Ramsey E Intergenerational Welfare Economics

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Ramsey e Intergenerational Welfare Economics

Pubblicato per la prima volta sabato 1 giugno 2019

Come dovremmo concettualizzare il benessere umano nel tempo e attraverso le generazioni? Come dovrebbero essere presi in considerazione gli interessi delle persone in un futuro lontano quando prendiamo le nostre decisioni? Quanto della sua produzione dovrebbe investire una nazione per il futuro? In quali attività dovrebbe essere effettuato tale investimento? Quale dovrebbe essere l'equilibrio tra investimenti privati, pubblici e comunitari nell'investimento complessivo che una generazione fa per il futuro? Quanto dovrebbe spendere il mondo per contrastare il cambiamento climatico globale?

In un articolo straordinario Frank Ramsey ha sviluppato un framework in cui ciascuna di queste domande può essere studiata in una forma sufficientemente precisa e trattabile per ottenere risposte (Ramsey, 1928). Il suo approccio era quello di applicare il calcolo classico-utilitario per identificare la migliore corrispondenza tra flussi di utilità raggiungibili e desiderabili nel tempo e attraverso le generazioni. Sebbene oggi molto famoso, il documento non ha avuto alcun impatto iniziale. Alcuni economisti hanno attribuito la mancanza di interesse al carattere tecnico del documento. Nel rispondere alla domanda che ha posto ("Quanta parte della produzione di una nazione dovrebbe salvare?"), Ramsey ha dovuto usare il calcolo delle variazioni. Non c'è dubbio che pochi economisti conoscessero quindi i tecnicismi richiesti. Ma è difficile immaginare che non ci fossero economisti in grado di apprendere la matematica necessaria se avessero voluto farlo. La ragione per cui l'interesse per il giornale di Ramsey era scarso altrove. Negli anni successivi alla pubblicazione, un periodo ora noto come The Great Depression, il problema economico centrale nei paesi industrializzati era trovare modi per aumentare l'occupazione. Le fabbriche rimangono inattive, così come le persone. Il tasso di disoccupazione in Europa e negli Stati Uniti era nella regione del 25%. Le politiche necessarie allora hanno avuto a che fare con la creazione di incentivi per i datori di lavoro per assumere lavoratori. Anche se ci sono state controversie tra gli economisti su come dovrebbero essere queste politiche, nessuno dubitava che le società industrializzate dovessero affrontare un problema a breve termine. Al contrario, Ramsey ha affrontato una domanda a lungo termine; e, per avere un problema ordinato da analizzare, lo prese come dato che c'è piena occupazione ad ogni data sia del capitale che del lavoro.

Con l'emergere delle nazioni post-coloniali a seguito della seconda guerra mondiale, lo sviluppo economico a lungo termine divenne prominente negli studi economici. All'inizio degli anni '60 era diventato chiaro che l'articolo di Ramsey è il naturale punto di partenza per studiare l'economia del benessere a lungo termine, non solo per perseguire uno sviluppo ottimale nelle economie pianificate centralmente (Chakravarty, 1969), ma anche per l'uso nei costi sociali. analisi dei benefici degli investimenti pubblici nelle economie miste (Arrow e Kurz, 1970), la scelta della tecnologia nelle economie in surplus di manodopera (Little and Mirrlees, 1968, 1974) e, più recentemente, l'economia del benessere del cambiamento climatico (Cline, 1992; Nordhaus, 1994; Stern, 2007). Il numero di piste tracciate da Ramsey era notevole. In economia accademica è una delle decine di articoli più influenti del 20 ° secolo.

L'utilitarismo classico prende il bene di essere il valore atteso della somma delle utenze nel tempo e attraverso le generazioni (Sidgwick, 1907). La formulazione di Ramsey fu costruita su quel ragionamento morale. Ha anche usato il termine "godimento" per interpretare l'utilità. L'articolo incarna il tipo di deliberazione etica che Sen e Williams (1982) chiamarono "Utilitarismo della Casa del Governo". Ma l'articolo di Ramsey prospera oggi perché Government House ha bisogno di una guida etica che non sia un supporto per i funzionari pagati per agire in modo nepotistico, non importa se predatori, ma sono invece imparziali rispetto ai bisogni e alla sensibilità delle persone. Sebbene Ramsey usasse il linguaggio utilitaristico, una generosa lettura del suo articolo dice che si sarebbe guadagnato molto se, invece di "godimento", dovessimo lavorare con la più ampia nozione di "benessere"."Una tale mossa consente di prestare maggiore attenzione ai fattori, siano essi materiali o meno, che creano vite fiorenti.

  • 1. Possibilità di produzione nella formulazione di Ramsey
  • 2. Il calcolo classico-utilitario

    2.1 Attualizzazione zero dei futuri benessere

  • 3. Il problema del risparmio ottimale

    • 3.1 Utilitarismo non scontato
    • 3.2 Ri-normalizzare l'utilitarismo non scontato
    • 3.3 Il criterio del sorpasso
    • 3.4 Utilitarismo scontato
  • 4. La regola di Ramsey e le sue ramificazioni

    • 4.1 L'argomento variazionale
    • 4.2 Incompletità nell'analisi di Ramsey
    • 4.3 La condizione di trasversalità
    • 4.4 Stime numeriche del tasso ottimale di risparmio
    • 4.5 Commento
  • Bibliografia
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  • Altre risorse Internet
  • Voci correlate

1. Possibilità di produzione nella formulazione di Ramsey

L'obiettivo di Ramsey era pratico: "Quanto della produzione di una nazione dovrebbe salvare per il futuro?" Il profilo demografico nel tempo è stato preso da lui per essere dato, il che significa che il numero futuro di persone è stato visto come esogeno e prevedibile. Dobbiamo quindi immaginare che le politiche economiche abbiano un effetto trascurabile sul comportamento riproduttivo (ma si veda Dasgupta, 1969, per uno studio del problema congiunto popolazione / risparmio, usando l'utilitarismo classico come principio guida). Parfit (1984) battezzò le scelte che coinvolgono lo stesso profilo demografico, "Stesse scelte di numeri".

