinito, il guadagno medio per prova diventerà arbitrariamente vicino al valore atteso della scommessa con probabilità 1. Quindi, a lungo termine, il valore medio associato a una scommessa è praticamente certo pari al suo valore atteso.

Ci sono diverse obiezioni a questi argomenti a lungo termine. In primo luogo, molte decisioni non possono essere ripetute a tempo indeterminato su molti processi simili. Le decisioni su quale carriera perseguire, chi sposare e dove vivere, per esempio, vengono prese nella migliore delle ipotesi un numero limitato di volte. Inoltre, laddove queste decisioni vengano prese più di una volta, diversi studi comportano diversi possibili risultati, con diverse probabilità. Non è chiaro perché le considerazioni a lungo termine sulle scommesse ripetute debbano valere per queste scelte a caso singolo.

In secondo luogo, l'argomento si basa su due ipotesi di indipendenza, una o entrambe le quali potrebbero non riuscire. Un'ipotesi sostiene che le probabilità delle diverse prove sono indipendenti. Questo è vero per i giochi da casinò, ma non per altre scelte in cui desideriamo utilizzare la teoria delle decisioni, ad esempio le scelte relative alle cure mediche. Il mio rimanere malato dopo un ciclo di antibiotici rende più probabile che rimarrò malato dopo il corso successivo, poiché aumenta la possibilità che batteri resistenti agli antibiotici si diffondano nel mio corpo. L'argomentazione richiede inoltre che le utilità di diversi processi siano indipendenti, in modo che vincere un premio su un processo offra lo stesso contributo all'utilità complessiva del decisore, indipendentemente da ciò che vince in altri processi. Ma questo presupposto è violato in molti casi del mondo reale. A causa della ridotta utilità marginale del denaro, vincere $ 10 milioni su dieci giochi di roulette non vale dieci volte tanto quanto vincere $ 1 milione su un gioco di roulette.

Un terzo problema è che le leggi forti e deboli di grandi numeri sono modicamente deboli. Nessuna delle due leggi implica che se una scommessa fosse ripetuta indefinitamente (secondo le ipotesi appropriate), il guadagno medio di utilità per prova sarebbe vicino all'utilità prevista del gioco. Stabiliscono solo che il guadagno medio di utilità per prova sarebbe molto probabilmente vicino all'utilità prevista del gioco. Ma l'alta probabilità, persino la probabilità 1, non è certezza. (La teoria della probabilità standard rifiuta il Principio di Cournot, secondo il quale eventi con probabilità bassa o zero non accadranno. Ma vedi Shafer (2005) per una difesa del Principio di Cournot.) Per qualsiasi sequenza di prove indipendenti, distribuite in modo identico, è possibile per la media payoff di utilità per prova divergere arbitrariamente lontano dall'utilità attesa di una prova individuale.

2.2 Teoremi di rappresentazione

Un secondo tipo di argomento per la teoria dell'utilità attesa si basa sui cosiddetti teoremi di rappresentazione. Seguiamo la formulazione di Zynda (2000) di questa argomentazione, leggermente modificata per riflettere il ruolo delle utility e delle probabilità. L'argomento ha tre premesse:

La condizione di razionalità.

Gli assiomi della teoria dell'utilità attesa sono gli assiomi della preferenza razionale.

Rappresentabilità.

Se le preferenze di una persona obbediscono agli assiomi della teoria dell'utilità attesa, allora può essere rappresentata come dotata di gradi di credenza che obbediscono alle leggi del calcolo delle probabilità [e una funzione di utilità tale da preferire gli atti con un'utilità attesa superiore].

La condizione della realtà.

Se una persona può essere rappresentata con un grado di convinzione che obbedisce al calcolo della probabilità [e una funzione di utilità tale da preferire gli atti con un'utilità attesa superiore], allora la persona ha davvero un grado di credenza che obbedisce alle leggi del calcolo della probabilità [e preferisce davvero gli atti con una maggiore utilità prevista].

Queste premesse implicano la seguente conclusione.

Se una persona [non riesce a preferire gli atti con una maggiore utilità prevista], allora quella persona viola almeno uno degli assiomi della preferenza razionale.

Se le premesse sono vere, l'argomentazione mostra che c'è qualcosa di sbagliato nelle persone le cui preferenze sono in contrasto con la teoria dell'utilità attesa: violano gli assiomi della preferenza razionale. Consideriamo ciascuno dei locali in modo più dettagliato, a partire dalla premessa chiave, Rappresentabilità.

Una funzione di probabilità e una funzione di utilità rappresentano insieme un insieme di preferenze nel caso in cui la seguente formula valga per tutti i valori di (A) e (B) nel dominio della relazione di preferenza

[EU (A) gt EU (B) text {se e solo se} A / text {è preferito a} B.)

Le prove matematiche della rappresentabilità sono chiamate teoremi di rappresentazione. La sezione 2.1 esamina tre dei teoremi di rappresentazione più influenti, ognuno dei quali si basa su un diverso insieme di assiomi.

Indipendentemente dall'insieme di assiomi che utilizziamo, la Condizione di razionalità è controversa. In alcuni casi, le preferenze che sembrano razionalmente ammissibili, forse anche razionalmente richieste, violano gli assiomi della teoria dell'utilità attesa. La sezione 3 discute tali casi in dettaglio.

Anche la condizione di realtà è controversa. Hampton (1994), Zynda (2000), Meacham e Weisberg (2011) sottolineano che essere rappresentabili utilizzando una funzione di probabilità e utilità non deve avere una funzione di probabilità e utilità. Dopotutto, un agente che può essere rappresentato come un massimizzatore di utilità previsto con gradi di credenza che obbediscono al calcolo di probabilità, può anche essere rappresentato come qualcuno che non riesce a massimizzare l'utilità attesa con gradi di credenza che violano il calcolo di probabilità. Perché pensare che la rappresentazione dell'utilità attesa sia quella giusta?

Esistono diverse opzioni. Forse il difensore dei teoremi di rappresentazione può stabilire che ciò che deve avere particolari gradi di credenza e utilità è solo avere le preferenze corrispondenti. La sfida principale per i difensori di questa risposta è spiegare perché le rappresentazioni in termini di utilità attesa sono esplicitamente utili e perché sono migliori delle rappresentazioni alternative. O forse le probabilità e le utilità sono un buon sostituto teorico ripulito delle nostre nozioni popolari di credenza e sostituti scientifici precisi dal desiderio per i nostri concetti popolari. Meacham e Weisberg contestano questa risposta, sostenendo che le probabilità e le utilità sono scarse basi per le nostre nozioni popolari. Una terza possibilità, suggerita da Zynda, è che i fatti sui gradi di convinzione si realizzano indipendentemente dalle preferenze dell'agente,e fornire un modo di principio per limitare la gamma di rappresentazioni accettabili. La sfida per i difensori di questo tipo di risposta è di specificare quali siano questi fatti aggiuntivi.

