Il Finitismo In Geometria

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Il finitismo in geometria

Pubblicato per la prima volta mercoledì 3 aprile 2002; revisione sostanziale gio 12 set 2019

Nelle nostre rappresentazioni del mondo, specialmente in fisica, gli infiniti (matematici) svolgono un ruolo cruciale. Il continuum dei numeri reali, (Re), come rappresentazione del tempo o dello spazio unidimensionale è sicuramente l'esempio più noto e, per estensione, il (n) - piega prodotto cartesiano, (Re ^ {n}), per (n) - spazio dimensionale. Tuttavia, anche questi stessi infiniti causano problemi. Bisogna solo pensare ai paradossi di Zenone o alla continuazione odierna di quella discussione, vale a dire la discussione sui supertask, per vedere le difficoltà (vedere la voce sui supertask in questa enciclopedia per un trattamento completo). Quindi, è un'idea molto allettante indagare se è possibile eliminare questi infiniti ed essere ancora in grado di fare fisica. Il primo passo verso una risposta a questa domanda è esaminare se sia possibile o meno una geometria discreta in grado di approssimare la geometria continua classica il più vicino possibile. Perché, in tal caso, quest'ultima geometria può essere facilmente sostituita da una versione discreta in qualsiasi teoria fisica che si avvale di questo particolare background matematico.

Per quanto semplice possa sembrare il compito, ci sono comunque almeno due modi in cui il concetto di approssimazione può essere compreso. Supponiamo che (T) sia una teoria fisica basata sulla geometria classica. Quindi un'approssimazione a (T) può significare due cose diverse:

  1. Per tutti i concetti in (T), compresi i concetti geometrici, viene proposto un analogo discreto (se esiste una cosa del genere), oppure
  2. Una teoria di base (T ^ / prime) è formulata usando possibilmente concetti diversi in modo tale che i concetti classici possano essere derivati da (T ^ / prime).

Nelle sezioni che seguono verrà presentata una panoramica di (alcuni) dei vari tentativi che rientrano in (a) o (b). Tuttavia, prima di intraprendere questo viaggio, devono essere menzionati diversi avvertimenti.

  • 1. Alcune considerazioni generali

    • 1.1 Logici
    • 1.2 Matematici
    • 1.3 Informatici
    • 1.4 Fisici
    • 1.5 Filosofi
  • 2. Geometrie discrete come analoghi diretti

    • 2.1 Un'assiomatizzazione standard per la geometria del piano euclideo
    • 2.2 La scuola finlandese e la geometria naturale
    • 2.3 Un approccio costruttivo
    • 2.4 Un esempio fisico diretto: una versione discreta della teoria della relatività speciale
    • 2.5 Alcune soluzioni parziali e problemi da affrontare
  • 3. Geometrie discrete come generatori di geometria classica

    • 3.1 Il quadro generale
    • 3.2 Un esempio prototipico, usando i grafici
    • 3.3 Un caso speciale: la gerarchia combinatoria
    • 3.4 Può essere un problema empirico?
  • 4. Cosa deve essere fatto dopo?
  • Bibliografia
  • Strumenti accademici
  • Altre risorse Internet
  • Voci correlate

1. Alcune considerazioni generali

La cosa più importante da prendere in considerazione è, data una proposta particolare per una geometria discreta, quale sia il background scientifico e / o filosofico dell'autore o degli autori e, in relazione a ciò, quali siano le loro intenzioni. Sono logici, matematici, informatici, fisici o filosofi (per elencare i cinque casi più frequenti)? Vogliono risolvere un semplice problema tecnico, fisico o filosofico? Sono preoccupati per gli aspetti fondamentali o è l'oggetto della loro ricerca per sviluppare ulteriormente le teorie esistenti? Vale la pena di approfondire alcuni dei cinque tipi di autori citati per illustrare queste domande.

1.1 Logici

I logici sono spesso interessati a mostrare la struttura logica sottostante di una teoria, fisica o matematica, e ad esplorare se ci sono alternative, di solito cambiando i principi logici sottostanti. Si potrebbe immaginare una geometria basata non sulla logica classica, ma, ad esempio, sulla logica intuizionistica, in cui principi come il terzo escluso, ovvero, (p) o no - (p), per qualsiasi affermazione (p) o doppia negazione, ovvero se non-no - (p) quindi (p), non tenere più. Spesso l'obiettivo è trovare una classificazione completa di tutte le possibilità. Questo approccio implica che il logico che lavora e sviluppa modelli discreti, non crede necessariamente che questi modelli siano corretti o veri in un certo senso. Aiutano semplicemente a capire meglio cos'è la geometria classica.

Un esempio perfetto di tale approccio è il lavoro sulla logica spaziale, vedi Aiello et al. (2007) per una panoramica eccellente. Gli autori confrontano il loro approccio al lavoro svolto nella logica temporale (vedere la voce sulla logica temporale in questa enciclopedia). Esistono molti modi per modellare il tempo: con un punto iniziale e / o finale, discreto o continuo, lineare, ciclico o ramificato,…. Il compito logico è costruire un linguaggio che consenta di "parlare" di tutte queste strutture e di essere in grado di differenziarle. Nella logica temporale tale linguaggio usa gli operatori (Fp) ("Sarò il caso che (p)") e (Pp) ("È stato il caso che (p)"). Un esempio: se il tempo è lineare in futuro, questa proprietà può essere espressa come segue. Supponiamo che siano dati (Fp) e (Fq), quindi sono possibili solo tre cose:o (F (p / amp q)), ovvero, (p) e (q) sarà il caso, oppure (F (p / amp Fq)), cioè, (p) accadrà prima e poi (q), oppure (F (Fp / amp q)), cioè viceversa. In una formula: ((Fp / amp Fq) rightarrow (F (p / amp q)) o (F (p / amp Fq)) o (F (Fp / amp q))). In un modo del tutto simile, costruire un simile linguaggio è ciò che la logica spaziale vuole ottenere per la geometria ed è quindi correlata alle proposte che discuteremo nella sezione 3.costruire un linguaggio del genere è ciò che la logica spaziale vuole ottenere per la geometria ed è quindi correlata alle proposte che discuteremo nella sezione 3.costruire un linguaggio del genere è ciò che la logica spaziale vuole ottenere per la geometria ed è quindi correlata alle proposte che discuteremo nella sezione 3.

1.2 Matematici

Un matematico potrebbe guardare o studiare una controparte discreta o finita di una teoria esistente solo per vedere, ad esempio, quali teoremi rimangono provabili in entrambi i casi. Questo di per sé è interessante dal punto di vista della cosiddetta matematica inversa. La domanda principale è scoprire cosa è necessariamente necessario per dimostrare determinati teoremi? Vedi, ad esempio, Simpson (2005) e Stillwell (2016). Le prove che valgono anche in una geometria discreta sono quindi indipendenti da qualsiasi ipotesi sulla discrezione o continuità. Si potrebbe tuttavia approfondire le basi della matematica e studiare geometrie finite da una prospettiva fondamentale. Uno di questi approcci è il rigoroso finitismo (sebbene a volte vengano usati anche i termini ultra-finitismo o ultra-intuizionismo) che non è inteso come una teoria secondaria di altre teorie fondamentali ma come un'alternativa a sé stante. Condivide con le molte forme di costruttivismo la visione fondamentale secondo cui oggetti matematici e concetti devono essere accessibili al matematico in termini di costruzioni che possono essere eseguite o eseguite. Le varie forme si distinguono l'una dall'altra su come debbano essere compresi i concetti di "esecuzione" o "esecuzione". La maggior parte dei costruttivisti consente il potenzialmente infinito, cioè se una procedura o un algoritmo terminerà (in modo dimostrabile) in qualche momento in futuro, allora il risultato verrà accettato come costruibile. Vedi Bridges & Richman (1987) per una panoramica e la voce sulla matematica costruttiva. Il rigoroso finitismo vuole fare un ulteriore passo avanti e sostiene che un risultato indefinito non viene accettato come risultato, poiché, poiché tutte le risorse computazionali sono limitate,potrebbe benissimo essere che queste risorse siano state esaurite prima del raggiungimento del risultato. La qualifica aggiuntiva serve a fare la distinzione con il finitismo di Hilbert che, in termini approssimativi, può essere visto come una forma di finitismo a livello meta (ad esempio, sebbene le teorie matematiche possano parlare di strutture infinite, tuttavia le prove in tali teorie devono avere un lunghezza finita). Come prevedibile, il finitismo rigoroso non è una visione popolare nella filosofia della matematica. Tuttavia, sono state avanzate alcune proposte. Una storia e un resoconto dello stato attuale (anche se in qualche modo datato) si trovano in Welti (1987). Nella sezione 2 si parlerà di più su tali proposte.può essere visto come una forma di finitismo a livello meta (ad esempio, sebbene le teorie matematiche possano parlare di strutture infinite, tuttavia le prove in tali teorie devono avere una lunghezza finita). Come prevedibile, il finitismo rigoroso non è una visione popolare nella filosofia della matematica. Tuttavia, sono state avanzate alcune proposte. Una storia e un resoconto dello stato attuale (anche se in qualche modo datato) si trovano in Welti (1987). Nella sezione 2 si parlerà di più su tali proposte.può essere visto come una forma di finitismo a livello meta (ad esempio, sebbene le teorie matematiche possano parlare di strutture infinite, tuttavia le prove in tali teorie devono avere una lunghezza finita). Come prevedibile, il rigoroso finitismo non è una visione popolare nella filosofia della matematica. Tuttavia, sono state avanzate alcune proposte. Una storia e un resoconto dello stato attuale (anche se in qualche modo datato) si trovano in Welti (1987). Nella sezione 2 si parlerà di più su tali proposte. Una storia e un resoconto dello stato attuale (anche se in qualche modo datato) si trovano in Welti (1987). Nella sezione 2 si parlerà di più su tali proposte. Una storia e un resoconto dello stato attuale (anche se in qualche modo datato) si trovano in Welti (1987). Nella sezione 2 si parlerà di più su tali proposte.