Gli ingredienti della teoria di Ramsey sono i benessere della vita degli individui. Government House nel suo mondo massimizza la somma attesa degli esseri viventi della vita di tutti coloro che sono qui oggi e di tutti coloro che nasceranno, soggetti a vincoli di risorse. La distribuzione ottimale di esseri vitali a vita tra le generazioni deriva da questo esercizio di massimizzazione. Certo, il passare del tempo non è lo stesso dell'avanzare delle generazioni. Il benessere della vita di un individuo è un aggregato del flusso di benessere che sperimenta, mentre il benessere intergenerazionale è un aggregato dei benessere della vita di tutti coloro che appaiono sulla scena. È dubbio che i due aggregati debbano avere la stessa forma funzionale. D'altra parte, ci sono poche prove che suggeriscono che saremmo molto lontani dal presupporre che abbiano la stessa forma. In termini di etica pratica, aiuta enormemente ad approssimarsi non distinguendo la forma funzionale del benessere di qualcuno nel tempo da quella del benessere tra le generazioni. Ramsey ha adottato questa scorciatoia. Anche le persone erano identiche, quindi possiamo anche supporre che ci sia un singolo individuo in ogni data. La mossa rimuove qualsiasi distinzione tra tempo e generazioni. Un'interpretazione alternativa ci farebbe immaginare che l'economia consista di un'unica dinastia, in cui i genitori di ogni generazione lasciano lasciti ai loro figli (Meade, 1966, adottò questa interpretazione). Ramsey ha anche ipotizzato, probabilmente perché la matematica è più semplice, che il tempo è una variabile continua, non discreta.aiuta enormemente ad approssimarsi non distinguendo la forma funzionale del benessere di qualcuno nel tempo da quella del benessere tra le generazioni. Ramsey ha adottato questa scorciatoia. Anche le persone erano identiche, quindi possiamo anche supporre che ci sia un singolo individuo in ogni data. La mossa rimuove qualsiasi distinzione tra tempo e generazioni. Un'interpretazione alternativa ci farebbe immaginare che l'economia consista di un'unica dinastia, in cui i genitori di ogni generazione lasciano lasciti ai loro figli (Meade, 1966, adottò questa interpretazione). Ramsey ha anche ipotizzato, probabilmente perché la matematica è più semplice, che il tempo è una variabile continua, non discreta.aiuta enormemente ad approssimarsi non distinguendo la forma funzionale del benessere di qualcuno nel tempo da quella del benessere tra le generazioni. Ramsey ha adottato questa scorciatoia. Anche le persone erano identiche, quindi possiamo anche supporre che ci sia un singolo individuo in ogni data. La mossa rimuove qualsiasi distinzione tra tempo e generazioni. Un'interpretazione alternativa ci farebbe immaginare che l'economia consista di un'unica dinastia, in cui i genitori di ogni generazione lasciano lasciti ai loro figli (Meade, 1966, adottò questa interpretazione). Ramsey ha anche ipotizzato, probabilmente perché la matematica è più semplice, che il tempo è una variabile continua, non discreta.quindi possiamo anche supporre che ci sia un singolo individuo in ogni data. La mossa rimuove qualsiasi distinzione tra tempo e generazioni. Un'interpretazione alternativa ci farebbe immaginare che l'economia consista di un'unica dinastia, in cui i genitori di ogni generazione lasciano lasciti ai loro figli (Meade, 1966, adottò questa interpretazione). Ramsey ha anche ipotizzato, probabilmente perché la matematica è più semplice, che il tempo è una variabile continua, non discreta.quindi possiamo anche supporre che ci sia un singolo individuo in ogni data. La mossa rimuove qualsiasi distinzione tra tempo e generazioni. Un'interpretazione alternativa ci farebbe immaginare che l'economia consista di un'unica dinastia, in cui i genitori di ogni generazione lasciano lasciti ai loro figli (Meade, 1966, adottò questa interpretazione). Ramsey ha anche ipotizzato, probabilmente perché la matematica è più semplice, che il tempo è una variabile continua, non discreta.non discreto.non discreto.

Lascia che (t / ge 0) indichi il tempo. Nel modello di Ramsey non c'è incertezza (ma vedi Levhari e Srinivasan, 1969, per una delle prime estensioni del modello di Ramsey che incorporano l'incertezza sulle possibilità future). L'economia è dotata di un unico prodotto non deprezzante che può essere lavorato dal lavoro per produrre output in ogni data (Gale, 1967 e Brock, 1973, furono tra le prime di molte estensioni del modello Ramsey che contengono una collezione eterogenea di beni capitali). Si presume che l'economia sia chiusa al commercio internazionale (l'apertura dell'economia al commercio comporta solo una piccola estensione del modello di Ramsey). Ciò significa che parte dell'output può essere investito in modo da aggiungere allo stock delle materie prime mentre il resto può essere consumato immediatamente. Chiamiamo lo stock della merce che serve a produrre output, “capitale. Il problema è quindi quello di trovare l'allocazione ottimale della produzione ad ogni data tra consumo e investimento.

Ramsey pensava che il lavoro fosse spiacevole. Ma poiché includere la disutilità del lavoro nel nostro resoconto del suo lavoro non aggiungerebbe nulla di sostanziale, supponiamo che l'offerta di lavoro sia una costante data esogena (ad esempio, è indipendente dai salari che il lavoro può richiedere). Ciò ci consente di sopprimere l'offerta di lavoro sia nella produzione sia i fattori che incidono sul benessere.

Se (K) è lo stock di capitale della sola e unica merce dell'economia, l'output è considerato (F (K)), dove (F (0) = 0) (ovvero, l'output è zero se non c'è capitale), (dF (K) / dK / gt 0) (ovvero, il prodotto marginale del capitale è positivo) e (d ^ 2 F (K) / dK ^ 2 / le 0) (ovvero, il prodotto marginale di (K) non aumenta con (K)). (F (K)) è un flusso (produzione in un momento nel tempo), al contrario di (K), che è uno stock (quantità di capitale, periodo). Si noti inoltre che la produzione dipende esclusivamente dallo stock di capitale. Non si fa menzione di possibili miglioramenti della qualità del capitale o del lavoro. Pertanto, non vi è alcuna prospettiva di progresso tecnologico o accumulo di capitale umano nel modello di Ramsey (ma si veda Mirrlees, 1967,per una delle prime di molte estensioni del modello Ramsey che includono i progressi tecnologici nella produzione e nella formazione del capitale umano); né ci sono risorse naturali nel modello (ma vedi Dasgupta e Heal, 1974, per una delle prime estensioni del modello Ramsey che includono il capitale naturale nella produzione).

Sia (C (t)) il consumo a (t). È un flusso (unità di consumo per momento). Allo stesso modo, scriviamo (K (t)) per lo stock di capitale in (t). Poiché (dK (t) / dt) è il tasso di variazione del capitale sociale a (t), è anche "investimento netto a (t)", che è anch'esso un flusso. E poiché si presume che il capitale sociale non si deprezzi, l'investimento lordo equivale all'investimento netto.

Nel modello di Ramsey la produzione prevista in ogni momento equivale alla somma degli investimenti previsti e dei consumi previsti. Le intenzioni sono sempre realizzate. Per dirla in un linguaggio tecnico, l'economia è in equilibrio in ogni momento, il che è un altro modo di dire che in ogni momento il risparmio previsto equivale all'investimento previsto. (Il presupposto non ha bisogno di spiegazioni in un modello con un singolo agente, ma ha un vero morso in un mondo in cui i risparmiatori non sono gli stessi agenti degli investitori.) Si presume che il capitale sia sempre completamente distribuito e manodopera (che è nascosta nella produzione la funzione (F (K))) è considerata pienamente utilizzata. L'output in (t) è (F (K (t))). Ne consegue che l'economia è guidata dall'equazione dinamica

(tag {1} frac {dK (t)} {dt} = F (K (t)) - C (t))

L'equazione (1) dice che se il consumo è (C (t)), l'investimento è ciò che rimane della produzione. Quindi, il problema di Ramsey può essere definito allo stesso modo, "Quanto della produzione di una nazione dovrebbe consumare?" Se il consumo è inferiore alla produzione a (t) (cioè, (C (t) lt F (K (t))), l'investimento è positivo (cioè, (dK (t) / dt / gt 0)) e lo stock di capitale aumenta; ma se il consumo supera la produzione a (t), l'investimento è negativo, il che significa che il capitale viene assorbito e lo stock diminuisce (ovvero, (dK (t) / dt / lt 0).) Ora immaginiamo che Government House sia consigliato da un "cittadino socialmente interessato", la persona che è qualcuno che sta cercando di determinare il giusto equilibrio tra il consumo e gli investimenti dell'economia ad ogni data. Chiameremo quella persona la decisione produttore o DM Ramsey immaginava che DM fosse un classico-utilitario.