Passo ora a considerare tre teoremi di rappresentazione influenti. Questi teoremi di rappresentazione differiscono l'uno dall'altro in tre modi filosoficamente significativi.

Innanzitutto, diversi teoremi di rappresentazione non sono d'accordo sugli oggetti di preferenza e utilità. Sono ripetibili? Devono essere totalmente sotto il controllo dell'agente

In secondo luogo, i teoremi di rappresentazione differiscono nel modo in cui trattano la probabilità. Non sono d'accordo su quali entità abbiano probabilità e sul fatto che gli stessi oggetti possano avere sia probabilità che utilità.

Terzo, mentre ogni teorema di rappresentazione dimostra che per un adeguato ordinamento delle preferenze, esiste una funzione di probabilità e utilità che rappresenta l'ordinamento delle preferenze, esse differiscono per quanto uniche siano questa probabilità e funzione di utilità. In altre parole, differiscono su quali trasformazioni della probabilità e delle funzioni di utilità sono consentite.

2.2.1 Ramsey

L'idea di un teorema di rappresentazione per l'utilità attesa risale a Ramsey (1926). (Il suo schizzo di un teorema di rappresentazione è successivamente compilato da Bradley (2004) ed Elliott (2017).) Ramsey assume che le preferenze siano definite su un dominio di scommesse, che danno un premio a condizione che una proposizione (P) è vero e un premio diverso a condizione che (P) sia falso. (Esempi di scommesse: ricevi una tutina se hai un bambino e una bottiglia di scotch altrimenti; ricevi venti dollari se Bojack vince il Kentucky Derby e perde un dollaro altrimenti.)

Ramsey chiama una proposizione eticamente neutra quando "due mondi possibili che differiscono solo per [la sua verità] hanno sempre lo stesso valore". Per una proposizione eticamente neutra, la probabilità 1/2 può essere definita in termini di preferenza: tale proposizione ha probabilità 1/2 nel caso in cui tu sia indifferente su quale parte di essa scommetti. (Quindi se Bojack vince il Kentucky Derby è una proposta eticamente neutra, ha una probabilità 1/2 nel caso in cui tu sia indifferente tra vincere venti dollari se è vero e perdere un dollaro altrimenti, e vincere venti dollari se è falso e perdere un dollaro altrimenti.)

Proponendo una proposizione eticamente neutra con probabilità 1/2, insieme a un ricco spazio di premi, Ramsey definisce utilità numeriche per i premi. (L'idea approssimativa è che se sei indifferente tra ricevere un premio medio (m) per certo, e una scommessa che dà un premio migliore (b) se la proposizione eticamente neutra è vera e un premio peggiore (w) se cade, allora l'utilità di (m) è a metà strada tra le utilità di (b) e (w).) Usando queste utilità numeriche, quindi sfrutta la definizione di utilità prevista per definire probabilità per tutte le altre proposizioni.

L'idea approssimativa è quella di sfruttare la ricchezza dello spazio dei premi, il che garantisce che per ogni gioco d'azzardo (g) che produce un premio migliore (b) se (E) è un premio vero e peggiore (w) se (E) è falso, l'agente è indifferente tra (g) e qualche premio medio ((m). Ciò significa che (EU (g) = EU (m)). Usando un po 'di algebra, oltre al fatto che (EU (g) = P (E) U (b) + (1-P (E)) U (w)), Ramsey mostra che

[P (E) = / frac {(1 - U (m)} {(U (b) - U (w))})

2.2.2 Von Neumann e Morgenstern

Von Neumann e Morgenstern (1944) affermano che le preferenze sono definite su un dominio di lotterie. Alcune di queste lotterie sono costanti e danno un singolo premio con certezza. (I premi potrebbero includere una banana, un milione di dollari, un milione di dollari di debito, morte o una nuova auto.) Le lotterie possono anche avere altre lotterie come premi, in modo da poter avere una lotteria con una probabilità del 40% di cedere una banana e una probabilità del 60% di dare una scommessa del 50-50 tra un milione di dollari e la morte.) Il dominio delle lotterie è chiuso con un'operazione di miscelazione, quindi se (L) e (L ') sono lotterie e (x) è un numero reale nell'intervallo ([0, 1]), quindi c'è una lotteria (x L + (1-x) L ') che produce (L) con probabilità (x) e (L ') con probabilità (1-x). Mostrano che ogni relazione di preferenza che obbedisce a determinati assiomi può essere rappresentata dalle probabilità utilizzate per definire le lotterie, insieme a una funzione di utilità unica fino alla trasformazione lineare positiva.

2.2.3 Selvaggio

Invece di dare per scontate le probabilità, come fanno von Neumann e Morgenstern, Savage (1972) le definisce in termini di preferenze rispetto agli atti. Savage pone tre domini separati. La probabilità si lega agli eventi, che possiamo considerare come disgiunzioni di stati, mentre l'utilità e la preferenza intrinseca si attaccano ai risultati. L'utilità attesa e la preferenza non intrinseca si legano agli atti.

Per Savage, atti, stati e risultati devono soddisfare determinati vincoli. Gli atti devono essere interamente sotto il controllo dell'agente (quindi pubblicare il mio articolo su Mind non è un atto, poiché dipende in parte dalla decisione dell'editore, che non controllo). I risultati devono avere la stessa utilità indipendentemente dallo stato ottenuto (quindi "Vinco un'auto di lusso" non è un risultato, poiché l'utilità dell'auto di fantasia sarà maggiore negli stati in cui la persona che più desidero impressionare desidera avere un desiderio auto, e meno negli stati in cui perdo la patente). Nessuno stato può escludere l'esecuzione di qualsiasi atto e un atto e uno stato insieme devono determinare un risultato con certezza. Per ogni risultato (o), c'è un atto costante che produce (o) in ogni stato. (Quindi, se la pace nel mondo è un risultato, c'è un atto che si traduce in pace nel mondo,non importa quale sia lo stato del mondo.) Infine, assume per ogni due atti (A) e (B) e qualsiasi evento (E), c'è un atto misto (A_E / amp B_ { sim E}) che produce lo stesso risultato di (A) se (E) è vero, e lo stesso risultato di (B) in caso contrario. (Quindi, se la pace nel mondo e la fine del mondo sono entrambi risultati, allora c'è un atto misto che si traduce in pace nel mondo se una determinata moneta atterra la testa e la fine del mondo altrimenti.)))