1.3 Informatici

Nelle scienze informatiche le teorie e le proposte avanzate sono di natura piuttosto diversa da quelle logiche e matematiche, sebbene si ispirino a vicenda. Il problema che uno affronta qui è proprio quello di impostare una traduzione da un classico modello geometrico analogo a un modello in cui il dominio (di solito) è costituito dall'insieme finito di pixel o celle che compongono lo schermo (computer). L'ovvio inconveniente (dal punto di vista di questa voce) è che quasi tutti questi modelli assumono il modello classico (infinito) in background e, quindi, non hanno una base propria propria - una situazione abbastanza analoga all'analisi numerica che si basa sull'analisi classica per dimostrare la correttezza delle procedure. Gran parte dell'attenzione è rivolta al problema di dimostrare le corrispondenze tra il modello originale e quello discreto per assicurarsi che l'immagine ottenuta sia, per certi aspetti, fedele all'originale. Un semplice esempio matematico riguarda il numero di fori in una superficie euclidea tridimensionale. Si vuole essere certi che ogni buco che appare nell'immagine digitale corrisponda effettivamente a un buco nell'oggetto matematico originale. Vedi Borwein & Devlin (2009) per altri esempi. Tuttavia, detto ciò, è in corso un lavoro che non vuole fare affidamento sul classico sfondo continuo, ma cerca invece assiomatizzazioni e / o formalizzazioni "corrette" di una geometria pixel. Vedi Kulpa (1979) e, più recentemente, Danielsson (2002) per alcuni begli esempi.fedele all'originale. Un semplice esempio matematico riguarda il numero di fori in una superficie euclidea tridimensionale. Si vuole essere certi che ogni buco che appare nell'immagine digitale corrisponda effettivamente a un buco nell'oggetto matematico originale. Vedi Borwein & Devlin (2009) per altri esempi. Tuttavia, detto ciò, è in corso un lavoro che non vuole fare affidamento sul classico sfondo continuo, ma cerca invece assiomatizzazioni e / o formalizzazioni "corrette" di una geometria pixel. Vedi Kulpa (1979) e, più recentemente, Danielsson (2002) per alcuni begli esempi.fedele all'originale. Un semplice esempio matematico riguarda il numero di fori in una superficie euclidea tridimensionale. Si vuole essere certi che ogni buco che appare nell'immagine digitale corrisponda effettivamente a un buco nell'oggetto matematico originale. Vedi Borwein & Devlin (2009) per altri esempi. Tuttavia, detto ciò, è in corso un lavoro che non vuole fare affidamento sul classico sfondo continuo, ma cerca invece assiomatizzazioni e / o formalizzazioni "corrette" di una geometria pixel. Vedi Kulpa (1979) e, più recentemente, Danielsson (2002) per alcuni begli esempi. Si vuole essere certi che ogni buco che appare nell'immagine digitale corrisponda effettivamente a un buco nell'oggetto matematico originale. Vedi Borwein & Devlin (2009) per altri esempi. Tuttavia, detto ciò, è in corso un lavoro che non vuole fare affidamento sul classico sfondo continuo, ma cerca invece assiomatizzazioni e / o formalizzazioni "corrette" di una geometria pixel. Vedi Kulpa (1979) e, più recentemente, Danielsson (2002) per alcuni begli esempi. Si vuole essere certi che ogni buco che appare nell'immagine digitale corrisponda effettivamente a un buco nell'oggetto matematico originale. Vedi Borwein & Devlin (2009) per altri esempi. Tuttavia, detto ciò, è in corso un lavoro che non vuole fare affidamento sul classico sfondo continuo, ma cerca invece assiomatizzazioni "appropriate" e / o formalizzazione di una geometria pixel. Vedi Kulpa (1979) e, più recentemente, Danielsson (2002) per alcuni begli esempi.

Nota anche che queste teorie non devono essere confuse con i programmi per computer che hanno la capacità di ragionare su oggetti geometrici. Questo fa parte dell'area di ricerca del ragionamento automatico-vedi Chou et al. (1994) per una bella introduzione - e i suoi oggetti di base sono prove, non necessariamente gli oggetti matematici su cui si basano le prove.

1.4 Fisici

Come è noto, uno dei temi caldi della fisica è la ricerca dell'unificazione della teoria quantistica (di campo) e della teoria della relatività generale. In caso di successo, ne deriverebbe la famosa "Teoria di tutto". Come è altrettanto noto, il problema più difficile da risolvere è come gestire lo spazio-tempo. La teoria quantistica (di campo) richiede lo spazio e il tempo come sfondo, mentre nella relatività generale la struttura dello spazio-tempo è in gran parte determinata dalle masse e dall'energia presente. Una via d'uscita - e la maggior parte della sezione 3 tratta di tali esempi - è quella di trovare una struttura “più profonda” che sia alla base di entrambe le teorie e che, in un certo senso, generi spazio e tempo da concetti più fondamentali. Chiaramente, se una tale teoria fosse trovata, non produrrebbe semplicemente "solo" un modello, ma sarebbe effettivamente considerata come una rappresentazione autentica della realtà. La maggior parte di questi modelli, per quanto speculativi possano essere alcuni di questi al momento, risultano discreti e quindi queste proposte, in contraddizione, ad esempio con i logici, affermano di essere una descrizione corretta. Per una recente panoramica informale, vedi Rovelli (2016), in particolare il capitolo 11, "La fine dell'infinito".

Dal punto di vista storico, si deve aggiungere che alcuni fisici hanno cercato di scoprire quali potrebbero essere le controparti discrete delle teorie fisiche classiche esistenti. Di solito le basi filosofiche di un simile tentativo tendono ad essere piuttosto idiosincratiche. Nella sezione 2 verrà presentato uno di questi esempi. In genere tali tentativi non hanno suscitato grande scalpore, sono rapidamente scomparsi sullo sfondo, ma contengono comunque alcune idee interessanti e pertinenti.

1.5 Filosofi

In un senso piuttosto semplice, tutto quanto sopra coinvolge anche i filosofi. Le discussioni sui sistemi logici, sulle teorie matematiche di base, sui paradossi di Zenone, sui supertask, su cosa sono un modello e una rappresentazione, … sono in genere argomenti che appartengono al dominio dei filosofi. Inoltre portano argomenti da altri settori filosofici e / o scientifici. Supponiamo che ci siano eccellenti argomenti da una prospettiva epistemologica o ontologica, sostenendo che il mondo dovrebbe essere considerato discreto, quindi questi argomenti possono supportare la ricerca di una visione del mondo così discreta, compresa l'elaborazione di una geometria discreta. Anche se dal punto di vista matematico, la teoria sembra piuttosto goffa o difficile da lavorare, tuttavia, a causa delle considerazioni filosofiche, deve essere così. Senza tali argomenti a sostegno, la propria posizione in un caso del genere sarebbe molto più debole. Infine, prestano anche attenzione al lato storico della questione. È piuttosto sorprendente, ma questo non sarà presentato qui, per vedere che molte proposte sono state avanzate nel corso della nostra storia per dimostrare che lo spazio, il tempo e l'uomo dovrebbero essere considerati limitati e / o discreti. Vedi, ad esempio, Sorabji (1983) e Moore (1993) per eccellenti panoramiche storiche, White (1992) per gli sviluppi del ventesimo secolo, e Franklin (2017) e Lione (2017) per alcuni recenti contributi.vedere che nel corso della nostra storia sono state avanzate molte proposte per dimostrare che spazio, tempo e uomo dovrebbero essere considerati limitati e / o discreti. Vedi, ad esempio, Sorabji (1983) e Moore (1993) per eccellenti panoramiche storiche, White (1992) per gli sviluppi del ventesimo secolo, e Franklin (2017) e Lione (2017) per alcuni recenti contributi.vedere che nel corso della nostra storia sono state avanzate molte proposte per dimostrare che spazio, tempo e uomo dovrebbero essere considerati limitati e / o discreti. Vedi, ad esempio, Sorabji (1983) e Moore (1993) per eccellenti panoramiche storiche, White (1992) per gli sviluppi del ventesimo secolo, e Franklin (2017) e Lione (2017) per alcuni recenti contributi.

Come detto, questi cinque gruppi sono i più importanti, quindi la completezza non è stata dimostrata e non è stata dimostrata l'esclusiva reciproca. Questa breve panoramica voleva solo elencare le diverse intenzioni, motivazioni, scopi e metodologie delle parti coinvolte.

2. Geometrie discrete come analoghi diretti

La prima domanda da risolvere è quale sarà la teoria classica. Poiché la maggior parte del lavoro svolto è stato limitato al piano, questa presentazione sarà anche limitata a quel caso particolare (nella maggior parte delle proposte l'estensione a geometrie di dimensioni superiori è considerata completamente semplice). Ma ciò non è sufficiente, poiché ci sono diversi percorsi da seguire per quanto riguarda la presentazione della geometria del piano. Una possibilità è prendere qualsiasi assiomatizzazione del piano (euclideo), diciamo, la formulazione di Hilbert del 1899 nel suo Grundlagen der Geometrie - e mostrare quali cambiamenti sono necessari per avere (a) modelli finiti della teoria assiomatica e (b) modelli finiti che si avvicinano il più possibile ai modelli classici (infiniti, euclidei). Uno dei primi tentativi risale alla fine degli anni '40,primi anni '50 e saranno quindi presentati qui come un esempio (nel senso che ha sia tutte le qualità positive richieste sia le stranezze che sembrano andare insieme a tali tentativi). Più specificamente, riguarda il lavoro di Paul Kustaanheimo in parziale collaborazione con G. Järnefelt nel periodo tra il 1949 e il 1957. Successivamente verrà discussa una proposta recente, in modo totalmente diverso, di Patrick Suppes e una proposta un po 'più antica di Ludwik Silberstein, dove la geometria è direttamente incorporata in una teoria fisica, la teoria della relatività speciale per essere precisi. La sezione conclusiva di questa parte tratta alcuni problemi specifici e soluzioni provvisorie.riguarda il lavoro di Paul Kustaanheimo in parziale collaborazione con G. Järnefelt nel periodo tra il 1949 e il 1957. Successivamente verrà discussa una proposta recente, secondo linee totalmente diverse, di Patrick Suppes e una proposta un po 'più antica di Ludwik Silberstein, dove la geometria è direttamente incorporato in una teoria fisica, la teoria della relatività speciale per essere precisi. La sezione conclusiva di questa parte tratta alcuni problemi specifici e soluzioni provvisorie.riguarda il lavoro di Paul Kustaanheimo in parziale collaborazione con G. Järnefelt nel periodo tra il 1949 e il 1957. Successivamente verrà discussa una proposta recente, secondo linee totalmente diverse, di Patrick Suppes e una proposta un po 'più antica di Ludwik Silberstein, dove la geometria è direttamente incorporato in una teoria fisica, la teoria della relatività speciale per essere precisi. La sezione conclusiva di questa parte tratta alcuni problemi specifici e soluzioni provvisorie. La sezione conclusiva di questa parte tratta alcuni problemi specifici e soluzioni provvisorie. La sezione conclusiva di questa parte tratta alcuni problemi specifici e soluzioni provvisorie.