2. Il calcolo classico-utilitario

L'utilitarismo classico identifica il bene come la somma attesa del benessere nel tempo e attraverso le generazioni. Ecco Sidgwick (1907: 414) sull'argomento:

Sembra … chiaro che il tempo in cui un uomo esiste non può influenzare il valore della sua felicità dal punto di vista universale; e che gli interessi dei posteri devono riguardare un Utilitario tanto quanto quelli dei suoi contemporanei, tranne nella misura in cui l'effetto delle sue azioni sui posteri - e persino l'esistenza degli esseri umani da colpire - deve essere necessariamente più incerto. (Corsivo aggiunto)

Per formalizzare questo, consideriamo una data arbitraria (t) in cui DM sta deliberando. Consentiamo a (tau) di indicare date non precedenti a (t) (ovvero, (tau / ge t)). Ramsey considerava un mondo deterministico e vissuto all'infinito (ma vedi Yaari, 1965, per la prima di molte estensioni del modello di Ramsey che incorporano il rischio di estinzione individuale o sociale). Si presume che il benessere sia una quantità numerica. Sia (U (t)) il benessere a (t), e sia (V (t)) una misura aggregata del flusso di benessere attraverso il tempo e le generazioni, come valutato alla volta (t). Ramsey ha seguito Sidgwick nel presupporre che

(tag {2} V (t) = / int ^ { infty} _t [U (tau)] d / tau)

(V (t)) è benessere intergenerazionale a (t). Poiché il mondo di Ramsey è deterministico, (V (t)) è anche il valore atteso di (V (t)). Quindi il criterio di Sidgwick è il (V (t)) nell'equazione (2).

Si presuppone che il benessere in una determinata data sia una funzione del solo consumo a quella data. Pertanto scriviamo (U (t) = U (C (t))). Ramsey ha ipotizzato che il benessere marginale sia positivo (cioè, (dU (C) / dC / gt 0)) ma diminuisce con l'aumentare dei livelli di consumo (cioè, (d ^ 2 U (C) / dC ^ 2 / lt 0)). Quest'ultima proprietà implica che (U (C)) è una funzione strettamente concava. (Edgeworth, 1885, aveva sistematizzato l'idea che il benessere marginale diminuisca con l'aumentare dei consumi.) Pertanto l'equazione (2) può essere scritta come

(tag {3} V (t) = / int ^ { infty} _t [U (C (tau))] d / tau)

L'utilitarismo classico, come indicato nell'equazione (3), richiede che se (U) è una misura numerica del benessere, allora lo è anche (alpha U + / beta), dove (alpha) è un numero positivo e (beta) è un numero di entrambi i segni. Formalmente, diciamo che (U) è unico fino a "trasformazioni affini positive". Confermiamo attualmente che le raccomandazioni della teoria sono invarianti sotto tali trasformazioni.

2.1 Attualizzazione zero dei futuri benessere

Nell'equazione (3), i valori futuri di (U) non sono scontati se visti dal momento presente, (t). Questa particolare mossa ha suscitato più dibattiti tra economisti e filosofi rispetto a qualsiasi altra caratteristica della teoria del risparmio ottimale di Ramsey. Talvolta il dibattito è stato più acuto di quanto anche noi economisti siamo abituati (vedi in particolare Nordhaus, 2007). A rischio di generalizzare selvaggiamente, gli economisti hanno favorito l'uso di tassi positivi per attualizzare i futuri esseri umani (ad esempio, Arrow e Kurz, 1970), mentre i filosofi hanno insistito sul fatto che il benessere delle persone future dovrebbe avere lo stesso peso di quella dei presenti (es. Parfit, 1984).

Come sarebbe l'utilitarismo classico con l'attualizzazione positiva dei futuri esseri umani? Sia (delta / gt 0) il tasso al quale si ritiene desiderabile scontare i futuri esseri del benessere (per semplicità consideriamo il tasso di sconto costante). Quindi, al posto delle equazioni (2) - (3), il benessere intergenerazionale a (t), leggerebbe come

(tag {4} begin {align} V (t) & = / int ^ { infty} _t [U (tau) e ^ {- / delta (tau -t)}] d / tau & = / int ^ { infty} _t [U (C (tau)) e ^ {- / delta (tau -t)}] d / tau, t / ge 0 \\ / end {align}]

Nell'equazione (4), (delta) il "tasso di sconto temporale" e (e ^ {- / delta}) il risultante "fattore di sconto temporale".

(delta / gt 0) implica (e ^ {- / delta} lt 1). Ciò significa che (e ^ {- / delta (tau -t)}) tende a zero in modo esponenziale come (tau) tende all'infinito. Nell'ultima parte del suo lavoro Ramsey (1928: 553–555) ha usato l'equazione (4) per studiare il problema del risparmio ottimale, ma non ha approvato la formulazione. Invece, scrisse (p. 543) che scartare quelli successivi (U) rispetto a quelli precedenti è "… eticamente indifendibile e deriva semplicemente dalla debolezza dell'immaginazione". In un libro che ha inaugurato lo studio formale dello sviluppo economico, Harrod (1948: 40) ha seguito l'esempio definendo la pratica "… espressione educata per la rapacità e la conquista della ragione per passione".

Parole forti, ma per alcuni economisti, la stenosi di Ramsey-Harrod in un mondo deterministico sembra una pronuncia della domenica. Solow (1974a: 9) espresse questo sentimento esattamente quando scrisse: "Nel solenne conclave riunito, per così dire, dovremmo agire come se il [tasso di sconto sui futuri esseri umani] fosse zero".

Ma la questione non può essere risolta senza uno studio delle possibilità di produzione e consumo aperte a un'economia. Considera la seguente tensione tra due serie di considerazioni:

  1. I bassi tassi di consumo da generazioni sufficientemente lontani nel futuro non sarebbero considerati un male dall'attuale DM se i futuri esseri umani fossero scontati a un tasso positivo. Quindi il DM di oggi raccomanderebbe alti tassi di consumo per ora e per il prossimo futuro, anche se ciò significasse che generazioni in un futuro lontano vivrebbero in prigione. Ma se una tale politica fosse seguita, le richieste di un ulteriore requisito morale all'utilitarismo classico che DM potrebbe avere, vale a dire "equità intergenerazionale", non sarebbero soddisfatte. Pertanto, dovremmo seguire Ramsey e non scartare i futuri benessere.
  2. Scrivi (dF (K) / dK) come (F_K). Dall'equazione (1) è semplice dedurre che (F_K) è il tasso di ritorno sull'investimento. Nell'economia di Ramsey (F_K / gt 0), il che significa che ogni unità di output che viene salvata produce più di un'unità di consumo futuro, altre cose uguali. Ad esempio, se DM dovesse ridurre il consumo a (t) di un'unità, il consumo aggiuntivo che sarebbe disponibile nel più breve dei periodi successivi - lo scriviamo come (Delta t) - senza influenzare il consumo in alcun modo la data futura sarebbe (1+ [dF (K (t)) / dK (t)] Delta t). La produttività del capitale è quindi legata alla freccia del tempo, che crea una propensione a favore delle generazioni future. Questo pregiudizio dà morso al detto: "Possiamo fare qualcosa per i posteri,ma cosa può mai fare i posteri per noi?” Nasce inevitabilmente l'idea che forse la distorsione dovrebbe essere contrastata nel calcolo di DM se una certa attenzione dovesse essere prestata da lei all'equità intergenerazionale nel benessere realizzato come supplemento all'utilitarismo classico. Ciò a sua volta suggerisce che DM dovrebbe abbandonare Ramsey e scontare i futuri esseri umani a un ritmo positivo.

La forza di ogni considerazione è stata dimostrata nella letteratura economica. È stato dimostrato nel contesto di un modello semplice che se la produzione richiede capitale prodotto e risorse esauribili, il consumo ottimale diminuisce a zero nel lungo periodo se i futuri esseri umani vengono scontati a un tasso positivo (Dasgupta e Heal, 1974), ma aumenta indefinitamente se seguiamo Ramsey nel non attualizzare i futuri esseri umani (Solow, 1974b). Gli esercizi ci dicono che le caratteristiche a lungo termine delle politiche di risparmio ottimali dipendono dalle dimensioni relative del tasso a cui i futuri esseri umani sono scontati e dalla produttività a lungo termine delle attività di capitale.