Il selvaggio postula una relazione di preferenza sugli atti e dà assiomi che governano quella relazione di preferenza. Definisce quindi le probabilità soggettive, o gradi di credenza, in termini di preferenze. La mossa chiave è definire una relazione "almeno altrettanto probabile" tra gli eventi; Parafrasando qui.

Supponiamo che (A) e (B) siano atti costanti tali che (A) sia preferito a (B). Quindi (E) è almeno altrettanto probabile di (F) nel caso in cui l'agente preferisca (A_E / amp B _ { sim E}) (l'atto che produce (A) if (E) ottiene, e (B) altrimenti) a (A_F / amp B _ { sim F}) (l'atto che produce (A) se (F) ottiene, e (B) altrimenti), altrimenti è indifferente tra (A_E / amp B _ { sim E}) e (A_F / amp B _ { sim F}).

L'idea alla base della definizione è che l'agente considera (E) almeno altrettanto probabile di (F) nel caso in cui non preferisse puntare su (F) piuttosto che su (E)).

Il selvaggio quindi dà gli assiomi che vincolano la preferenza razionale e mostra che qualsiasi insieme di preferenze che soddisfano quegli assiomi produce una relazione “almeno altrettanto probabile” che può essere rappresentata in modo univoco da una funzione di probabilità. In altre parole, esiste una e una sola funzione di probabilità (P) tale che per tutti (E) e (F), (P (E) ge P (F)) se e solo se (E) è almeno altrettanto probabile di (F). Ogni relazione di preferenza che obbedisce agli assiomi di Savage è rappresentata da questa funzione di probabilità (P), insieme a una funzione di utilità unica fino alla trasformazione lineare positiva.

Il teorema di rappresentazione di Savage dà risultati forti: a partire da un ordinamento di preferenza da solo, possiamo trovare una singola funzione di probabilità e una classe ristretta di funzioni di utilità, che rappresentano tale ordinamento di preferenza. Il rovescio della medaglia, tuttavia, è che Savage deve costruire ipotesi plausibilmente forti sul dominio degli atti.

Luce e Suppes (1965) sottolineano che gli atti costanti di Savage non sono plausibili. (Ricorda che gli atti costanti producono lo stesso risultato e la stessa quantità di valore in ogni stato.) Prendi un ottimo risultato-beatitudine totale per tutti. Esiste davvero un atto costante che ha questo esito in ogni stato possibile, compresi gli stati in cui la razza umana viene spazzata via da una meteora? Anche la dipendenza di Savage da un ricco spazio di atti misti è problematica. Il selvaggio ha dovuto supporre che ogni due esiti e qualsiasi evento, vi è un atto misto che produce il primo risultato se si verifica l'evento e il secondo risultato altrimenti? Esiste davvero un atto che produce beatitudine totale se tutti vengono uccisi da una pestilenza resistente agli antibiotici, e la miseria totale altrimenti? Luce e Krantz (1971) suggeriscono modi per riformulare Savage 'Il teorema di rappresentazione che indebolisce queste assunzioni, ma Joyce (1999) sostiene che anche sulle assunzioni indebolite, il dominio degli atti rimane incredibilmente ricco.

2.2.4 Bolker e Jeffrey

Bolker (1966) dimostra un teorema di rappresentazione generale sulle aspettative matematiche, che Jeffrey (1983) usa come base per un resoconto filosofico della teoria dell'utilità attesa. Il teorema di Bolker assume un unico dominio di proposizioni, che sono oggetti di preferenza, utilità e probabilità simili. Pertanto, la proposta che pioverà oggi ha un'utilità, oltre che una probabilità. Jeffrey interpreta questa utilità come il valore delle notizie della proposta - una misura di quanto sarei felice o deluso di sapere che la proposta era vera. Per convenzione, imposta a 0 il valore della proposizione necessaria: la proposizione necessaria non è affatto una novità! Allo stesso modo, la proposta di portare il mio ombrello al lavoro, che è un atto, ha una probabilità oltre che un'utilità. Jeffrey interpreta questo per significare che ho dei gradi di convinzione su cosa farò.

Bolker dà la preferenza vincolante agli assiomi e mostra che qualsiasi preferenza che soddisfi i suoi assiomi può essere rappresentata da una misura di probabilità (P) e una misura di utilità (U). Tuttavia, gli assiomi di Bolker non assicurano che (P) sia unico o che (U) sia unico fino alla trasformazione lineare positiva. Né ci permettono di definire la probabilità comparativa in termini di preferenza. Invece, dove (P) e (U) rappresentano congiuntamente un ordinamento di preferenza, Bolker mostra che la coppia (langle P, U / rangle) è unica fino a una trasformazione lineare frazionaria.

In termini tecnici, dove (U) è una funzione di utilità normalizzata in modo che (U (Omega) = 0), (inf) sia il limite inferiore massimo dei valori assegnati da (U), (sup) è il limite superiore minimo dei valori assegnati da (U) e (lambda) è un parametro compreso tra (- 1 / inf) e (- 1 / sup), la trasformazione lineare frazionaria (langle P _ { lambda}, U _ { lambda} rangle) di (langle P, U / rangle) corrispondente a (lambda) è data da:

(begin {align} P _ { lambda} & = P (x) (1 + / lambda U (x)) / U _ { lambda} & = U (x) ((1+ / lambda) / (1 + / lambda U (x)) end {align})

Si noti che le trasformazioni lineari frazionarie di una coppia probabilità-utilità possono essere in disaccordo con la coppia originale su quali proposizioni sono più probabili di quali altre.

Joyce (1999) mostra che con risorse aggiuntive, il teorema di Bolker può essere modificato per definire un unico (P) e un (U) che è unico fino alla trasformazione lineare positiva. Dobbiamo solo integrare l'ordinamento delle preferenze con una relazione “più probabile di” primitiva, governata dal suo stesso insieme di assiomi e collegata alla credenza da diversi assiomi aggiuntivi. Joyce modifica il risultato di Bolker per mostrare che, dati questi assiomi aggiuntivi, la relazione "più probabile di" è rappresentata da un unico (P) e l'ordinamento delle preferenze è rappresentato da (P) insieme a una funzione di utilità unica fino alla trasformazione lineare positiva.

2.2.5 Riepilogo

Insieme, questi quattro teoremi di rappresentazione sopra possono essere riassunti nella tabella seguente.