2.1 Un'assiomatizzazione standard per la geometria del piano euclideo

Che aspetto ha un'assiomatizzazione di tipo Hilbert? La prima cosa da fare è correggere un linguaggio (formale). Di solito si sceglie la logica del predicato del primo ordine con identità, ovvero un linguaggio contenente nomi per variabili (e, possibilmente, per costanti), nomi per funzioni (se necessario), nomi per predicati tra cui il predicato identità, connettivi logici e quantificatori, e un insieme di regole grammaticali per formare frasi. La restrizione alla logica del primo ordine significa che solo le variabili possono essere quantificate. Senza entrare nei dettagli, si dovrebbe notare che è possibile scegliere un linguaggio più espressivo, ad esempio per cui è consentita anche la quantificazione sui predicati.

Una volta scelta una lingua, il problema successivo è determinare i termini primitivi della lingua. Per la geometria euclidea piana, si tratta di punti e linee, sebbene a volte le linee siano definite come particolari insiemi di punti. Successivamente devono essere selezionati i predicati di base. Esistono un certo numero di diverse assiomatizzazioni al momento attuale. I predicati più frequentemente utilizzati sono: la relazione di incidenza ("un punto (a) si trova su una linea (A)"), la relazione di reciprocità ("punto (a) si trova tra i punti (b) e (c) "), la relazione di equidistanza (" la distanza dal punto (a) a (b) è uguale alla distanza dal punto (c) a (d) "), la relazione di congruenza ("una parte di una linea, determinata da due punti (a) e (b) è congruente a una parte di una linea, determinata da due punti (c) e (d)”). Si noti che non è necessario che tutti si verifichino in un'assiomatizzazione. Ad esempio, se le linee non vengono introdotte come termini primitivi, di solito non esiste alcuna relazione di incidenza.

Il prossimo passo è l'introduzione di un insieme di assiomi per determinare determinate proprietà delle relazioni sopra menzionate. Ad esempio, se l'assiomatizzazione utilizza la relazione di incidenza, gli assiomi tipici di tale relazione sono:

  • Attraverso due punti si può tracciare esattamente una linea retta.
  • Ci sono almeno due punti su ogni linea retta.
  • Esistono almeno tre punti che non si trovano sulla stessa linea retta.

Infine, si cerca un'interpretazione o un modello dell'assiomatizzazione. Ciò significa che cerchiamo un significato dei termini primitivi, come punti e linee, delle funzioni (se presenti) e dei predicati in modo tale che gli assiomi diventino vere affermazioni relative all'interpretazione. Sebbene abbiamo spesso una particolare interpretazione in mente quando sviluppiamo un'assiomatizzazione, ciò non esclude la possibilità dell'esistenza di modelli piuttosto inaspettati. In un certo senso i modelli finiti si basano proprio su questa possibilità, come mostra il prossimo paragrafo.

2.2 La scuola finlandese e la geometria naturale

Paul Kustaanheimo era un membro di un gruppo di matematici con base a Helsinki, tutti interessati a una qualche forma di geometria finita. I membri più importanti furono G. Järnefelt, P. Kustaanheimo e R. Lehti. L'origine della loro ispirazione è da ricercarsi nell'opera di JT Hjelmslev che ha sviluppato la cosiddetta geometria "naturale" ("Die natürliche Geometrie", vedi il suo libro del 1923), a volte definita anche geometria "fisica". Il loro approccio non ha conosciuto alcuna continuazione, ad eccezione di Reisler e Smith (1969). Tuttavia, in un modo strano c'è una connessione con l'approccio di Suppes che verrà discusso più avanti, nel senso che la geometria è vista principalmente come (quasi) una scienza sperimentale, cioè il geometra si occupa di righelli e compassi, crea superfici piatte su cui misurare, e così via. Ovviamente,poiché noi umani possiamo manipolare oggetti finiti solo in modi finiti, deve derivarne una geometria discreta.

La proposta di Kustaanheimo - Riporto qui in modo approssimativo l'eccellente presentazione della sua proposta in Welti (1987: 487-521), che è molto più accessibile dell'opera originale - si basa sul seguente ragionamento. Un modello standard per la teoria assiomatica classica della geometria euclidea è costituito dal prodotto cartesiano dei numeri reali con se stesso. Oppure, come di solito è formulato, un punto nel piano è mappato su un paio di numeri reali, le sue coordinate. I numeri reali hanno la struttura matematica di un campo infinito. Ma esistono anche campi finiti. Quindi perché non sostituire il campo infinito del numero reale con un campo finito, un cosiddetto campo di Galois?

Il miglior risultato che si potrebbe ottenere sarebbe che ogni campo finito di Galois soddisfi la maggior parte degli assiomi della geometria euclidea. Questo però non è il caso. Il risultato della ricerca di Kustaanheimo è leggermente più complicato:

  • Non tutti i campi finiti lo faranno. Se chiamiamo (p) il numero di elementi nel dominio del campo finito, allora (p) deve soddisfare alcune condizioni. Ciò significa che solo i campi finiti di una dimensione particolare, ovvero un valore specifico per (p), sono potenziali candidati.
  • Per i valori "buoni" di (p), il modello completo non funzionerà. Ad esempio, prendi le linee rette. Secondo la loro definizione in un campo finito, si scopre che ci sono due tipi di linee rette: aperte e chiuse. Questi ultimi violano alcuni degli assiomi, quindi limitate il modello a quelli aperti. Questa restrizione del modello è chiamata "kernel" euclideo del modello.

In breve, non si può affermare che qualsiasi campo finito lo farà, ma solo alcuni e per quella materia solo una parte di esso.

Questo approccio solleva alcune importanti questioni filosofiche:

  • È chiaro che la dimensione del modello è una caratteristica importante. Questo ha qualche significato? O, negativamente, cosa significa che i campi di dimensioni diverse non sono adatti come modelli? Supponiamo come esperimento mentale che la geometria euclidea sia un buon modello per la struttura geometrica dell'universo. Ha senso affermare che l'universo deve contenere esattamente (p) punti (non (p-1), non (p + 1))? Una nuova specie di pitagorismo sembra essere in agguato dietro l'angolo qui.
  • L'esempio delle linee rette mostra che ci sono oggetti geometrici "belli" (quelli che soddisfano la maggior parte degli assiomi) e oggetti geometrici "cattivi". Ignorare quelli cattivi è forse una strategia matematicamente interessante, ma non li elimina dal modello completo. In altre parole, sebbene non svolgano alcuna parte rilevante nel "kernel" del modello, sono lì. Cosa significa questo? Per continuare l'esperimento mentale sopra, la domanda è: cosa corrisponde agli oggetti "cattivi" nell'universo? Se non corrispondono a nulla, perché abbiamo bisogno in primo luogo di trovare gli oggetti "buoni"?

A difesa dell'approccio di Kustaanheimo bisogna dire che le connessioni tra infiniti e modelli finiti sono di solito molto più complesse di quanto ci si aspetti. Un modello finito non è semplicemente una versione ridotta di un modello infinito. Molto spesso appare una struttura diversa. Come analogia prendiamo i (numeri infiniti di) numeri naturali. Prendi una parte finita, dì i numeri da 1 a (L). Nel caso finito ha senso parlare di numeri piccoli e grandi rispetto a (L). Questo è classicamente impossibile. Quindi si trova una struttura aggiuntiva. Metaforicamente parlando, rendendo le cose finite, appare una struttura più dettagliata o "a grana fine", che viene spazzata via in presenza di infiniti. Forse la distinzione tra oggetti geometrici "buoni" e "cattivi" è una tale caratteristica aggiuntiva che scompare nel modello euclideo classico. Quindi forse i numeri primi hanno un significato. Ma rimane ancora la domanda: si tratta di un nuovo tipo di pitagorismo? Maggiori dettagli sull'approccio di Kustaanheimo si trovano nel documento supplementare: Campi finiti come modelli per la geometria del piano euclideo.

2.3 Un approccio costruttivo

L'originalità dell'approccio di Suppes risiede nel fatto che egli propone di formulare la geometria come una pratica di costruzioni, paragonabile al lavoro di Hjelmslev ma alquanto distinto. Una costruzione è qui intesa nel senso elementare della produzione di disegni o diagrammi, usando determinati strumenti, come un righello e / o una bussola, e non nel senso moderno in termini di base, cioè una base costruttiva, assiomatica per la geometria.

Due elementi sono importanti dal punto di vista (rigoroso) finizionista. In primo luogo, le costruzioni possono essere formulate in modo libero da quantificatori; l'espressione "disegnare una linea" non implica che dobbiamo parlare dell'insieme completo di linee in un piano. "Disegna una linea" si tradurrà in un oggetto finito specifico, vale a dire un frammento di linea su, ad esempio, un pezzo di carta. In secondo luogo, tutti i modelli considerati saranno finiti, poiché, indipendentemente dalle costruzioni eseguite, il punto di partenza sarà sempre un insieme finito di punti.

Suppes considera due operazioni di base: l'operazione (B), che corrisponde al taglio di una linea (ab) e l'operazione (D), che corrisponde al raddoppio di una linea (ab). Un passaggio (C_ {i}) in una costruzione è costituito da tre elementi: il primo elemento è il (nuovo) punto da costruire, il secondo elemento è una coppia di punti che sono già presenti e il terzo elemento è (B) o (D), in base all'operazione selezionata. La posizione iniziale è composta da tre punti dati, (a, b) e (c).

Esempio: considerare la costruzione (((d, ac, B), (e, bd, D))) composta da due passaggi. Il primo passo dice di iniziare con (ac) e costruire il punto medio (d), e nel secondo passo prendiamo il segmento (bd) e lo raddoppiamo. Una rappresentazione schematica chiarisce cosa sta succedendo:

[I punti a, b e c formano un triangolo, i segmenti di linea ab e bc sono linee continue, il segmento di linea bc è tratteggiato. Il punto d si trova a metà strada sul segmento di linea bc. Il segmento di linea tratteggiata bd si estende ulteriormente fino al punto e.]
[I punti a, b e c formano un triangolo, i segmenti di linea ab e bc sono linee continue, il segmento di linea bc è tratteggiato. Il punto d si trova a metà strada sul segmento di linea bc. Il segmento di linea tratteggiata bd si estende ulteriormente fino al punto e.]

Figura 1

A partire dalla tripla (a, b) e (c), abbiamo costruito il parallelogramma abce.

Naturalmente, semplicemente elencare un insieme di costruzioni non è sufficiente per parlare di una teoria geometrica, quindi deve essere dimostrato, come è stato fatto da Suppes, che è possibile un trattamento assiomatico. È sufficiente elencare un insieme di assiomi necessari sulle operazioni (B) e (D), in modo che si possa dimostrare che la figura disegnata nell'esempio sopra è effettivamente un parallelogramma. Inoltre è dimostrato un teorema di rappresentazione in modo tale che ai punti vengano attribuite coordinate razionali.