C'è un punto più generale qui, che è stato esplorato da Koopmans (1960, 1965, 1967, 1972) in una notevole serie di pubblicazioni sull'idea di sviluppo economico. In esercizi così complessi come quelli che coinvolgono il consumo e gli investimenti per un lungo orizzonte di tempo, è assurdo considerare qualsiasi principio etico (ad es. L'utilitarismo classico) come sacrosanto. Non si può mai sapere in anticipo su cosa potrebbe incorrere. Una tattica più giudiziosa di quella di Ramsey sarebbe quella di mettere in scena una serie di ipotesi etiche contro un'altra in mondi non implausibili, vedere quali sono le loro implicazioni per la distribuzione del benessere tra generazioni e quindi fare appello ai nostri sensi intuitivi prima di discutere politica. Stabilire ex ante se utilizzare un tasso positivo per attualizzare i futuri benessere potrebbe essere una mossa autolesionista. [1]

3. Il problema del risparmio ottimale

Ramsey considerava un mondo con un futuro indefinito. Potrebbe sembrare una mossa strana, ma ha una forte logica. Supponiamo che i DM dovessero scegliere un orizzonte di (T) anni. Dato che non sa quando finirà il nostro mondo, vorrà specificare le risorse che dovrebbero essere lasciate indietro a (T) nel caso in cui il mondo non finisca allora. Ma per trovare una giustificazione dell'importo da lasciare a (T), DM avrà bisogno di una valutazione del mondo oltre (T). Ciò, tuttavia, equivarrebbe a includere il mondo oltre (T). E così via.

Indica un flusso di consumo dal presente ((t = 0)) all'infinito come ({C (t) }.) (K (0) gt 0) circoscrive l'economia; è la quantità di capitale che la società ha ereditato dal passato. I matematici chiamerebbero (K (0)) una "condizione iniziale". Il problema che Ramsey si era posto era determinare il flusso di consumo ({C (t) }) da 0 a infinito che DM avrebbe scelto se fosse una Utilitaria classica.

3.1 Utilitarismo non scontato

Chiamare fattibile un flusso di consumo ({C (t) }) se soddisfa l'equazione (1) con la condizione iniziale (K (0)). Nel mondo deterministico di Ramsey la formulazione Utilitaria Classica del problema del risparmio nazionale ottimale alla data (t = 0) è quindi:

Dall'insieme di tutti i flussi di consumo possibili, trova quel ({C (t) }) che massimizza

[V (0) = / int ^ { infty} _0 [U (C (t))] dt.”)

Chiameremo questo problema di ottimizzazione, Ramsey Mark I.

Vi è una grave difficoltà con Ramsey Mark I: non è coerente. Le somme infinite non convergono necessariamente. Per qualsiasi ({C (t) }) per cui l'integrale infinito non converge, (V (0)) non esiste. Se l'integrale non è convergente per tutti i flussi di consumo possibili ({C (t) }), il problema della massimizzazione non ha senso: non si può massimizzare qualcosa che sembra essere una funzione con valore reale (V (0)) quando in realtà la funzione non esiste.

La forza di questa osservazione può essere vista in

Esempio 1 (attribuito a David Gale)

Supponiamo come un caso speciale estremo dell'economia Ramsey, (F (K) = 0) per tutti (K / ge 0). Quindi l'equazione (1) si riduce a

(tag {5} frac {dK (t)} {dt} = - C (t))

L'economia descritta nell'equazione (5) è costituita da un pezzo di torta non deteriorante, di dimensioni (K (0) gt 0) alla data iniziale. È ovvio che ogni flusso di consumo ({C (t) }) equazione soddisfacente (5) tende a zero nel lungo periodo. Formalmente, (C (t) rightarrow 0) come (t / rightarrow / infty).

Poiché la funzione (U) è unica fino alle trasformazioni affini positive, possiamo senza alcuna perdita di generalità normalizzarla in modo che (U (0) ne 0). È quindi ovvio che per quanto possibile ({C (t) }), (V (0)) in Ramsey Mark I diverge in meno infinito se (U (0) lt 0), ma diverge in più infinito se (U (0) gt 0). Che una politica ottimale non esista nel modello del mangiare la torta può essere visto se ora ricordiamo che (U (C)) è stato assunto come strettamente concavo. L'ipotesi implica che qualsiasi distribuzione non egualitaria del consumo tra le generazioni può essere migliorata mediante un'adeguata ridistribuzione. La distribuzione ideale sarebbe uguale consumo per tutte le generazioni. L'unico flusso di consumo con quest'ultima proprietà è (C (t) = 0) per tutti (t). Ma questa è la peggiore distribuzione possibile. QED

3.2 Ri-normalizzare l'utilitarismo non scontato

Si pone la questione se vi siano circostanze in cui esiste un flusso di consumo migliore anche se (V (0)) non converge per tutti i flussi di consumo. Ramsey ha formulato la domanda alterando il modo in cui si pone il problema di salvataggio.

Immagina che il benessere sia limitato al di sopra, non importa quanto sia grande il consumo. Sia (U) la misura numerica del benessere con cui DM sceglie di lavorare. (Tutte le trasformazioni affini positive di (U) sarebbero ugualmente misure legittime di benessere. Sia (B) il limite superiore più basso di (U). Ramsey lo battezzò "Beatitudine". Poiché il tasso di ritorno sull'investimento ((F_K)) nel suo modello è positivo, i consumi crescerebbero indefinitamente e tenderebbero all'infinito a lungo termine se i tassi di risparmio fossero opportunamente scelti. Ciò significa che ci sono possibili percorsi di sviluppo economico in cui (U (C (t))) tendono a (B) nel lungo periodo. Ma ciò implica che ci sono possibili percorsi di sviluppo economico in cui la caduta corta di (U (C (t))) da (B) tende a zero nel lungo periodo. Se la caduta corta tende a zero abbastanza velocemente,l'integrale non scontato della differenza tra (U (C (t))) e (B) esisterebbe e DM potrebbe cercare di massimizzare l'integrale modificato. Quindi abbiamo Ramsey Mark II, che recita come

Dall'insieme di tutti i flussi di consumo possibili, trova quel ({C (t) }) che massimizza

[V (0) = / int ^ { infty} _0 [U (C (t)) - B] dt.”)

Si noti che Mark II è una trasformazione di Mark I. La trasformazione equivale a ri-normalizzare il criterio di ottimalità. Non solo il passaggio da Marco I a Marco II da parte di Ramsey era geniale, ma mostrava anche la sua integrità morale. Sarebbe stato abbastanza facile per lui chiedere a DM invece di attualizzare i consumi futuri ed espandere la gamma di circostanze in cui l'utilitarismo fornisce una risposta al problema che DM sta cercando di risolvere. Ha scelto di non farlo.

L'intuizione di Ramsey nel passaggio da Mark I a Mark II fu potente, ma in un documento che iniziò la letteratura moderna sul problema di Ramsey, Chakravarty (1962) osservò che per fare affidamento esclusivamente sulla condizione che Ramsey aveva identificato come necessaria per un flusso di consumo a essere ottimale (vedi sotto) può portare a risultati assurdi (vedi sotto, Sez. 4). In effetti Chakravarty osservò che infiniti integrali, anche quando espressi in forma ri-normalizzata in Ramsey Mark II, non convergono necessariamente in valori finiti.

3.3 Il criterio del sorpasso

Ciò che era necessario era di scollegare la domanda se integrali infiniti di benessere convergessero dalla domanda se esistessero flussi di consumo ottimali. Questa intuizione fu fornita da Koopmans (1965) e von Weizsacker (1965). La dichiarazione del secondo autore del problema del risparmio ottimale è stata la seguente:

Diciamo che il flusso di consumo fattibile ({C ^ * (t) }) è superiore a un flusso di consumo fattibile ({C (t) }) se esiste (T / gt 0) tale che per tutti (t / ge T), (tag {6} int ^ t_0 [U (C ^ * (s))] ds / ge / int ^ t_0 [U (C (s))] ds)

Definiamo ({C ^ * (t) }) ottimale se è superiore a tutti gli altri flussi di consumo possibili.