Teorema

Oggetti di

preferenza

Ordine di

costruzione

Trasformazioni consentite:

probabilità

Trasformazioni consentite:

utilità

Ramsey scommesse preferenza → utilità → probabilità identità lineare positivo

von Neumann /

Morgenstern

lotterie (preferenza e probabilità) → utilità N / A lineare positivo
Selvaggio atti preferenza → probabilità → utilità identità lineare positivo
Jeffrey / Bolker proposizioni preferenza → (probabilità e utilità) - frazionario lineare -

Si noti che l'ordine di costruzione differisce tra i teoremi: Ramsey costruisce una rappresentazione della probabilità usando l'utilità, mentre von Neumann e Morgenstern iniziano con le probabilità e costruiscono una rappresentazione dell'utilità. Pertanto, sebbene le frecce rappresentino una relazione matematica di rappresentazione, non possono rappresentare una relazione metafisica di radicamento. La Condizione di realtà deve essere giustificata indipendentemente da qualsiasi teorema di rappresentazione.

Probabilità ordinali strutturate in modo adeguato (le relazioni scelte da "almeno altrettanto probabile", "più probabile di" e "altrettanto probabile") si trovano in corrispondenza uno a uno con le funzioni di probabilità cardinali. Infine, la linea grigia dalle preferenze alle probabilità ordinali indica che ogni funzione di probabilità che soddisfa gli assiomi di Savage è rappresentata da una probabilità cardinale unica, ma questo risultato non vale per gli assiomi di Jeffrey.

Si noti che spesso è possibile seguire le frecce nei circoli: dalla preferenza alla probabilità ordinale, dalla probabilità ordinale alla probabilità cardinale, dalla probabilità e preferenza cardinale all'utilità attesa e dall'utilità attesa alla preferenza. Pertanto, sebbene le frecce rappresentino una relazione matematica di rappresentazione, non rappresentano una relazione metafisica di radicamento. Questo fatto porta a casa l'importanza di giustificare in modo indipendente i teoremi di rappresentazione della condizione di realtà non può giustificare la teoria dell'utilità attesa senza ipotesi aggiuntive.

3. Obiezioni alla teoria dell'utilità attesa

3.1 Massimizzare l'utilità attesa è impossibile

Dovrebbe implicare possibile, ma è umanamente possibile massimizzare l'utilità attesa? March e Simon (1958) sottolineano che per calcolare le utilità previste, un agente ha bisogno di una comprensione scoraggiante e complessa degli atti disponibili, dei possibili esiti e dei valori di quegli esiti, e che la scelta dell'atto migliore è molto più impegnativa di scegliere un atto che è semplicemente abbastanza buono. Punti simili appaiono in Lindblom (1959), Feldman (2006) e Smith (2010).

McGee (1991) sostiene che massimizzare l'utilità attesa non è matematicamente possibile nemmeno per un computer ideale con memoria illimitata. Al fine di massimizzare l'utilità attesa, dovremmo accettare qualsiasi scommessa che ci è stata offerta sulle verità dell'aritmetica e rifiutare qualsiasi scommessa che ci sia stata offerta su false frasi nella lingua dell'aritmetica. Ma l'aritmetica è indecidibile, quindi nessuna macchina di Turing può determinare se una determinata frase aritmetica è vera o falsa.

Una risposta a queste difficoltà è l'approccio della razionalità limitata, che mira a sostituire la teoria dell'utilità attesa con alcune regole più tracciabili. Un altro è sostenere che le richieste della teoria dell'utilità attesa sono più trattabili di quanto non appaiano (Burch-Brown 2014; vedi anche Greaves 2016), o che il pertinente principio del "dovrebbe implicare può" è falso (Srinivasan 2015).

3.2 Massimizzare l'utilità attesa è irrazionale

Numerosi autori hanno fornito esempi in cui la teoria dell'utilità attesa sembra fornire prescrizioni errate. Le sezioni 3.2.1 e 3.2.2 discutono esempi in cui la razionalità sembra consentire preferenze incompatibili con la teoria dell'utilità attesa. Questi esempi suggeriscono che la massimizzazione dell'utilità attesa non è necessaria per la razionalità. La sezione 3.2.3 discute esempi in cui la teoria dell'utilità attesa consente preferenze che sembrano irrazionali. Questi esempi suggeriscono che massimizzare l'utilità attesa non è sufficiente per la razionalità. La sezione 3.2.4 discute un esempio in cui la teoria dell'utilità attesa richiede preferenze che sembrano razionalmente proibite, una sfida sia alla necessità che alla sufficienza dell'utilità attesa per la razionalità.

3.2.1 Controesempi che coinvolgono Transitività e Completezza

La teoria dell'utilità attesa implica che la struttura delle preferenze rispecchia la struttura della relazione maggiore di quella tra numeri reali. Pertanto, secondo la teoria dell'utilità attesa, le preferenze devono essere transitive: se (A) è preferito a (B) (in modo che (U (A) gt U (B))) e (B) è preferito a (C) (in modo che (U (B) gt U (C))), quindi (A) deve essere preferito a (C) (poiché deve essere quello (U (A) gt U (C))). Allo stesso modo, le preferenze devono essere complete: per una qualsiasi delle due opzioni, una deve essere preferita all'altra, oppure l'agente deve essere indifferente tra di loro (poiché delle loro due utilità, una deve essere maggiore o entrambe uguali). Ma ci sono casi in cui la razionalità sembra consentire (o forse addirittura richiedere) fallimenti della transitività e fallimenti della completezza.

Un esempio di preferenze che non sono transitive, ma che tuttavia sembrano razionalmente ammissibili, è il puzzle di Quinn sull'auto-torturatore (1990). L'auto-torturatore è collegato a una macchina con un quadrante con impostazioni etichettate da 0 a 1.000, dove l'impostazione 0 non fa nulla e ogni impostazione successiva produce una scossa elettrica leggermente più potente. L'impostazione 0 è indolore, mentre l'impostazione 1.000 causa un'agonia lancinante, ma la differenza tra due impostazioni adiacenti è così piccola da essere impercettibile. Il quadrante è dotato di un cricchetto, in modo che possa essere alzato ma mai verso il basso. Supponiamo che ad ogni impostazione, all'auto-torturatore vengano offerti $ 10.000 per passare al successivo, in modo che per tollerare l'impostazione (n), riceva un payoff di (n { cdot} {$ 10.000}). È consentito all'auto-torturatore preferire l'impostazione (n + 1) all'impostazione (n) per ciascuno (n) tra 0 e 999 (poiché la differenza nel dolore è impercettibile, mentre la differenza in termini monetari i profitti sono significativi), ma non preferire l'impostazione 1.000 all'impostazione 0 (poiché il dolore dell'impostazione 1.000 può essere così insopportabile che nessuna somma di denaro lo compenserà.