Devono essere fatti due commenti importanti. In primo luogo, resta da dimostrare che questa teoria geometrica elementare può essere estesa fino in fondo in una teoria geometrica a pieno titolo che può essere considerata un'alternativa plausibile alla geometria classica. Suppes stesso sembra abbastanza fiducioso mentre scrive:

la mia convinzione è che si può percorrere l'intera distanza, o certamente quasi l'intera distanza, in modo puramente finitistico, … (2001: 136)

In secondo luogo, l'attenzione alle costruzioni apre un nuovo modo di affrontare il problema della funzione di distanza. Non abbiamo bisogno di una funzione di distanza generale, ma, per ogni caso separato, dobbiamo essere in grado di attribuire coordinate ai punti presenti nel diagramma e nient'altro. Resta da vedere comunque se le operazioni di base, (B) e (D), possano essere estese senza perdere questa importante proprietà.

Nella sezione 2.5, tornerò al problema della distanza per presentare alcune altre soluzioni che sono state avanzate. In primo luogo, tuttavia, un approccio abbastanza diverso dal lato fisico.

2.4 Un esempio fisico diretto: una versione discreta della teoria della relatività speciale

Nel 1936 Silberstein propone una teoria discreta abbastanza semplice. L'unica cosa che usiamo in fisica sono le etichette, (x, y, z, t) e, se discrete, possono sempre essere etichettate con numeri interi. Nel breve libretto che riunisce le cinque lezioni su questo tema, Silberstein si limita a un parametro spaziale e uno temporale. Sebbene riconosca il problema (1936: 15) di dimensioni superiori, non lo affronta. Quindi il problema della distanza diventa piuttosto banale poiché su una linea, la funzione di distanza discreta e la funzione di distanza euclidea coincidono. La sua proposta è elementare, nel senso che la distanza più piccola, vale a dire. la distanza tra due punti adiacenti (x_ {i}) e (x_ {i + 1}) è uguale a 1 e similmente per la coordinata temporale, in modo che 1 diventi la velocità massima, pari a (c), quindi (c = 1). Gli analoghi per i derivati sono definiti, le equazioni differenziali sono sostituite da equazioni alle differenze, un analogo in termini di differenze finite è derivato dalla serie di Taylor e la maggior parte della fisica classica può essere imitata. Vale la pena ricordare che le lezioni includono un calcolo approssimativo della dimensione dei crononi, ovvero l'unità di tempo più piccola, e gli hodon, ovvero l'unità più piccola di spazio (unidimensionale). Supponi che (a) sia il numero di hodon in un centimetro e (b) il numero di chrononi in un secondo, quindi (frac {(1 / a)} {(1 / b)} = / frac {b} {a} = c = 3.10 ^ {10} text {cm / s,} quad / text {o} quad b = 3.10 ^ {10} cdot a.) Se risolviamo un valore inferiore limite per (a), dire (10 ^ {- 8}) cm (questo è in realtà il suggerimento di Silberstein!), quindi (b = 3.10 ^ {10} cdot a / geq 3.10 ^ {18}), ovvero il numero di crononi in un secondo. Inoltre applica la struttura dello spaziotempo discreto alla relatività speciale e anche qui si trova un analogo. Molto interessante in questo approccio è il fatto che compaiano condizioni aggiuntive che non sono necessarie nel caso classico. Ecco un'illustrazione.

La teoria della relatività speciale si basa sull'espressione, qui limitata a una dimensione spaziale, vale a dire, (x ^ {2} - c ^ {2} t ^ {2}). Pertanto, qualsiasi modifica a nuove coordinate (x '), (t'), deve soddisfare (x ^ {2} - c ^ {2} t ^ {2} = x '^ {2} - c ^ {2} t '^ {2}). Supponiamo di scrivere (x = ax '+ bt') e (t = cx '+ dt'), quindi le relazioni inverse saranno [x '= / frac {(dx' - bt ')} {(ad - bc)} quad / text {and} quad t '= / frac {(ax' - ct ')} {(ad - bc)}.) Se invece, (x), (x '), (t) e (t') devono essere tutti numeri interi, quindi necessariamente (ad - bc = 1). Quest'ultima condizione è una pura conseguenza del fatto che stiamo pensando in modo discreto, utilizzando numeri interi.

2.5 Alcune soluzioni parziali e problemi da affrontare

In questa sezione verranno discussi tre problemi specifici che devono essere risolti se una proposta per una geometria discreta deve essere presa sul serio: il problema della funzione di distanza, il problema della dimensione, il problema dell'anisotropia e il problema di identificazione.

Il problema della funzione di distanza. C'è un argomento piuttosto devastante che mostra l'impossibilità di una vera funzione di distanza per una geometria discreta. Risale al 1949 ed è stato formulato per la prima volta da Hermann Weyl:

Se un quadrato è costituito da tessere in miniatura, allora ci sono tante tessere lungo la diagonale quante sono lungo i lati; quindi la diagonale dovrebbe essere uguale in lunghezza al lato. (Weyl 1949: 43)

Sono state formulate almeno tre soluzioni a questo problema.

Van Bendegem (1987) sosteneva che in una geometria finita dovrebbe essere un fatto fondamentale che le linee e i punti abbiano estensioni. In particolare, si suppone che le linee abbiano una larghezza costante (indipendente dall'orientamento della linea) (N_ {D}) Pertanto (N_ {D}) rappresenta un numero grande (finito), corrispondente al numero di quadrati che formano (N_ {D}). Data una linea, la larghezza è sempre definita come perpendicolare a quella linea. Supponiamo ora che la linea abbia un orientamento corrispondente ad un angolo (alpha) tra la linea e l'asse (x). Quindi la larghezza (N_ {D}) di quella linea, quando proiettata sull'asse (x) - sarà (left (frac {N_ {D}} { sin / alpha} right]) dove l'espressione ([x]) indica il numero intero maggiore minore o uguale a (x).

[una griglia con due linee parallele che vanno da in alto a sinistra a in basso a destra, vicino al fondo è una linea orizzontale che attraversa entrambe le linee (il suo angolo con la linea parallela sinistra è etichettato con un simbolo alfa). Sopra un segmento di linea orizzontale collega le due linee parallele e un altro segmento di linea (N D / sin (alfa) ha una freccia che punta a questo) va dalla sua intersezione con la linea parallela destra ad un punto sulla linea parallela sinistra in basso (N D ha un freccia che punta a questo segmento di linea. L'angolo tra il primo segmento di linea e la linea parallela sinistra è etichettato con un simbolo alfa.]
[una griglia con due linee parallele che vanno da in alto a sinistra a in basso a destra, vicino al fondo è una linea orizzontale che attraversa entrambe le linee (il suo angolo con la linea parallela sinistra è etichettato con un simbolo alfa). Sopra un segmento di linea orizzontale collega le due linee parallele e un altro segmento di linea (N D / sin (alfa) ha una freccia che punta a questo) va dalla sua intersezione con la linea parallela destra ad un punto sulla linea parallela sinistra in basso (N D ha un freccia che punta a questo segmento di linea. L'angolo tra il primo segmento di linea e la linea parallela sinistra è etichettato con un simbolo alfa.]

figura 2

La distanza (d) tra due punti (p) e (q) viene quindi definita come il numero di quadrati nel rettangolo formato dalla linea da (p) a (q) e il larghezza (N_ {D}), divisa per (N_ {D}). L'idea è che, sebbene in una geometria discreta le linee debbano necessariamente avere una larghezza, questa non è una caratteristica essenziale, quindi può essere suddivisa. Quindi:

[d (p, q) = N_ {L} cdot / left (frac {N_ {D}} { sin / alpha} right] (mathrm {div}, N_ {D}).]

(N_ {L}) qui corrisponde al numero di strati paralleli all'asse (x) - tra (p) e (q) e (n (mathrm {div}, m)) è il quoziente della divisione di (n) per (m.)

A titolo di esempio, considera il problema di Weyl.

[una griglia con due rettangoli lunghi, uno orientato in alto (etichettato 'p') / in basso (etichettato 'q') sull'asse lungo e uno orientato a sinistra (etichettato 'q') / destro (etichettato 'r') sul lungo asse; si sovrappongono sul lato inferiore dell'uno e sul lato sinistro dell'altro. Un lungo parallelogramma si sovrappone sul lato superiore dell'uno e sul lato destro dell'altro. I lati lunghi di entrambi i rettangoli sono etichettati N L e i lati corti, N D. Un segmento di linea orizzontale da un lato del parallelogramma all'altro è etichettato '[sqrt (2) N d]'. L'angolo di intersezione tra il parallelogramma e il rettangolo sinistro / destro è etichettato 'alpha = pi / 4.]
[una griglia con due rettangoli lunghi, uno orientato in alto (etichettato 'p') / in basso (etichettato 'q') sull'asse lungo e uno orientato a sinistra (etichettato 'q') / destro (etichettato 'r') sul lungo asse; si sovrappongono sul lato inferiore dell'uno e sul lato sinistro dell'altro. Un lungo parallelogramma si sovrappone sul lato superiore dell'uno e sul lato destro dell'altro. I lati lunghi di entrambi i rettangoli sono etichettati N L e i lati corti, N D. Un segmento di linea orizzontale da un lato del parallelogramma all'altro è etichettato '[sqrt (2) N d]'. L'angolo di intersezione tra il parallelogramma e il rettangolo sinistro / destro è etichettato 'alpha = pi / 4.]

Figura 3

Abbiamo un triangolo rettangolo pqr tale che per semplicità i lati giusti (pq) e (qr) sono uguali tra loro e allineati con gli assi della griglia. Supponiamo che il numero di quadrati nella parte destra sia (N_ {L}). Poi

(begin {align *} d (p, q) & = d (q, r) & = N_ {L} cdot [N_ {D}] (mbox {div}, N_ {D}) & = N_ {L}, \\ / end {align *})

poiché, ovviamente, ([N_ {D}]) = (N_ {D}). Tuttavia, l'ipotenusa ha un angolo di (alpha = / frac { sqrt {2}} {2}). Così, (begin {align *} d (p, r) & = N_ {L} cdot / left (frac {N_ {D}} { sin / alpha} right] (mbox {div}, N_ {D}) & = N_ {L} cdot (sqrt {2} cdot N_ {D}] (mbox {div}, N_ {D}) & = N_ {L} cdot (sqrt {2}] _ {n}, / end {align *})

dove ([r] _ {n}) indica il numero (r) fino a (n) decimali. Non sono necessari calcoli per mostrare che (una stretta approssimazione di) il teorema di Pitagora regge, cioè, (d ^ {2} (p, q) + d ^ {2} (q, r) = d ^ {2} (p, r)). Infine, c'è una semplice spiegazione del motivo per cui si verifica il problema di Weyl: corrisponde al caso limite (N_ {D} = 1). Quando (N_ {D} = 1), quindi ((sqrt {2} cdot N_ {D}] = (sqrt {2}] = 1), quindi (d (p, r) = N_ {L} cdot 1 = N_ {L}) e il teorema di Pitagora fallisce.