La condizione rappresentata nella disuguaglianza (6) è nota come criterio di sorpasso (OC), poiché è quello che è. OC evita di chiedere se gli integrali su entrambi i lati della disuguaglianza (6) convergono come (t / rightarrow / infty). Se lo fanno, OC si riduce all'utilitarismo classico. Ma OC è in grado di rispondere al problema di salvataggio di Ramsey in una più ampia classe di situazioni. Nel suo lavoro Koopmans (1965) ha identificato un modello economico canonico in cui la funzione (U) - è limitata sopra e in cui Ramsey Mark II è equivalente a un problema di ottimizzazione posto in termini di OC.

Cosa dobbiamo fare dell'etica di attualizzare gli esseri benestanti delle generazioni future? Ramsey (1928) iniziò a licenziarlo, ma poi lo studiò alla fine del suo documento. La DM potrebbe ovviamente giustificare l'attualizzazione del benessere futuro se esiste una possibilità di estinzione futura. Lo stesso Sidgwick (1907) lo notò nel passaggio citato in precedenza. Se l'utilitarismo classico viene elogiato per la somma attesa di esseri benestanti, allora il "tasso di rischio" alla data (t) (cioè, la probabilità di estinzione alla data (t) dipende dalla sopravvivenza della società fino a (t)) apparirebbe nell'espressione per il benessere atteso come tasso di sconto per il benessere a (t). Resta da chiedersi se l'utilitarismo classico insista sull'attualizzazione zero delle utilità future in un mondo deterministico.

In una notevole coppia di opere Koopmans (1960, 1972) ha esposto contraddizioni interne nel ragionamento etico in un mondo deterministico sia in Ramsey Mark I che in Ramsey Mark II. Lui (e successivamente Diamond, 1965) mostrarono che se requisiti normativi relativamente deboli sono imposti al concetto di benessere intergenerazionale in un mondo deterministico, la parità di trattamento della funzione (U) attraverso le generazioni deve essere abbandonata. Ci rivolgiamo a quello ora.

3.4 Utilitarismo scontato

Traspare la matematica è molto più semplice se, invece di supporre che il tempo sia continuo, il tempo è considerato discreto. Quindi ora supponiamo che (t = 0,1,2, / ldots). Supponiamo anche che il benessere intergenerazionale a (t = 0) possa essere misurato in termini di una funzione numerica (V). L'idea è di richiedere la funzione, che è definita su flussi di benessere infiniti, per soddisfare le proprietà che riflettono le direttive etiche.

Sia ({U (t) }) un flusso infinito di benessere, cioè ({U (t) } = (U (0), U (1), / ldots, U (t), / ldots)). Diciamo (V ({U (t) })) è continuo se in un appropriato senso matematico i valori di (V) per i flussi di benessere ({U (t) }) che non differiscono molto nello spazio di ({U (t) }) sono vicini l'uno all'altro. Un'ulteriore condizione della funzione (V) che è eticamente attraente è la "monotonicità". Per definire il concetto, supponiamo che un flusso di benessere sia "superiore" a un altro se nessuna generazione gode di meno benessere lungo il primo rispetto al secondo e se esiste almeno una generazione che gode di maggiore benessere nel primo di quanto non faccia in quest'ultimo. Diciamo che (V) è monotonico se (V) è più grande per un flusso di benessere di quanto non lo sia per un altro se il primo è superiore al secondo.

Entrambe le proprietà sono attraenti. Nonostante gli ordini lessicografici, non vi sono argomenti convincenti contro la continuità. Naturalmente Rawls (1972) ha posto le regole prioritarie e gli ordinamenti lessicografici sugli oggetti di interesse nella sua concezione della giustizia che ne derivano al centro della sua teoria, ma che si è rivelato essere una delle sue mosse più controverse. La ricchezza e la profondità della sua analisi non sarebbero ridotte se fossero ammessi piccoli compromessi tra gli oggetti di giustizia. Ed è difficile trovare ragioni contro la monotonicità. Perfino Rawls, il cui lavoro era talmente rivolto alla giustizia distributiva, ha insistito sulla monotonia.

Ma si può dimostrare che qualsiasi funzione (V) che soddisfa la continuità e la monotonia deve avere incorporato lo sconto di generazione. Sembrerebbe che i numeri reali non siano abbastanza ricchi per accogliere flussi di benessere infiniti in un modo che rispetti la continuità e la monotonicità mentre assegna allo stesso peso i benessere di tutte le generazioni. Prova della proposta è in Diamond (1965), ed è stata attribuita dall'autore a Menahem Yaari. Quindi ora introduciamo uno sconto del benessere positivo nella funzione (V) e formuliamo Ramsey Mark III.

Ritorna ancora una volta alla formulazione in cui il tempo è continuo. Come in precedenza, diciamo che un flusso di consumo ({C (t) }) è fattibile se soddisfa l'equazione (1) con un capitale iniziale di (K (0)). Ramsey Mark III (Ramsey, 1928, 553–555) è quindi:

Dall'insieme di tutti i flussi di consumo possibili, trova quel ({C (t) }) che massimizza

[V (0) = / int ^ { infty} _0 [U (C (t)) e ^ {- / delta t}] dt, / delta / gt 0. ")

In Mark III il tasso di sconto (delta) è una costante positiva. Ciò significa che il corrispondente fattore di sconto (e ^ {- / delta}) è inferiore a 1. Quest'ultimo a sua volta può mostrare che in una vasta gamma di modelli economici (e ^ {- / delta t}) tende a zero a un ritmo così rapido che Mark III ha una risposta.

Sia ({C ^ * (t) }) la soluzione di Ramsey Mark III. Euristicamente è utile immaginare che ci sia un DM ad ogni data. La misura del benessere intergenerazionale per il DM alla data (t) è la (V (t)) dell'equazione (4). Si noti che le opinioni etiche dei DM successivi sono coerenti tra loro. Non è quindi necessario che i DM redigano un "contratto intergenerazionale". Il DM ad ogni data vorrà scegliere il livello di consumo che ritiene ottimale, consapevole che i DM successivi sceglieranno in base a ciò che aveva pianificato per loro. Nella moderna teoria dei giochi, il flusso di consumo ottimale di Ramsey ({C ^ * (t) }) è un equilibrio "non cooperativo" (Nash) tra i DM.

4. La regola di Ramsey e le sue ramificazioni

Costruiamo ora una versione informale dell'argomento variazionale utilizzato da Ramsey per determinare ({C ^ * (t) }) in Mark III. A grandi linee, i DM richiedono il tasso marginale di sostituzione eticamente indifferente tra il consumo in due brevi periodi di tempo per eguagliare il tasso marginale al quale il consumo può essere trasformato tra quella stessa coppia di brevi periodi di tempo. La loro uguaglianza (vale a dire, il giusto equilibrio tra i "desiderabili" e i "fattibili") è una proprietà necessaria di un flusso di consumo ottimale.

Ramsey costruì un'espressione matematica della proprietà, ma non cercò condizioni che, nel loro insieme, fossero sia necessarie che sufficienti. Useremo un semplice esempio, che è anche nel suo documento, per mostrare come ottenere una condizione sufficiente.