Sembra anche razionalmente ammissibile avere preferenze incomplete. Per alcune coppie di azioni, un agente potrebbe non avere una visione ponderata su ciò che preferisce. Considera Jane, un elettricista che non ha mai pensato molto a diventare un cantante professionista o un astronauta professionista. (Forse entrambe queste opzioni sono impossibili, o forse le considera entrambe molto peggio del suo costante lavoro di elettricista). È falso che Jane preferisca diventare una cantante per diventare un'astronauta, ed è falso che preferisce diventare un'astronauta per diventare una cantante. Ma è anche falso che sia indifferente tra diventare una cantante e diventare un'astronauta. Preferisce diventare una cantante e ricevere un bonus di $ 100 per diventare una cantante, e se fosse indifferente tra diventare una cantante e diventare un astronauta,sarebbe razionalmente costretta a preferire essere una cantante e ricevere un bonus di $ 100 per diventare un astronauta.

C'è una differenza chiave tra i due esempi considerati sopra. Le preferenze di Jane possono essere estese, aggiungendo nuove preferenze senza rimuovere quelle che ha, in un modo che ci consente di rappresentarla come un massimizzatore di utilità previsto. D'altra parte, non c'è modo di estendere le preferenze del torturatore di sé in modo che possa essere rappresentato come un massimizzatore di utilità previsto. Alcune delle sue preferenze dovrebbero essere modificate. Una risposta popolare a preferenze incomplete è quella di affermare che, sebbene le preferenze razionali non debbano soddisfare gli assiomi di un dato teorema di rappresentazione (vedere la sezione 2.2), deve essere possibile estenderli in modo tale da soddisfare gli assiomi. Da questo requisito più debole sulle preferenze - che sono estendibili a un ordinamento di preferenze che soddisfa gli assiomi rilevanti - si possono dimostrare le metà di esistenza dei teoremi di rappresentazione pertinenti. Tuttavia, non è più possibile stabilire che ogni ordinamento di preferenza abbia una rappresentazione unica fino alle trasformazioni consentite.

Nessuna risposta di questo tipo è disponibile nel caso dell'auto-torturatore, le cui preferenze non possono essere estese per soddisfare gli assiomi della teoria dell'utilità attesa. Vedi la voce sulle preferenze per una discussione più estesa sul caso di auto-torturatore.

3.2.2 Controesempi che implicano l'indipendenza

Allais (1953) ed Ellsberg (1961) propongono esempi di preferenze che non possono essere rappresentate da una funzione di utilità attesa, ma che tuttavia sembrano razionali. Entrambi gli esempi riguardano violazioni dell'assioma dell'indipendenza di Savage:

Indipendenza. Supponiamo che (A) e (A ^ *) siano due atti che producono gli stessi risultati nel caso in cui (E) sia falso. Quindi, per ogni atto (B), uno deve avere

  • (A) è preferito a (A ^ *) se e solo se (A_E / amp B _ { sim E}) è preferito a (A ^ * _ E / amp B _ { sim E})
  • L'agente è indifferente tra (A) e (A ^ *) se e solo se è indifferente tra (A_E / amp B _ { sim E}) e (A ^ * _ E / amp B_ {si Me})

In altre parole, se due atti hanno le stesse conseguenze ogni volta che (E) è falso, le preferenze dell'agente tra questi due atti dovrebbero dipendere solo dalle loro conseguenze quando (E) è vero. Sulla definizione di utilità prevista da Savage, la teoria dell'utilità attesa implica l'indipendenza. E secondo la definizione di Jeffrey, la teoria dell'utilità attesa implica l'indipendenza in presenza del presupposto che gli stati sono probabilisticamente indipendenti dagli atti.

Il primo controesempio, il paradosso di Allais, comporta due distinti problemi di decisione in cui un biglietto con un numero compreso tra 1 e 100 viene estratto casualmente. Nel primo problema, l'agente deve scegliere tra queste due lotterie:

  • Lotteria (A)
  • • $ 100 milioni con certezza
  • Lotteria (B)
  • • $ 500 milioni se viene estratto uno dei biglietti 1–10
  • • $ 100 milioni se viene estratto uno dei biglietti 12–100
  • • Nulla se viene estratto il ticket 11

Nel secondo problema decisionale, l'agente deve scegliere tra queste due lotterie:

  • Lotteria (C)
  • • $ 100 milioni se viene estratto uno dei biglietti 1–11
  • • Niente altrimenti
  • Lotteria (D)
  • • $ 500 milioni se viene estratto uno dei biglietti 1–10
  • • Niente altrimenti

Sembra ragionevole preferire (A) (che offre $ 100 milioni sicuri) a (B) (dove la possibilità del 10% aggiunta a $ 500 milioni è più che compensata dal rischio di non ottenere nulla). Sembra anche ragionevole preferire (D) (una probabilità del 10% con un premio di $ 500 milioni) a (C) (una probabilità dell'11% leggermente più grande con un premio di $ 100 milioni molto più piccolo). Ma insieme, queste preferenze (le chiamano preferenze di Allais) violano l'indipendenza. Le lotterie (A) e (C) danno lo stesso premio da $ 100 milioni per i biglietti 12–100. Possono essere convertiti in lotterie (B) e (D) sostituendo questo premio da $ 100 milioni con $ 0.

Poiché violano l'indipendenza, le preferenze di Allais sono incompatibili con la teoria dell'utilità attesa. Questa incompatibilità non richiede alcuna ipotesi sulle utilità relative di $ 0, $ 100 milioni e $ 500 milioni. Dove $ 500 milioni hanno utility (x), $ 100 milioni hanno utility (y) e $ 0 ha utility (z), le utilità previste delle lotterie sono le seguenti.

(begin {align} EU (A) & = 0.11y + 0.89y \\ EU (B) & = 0.10x + 0.01z + 0.89y \\ EU (C) & = 0.11y + 0.89z \\ EU (D) & = 0,10x + 0,01z + 0,89z / end {align})

È facile intuire che la condizione in base alla quale (EU (A) gt EU (B)) è esattamente la stessa in cui (EU (C) gt EU (D)): entrambe le disuguaglianze ottenere nel caso (0.11y / gt 0.10x + 0.01z)

Il paradosso di Ellsberg comporta anche due problemi di decisione che generano una violazione del principio della sicurezza. In ognuna di esse, viene estratta una palla da un'urna contenente 30 palle rosse e 60 palle bianche o gialle in proporzioni sconosciute. Nel primo problema decisionale, l'agente deve scegliere tra le seguenti lotterie:

  • Lotteria (R)
  • • Vinci $ 100 se viene pescata una palla rossa
  • • In caso contrario, perdere $ 100
  • Lotteria (W)
  • • Vinci $ 100 se viene pescata una palla bianca
  • • In caso contrario, perdere $ 100

Nel secondo problema decisionale, l'agente deve scegliere tra le seguenti lotterie:

  • Lotteria (RY)
  • • Vinci $ 100 se viene pescata una palla rossa o gialla
  • • In caso contrario, perdere $ 100
  • Lotteria (WY)
  • • Vinci $ 100 se viene pescata una palla bianca o gialla
  • • In caso contrario, perdere $ 100

Sembra ragionevole preferire (R) a (W), ma allo stesso tempo preferire (WY) a (RY). (Chiama questa combinazione di preferenze le preferenze di Ellsberg.) Come le preferenze di Allais, le preferenze di Ellsberg violano l'indipendenza. Le lotterie (W) e (R) danno una perdita di $ 100 se viene pescata una palla gialla; possono essere convertiti in lotterie (RY) e (WY) semplicemente sostituendo questa perdita di $ 100 con un guadagno sicuro di $ 100.