Sebbene l'introduzione di una larghezza (N_ {D}) risolva apparentemente il problema, è altrettanto chiaro quali siano gli svantaggi. Senza la classica geometria euclidea sullo sfondo, non c'è davvero alcun modo per avviare la costruzione. Non esiste una definizione di una linea in termini di geometria discreta stessa e, soprattutto, la larghezza proiettata sull'asse (x) - di una linea (L) viene calcolata secondo una funzione di distanza euclidea che è non esplicitamente menzionato. In breve, c'è una combinazione di due funzioni di distanza.

Peter Forrest (1995) presenta un'altra soluzione. Comincia introducendo una famiglia di spazi discreti (E_ {n, m}), dove (n) corrisponde alla dimensione "classica" dello spazio e (m) è un fattore di scala, da intendersi come segue: (m) è un parametro per decidere quando due punti sono o non sono adiacenti, che è il concetto base (e unico) della sua geometria. Pertanto, nel caso (n = 2), i punti sono etichettati da coppie di numeri interi ((i, j)) e due punti ((i, j)) e ((i ', j')) sono adiacenti se sono distinti e ((i-i ') ^ {2} + (j-j') ^ {2} le m ^ {2}).

Una volta stipulato l'adiacenza, una funzione di distanza può essere facilmente derivata: la distanza tra (p) e (q), (d (p, q)), è il numero più piccolo di "collegamenti" in un catena di punti che collegano (p) e (q) in modo tale che ciascuno sia adiacente al precedente. Quindi non ci sono problemi per dimostrare che una linea retta che passa attraverso due punti è quella catena di punti che ha la distanza più breve.

Se il parametro (m) ha un valore piccolo, la funzione di distanza risultante non è euclidea. Più precisamente, se (m = 1), allora abbiamo, ancora una volta, la situazione presentata da Weyl. Ma se, diciamo, (m = 10 ^ {30}) (la cifra proposta dallo stesso Forrest), allora la situazione cambia. Quindi è possibile mostrare che la funzione di distanza nello spazio discreto si avvicina alla funzione di distanza euclidea quanto più si desidera. Senza presentare tutti i dettagli, si può dimostrare che una funzione di distanza euclidea (d_ {E}) e la funzione di distanza discreta (d) sono correlate da un fattore di scala, cioè, (d_ {E} frac { (p, q)} {d (p, q)} = / mbox {costante} (m)), dove la costante è determinata dal valore di (m). Non sono ancora necessari calcoli per dimostrare che la funzione di distanza originale (d) soddisfa il teorema di Pitagora.

Se si cerca un punto debole in questo approccio, inevitabilmente si deve finire con la nozione base di adiacenza. Qual è la ragione per definire l'adiacenza in termini euclidei? Dopo tutto, una condizione come ((i-i ') ^ {2} + (j-j') ^ {2} le m ^ {2}) sembra euclidea come può essere. Una possibile via d'uscita è suggerita in Van Bendegem (1997). Uno dei vantaggi di un approccio discreto - e, di fatto, questo sembra valere in generale per rigide proposte finitiste - è che le definizioni che sono classicamente equivalenti risultano essere distinte in un rigoroso quadro finitista. Pertanto, più specificamente, un cerchio può essere definito (almeno) in due modi:

  1. come l'insieme di punti (p) che hanno una distanza fissa rispetto a un punto fisso,
  2. come l'insieme di punti (p) tale che, dato un segmento di linea fissa (ab), l'angolo formato da (apb) è un angolo retto.

Classicamente parlando, queste due definizioni sono equivalenti. Tuttavia, non hanno una geometria discreta. Se, ad esempio, la funzione di distanza è definita come il numero più basso di hodon che collegano due punti dati, le due definizioni non sono equivalenti. Usando la definizione (a), il cerchio avrà la forma di un quadrato (un fatto ben noto nella cosiddetta geometria del taxi) e quindi inutile definire l'adiacenza come fatto sopra. La definizione (b) d'altra parte produce una figura che può avvicinarsi a un circolo euclideo quanto più si desidera. In tal modo la definizione di adiacenza di Forrest è accettabile in un quadro discreto, in quanto non viene fatto riferimento a una funzione di distanza euclidea.

La terza soluzione si trova in Crouse e Skufca (2019), che presenta un'interessante sintesi delle due precedenti proposte per risolvere il problema della funzione di distanza. Ciò che suggeriscono è una sorta di interpretazione fisica che rende possibili tre cose. In primo luogo, consente di determinare le dimensioni più basse per hodon e chronon in termini di lunghezza e tempo di Planck. In secondo luogo, suggerisce una definizione della distanza da A a B in termini di distanza percorsa da un hodon di "test" (ovviamente in passi minimi discreti). Questo risolve immediatamente il problema dell'anisotropia in quanto nessuna direzione è privilegiata. In terzo luogo, non suppone l'esistenza a priori di una griglia (o di una struttura simile) come quadro di riferimento assoluto. Ciò apre la possibilità di riformulare la teoria della relatività speciale, cosa che fanno. Sebbene l'approccio di Silberstein (vedere la sezione 2.4 sopra) non sia menzionato, è chiaramente correlato e può essere considerato un miglioramento, poiché la base fisica è filosoficamente più motivata.

Se queste proposte e suggerimenti possono essere considerati risposte adeguate al problema delle piastrelle di Weyl, di recente un altro bell'esempio di approccio no-go (e teorema di accompagnamento) si trova in Fritz (2013). Inizia con una formulazione astratta di un grafico periodico, ovvero un insieme di vertici e un insieme di bordi. Ai fini pratici, la periodicità può essere pensata come una struttura cristallina. Ciò significa che abbiamo un'unità finita di base che può coprire l'intero grafico attraverso copie iterate di quell'unità base. Prendi ad esempio una struttura bidimensionale. I vertici possono essere etichettati o "ponderati" da due numeri ((i, j)). Una traiettoria ((f_ {n}) _ {n / in N}) è una sequenza di pesi di vertici, tale che i vertici portano (f_ {n}) e (f_ {n + 1}) sono collegati da un bordo. Successivamente definiamo la velocità (macroscopica) di tale traiettoria come

[u = / lim_ {n / rightarrow / infty} frac {(f_n - f_0)} {n},)

che suona perfettamente accettabile. Esempio: la traiettoria tale che (f_ {n} = (n, 0)), a partire da (f_ {0} = (0, 0)) avrà velocità macroscopica 1, come (f_ {n} - f_ {0} = (n, 0)) e, diviso per (n), questo lascia (1, 0). Senza entrare nei dettagli, mostra quindi che la struttura geometrica di tutte le velocità (macroscopiche) in un tale grafico non può corrispondere a quella dello spazio euclideo. Il motivo è abbastanza semplice (anche se le prove non lo sono): nel grafico ci saranno sempre individuate direzioni "speciali" e l'anisotropia rimarranno rilevabili anche a livello macroscopico. Pertanto è esclusa una transizione dal livello discreto al livello macroscopico, continuo, euclideo e isotropico. Questo è un risultato davvero interessante in quanto getta un'ombra su tutti i tentativi di utilizzare unpassaggio spesso piuttosto ingenuo dal livello discreto al livello continuo. Allo stesso tempo, si dichiara favorevole a transizioni più complesse dal livello microscopico a quello macroscopico, ad esempio tenendo conto della larghezza di una linea.

Il problema della dimensione. Non è stata prestata molta attenzione a questo problema, sebbene sia fondamentale. Se il piano è costituito da un insieme discreto di elementi, hodon o atomi, questo insieme deve avere dimensione zero. Perché, per determinare la dimensione, questo insieme deve essere dotato di una topologia e l'unico candidato possibile è la topologia discreta. Ciò implica che la dimensione è zero. Ciascuno dei due ha la possibilità di abbandonare semplicemente la nozione di dimensione sulla base dell'argomento secondo cui il concetto di dimensione presuppone un concetto di continuità e topologia e quindi non ha un significato finitista. Oppure si cerca un analogo, ma non è affatto chiaro cosa potrebbe essere. Qualcosa che non si dovrebbe provare a fare è derivare una nozione di dimensione da una relazione di ordinamento. Supponiamo che gli hodon siano etichettati da numeri interi ((i,j)) in un sistema di coordinate appropriato, tale che (- L / le i), (j / le L), dove (L) è un limite superiore. Quindi sono possibili relazioni di ordinamento abbastanza diverse. Una possibilità è definire ((i, j) lt (k, l)) if e only if (i + j / lt k + l). Ma un'altra possibilità è definire ((i, j) lt (k, l)) if e only if or (i / lt k) or, if (i = k), then (j / lt l). Richiede quindi ulteriori argomenti per affermare che tra tutte le possibili relazioni di ordine su un determinato insieme, uno e solo uno ha uno status speciale. Comunque nella sezione 3 vedremo che, usando gli strumenti della teoria dei grafi, si può davvero dare una definizione di dimensione.l)) if e only if (i + j / lt k + l). Ma un'altra possibilità è definire ((i, j) lt (k, l)) if e only if or (i / lt k) or, if (i = k), then (j / lt l). Richiede quindi ulteriori argomenti per affermare che tra tutte le possibili relazioni di ordine su un determinato insieme, uno e solo uno ha uno status speciale. Comunque nella sezione 3 vedremo che, usando gli strumenti della teoria dei grafi, si può davvero dare una definizione di dimensione.l)) if e only if (i + j / lt k + l). Ma un'altra possibilità è definire ((i, j) lt (k, l)) if e only if or (i / lt k) or, if (i = k), then (j / lt l). Richiede quindi ulteriori argomenti per affermare che tra tutte le possibili relazioni di ordine su un determinato insieme, uno e solo uno ha uno status speciale. Comunque nella sezione 3 vedremo che, usando gli strumenti della teoria dei grafi, si può davvero dare una definizione di dimensione.

Il problema dell'isotropia. Se il piano è costruito da hodon quadrati, come nel paragrafo precedente, gli hodon sono disposti in modo tale che ogni hodon tocchi altri quattro hodon, cioè il piano può essere modellato come una griglia quadrata, quindi è ovvio che ci sono direzioni preferite, in questo caso ci saranno due direzioni preferite. Tuttavia se invece di quadrati, gli esagoni sono presi come hodon, allora ci sono tre direzioni preferite. Quindi, indipendentemente dalla forma dell'hodon, ci saranno direzioni preferite e questo implica che lo spazio è anisotropico. Si noti che questi casi non sono altro che casi speciali dell'approccio generale di Tobias Fritz, discussi sopra. Tuttavia, per applicazioni fisiche si vorrebbe avere isotropia (o almeno il più vicino possibile).