4.1 L'argomento variazionale

Scrivi (dU / dC = U_C) e (d ^ 2 U / dC ^ 2 = U_ {CC}.) Sia ({C (t) }) un flusso di consumo fattibile. In primo luogo deduciamo un'espressione formale per il tasso marginale di sostituzione eticamente indifferente tra consumo in due brevi periodi di tempo. Supponiamo che l'intenzione sia quella di ridurre il consumo in una data futura (t) di una piccola quantità (Delta C (t)) e aumentare il consumo in una data vicina (t + / Delta t) mantenendo il consumo a tutti altre date sono le stesse di ({C (t) }). La perdita di benessere che deriverebbe dalla mossa è (e ^ {- / delta t} U_ {C (t)} Delta C (t)). Cerchiamo ora di determinare l'aumento percentuale del consumo che sarebbe richiesto in (t + / Delta t) se (V (0)) dovesse rimanere invariato; perché questo è il tasso marginale di sostituzione eticamente indifferente tra consumo a (t) e consumo a (t + / Delta t). Indica tale tasso con (varrho (t)). Quindi (varrho (t)) deve essere il tasso percentuale al quale il benessere marginale scontato diminuisce a (t). Ne consegue anche che (varrho (t)) è il tasso che il DM a (t = 0) userebbe per scartare un'unità di consumo a (t) in modo da portarla al presente (perché questo è ciò che si intende con il tasso percentuale al quale il benessere marginale scontato diminuisce a (t) - per una dimostrazione formale, vedere Dasgupta, 2008). Alcuni economisti chiamano (varrho (t)) il tasso di interesse di consumo (Little e Mirrlees, 1974), altri lo chiamano il tasso di sconto sociale (Arrow e Kurz, 1970). (varrho (t)) è un oggetto fondamentale nell'analisi costi-benefici sociali. Ne consegue anche che (varrho (t)) è il tasso che il DM a (t = 0) userebbe per scartare un'unità di consumo a (t) in modo da portarla al presente (perché questo è ciò che si intende con il tasso percentuale al quale il benessere marginale scontato diminuisce a (t) - per una dimostrazione formale, vedere Dasgupta, 2008). Alcuni economisti chiamano (varrho (t)) il tasso di interesse di consumo (Little e Mirrlees, 1974), altri lo chiamano il tasso di sconto sociale (Arrow e Kurz, 1970). (varrho (t)) è un oggetto fondamentale nell'analisi costi-benefici sociali. Ne consegue anche che (varrho (t)) è il tasso che il DM a (t = 0) userebbe per scartare un'unità di consumo a (t) in modo da portarla al presente (perché questo è ciò che si intende con il tasso percentuale al quale il benessere marginale scontato diminuisce a (t) - per una dimostrazione formale, vedere Dasgupta, 2008). Alcuni economisti chiamano (varrho (t)) il tasso di interesse di consumo (Little e Mirrlees, 1974), altri lo chiamano il tasso di sconto sociale (Arrow e Kurz, 1970). (varrho (t)) è un oggetto fondamentale nell'analisi costi-benefici sociali. Alcuni economisti chiamano (varrho (t)) il tasso di interesse di consumo (Little e Mirrlees, 1974), altri lo chiamano il tasso di sconto sociale (Arrow e Kurz, 1970). (varrho (t)) è un oggetto fondamentale nell'analisi costi-benefici sociali. Alcuni economisti chiamano (varrho (t)) il tasso di interesse di consumo (Little e Mirrlees, 1974), altri lo chiamano il tasso di sconto sociale (Arrow e Kurz, 1970). (varrho (t)) è un oggetto fondamentale nell'analisi costi-benefici sociali.

Lascia che (Delta) sia minuziosamente piccolo. Quindi, per definizione

(tag {7} varrho (t) = - [d (e ^ {- / delta t} U_ {C (t)}) / dt] / e ^ {- / delta t} U_ {C (t)})

Per semplificare la notazione, diamo (g (C (t))) il tasso percentuale di crescita in (C (t)) (cioè (g (C (t)) = [dC (t) / dt] / C (t)), che può essere negativo), e lascia che (sigma (C)) denoti l'elasticità del benessere marginale (cioè, (sigma (C) = -CU_ { CC} / U_C / gt 0)). L'equazione (7) quindi semplifica

(tag {8} varrho (t) = / delta + / sigma (C (t)) g (C (t)))

Poiché ({C ^ * (t) }) è presumibilmente ottimale, nessuna deviazione fattibile da ({C ^ * (t) }) può aumentare (V (0)). Ciò significa che il tasso di interesse di consumo (((varrho (t))) deve essere uguale al tasso sociale di ritorno sull'investimento ((F_ {K (t)})) ad ogni (t). Per capire perché, supponiamo in un intervallo di tempo sorprendentemente piccolo (F_ {K (t)} gt / varrho (t)). Quindi (V (0)) potrebbe essere aumentato consumando un'unità in meno a (t) e godendo il ritorno di ((1 + F_ {K (t)})) subito dopo. In alternativa, se (F_ {K (t)} lt / varrho (t), V (0)) potrebbe essere aumentato consumando un'unità in più a (t) e riducendo il consumo subito dopo di un importo pari a il ritorno ((1 + F_ {K (t)})). Ciò significa che il tasso di interesse di consumo (varrho (t)) è uguale al tasso di rendimento sociale (F_ {K (t)}) lungo ({C ^ * (t) }) a ogni data. Usando l'equazione (8) abbiamo, (tag {9} delta + / sigma (C (t)) g (C (t)) = F_ {K (t)})

L'equazione (9) è la regola di Ramsey. È una condizione necessaria per l'ottimalità in Ramsey Mark III ed è indiscutibilmente l'equazione più famosa nell'economia del benessere intertemporale. La regola è una dichiarazione formale del requisito di ({C ^ * (t) }), secondo cui il tasso marginale di sostituzione tra il consumo a due date vicine (il lato sinistro dell'eq. 9) è uguale il tasso marginale di trasformazione tra consumo alla stessa coppia di date vicine (il lato destro dell'eq. (9). È semplice confermare che l'equazione (9) è invariante in trasformazioni affine positive di (U)-funzione.

4.2 Incompletità nell'analisi di Ramsey

Attualmente specificheremo una funzione (U) per la quale (sigma) è indipendente da (C). Per il momento supponiamo semplicemente che (sigma) sia costante. In tal caso, la regola di Ramsey recita come

(tag {10} delta + / sigma g (C (t)) = F_ {K (t)})

In Ramsey Mark III, (K (0)) è dato come eredità dal passato. Ciò significa che (F_ {K (0)}) è indicato come condizione iniziale, non è una scelta per il DM in (t = 0). Inoltre (delta) e (sigma) sono parametri, che riflettono entrambi valori etici. Il DM può quindi determinare (g (C (0))) dall'equazione (10). Ma questo è il tasso percentuale ottimale di crescita dei consumi alla data iniziale. La regola di Ramsey fornisce al DM un'equazione per determinare il tasso di crescita iniziale del consumo, ma non dice quale dovrebbe essere il livello iniziale di consumo. Di seguito mostriamo a titolo di esempio che esistono un'infinità di percorsi di consumo fattibili che soddisfano la Regola di Ramsey. Ne consegue che il DM in (t = 0) necessita di un'ulteriore condizione per determinare (C ^ * (0)).