Poiché violano l'indipendenza, le preferenze di Ellsberg sono incompatibili con la teoria dell'utilità attesa. Ancora una volta, questa incompatibilità non richiede alcuna ipotesi sulle utilità relative alla vincita di $ 100 e alla perdita di $ 100. Né abbiamo bisogno di ipotesi su dove tra 0 e 1/3 cade la probabilità di pescare una palla gialla. Dove vincere $ 100 ha utilità (w) e perdere $ 100 ha utilità (l), (begin {align} EU (R) & = / tfrac {1} {3} w + P (W) l + P (Y) l \\ EU (W) & = / tfrac {1} {3} l + P (W) w + P (Y) l \\ EU (RY) & = / tfrac {1} {3} w + P (W) l + P (Y) w \\ EU (WY) & = / tfrac {1} {3} l + P (W) w + P (Y) w / end {align})

È facile vedere che la condizione in cui (EU (R) gt EU (W)) è esattamente la stessa condizione in cui (EU (RY) gt EU (WY)): entrambe le disuguaglianze ottenere nel caso (1/3 \, w + P (W) l / gt 1/3 \, l + P (W) w).

Ci sono tre risposte notevoli ai paradossi di Allais ed Ellsberg. Innanzitutto, si potrebbe seguire Savage (101 ss.) E Raiffa (1968, 80–86) e difendere la teoria dell'utilità attesa sulla base del fatto che le preferenze di Allais ed Ellsberg sono irrazionali.

In secondo luogo, si potrebbe seguire Buchak (2013) e affermare che le preferenze di Allais ed Ellsberg sono razionalmente ammissibili, quindi la teoria dell'utilità attesa fallisce come teoria normativa della razionalità. Buchak sviluppa una teoria più permissiva della razionalità, con un parametro aggiuntivo che rappresenta l'atteggiamento del decisore nei confronti del rischio. Questo parametro di rischio interagisce con le utilità degli esiti e le loro probabilità condizionate sugli atti per determinare i valori degli atti. Un'impostazione del parametro di rischio fornisce la teoria dell'utilità attesa come un caso speciale, ma altre impostazioni "avverse al rischio" razionalizzano le preferenze di Allais.

Terzo, si potrebbe seguire Loomes e Sugden (1986), Weirich (1986) e Pope (1995) e sostenere che i risultati nei paradossi di Allais ed Ellsberg possono essere descritti nuovamente per soddisfare le preferenze di Allais ed Ellsberg. Il presunto conflitto tra le preferenze di Allais ed Ellsberg da un lato, e la teoria dell'utilità attesa dall'altro, si basava sul presupposto che una determinata somma di denaro avesse la stessa utilità indipendentemente da come fosse ottenuta. Alcuni autori contestano questo assunto. Loomes e Sugden suggeriscono che, oltre agli importi monetari, i risultati delle scommesse includono sentimenti di delusione (o euforia) nell'ottenere meno (o più) del previsto. Il Papa distingue i sentimenti di "esito positivo" o di delusione dai sentimenti di "pre-risultato" di eccitazione, paura, noia o sicurezza,e sottolinea che entrambi possono influire sui programmi di utilità di risultato. Weirich suggerisce che il valore di una somma monetaria dipende in parte dai rischi che è derivato dall'ottenerla, indipendentemente dai sentimenti del giocatore, in modo che (per esempio) $ 100 milioni come risultato di una scommessa sicura siano più di $ 100 milioni da una scommessa che potrebbe non aver pagato nulla.

Broome (1991) è preoccupato per questa soluzione di nuova descrizione. Qualsiasi preferenza può essere giustificata descrivendo nuovamente lo spazio dei risultati, rendendo così gli assiomi della teoria dell'utilità attesa privi di contenuto. Broome respinge questa obiezione suggerendo un ulteriore vincolo alla preferenza: se (A) è preferito a (B), allora (A) e (B) devono differire in qualche modo che giustifica preferire uno al altro. Un teorico dell'utilità attesa può quindi considerare razionali le preferenze di Allais ed Ellsberg come razionali se, e solo se, esiste una differenza non monetaria che giustifica il posizionamento di risultati di uguale valore monetario in punti diversi nell'ordinamento delle preferenze.

3.2.3 Controesempi che coinvolgono probabilità 0 Eventi

Sopra, abbiamo visto presunti esempi di preferenze razionali che violano la teoria dell'utilità attesa. Ci sono anche presunti esempi di preferenze irrazionali che soddisfano la teoria dell'utilità attesa.

Su una comprensione tipica della teoria dell'utilità attesa, quando due atti sono legati per avere l'utilità attesa più alta, gli agenti devono essere indifferenti tra loro. Skyrms (1980, p. 74) sottolinea che questa visione ci consente di trarre strane conclusioni sugli eventi con probabilità 0. Ad esempio, supponiamo che stai per lanciare un dardo grande come un punto su un bersaglio circolare. La teoria della probabilità classica tiene conto delle situazioni in cui il dardo ha probabilità 0 di colpire un punto particolare. Mi offri il seguente pessimo affare: se il dardo colpisce il tabellone nel suo centro esatto, mi addebiterai $ 100; in caso contrario, nessun denaro cambierà le mani. Il mio problema decisionale può essere colto con la seguente matrice:

stati
hit center ((P = 0)) miss center ((P = 1))
atti accetta un accordo (- 100) (0)
rifiutare l'affare (0) (0)

La teoria dell'utilità attesa dice che è consentito per me accettare l'utilità attesa accettazione del contratto di 0. (Questo è vero sia per la definizione di Jeffrey che per la definizione di Savage, se assumiamo che il modo in cui il dardo atterra sia probabilisticamente indipendente da come tu scommessa.) Ma il buon senso dice che non è lecito accettare l'accordo. Rifiutare debolmente domina l'accettazione: produce un risultato migliore in alcuni stati e un risultato peggiore in nessuno stato.