Sono possibili due approcci, che non rientrano nel teorema del no-go di Fritz. O gli hodon hanno una forma definita o no. Nel primo caso è stato suggerito che invece di una piastrellatura periodica regolare del piano, si dovrebbe cercare una piastrellatura aperiodica irregolare, come la piastrellatura Penrose.

[scalpiccio di penrose, un gran numero di diversi tipi di parallelgrammi che si uniscono in gruppi di 10 per formare più figure a 10 facciate e gruppi di 3 per formare figure multiple a 6 facce intrecciate]
[scalpiccio di penrose, un gran numero di diversi tipi di parallelgrammi che si uniscono in gruppi di 10 per formare più figure a 10 facciate e gruppi di 3 per formare figure multiple a 6 facce intrecciate]

Figura 4

Sebbene non siano disponibili esempi elaborati, sembra una linea di attacco promettente. Nel caso della piastrellatura di Penrose è interessante vedere che non ci sono più linee classiche diritte, proprio a causa dell'aperiodicità. Nel secondo caso la vaghezza è una possibile via d'uscita. Come difendono Peter Forrest nel suo (1995) e Crouse e Skufca nel (2019), l'intera idea di una rappresentazione specifica di uno spazio discreto, ad esempio, come costruita da piccoli quadrati, è fondamentalmente sbagliata. Se un hodon ha una forma specifica, allora non si può evitare di porre domande su parti di un hodon, come il suo confine, ma ciò non ha senso se gli hodon sono le entità spaziali più piccole possibili. Una posizione intermedia difesa in Van Bendegem (1997) è quella di considerare una serie di geometrie discrete (G_ {i}), ognuna con un hodon di una dimensione particolare, (h_ {i}),tale che (h_ {i} ne h_ {j}), per (i / ne j) e, inoltre, ci sono (M) e (N) tali che (M / lt h_ {i} lt N), per tutti (i). Si può quindi applicare una tecnica di sopravvalutazione alla serie. Ciò significa che un'istruzione sarà True (False) se è true (false) in ogni geometria (G_ {i}). In tutti gli altri casi è Indeciso, vale a dire vero in alcuni e falso in altri. Ora se (A) è la frase "hodons have size (alpha)" (dove (alpha) è un numero specifico), questo sarà indeciso, se corrisponde ad almeno uno dei (Ciao}). Tale approccio, tuttavia, introduce nella discussione tutti i problemi legati alla vaghezza, che non è necessariamente una situazione incoraggiante. Anche per questo problema, una risposta originale può essere data all'interno della struttura della teoria dei grafi.ci sono (M) e (N) tali che (M / lt h_ {i} lt N), per tutti (i). Si può quindi applicare una tecnica di sopravvalutazione alla serie. Ciò significa che un'istruzione sarà True (False) se è true (false) in ogni geometria (G_ {i}). In tutti gli altri casi è Indeciso, vale a dire vero in alcuni e falso in altri. Ora se (A) è la frase "hodons have size (alpha)" (dove (alpha) è un numero specifico), questo sarà indeciso, se corrisponde ad almeno uno dei (Ciao}). Tale approccio, tuttavia, introduce nella discussione tutti i problemi legati alla vaghezza, che non è necessariamente una situazione incoraggiante. Anche per questo problema, una risposta originale può essere data all'interno della struttura della teoria dei grafi.ci sono (M) e (N) tali che (M / lt h_ {i} lt N), per tutti (i). Si può quindi applicare una tecnica di sopravvalutazione alla serie. Ciò significa che un'istruzione sarà True (False) se è true (false) in ogni geometria (G_ {i}). In tutti gli altri casi è Indeciso, vale a dire vero in alcuni e falso in altri. Ora se (A) è la frase "hodons have size (alpha)" (dove (alpha) è un numero specifico), questo sarà indeciso, se corrisponde ad almeno uno dei (Ciao}). Tale approccio, tuttavia, introduce nella discussione tutti i problemi legati alla vaghezza, che non è necessariamente una situazione incoraggiante. Anche per questo problema, una risposta originale può essere data all'interno della struttura della teoria dei grafi. Si può quindi applicare una tecnica di sopravvalutazione alla serie. Ciò significa che un'istruzione sarà True (False) se è true (false) in ogni geometria (G_ {i}). In tutti gli altri casi è Indeciso, vale a dire vero in alcuni e falso in altri. Ora se (A) è la frase "hodons have size (alpha)" (dove (alpha) è un numero specifico), questo sarà indeciso, se corrisponde ad almeno uno dei (Ciao}). Tale approccio, tuttavia, introduce nella discussione tutti i problemi legati alla vaghezza, che non è necessariamente una situazione incoraggiante. Anche per questo problema, una risposta originale può essere data all'interno della struttura della teoria dei grafi. Si può quindi applicare una tecnica di sopravvalutazione alla serie. Ciò significa che un'istruzione sarà True (False) se è true (false) in ogni geometria (G_ {i}). In tutti gli altri casi è Indeciso, vale a dire vero in alcuni e falso in altri. Ora se (A) è la frase "hodons have size (alpha)" (dove (alpha) è un numero specifico), questo sarà indeciso, se corrisponde ad almeno uno dei (Ciao}). Tale approccio, tuttavia, introduce nella discussione tutti i problemi legati alla vaghezza, che non è necessariamente una situazione incoraggiante. Anche per questo problema, una risposta originale può essere data all'interno della struttura della teoria dei grafi. Ora se (A) è la frase "hodons have size (alpha)" (dove (alpha) è un numero specifico), questo sarà indeciso, se corrisponde ad almeno uno dei (Ciao}). Tale approccio, tuttavia, introduce nella discussione tutti i problemi legati alla vaghezza, che non è necessariamente una situazione incoraggiante. Anche per questo problema, una risposta originale può essere data all'interno della struttura della teoria dei grafi. Ora se (A) è la frase "hodons have size (alpha)" (dove (alpha) è un numero specifico), questo sarà indeciso, se corrisponde ad almeno uno dei (Ciao}). Tale approccio, tuttavia, introduce nella discussione tutti i problemi legati alla vaghezza, che non è necessariamente una situazione incoraggiante. Anche per questo problema, una risposta originale può essere data all'interno della struttura della teoria dei grafi.

Il problema di identificazione Supponiamo di avere una geometria discreta a tutti gli effetti e supponiamo di sostituire la geometria classica di una teoria fisica con la versione discreta. Parleremo ora di hodon e chronon. La domanda "naturale" che si pone è che cosa si deve identificare con cosa? Immagina che, in linea con Silberstein, siamo un po 'ingenui e saremmo tentati di identificare l'hodon con la lunghezza di Planck, (l_ {p} = 10 ^ {- 35} text {m}) e il chronon con Tempo di Planck, (t_ {p} = 10 ^ {- 43} text {s}). Se uno accetta ora che la velocità massima è un hodon per chronon, ciò che viene fuori da questa identificazione è che la velocità massima è effettivamente (c = 3.10 ^ {8} text {m / s}). (Nota: non sta succedendo nulla di straordinario qui, poiché nella fisica classica, (l_ {p}) è definito come (sqrt { hbar G / c ^ 3},) e (t_ {p}) come (sqrt { hbar G / c ^ 5},) in modo che sia immediatamente ovvio che (l_ {p} / t_ {p} = c). Ora fai la semplice domanda quale sarà la prossima velocità, appena sotto (c)? La risposta deve essere: un hodon per due crononi, ma ciò significa una velocità di (c / 2). Sembra che abbiamo perso l'intera gamma tra (c / 2) e (c). C'è una via d'uscita, ma suppone che il movimento "a scatti" sia considerato possibile, un'idea esteticamente piuttosto brutta. Un oggetto muove due hodon in due chronon, quindi attende un chronon e quindi ripete lo stesso movimento. La velocità media è quindi (2c / 3). Una possibile via d'uscita, che sarà brevemente menzionata nella sezione 3.2, è quella di introdurre un elemento di casualità nella struttura. Per apprezzare la piena complessità di questo argomento, andando oltre le semplici relazioni numeriche, vedere l'eccellente panoramica e discussione di Hagar (2014).

3. Geometrie discrete come generatori di geometria classica

3.1 Il quadro generale

Come affermato nella sezione 1, discuteremo qui delle proposte che cercano una teoria o un modello, alla base di una teoria geometrica, in modo tale da poter derivare i concetti geometrici classici. Ovviamente bisogna stare estremamente attenti poiché il "pericolo" è costantemente presente nel fatto che gli infiniti entrano nell'immagine da qualche parte invisibili o inosservati. Supponiamo, per fare un semplice esempio, che sia consentita solo una serie di punti finiti, ma anche un'operazione che generi tra una coppia di punti un terzo punto diverso da tutti i punti presenti e che non vi siano restrizioni sul numero di volte in cui l'operazione può essere applicato, quindi chiaramente abbiamo qui un numero infinito di punti "sotto mentite spoglie". Definire un tale modello un discreto modello geometrico sembra del tutto inappropriato.

Bisogna anche stare molto attenti, per esempio, alle affermazioni secondo cui la meccanica quantistica si occupa di valori discreti, di solito in relazione ai principi di incertezza di Heisenberg, quindi la fisica a livello base è una teoria discreta. Ciò, tuttavia, è estremamente fuorviante. È sufficiente consultare qualsiasi manuale sulla meccanica quantistica per osservare che la matematica utilizzata richiede il pieno utilizzo degli infiniti. Indipendentemente dal fatto che si utilizzi l'approccio della matrice di Heisenberg, il formalismo dell'operatore di Hilbert, l'equazione delle onde di Schrödinger o qualche altro formalismo, la matematica comprende integrali, derivati, somme infinite (convergenti), spazi con dimensione infinita e così via (vedere la voce sulla meccanica quantistica). Non molta discrezione può essere trovata qui. Ciò implica che anche per la meccanica quantistica è un vero problema trovare una controparte discreta. Ciò è chiaramente dimostrato dai tentativi di Gerard 't Hooft di riformulare la meccanica quantistica in modo veramente discreto, vedi' t Hooft (2014). È interessante notare che colpisce questioni come il determinismo contro l'indeterminismo.