Esempio 2 (l'economia lineare)

Assumere

(begin {align} tag {11a} F (K) & = / mu K, / mu / gt 0 \\ / tag {11b} U (C) & = - C ^ {- (sigma -1)}, / sigma / gt 1 / end {align})

Dall'equazione (11a) segue che (F_K = / mu), il che significa che il tasso di ritorno sull'investimento è costante. Dall'equazione (11b) segue che (sigma) è l'elasticità del benessere marginale. Si noti inoltre che (U (C) rightarrow - / infty) come (C / rightarrow 0) e che, sotto la normalizzazione scelta della funzione (U) -, (U (C) rightarrow 0) come (C / rightarrow / infty). Utilizzando l'equazione (11a) nelle rese dell'equazione (1), (tag {12} frac {dK (t)} {dt} = / mu K (t) - C (t))

Scrivi (m = (mu - / delta) / / sigma). L'applicazione delle equazioni (11a – b) all'equazione (10) riduce la regola di Ramsey a

(tag {13} frac {dC (t)} {dt} = [(mu - / delta) / / sigma] C (t) = mC (t))

L'equazione (13) dice che se (mu / lt / delta, C (t)) scende a 0 a una velocità esponenziale. Empiricamente, il caso plausibile da considerare è (mu / gt / delta), che è quello che dovremo fare qui. Significa che il tasso di ritorno sull'investimento ((mu)) supera il tasso di attualizzazione ((delta)). E questo a sua volta significa (m / gt 0). Rendimento dell'equazione integrata (13)

(tag {14} C (t) = C (0) e ^ {mt})

L'equazione (14) dice (C (t)) cresce esponenzialmente alla velocità (m). Riconfermiamo un punto fatto precedentemente, che sebbene l'equazione (14) rivela il tasso di crescita del consumo ottimale alla data iniziale (cioè, ((t = 0)), non rivela il livello iniziale di consumo (cioè, (C (0))). Questa è l'indeterminatezza nella Regola di Ramsey.

Il modo più semplice per determinare il consumo iniziale ottimale, (C ^ * (0)), è osservare dall'equazione (14) che se (C ^ * (t)) cresce indefinitamente alla velocità (m), quindi dovrebbe essere richiesto (K (t)) per crescere allo stesso ritmo. Il motivo è che se il tasso di crescita di (K (t)) fosse inferiore a (m), il capitale verrebbe assorbito, il che significa che lo stock verrebbe esaurito a tempo finito. L'economia smetterebbe quindi di esistere ((V (0)) sarebbe meno infinito se la traiettoria futura dell'economia dovesse essere così.) Se d'altra parte il tasso di crescita di (K (t)) se superassero (m), ci sarebbe un eccesso di accumulo di capitale, nel senso che il consumo sarebbe inferiore ad ogni data di quanto sia necessario. La situazione assomiglierebbe a quella in cui DM butta via una parte del capitale iniziale (K (0)) e quindi si assesta su un comportamento di risparmio che soddisfa la Regola di Ramsey.

La crescita esponenziale nella nostra economia lineare (eq. 11a) ci dice che il tasso di risparmio dovrebbe essere costante. Definiamo il tasso di risparmio, (s), come la proporzione della produzione (PIL) che viene investita in ogni istante. Quindi l'equazione (1) può essere riscritta come

(tag {15} frac {dK (t)} {dt} = s / mu K (t))

L'equazione (15) afferma che il risparmio previsto equivale all'investimento previsto. Rendimento dell'equazione integrata (15)

(tag {16} K (t) = K (0) e ^ {s / mu t})

Ma stiamo insistendo sul fatto che entrambi (K (t)) e (C (t)) dovrebbero crescere allo stesso ritmo. Le equazioni (14) e (16) implicano quindi

(tag {17} m = / frac { mu - / delta} { sigma} = s / mu)

Il tasso di risparmio nell'equazione (17) è l'ottimale. Quindi lo scriviamo come (s ^ *). così

(tag {18} s ^ * = / frac {m} { mu} = / frac { mu - / delta} { sigma / mu} lt 1)

Equazioni (16) - (18) ci dicono che il tasso ottimale di crescita del consumo, (g ^ *), è

(tag {19} g ^ * = / frac { mu - / delta} { sigma} gt 0)

Si noti inoltre che se (delta = 0), l'equazione (18) si riduce a

(tag {20} s ^ * = / frac {1} { sigma})

Equation (20) offre una risposta tanto elegante quanto semplice alla domanda con cui Ramsey ha iniziato il suo lavoro.

4.3 La condizione di trasversalità

La tecnologia lineare (eq. 11a) e la funzione isoelastica (U) (eq. 11b) ci hanno permesso di riconoscere immediatamente che se un flusso di consumo che soddisfa la Regola di Ramsey deve essere ottimale, sia il capitale che il consumo dovrebbero crescere allo stesso ritmo esponenziale, (m). Identificare una condizione sufficiente per l'ottimalità nei modelli più generali è molto più difficile. Ciò di cui abbiamo bisogno è una condizione sulle caratteristiche a lungo termine di un flusso di consumo che soddisfi la regola Ramsey in grado di garantire che sia ottimale. von Weizsacker (1965) ha mostrato che la condizione richiesta si riferisce al comportamento a lungo termine del valore sociale del capitale associato a quel flusso di consumo. Ora formalizziamo la condizione.

Sia (U) l'unità di conto. Considera un flusso di consumo ({C (t) }). Ne consegue che (U_ {C (t)}) è il valore sociale di un'unità di consumo marginale. Scrivi (P (t)) per (U_ {C (t)}. P (t)) è chiamato il prezzo contabile (spot) del consumo. Poiché (e ^ {- / delta t} P (t)) è il valore scontato di (P (t)), viene chiamato il prezzo contabile del valore attuale del consumo. Se ({C (t) }) soddisfa la Regola di Ramsey nel punto III, (e ^ {- / delta t} P (t)) è anche il prezzo contabile del valore attuale di un'unità di capitale azione. von Weizsacker (1965) mostrò che una condizione sufficiente per l'ottimalità di ({C (t) }) è (e ^ {- / delta t} P (t) K (t) rightarrow A) come t (rightarrow / infty), dove (A) è un numero (finito) non negativo. In parole,una condizione necessaria e sufficiente affinché ({C (t) }) sia l'ottimale è (i) che soddisfi la regola di Ramsey e (ii) che il valore attuale dello stock di capitale dell'economia sia finito. La condizione (ii), che è ampiamente conosciuta come la "condizione di trasversalità", elimina quei flussi di consumo fattibili che soddisfano la Regola di Ramsey ma lungo i quali esiste un risparmio eccessivo. Un semplice calcolo conferma che nell'esempio 2 la condizione di trasversalità è soddisfatta se il tasso di risparmio è (s ^ *) (eq. 18). Un semplice calcolo conferma che nell'esempio 2 la condizione di trasversalità è soddisfatta se il tasso di risparmio è (s ^ *) (eq. 18). Un semplice calcolo conferma che nell'esempio 2 la condizione di trasversalità è soddisfatta se il tasso di risparmio è (s ^ *) (eq. 18).

4.4 Stime numeriche del tasso ottimale di risparmio

L'equazione (18) afferma che (s ^ *) è una funzione crescente del ritorno sull'investimento ((mu)), una funzione decrescente del tasso temporale di sconto ((delta)) e una funzione decrescente dell'elasticità del benessere marginale ((sigma)). Ognuna di queste proprietà è intuitivamente ovvia:

(1) Maggiore è il tasso di ritorno sugli investimenti ((mu)), maggiore è il guadagno per le generazioni future da un aumento marginale del risparmio da parte delle generazioni iniziali. Ciò significa che il tasso ottimale di risparmio dovrebbe essere una funzione crescente di (mu), a parità di altre condizioni.

(2) Maggiore è il valore del tasso di sconto temporale ((delta)) scelto da DM, minore è il peso che attribuisce al benessere delle generazioni future. Ciò implica livelli di consumo ottimali più elevati per le prime generazioni (Sez. 2.1), il che a sua volta implica che il tasso ottimale di risparmio è inferiore, altre cose uguali.