Skyrms suggerisce di aumentare le leggi della probabilità classica con un ulteriore requisito secondo cui solo le impossibilità vengono assegnate alla probabilità 0. Easwaran (2014) sostiene che dovremmo invece rifiutare l'idea che la teoria dell'utilità attesa comanda l'indifferenza tra atti con uguale utilità prevista. Invece, la teoria dell'utilità attesa non è una teoria completa della razionalità: quando due atti hanno la stessa utilità prevista, non ci dice quale preferire. Possiamo usare considerazioni di utilità non previste come il dominio debole come tiebreakers.

3.2.4 Controesempi che coinvolgono utilità illimitata

Una funzione di utilità (U) è limitata sopra se esiste un limite a come le cose buone possono essere secondo (U), o più formalmente, se esiste un numero meno naturale (sup) tale che per ogni (A) nel dominio (U), (U (A) le sup). Allo stesso modo, (U) è limitato di seguito se esiste un limite a quanto possono essere brutte le cose in base a (U), o più formalmente, se esiste un numero naturale massimo (inf) tale che per ogni (A) nel dominio (U), (U (A) ge inf). La teoria dell'utilità attesa può incorrere in problemi quando le funzioni dell'utilità sono illimitate sopra, sotto o entrambe.

Un esempio problematico è il gioco di San Pietroburgo, originariamente pubblicato da Bernoulli. Supponiamo che una moneta venga lanciata fino a quando non atterra per la prima volta. Se atterra la coda al primo lancio, vinci $ 2; se atterra al secondo lancio, vinci $ 4; se atterra le code al terzo lancio, vinci $ 8 e se atterra le code al lancio ((n) th, vinci $ (2 ^ n). Supponendo che ogni dollaro valga un utile, il valore atteso del gioco di San Pietroburgo è

[(tfrac {1} {2} cdot 2) + (tfrac {1} {4} cdot 4) + (tfrac {1} {8} cdot 8) + / cdots + (tfrac {1} {2 ^ n} cdot 2 ^ n) + / cdots) o [1 + 1 + 1 + / cdots = / infty)

Si scopre che questa somma diverge; il gioco di San Pietroburgo ha un'utilità attesa infinita. Pertanto, secondo la teoria dell'utilità attesa, dovresti preferire l'opportunità di giocare a San Pietroburgo a qualsiasi somma finita, non importa quanto sia grande. Inoltre, poiché un'utilità attesa infinita moltiplicata per qualsiasi possibilità diversa da zero è ancora infinita, tutto ciò che ha una probabilità positiva di cedere il gioco di San Pietroburgo ha un'utilità attesa infinita. Pertanto, secondo la teoria dell'utilità attesa, dovresti preferire qualsiasi possibilità di giocare al gioco di San Pietroburgo, per quanto snella, a qualsiasi somma finita di denaro, per quanto grande.

Nover e Hájek (2004) sostengono che oltre al gioco di San Pietroburgo, che ha un'utilità attesa infinita, ci sono altri giochi infiniti le cui utilità previste sono indefinite, anche se la razionalità impone alcune preferenze tra loro.

Una risposta a questi giochi infiniti problematici è quella di sostenere che i problemi di decisione stessi sono mal posti (Jeffrey (1983, 154); un altro è quello di adottare una versione modificata della teoria dell'utilità attesa che concorda con i suoi verdetti nel caso ordinario, ma cede verdetti intuitivamente ragionevoli sui giochi infiniti (Thalos e Richardson 2013) (Fine 2008) (Colyvan 2006, 2008) (Easwaran 2008).

4. Applicazioni

4.1 Economia e politiche pubbliche

Negli anni '40 e '50, la teoria dell'utilità attesa ha guadagnato valuta negli Stati Uniti per il suo potenziale di fornire un meccanismo che spiegherebbe il comportamento delle variabili macroeconomiche. Poiché è diventato evidente che la teoria dell'utilità attesa non prevedeva con precisione i comportamenti delle persone reali, i suoi sostenitori hanno invece avanzato l'idea che potrebbe servire invece come teoria di come le persone razionali dovrebbero rispondere all'incertezza (vedi Herfeld 2017).

La teoria dell'utilità attesa ha una varietà di applicazioni nelle politiche pubbliche. Nell'economia del benessere, Harsanyi (1953) ragiona dalla teoria dell'utilità attesa all'affermazione che l'accordo più socialmente giusto è quello che massimizza il benessere totale distribuito in una società della società. La teoria dell'utilità attesa ha anche applicazioni più dirette. Howard (1980) introduce il concetto di micromort, o una possibilità su un milione di morti, e usa i calcoli di utilità previsti per valutare quali rischi di mortalità sono accettabili. Nella politica sanitaria, gli anni di vita adeguati alla qualità, o QALY, sono misure delle utilità previste dei diversi interventi sanitari utilizzati per guidare la politica sanitaria (vedere Weinstein et al 2009). McAskill (2015) utilizza la teoria dell'utilità attesa per affrontare la questione centrale dell'altruismo efficace:"Come posso fare il meglio?" (Le utilità in queste applicazioni sono interpretate in modo più naturale come misurando qualcosa come la felicità o il benessere, piuttosto che la soddisfazione soggettiva delle preferenze per un singolo agente.)

Un'altra area in cui la teoria dell'utilità attesa trova applicazioni è quella delle vendite assicurative. Come i casinò, le compagnie assicurative assumono rischi calcolati con l'obiettivo di un guadagno finanziario a lungo termine e devono tener conto della possibilità di fallire nel breve periodo.

4.2 Etica

Gli utilitaristi, insieme ai loro consequenzialisti contemporanei discendenti, ritengono che la giustezza o l'erroneità di un atto sia determinata dalla bontà o dalla cattiveria morale delle sue conseguenze. Alcuni consequenzialisti, come (Railton 1984), interpretano ciò nel senso che dovremmo fare qualunque cosa abbia effettivamente le migliori conseguenze. Ma è difficile, forse impossibile, conoscere le conseguenze a lungo termine dei nostri atti (Lenman 2000, Howard-Snyder 2007). Alla luce di questa osservazione, Jackson (1991) sostiene che l'atto giusto è quello con il più grande valore morale previsto, non quello che in realtà produrrà le migliori conseguenze.