Dal punto di vista storico, senza dubbio il lavoro di Tullio Regge può essere visto come un primo tentativo di sviluppare un modello dal quale potrebbero essere sviluppati concetti geometrici. Il documento originale risale al 1961, vedi Regge (1961). Più specificamente, ci occupiamo qui della teoria della relatività generale (GRT). Sebbene l'intenzione originale di Regge fosse quella di costruire tecniche per risolvere le equazioni del GRT nei casi "difficili", vale a dire dove non è presente la simmetria e la teoria delle perturbazioni non è applicabile. Invece di trascrivere le equazioni differenziali di GRT in equazioni di differenza, Regge ha cercato una tecnica che porta a equazioni diverse del tutto. Senza presentare tutti i dettagli, il concetto centrale del suo approccio è l '"angolo di deficit". In GRT abbiamo a che fare con spazi curvi. Prendi una superficie curva bidimensionale. Se è piatto, può essere coperto con triangoli. Se è curvo, può essere approssimato con triangoli, ma con una differenza importante. Supponiamo che i triangoli si incontrino ai vertici, quindi possiamo guardare un punto particolare e tutti i triangoli che si incontrano in quel punto. Se quella parte della superficie viene appiattita, da qualche parte ci sarà uno spazio vuoto. A questo gap corrisponde un angolo e questo è precisamente l'angolo di deficit. Maggiore è la curvatura, maggiore è l'angolo di deficit. La stessa tecnica funziona per il caso quadridimensionale, dove al posto dei triangoli vengono utilizzati i simplex. La bellezza di questo approccio è che le equazioni di GRT possono essere riscritte in termini di angoli di deficit e lunghezze dei bordi dei simplex e risolte in termini di questi concetti. Misner et al. (1973) contiene un capitolo (42:"Il calcolo Regge") che spiega l'approccio di Regge in modo compatto e perfettamente accessibile.

Oggi c'è un numero piuttosto impressionante di tentativi. Molti di essi devono essere considerati altamente speculativi in quanto rispecchiano veramente lo stato attuale delle cose in pieno sviluppo. Tuttavia, rimane un insieme di approcci che lentamente iniziano a emergere e che sembrano candidati validi e interessanti per una visione finitista della geometria (in termini di spaziotempo). Va notato che per gli autori interessati il loro scopo principale non è tanto quello di formulare una forma discreta di geometria, ma piuttosto di stabilire se questo o quel modello servirà come base comune per la teoria quantistica (di campo) e GRT, quindi per tutta la fisica, per così dire o, se uno piace, la "teoria di tutto". La nostra preoccupazione qui è in realtà più modesta:questi modelli ci dicono in che modo è possibile formulare geometrie discrete in modo tale da generare geometria classica? Quindi, anche se i fisici dovessero rifiutare un tale modello sulla base di buone solide ragioni fisiche, potrebbe comunque interessare la questione della possibilità di una geometria discreta.

Huggett & Wuthrich (2013a) presenta una bella panoramica della situazione attuale per quanto riguarda il resto del set. Vale la pena ricordare che questo articolo fa parte di un numero speciale, Huggett & Wuthrich (2013b), sull'emergere dello spaziotempo nelle teorie quantistiche della gravità. Nel complesso discutono e valutano sei tipi di proposte, ma ne considereremo solo tre. I restanti tre sono o troppo speculativi al momento attuale o non implicano tempi spaziali discreti (come la teoria delle stringhe e la geometria non commutativa). I tre approcci rilevanti per il nostro argomento sono:

  • Spazio-tempo reticolare: questo è vicino all'approccio di Regge, nel senso che lo spazio continuo (e il tempo) sono sostituiti da una struttura discreta, in questo caso un reticolo. Se questi reticoli sono dotati di una qualche forma ovviamente-discreta-metrica, le connessioni tra spazio continuo e discreto (e tempo) diventano molto vicine. La prossima sezione presenta tale proposta (tralasciando la fisica),
  • Reticoli non metrici: l'esempio più noto sotto questa voce sono i reticoli causali. Le connessioni tra i "punti" nel reticolo sono relazioni causali e ciò richiede molto più lavoro per ricavarne una struttura spazio-temporale. In effetti, in molti casi abbiamo teoremi di non andare, nel senso che i reticoli discreti "non riescono ad avere limiti continui ben educati che ricordano i tempi spaziali relativistici" (p. 278), così "facendo eco" al già menzionato risultato negativo di Fritz (2013),
  • Gravità quantistica ad anello: questa teoria è uno dei tentativi, presi sul serio, di unificare la teoria quantistica (di campo) e la relatività generale. Le strutture di base sono le cosiddette reti di spin tridimensionali. Se si lascia che queste reti si evolvano nel tempo, allora emerge una struttura quadridimensionale, la cosiddetta schiuma di spin, che nel limite dovrebbe generare la struttura relativistica spazio-temporale. Un avvertimento dovrebbe essere inserito qui: sebbene la struttura di una rete di spin sia quella di un grafico con un insieme di nodi e un insieme di bordi, tuttavia questi nodi e bordi sono etichettati da quantità significative dal punto di vista fisico che coinvolgono strutture continue come i gruppi di Lie. Senza entrare nei dettagli questo breve estratto di Reisenberger (1999) è altamente illustrativo:

    In generale i bordi di una rete di spin trasportano rappresentazioni irriducibili (insulti) non banali del gruppo di gauge, mentre i vertici portano intertwiners. L'intreccio per un vertice può essere qualsiasi tensore invariante della rappresentazione del prodotto (R) formata dal prodotto degli aculei trasportati dai bordi in entrata e dai doppi degli organi in corrispondenza dei bordi in uscita. (p. 2047)

Per apprezzare la rapidità con cui le cose si stanno evolvendo in questo settore di ricerca, si dovrebbe fare un confronto tra Huggett & Wüthrich (2013a) e Meschini et al. (2005), intendeva anche essere un documento di indagine. È interessante notare che Huggett e Wüthrich descrivono il loro sondaggio come complementare all'altro. In quest'ultimo articolo viene brevemente presentato il lavoro di Manfred Requardt e questo servirà da esempio prototipico perché non introduce il lato fisico delle cose fin dall'inizio. Per avere un assaggio di approcci più sofisticati che coinvolgono la fisica fin dall'inizio, vedi Smolin (2018), dove viene discussa anche la gravità del loop quantico, menzionata direttamente sopra. Sebbene tali approcci, sia i casi di base che quelli sofisticati, non siano menzionati nella letteratura sulle logiche spaziali,tuttavia le connessioni tra i due sono molto profonde e vicine e sicuramente devono essere esplorate ulteriormente.

3.2 Un esempio prototipico, usando i grafici

Il punto di partenza è un grafico discreto (G = / langle N, C / rangle) costituito da un set (N) di nodi, (n_ {i}) e un set (C) di connessioni, (c_ {ij}), in modo tale che nessun nodo sia connesso a se stesso e che i nodi (n_ {i}) e (n_ {j}) abbiano al massimo una connessione. Ciò che sembra più ovvio è come definire una funzione di distanza e in quasi tutte le proposte, questa è davvero la strategia seguita (simile alle definizioni proposte nella sezione 2.5):

(D (n_ {i}, n_ {j})) = il numero più piccolo di connessioni che portano da (n_ {i}) a (n_ {j}).

È facile vedere che le proprietà classiche di una funzione di distanza sono soddisfatte:

  • (D (n_i, n_i) = 0,)
  • (D (n_i, n_j) = D (n_j, n_i),)
  • (D (n_i, n_j) + D (n_j, n_k) ge D (n_i, n_k).)

A prima vista non è affatto ovvio come si debba procedere oltre, ma se si legge (n_ {i}) e (c_ {ij}) come una sorta di vettore, allora le combinazioni lineari possono essere formato, dove (f_ {i}) e (g_ {ij}) sono, ad esempio, numeri naturali o razionali:

[f = / sum_i f_i n_i / quad / mbox {and} quad g = / sum_ {ik} g_ {ik} c_ {ik}.)

Queste due espressioni possono essere lette come funzioni su (n_ {i}) e (c_ {ij}). Ciò di cui si ha bisogno ora è una relazione tra nodi e connessioni, quindi introdurre una funzione speciale (d):

[d: n_i / rightarrow / sum_k c_ {ik}.)

È abbastanza interessante vedere cosa succede se estendiamo la funzione (d) in modo lineare in modo che possa essere applicata a funzioni arbitrarie (f):

[df = / sum_i f_i / sum_k c_ {ik}.)

Se ora stipuliamo che (c_ {ik} = -c_ {ki}) (come una sorta di equazione vettoriale, affermando che le connessioni hanno una direzione), l'espressione sopra può essere riscritta come segue (tenere presente che, poiché non sono consentiti loop, (c_ {ii} = 0)):

[df = / frac {1} {2} sum_ {ik} (f_k-f_i) c_ {ik})

Anche se è ancora molto lontano, questa espressione (df) ha già alcune belle proprietà che ricordano a una derivata di una funzione (f):

  • È lineare: (d (f + g) = df + dg),
  • Se (f) è una funzione costante nel senso che in ogni nodo (f_ {i}) ha lo stesso valore, allora è immediato che (df), per (f) costante, è 0,
  • Se (f) è tale che in due nodi direttamente correlati (n_ {i}) e (n_ {i + 1}), (f_ {i + 1}) = (f_ {i } + 1), in altre parole, questo esprime che (f (i) = i), quindi (df) è 1, dove 1 è la funzione rappresentata da (sum_i n_i). Quindi la derivata della funzione identità è la funzione costante 1.

Tuttavia, come è facile verificare con le definizioni precedenti, la regola del prodotto ha esito negativo, ovvero (d (f / cdot g)) non è uguale a (df / cdot g + f / cdot dg).

Quindi, in una certa misura, è possibile costruire una forma base di calcolo su grafici discreti. Richiede un po 'di ingegnosità e di pensiero creativo per trovare le controparti “giuste”, ma questo semplice esempio mostra che una discreta struttura può essere derivata da un grafico discreto. In realtà c'è di più. I grafici discreti consentono una buona soluzione al problema delle dimensioni, menzionato nella sezione 2.5. Questo è il profilo approssimativo dell'idea:

Considera un nodo (n_ {i}), quindi (U_ {1}) è l'insieme di nodi (n_ {j}) tale che (D (n_ {i}, n_ {j}) = 1), ovvero (U_ {1}) riunisce i vicini più vicini di (n_ {i}). Allo stesso modo, possiamo definire (U_ {2}) come l'insieme di nodi (n_ {k}) tale che (D (n_ {i}, n_ {k})) sia al massimo 2. It segue che (U_ {n} subseteq U_ {n + 1}) e quindi otteniamo una serie nidificata di quartieri di (n_ {i}). Se si comprende la dimensione come una misura della "crescita" dei quartieri, allora la dimensione può essere definita come:

(mbox {Dim} = / lim_ {m / rightarrow / infty} frac { ln / lvert U_m / rvert} { ln m})

Una delle caratteristiche interessanti di questa definizione è che non è necessario che sia uniforme su tutto il grafico, poiché tutto dipende dalla scelta del nodo iniziale (n_ {i}). Ma nel caso in cui il grafico sia sufficientemente uniforme, la dimensione sarà una costante. Inoltre, se prendiamo un caso classico, come lo spazio euclideo tridimensionale, le dimensioni corrispondono. Supponiamo di avere un reticolo regolare come grafico sottostante, quindi un nodo particolare ha un cubo come l'insieme dei vicini più vicini (U_ {1}) costituito da (3 ^ {3} = 27) punti e un vicinato (U_ {m}) conterà ((m + 2) ^ {3}) nodi. Perciò

(mbox {Dim} = / lim_ {m / rightarrow / infty} frac { ln (m + 2) ^ 3} { ln m} quad / mbox {or} quad / mbox {Dim} = / lim_ {m / rightarrow / infty} 3 / cdot / frac { ln (m + 2)} { ln m})

Poiché per (m) sufficientemente grande, (frac { ln (m + 2)} { ln m}) approssima 1, ne consegue che (mbox {Dim} = 3). Ciò dimostra che, partendo da grafici discreti, abbiamo ottenuto un'estensione del concetto di dimensione. Si può notare che questo tipo di definizione è abbastanza simile ad alcune delle definizioni utilizzate per definire la dimensione delle immagini frattali.