(3) Poiché l'utile sul capitale investito è positivo ((mu / gt 0)), la freccia del tempo mostra una propensione a favore delle generazioni future (Sez. 2.1). Ma maggiore è il valore scelto di (sigma), più DM mostra preoccupazioni sull'equità nei consumi attraverso le generazioni. Pertanto, maggiore è la preoccupazione, maggiore è il tasso di consumo ottimale che le generazioni iniziali possono godere. Quindi dovremmo aspettarci che il tasso ottimale di risparmio sia una funzione decrescente di (sigma), altre cose uguali.

È istruttivo considerare figure stilizzate per i parametri sul lato destro delle equazioni (18) e (19), rispettivamente. Sebbene stilizzati, sono figure per la coppia di parametri etici (sigma) e (delta) che gli economisti che hanno scritto sull'economia dei cambiamenti climatici hanno assunto nel loro lavoro. A dire il vero, l'economia del benessere dei cambiamenti climatici ha richiesto modelli più complicati rispetto al modello rappresentato nelle equazioni (1) e (11a), ma come confermiamo di seguito, non ha offerto ulteriori approfondimenti teorici. Di seguito prendiamo un anno come unità di tempo e supponiamo che (mu = 0,05) (cioè il 5% all'anno). Insieme all'ottimale, il tasso di interesse di consumo equivale al tasso di utile sul capitale investito (la regola di Ramsey), il che significa che il tasso di interesse di consumo ottimale equivale a un costante 5% all'anno.

Una cifra del 5% all'anno per (mu) implica un rapporto capitale / produzione ((1 / / mu)) di 20 anni, che è di gran lunga superiore alle stime dei rapporti di capitale prodotto dall'inter-industria studi a cui sono arrivati gli economisti di varie parti del mondo (Behrman, 2001); una cifra rappresentativa di 1 / (mu) in quella letteratura è di 3 anni. Ma le loro stime si sono basate su una definizione di "capitale" che è limitata al capitale "prodotto", come fabbriche, strade, porti ed edifici. Manca il capitale umano (istruzione, salute, conoscenza), così come il capitale naturale (ecosistemi, risorse del sottosuolo). Il modello di Ramsey, incapsulato nell'equazione (11a), abbraccia tutte le forme di beni capitali. Senza dubbio la sua formulazione richiede un'impresa eroica (leggi, impossibile!) Di aggregazione, ma quando vengono presi in considerazione tutti i beni strumentali che entrano in produzione,dovremmo aspettarci un rapporto aggregato di capitale in uscita (che dovremmo chiamare il rapporto (inclusivo) di ricchezza), molto più alto di 3 anni; forse anche superiore ai 20 anni (Arrow et al., 2012, 2013). Grandi categorie di beni strumentali sono assenti dai conti economici nazionali che informano la comprensione da parte degli economisti delle possibilità di produzione e consumo (Dasgupta, 2019). Sembrerebbe quindi che ci sia ancora molta strada da fare prima che possiamo raggiungere una buona approssimazione di ciò che dovremmo lasciare ai nostri discendenti. Grandi categorie di beni strumentali sono assenti dai conti economici nazionali che informano la comprensione da parte degli economisti delle possibilità di produzione e consumo (Dasgupta, 2019). Sembrerebbe quindi che ci sia ancora molta strada da fare prima che possiamo raggiungere una buona approssimazione di ciò che dovremmo lasciare ai nostri discendenti. Grandi categorie di beni strumentali sono assenti dai conti economici nazionali che informano la comprensione da parte degli economisti delle possibilità di produzione e consumo (Dasgupta, 2019). Sembrerebbe quindi che ci sia ancora molta strada da fare prima che possiamo raggiungere una buona approssimazione di ciò che dovremmo lasciare ai nostri discendenti.

Esempio 3 (tratto dall'economia dei cambiamenti climatici)

Rivolgiamo ora la nostra attenzione ai valori dei due parametri etici nell'equazione (11b) che sono stati scelti da tre economisti nel loro studio sull'economia dei cambiamenti climatici.

(begin {align} tag * {Cline (1992)} sigma = 1.5 / quad & / text {and} quad / delta = 0 \\ / tag * {Nordhaus (1994)} sigma = 1 / quad & / text {and} quad / delta = 0,03 / text {(3% all'anno)} / \ tag * {Stern (2007)} sigma = 1 / quad & / text {and} quad / delta = 0,001 / text {(0,1% all'anno)} end {align})

(NB: (sigma = 1) corrisponde alla funzione di benessere logaritmico, ovvero (U (C) =) log (C), e può essere ottenuto come limite della forma funzionale di (U (C)) nell'equazione (11b) come (sigma / rightarrow 1.))

Imponiamo questi valori di parametro per scoprire che il tasso di risparmio ottimale (s ^ *) (eq. 18) e il tasso ottimale di crescita dei consumi (eq. 19) sono, a loro volta:

(begin {align} tag {21a} s ^ * = 67 \% / quad & / text {and} quad g ^ * = 3.3 \% / text {a year (Cline)} / \ tag { 21b} s ^ * = 40 \% / quad & / text {and} quad g ^ * = 2.0 \% / text {un anno (Nordhaus)} / \ tag {21c} s ^ * = 98 \% / quad & / text {and} quad g ^ * = 4,9 \% / text {a year (Stern)} end {align})

4.5 Commento

Un tasso di risparmio nazionale del 40% (eq. 21b) è senza dubbio elevato per gli standard delle economie occidentali contemporanee, ma ci sono paesi che negli ultimi anni hanno raggiunto tassi di risparmio del 40–45% (la Cina è un esempio di spicco). Una cifra del 67% per (s ^ *) (eq. 21a) è superiore al tasso di risparmio in qualsiasi paese, ma non è inimmaginabile. Le cifre veramente stravaganti sono del 98% (eq. 21c). È stravagante soprattutto perché la cifra è il tasso di risparmio ottimale, non importa quanto piccolo sia (K (0)). Certo, il modello qui (eq. 11a-b) è fenomenalmente stilizzato, ma mette in evidenza in modo netto l'osservazione di Koopmans (1965), che è sciocco assumere (delta = 0) (o vicino a 0) senza prima verificare le sue possibili conseguenze per la distribuzione del benessere tra le generazioni.

L'equazione (19) ha dimostrato che il tasso di crescita ottimale del consumo è limitato da (mu), il che spiega perché (g ^ *) è inferiore al 5% all'anno per ciascuna delle tre specifiche parametriche che abbiamo considerato. Le specifiche derivano da tre studi sull'economia del benessere dei cambiamenti climatici globali, in cui gli autori hanno lavorato con modelli molto più complessi di quelli di Ramsey. Eppure i loro risultati sono esattamente ciò che la sua formulazione indica (Dasgupta, 2008), vale a dire che altre cose sono uguali, minore è il valore scelto di (delta) e / o maggiore è il danno al futuro bene- dato che ci si aspetta che sia causato dal cambiamento climatico globale, maggiore è il livello di investimento che DM dovrebbe raccomandare per evitare i cambiamenti climatici o attenuare gli effetti di tale cambiamento sul benessere umano. Il dibattito spesso acuto (ad es. Nordhaus,2007) sulla misura in cui gli investimenti globali dovrebbero essere diretti a ridurre gli effetti deleteri dei cambiamenti climatici sono stati stimolati da differenze nelle specifiche dei modelli tra gli economisti dei cambiamenti climatici.

La tecnologia lineare (eq. 11a) e la funzione isoelastica (U) (eq. 11b), se messe insieme, hanno offerto spunti approfonditi anche se qui abbiamo limitato la discussione ai calcoli su carta e penna. Le forme funzionali non sono credibili; nondimeno Ramsey ne fece uso. Il suo documento ha mostrato che modelli incredibilmente semplificati, purché la loro costruzione sia supportata da una forte intuizione, possono illuminare domande apparentemente impossibili da inquadrare, per non parlare della risposta quantitativa. Questo è stato il dono duraturo di Ramsey per l'economia teorica.

Bibliografia

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