Come osserva Jackson, il valore morale atteso di un atto dipende dalla funzione di probabilità con cui lavoriamo. Jackson sostiene che, mentre ogni funzione di probabilità è associata a un "dovere", il "dovere" che conta di più per l'azione è quello associato al grado di credenza del decisore al momento dell'azione. Altri autori rivendicano la priorità per altri "oughts": Mason (2013) favorisce la funzione di probabilità che è più ragionevole che l'agente adotti in risposta alle sue prove, dati i suoi limiti epistemici, mentre Oddie e Menzies (1992) favoriscono la funzione di opportunità oggettiva come misura di correttezza oggettiva. (Si appellano a una funzione di probabilità più complicata per definire una nozione di "correttezza soggettiva" per i decisori che ignorano le possibilità oggettive.)

Altri ancora (Smart 1973, Timmons 2002) sostengono che anche se dovessimo fare qualunque cosa avesse le migliori conseguenze, la teoria dell'utilità attesa può svolgere il ruolo di una procedura decisionale quando non siamo sicuri delle conseguenze delle nostre azioni. Feldman (2006) obietta che i calcoli dell'utilità previsti sono orribilmente poco pratici. Nella maggior parte delle decisioni della vita reale, i passaggi necessari per calcolare le utilità previste vanno oltre la nostra comprensione: elencare i possibili risultati dei nostri atti, assegnare a ciascun risultato un'utilità e una probabilità condizionale dati a ciascun atto ed eseguire l'aritmetica necessaria ai calcoli attesi dell'utilità.

La versione del consequenzialismo che massimizza l'utilità attesa non è strettamente una teoria della scelta razionale. È una teoria della scelta morale, ma se la razionalità ci impone di fare ciò che è moralmente migliore è in discussione.

4.3 Epistemologia

La teoria dell'utilità attesa può essere utilizzata per affrontare questioni pratiche in epistemologia. Una di queste domande è quando accettare un'ipotesi. In casi tipici, l'evidenza è logicamente compatibile con molteplici ipotesi, comprese le ipotesi a cui fornisce scarso supporto induttivo. Inoltre, gli scienziati in genere non accettano solo le ipotesi più probabili alla luce dei loro dati. Quando è probabile un'ipotesi abbastanza da meritare l'accettazione?

I bayesiani, come Maher (1993), suggeriscono che questa decisione debba essere presa per motivi di utilità previsti. Se accettare un'ipotesi è un problema decisionale, con l'accettazione e il rifiuto come atti. Può essere catturato dalla seguente matrice decisionale:

stati
l'ipotesi è vera l'ipotesi è falsa
atti accettare accetta correttamente accetta erroneamente
rifiutare rifiutare erroneamente rifiutare correttamente

Sulla definizione di Savage, l'utilità attesa di accettare l'ipotesi è determinata dalla probabilità dell'ipotesi, insieme alle utilità di ciascuno dei quattro risultati. (Possiamo aspettarci che la definizione di Jeffrey sia d'accordo con quella di Savage sul plausibile presupposto che, date le prove in nostro possesso, l'ipotesi è probabilisticamente indipendente dal fatto che la accettiamo o la rifiutiamo.) Qui, le utilità possono essere intese come valori puramente epistemici, dal momento che è epistemicamente prezioso credere a verità interessanti e rifiutare le menzogne.

I critici dell'approccio bayesiano, come Mayo (1996), obiettano che non è possibile dare ragionevole probabilità alle ipotesi scientifiche. Mayo sostiene che per assegnare una probabilità utile a un evento, abbiamo bisogno di prove statistiche sulle frequenze di eventi simili. Ma le ipotesi scientifiche sono vere una volta per tutte o false una volta per tutte: non esiste una popolazione di mondi come la nostra da cui possiamo trarre in modo significativo statistiche. Né possiamo usare le probabilità soggettive per scopi scientifici, dal momento che ciò sarebbe inaccettabilmente arbitrario. Pertanto, le utilità previste per l'accettazione e il rifiuto non sono definite e dovremmo utilizzare i metodi delle statistiche tradizionali, che si basano sul confronto delle probabilità delle nostre prove in base a ciascuna delle ipotesi.

La teoria dell'utilità attesa fornisce anche indicazioni su quando raccogliere prove. Good (1967) sostiene per motivi di utilità previsti che è sempre razionale raccogliere prove prima di agire, a condizione che le prove siano gratuite. L'atto con l'utilità più alta attesa dopo che sono state presentate le prove aggiuntive sarà sempre valido almeno quanto l'atto con l'utilità più alta prevista in anticipo.

Nella teoria delle decisioni epistemiche, le utilità previste sono utilizzate per valutare gli stati di convinzione come razionali o irrazionali. Se pensiamo alla formazione delle credenze come un atto mentale, fatti sui contenuti delle credenze dell'agente come eventi e vicinanza alla verità come caratteristica desiderabile dei risultati, allora possiamo usare la teoria dell'utilità attesa per valutare i gradi di credenza in termini di aspettative vicinanza alla verità. La voce sugli argomenti di utilità epistemica per il probabilismo include una panoramica degli argomenti di utilità previsti per una varietà di norme epistemiche, tra cui la condizionalizzazione e il Principio principale.

4.4 Legge

Kaplan (1968) sostiene che le attese considerazioni di utilità possono essere utilizzate per fissare uno standard di prova nei processi legali. Una giuria che decide se assolvere o condannare affronta il seguente problema decisionale:

stati
colpevole innocente
atti galeotto vera convinzione falsa convinzione
assolvere falsa assoluzione vera assoluzione

Kaplan mostra che (UE (condannato)> UE (assoluzione)) ogni volta

[P (colpevole)> / frac {1} {1+ / frac {U (mathrm {true ~ conviction}) - U (mathrm {false ~ acquittal})} {U (mathrm {true ~ assoluzione}) -U (mathrm {false ~ conviction})}})

Qualitativamente, questo significa che lo standard di prova aumenta all'aumentare della disutilità nel condannare una persona innocente ((U (mathrm {true ~ conviction}) - U (mathrm {false ~ assoluzione}))), oppure all'aumentare la disutilità di assolvere un colpevole ((U (mathrm {true ~ assoluzione}) - U (mathrm {false ~ conviction}))) diminuisce.

I critici di questo approccio teorico-decisionale, come Laudan (2006), sostengono che è difficile o impossibile colmare il divario tra le prove ammissibili in tribunale e la reale probabilità di colpa dell'imputato. La colpa della probabilità dipende da tre fattori: la distribuzione della colpa apparente tra i veri colpevoli, la distribuzione della colpa apparente tra i genuinamente innocenti e il rapporto tra imputati sinceramente colpevoli e imputati sinceramente innocenti che vengono processati (vedi Bell 1987). Gli ostacoli al calcolo di uno di questi fattori bloccheranno l'inferenza dalla percezione della colpa apparente di un giudice o della giuria a una vera probabilità di colpa.

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Altre risorse Internet

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