Inoltre, i grafici discreti consentono anche di gestire il problema dell'anisotropia. È sufficiente introdurre un elemento di casualità nella rete, ad esempio prendendo le medie su un insieme collegato di nodi, per evitare direzioni privilegiate. Ci sono chiaramente somiglianze qui con lo schema di piastrellatura irregolare o l'introduzione della vaghezza, ma l'importante distinzione è che i concetti statistici e probabilistici sono (abbastanza) ben compresi, mentre il problema della piastrellatura è, come detto, un problema aperto e la vaghezza rimane un concetto notoriamente difficile da comprendere (vedere la voce sulla vaghezza in questa enciclopedia).

3.3 Un caso speciale: la gerarchia combinatoria

Sarebbe un errore credere che i diversi tentativi sopra elencati, in qualche modo formino un catalogo completo che permetta di classificare tutti i possibili approcci. In questo paragrafo un esempio così esotico, vale a dire. la gerarchia combinatoria è brevemente presentata. In questo approccio l'attenzione non è sulle equazioni della fisica stessa, ma sulle costanti fisiche che si verificano in esse, come la velocità della luce (c), la costante di Planck (h), la massa dell'elettrone (m_ {e}) e così via. Dato che questi valori sono necessariamente finiti, sembra utile indagare se un approccio finitista può spiegare perché queste costanti hanno i valori che capita di avere. Tali approcci vengono talvolta definiti "giochi numerici".

Vorrei fare un esempio molto semplice. A partire da un universo costituito da un numero finito di bit, ovvero 0 o 1, viene introdotta un'operazione di base, vale a dire, per fare una "discriminazione". Per esprimere questa operazione, è necessaria un'altra operazione: addizione modulo 2: (0 + 0 = 1 + 1 = 0) e (0 + 1 = 1 + 0 = 1). Se il risultato è 0, gli elementi della somma non vengono distinti, altrimenti lo sono. Guarda ora gli insiemi che contengono 0 e / o 1 e tali che, se due elementi sono distinguibili, anche quell'elemento appartiene all'insieme. Esistono esattamente 3 ((= 2 ^ {2} -1)) tali insiemi: ({0 }, {1 }) e ({0,1 }). Se questi 3 elementi vengono ora presi come una nuova base anziché 0 e 1, una costruzione intelligente mostra che 7 ((= 2 ^ {3} -1)) tali insiemi esistono e, in un passaggio successivo, 127 ((= 2 ^ {7} -1)) si apre. Ora (3 + 7 + 127 = 137) e quel numero è vicino alla costante di accoppiamento elettromagnetico.

Il successo di questo programma è stato piuttosto modesto in quanto questi modelli non si collegano facilmente alle teorie fisiche esistenti. Una presentazione autonoma di questo programma è disponibile in Bastin & Kilmister (1995). C'è una forte somiglianza con il lavoro di AS Eddington. Non molto sorprendentemente, una presentazione del lavoro di Eddington sulla sua teoria fondamentale è stata scritta da Kilmister (1994).

3.4 Può essere un problema empirico?

Finora abbiamo esplorato diverse possibilità teoriche di una geometria discreta come controparte della geometria classica. Dati gli esempi discussi nelle sezioni precedenti, la rilevanza per la fisica sembra ovvia. Sebbene si possa essere tentati di credere che la discrezione dello spazio e / o del tempo sia una questione puramente teorica, tuttavia è interessante sapere se la materia potrebbe anche essere di natura empirica. Più concretamente, è immaginabile che in qualche modo potremmo progettare un esperimento in modo tale che il risultato sia che lo spazio è discreto o che lo spazio è continuo? Questo potrebbe sembrare davvero inverosimile, ma tuttavia la questione ha attirato l'attenzione dei filosofi e un esperimento specifico è stato effettivamente proposto, sebbene al momento le circostanze per eseguire l'esperimento non siano purtroppo fattibili.

È abbastanza interessante vedere che già nel 1961 Paul Feyerabend suggerì una simile possibilità. Tuttavia non si dice molto di più, come

la difficoltà della situazione attuale sembra risiedere nel fatto che mancano alternative discrete alla matematica, che al momento viene utilizzata in fisica. (1961: 160)

Altrettanto interessante è il fatto che anche Feyerabend menzioni l'argomento standard secondo cui la mancanza di un teorema di Pitagora è un vero problema. La sua proposta è quella

dobbiamo solo supporre che le misure in direzioni diverse non siano commutabili; e quindi forse possiamo mantenere il teorema come equazione di un operatore. (1961: 161)

Anche qui, sfortunatamente, non si dice altro. Peter Forrest (1995) sostiene che un simile esperimento è possibile. La ragione fondamentale è che la matematica classica usa variabili continue mentre la matematica finitista rigorosa usa variabili discrete. Pertanto, per la differenziazione e l'integrazione devono essere trovati analoghi finiti che si avvicinano al caso classico, ma non coincidono mai con esso. Quindi, ci saranno sempre piccole differenze e non si può escludere che queste possano essere rilevabili.

Una di queste possibilità di rilevazione riguarda il seguente fenomeno curioso. Prendi l'equazione differenziale, (df / dx = ax (1 - x)). È un esercizio semplice per risolverlo e si troverà una soluzione continua molto ordinata, mentre se si prende per il caso discreto l'equazione della differenza corrispondente, (Delta f / / Delta x = ax (1 - x)), a seconda del valore del parametro (a), il comportamento della funzione (f) produce effetti caotici, che sono assenti nel caso continuo. Vedi Van Bendegem (2000) e Welti (1987: 516-518). Il risultato di un simile esperimento non sarebbe preciso come desiderato, ma osservare effetti caotici significa che lo spazio è discreto, mentre non osservare effetti caotici significa che lo spazio è continuo o gli hodon sono molto più piccoli di quanto immaginassimo. Nessun ulteriore progresso deve essere segnalato al momento.

In questo lemma è stato più volte indicato che diversi scienziati con intenzioni e scopi diversi e con background diversi hanno proposto o proposto idee ugualmente diverse sulla geometria discreta come alternativa alla geometria classica. Molti autori non presentano necessariamente teorie più o meno complete, ma si limitano piuttosto a dare suggerimenti ed esplorare qualche idea particolare. Questi documenti devono essere visti come fonti di ispirazione nella ricerca di una teoria a tutti gli effetti. Alcuni esempi sono: Hahn (1934), Biser (1941), Coish (1959), Ahmavaara (1965a, b), Finkelstein (1969) (questa è la prima di una serie di cinque articoli con lo stesso titolo nella stessa rivista), Dadić & Pisk (1979), Finkelstein & Rodriguez (1986), Meessen (1989), Buot (1989), per citarne solo alcuni. Per il periodo 1925-1936,Kragh e Carazza (1994) è un'eccellente panoramica che mostra che molti fisici stavano giocando con idee finiste.

4. Cosa deve essere fatto dopo?

Il primo compito da svolgere sembra piuttosto semplice: prendere una delle proposte qui presentate ed elaborarle in una geometria a tutti gli effetti. Quindi sarà possibile fare un confronto, ad esempio, con l'assiomatizzazione di Hilbert menzionata. Il secondo compito sembra piuttosto proibitivo: usando questa geometria discreta, mostra come fare la fisica. In termini generali, questa è davvero un'impresa enorme, ma ci sono due possibili percorsi da seguire. Il primo percorso è dimostrare che questo approccio funziona, diciamo, per la meccanica classica. In caso di successo, ciò costituirebbe sicuramente un argomento importante a favore di proposte discrete. In effetti, è già stato fatto un lavoro molto importante, per ciò di cui avremo bisogno, è una versione completamente formalizzata della meccanica classica, non le versioni dei libri di testo che lasciano molte cose non menzionate,ma ciò potrebbe rivelarsi cruciale per la geometria sottostante. Tali versioni esistono attualmente, vedi, ad esempio, Ax (1978), Andréka et al. (2008), Benda (2008), solo per alcuni esempi. In effetti, una delle prime versioni coinvolge Patrick Suppes, vedi McKinsey, Sugar & Suppes (1953). Pertanto l'impresa sembra essere una possibilità reale. Il secondo percorso è quello di esplorare la ricerca fondamentale in corso nella ricerca di unificazione di QFT e GRT. Fino a qualche anno fa tutto ciò era altamente speculativo, oggi stanno emergendo alcuni seri concorrenti e vale la pena seguirli. Detto questo, sia a livello matematico che a livello fisico resta ancora da fare un'enorme quantità di lavoro. Probabilmente il modo migliore per caratterizzare la situazione odierna è che alcune obiezioni "famose" a un approccio discreto o finitista in geometria sono state (parzialmente) risolte e che sono stati presentati numerosi suggerimenti e idee matematici, fisici e filosofici, e modelli parziali sono stati sviluppati o sono in fase di elaborazione. In altre parole, sono soddisfatte le condizioni che rendono interessante continuare questo programma di ricerca.

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  • Welti, E., 1987, Die Philosophie des strikten Finitismus. Entwicklungstheoretische und matematische Untersuchungen über Unendlichkeitsbegriffe in Ideengeschichte und heutiger Mathematik, Berna: Peter Lang.
  • Weyl, H., 1949, Filosofia della matematica e delle scienze naturali, Princeton: Princeton University Press.
  • White, MJ, 1992, Il continuo e il discreto. Antiche teorie fisiche da una prospettiva contemporanea, Oxford: Clarendon Press.

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Altre risorse Internet

  • Requardt, M., 1995, "Matematica e fisica discreta su scala Planck", manoscritto disponibile su arXiv.org.
  • Van Bendegem, JP, 2019, “Bibliografia annotata del finitismo rigoroso”, una bibliografia regolarmente aggiornata in corso.

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