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Programma di Hilbert

Pubblicato per la prima volta il 31 luglio 2003; revisione sostanziale venerdì 24 maggio 2019

All'inizio degli anni 1920, il matematico tedesco David Hilbert (1862-1943) avanzò una nuova proposta per la fondazione della matematica classica che divenne nota come Programma di Hilbert. Richiede una formalizzazione di tutta la matematica in forma assiomatica, insieme a una prova che questa assiomatizzazione della matematica è coerente. La prova di coerenza stessa doveva essere eseguita usando solo quelli che Hilbert chiamava metodi "finitari". Lo speciale carattere epistemologico del ragionamento finanziario produce quindi la necessaria giustificazione della matematica classica. Sebbene Hilbert abbia proposto il suo programma in questa forma solo nel 1921, varie sue sfaccettature sono radicate nel suo lavoro di base risalente al 1900, quando ha sottolineato per la prima volta la necessità di fornire una prova diretta di coerenza dell'analisi. Il lavoro sul programma è progredito significativamente negli anni '20 con il contributo di logici come Paul Bernays, Wilhelm Ackermann, John von Neumann e Jacques Herbrand. Fu anche una grande influenza su Kurt Gödel, il cui lavoro sui teoremi di incompletezza fu motivato dal Programma di Hilbert. Il lavoro di Gödel è generalmente considerato per dimostrare che il Programma di Hilbert non può essere realizzato. Ciononostante ha continuato a essere una posizione influente nella filosofia della matematica e, a partire dal lavoro di Gerhard Gentzen negli anni '30, il lavoro sui cosiddetti Programmi Hilbert Relativizzati è stato fondamentale per lo sviluppo della teoria delle prove.il cui lavoro sui teoremi di incompletezza era motivato dal Programma di Hilbert. Il lavoro di Gödel è generalmente considerato per dimostrare che il Programma di Hilbert non può essere realizzato. Ciononostante ha continuato ad essere una posizione influente nella filosofia della matematica e, a partire dal lavoro di Gerhard Gentzen negli anni '30, il lavoro sui cosiddetti Programmi Hilbert Relativizzati è stato fondamentale per lo sviluppo della teoria delle prove.il cui lavoro sui teoremi di incompletezza era motivato dal Programma di Hilbert. Il lavoro di Gödel è generalmente considerato per dimostrare che il Programma di Hilbert non può essere realizzato. Ciononostante ha continuato ad essere una posizione influente nella filosofia della matematica e, a partire dal lavoro di Gerhard Gentzen negli anni '30, il lavoro sui cosiddetti Programmi Hilbert Relativizzati è stato fondamentale per lo sviluppo della teoria delle prove.

  • 1. Sviluppo storico del programma di Hilbert

    • 1.1 Primi lavori sulle basi
    • 1.2 L'influenza di Principia Mathematica
    • 1.3 Il finitismo e la ricerca di prove di coerenza
    • 1.4 L'impatto dei teoremi di incompletezza di Gödel
  • 2. Il punto di vista finanziario

    • 2.1 Oggetti finitari ed epistemologia finitista
    • 2.2 Proposte significative dal punto di vista finanziario e ragionamento finanziario
    • 2.3 Operazioni finanziarie e prove finanziarie
  • 3. Formalismo, riduzionismo e strumentalismo
  • 4. Il programma di Hilbert e i teoremi di incompletezza di Gödel
  • 5. Programmi Hilbert rivisti
  • Bibliografia
  • Strumenti accademici
  • Altre risorse Internet
  • Voci correlate

1. Sviluppo storico del programma di Hilbert

1.1 Primi lavori sulle basi

Il lavoro di Hilbert sulle basi della matematica ha le sue radici nel suo lavoro sulla geometria del 1890, culminato nel suo influente libro di testo Foundations of Geometry (1899) (vedi la geometria del XIX secolo). Hilbert credeva che il modo corretto di sviluppare qualsiasi argomento scientifico richiedesse rigorosamente un approccio assiomatico. Nel fornire un trattamento assiomatico, la teoria sarebbe sviluppata indipendentemente da qualsiasi necessità di intuizione e faciliterebbe un'analisi delle relazioni logiche tra i concetti di base e gli assiomi. Di fondamentale importanza per un trattamento assiomatico sono, quindi, Hilbert, un'indagine sull'indipendenza e, soprattutto, sulla coerenza degli assiomi. Per gli assiomi della geometria, la coerenza può essere dimostrata fornendo un'interpretazione del sistema sul piano reale e, quindi,la consistenza della geometria è ridotta alla consistenza dell'analisi. La base dell'analisi, ovviamente, richiede essa stessa un'assiomatizzazione e una prova di coerenza. Hilbert fornì una tale assiomatizzazione nel (1900b), ma divenne rapidamente molto chiaro che la coerenza dell'analisi affrontò notevoli difficoltà, in particolare perché il modo preferito di fornire una base per l'analisi nel lavoro di Dedekind si basava su ipotesi dubbie simili a quelle che portano ai paradossi della teoria degli insiemi e al paradosso di Russell nel fondamento dell'aritmetica di Frege.in particolare perché il modo preferito di fornire una base per l'analisi nel lavoro di Dedekind si basava su ipotesi dubbie simili a quelle che portano ai paradossi della teoria degli insiemi e al paradosso di Russell nel fondamento dell'aritmetica di Frege.in particolare perché il modo preferito di fornire una base per l'analisi nel lavoro di Dedekind si basava su ipotesi dubbie simili a quelle che portano ai paradossi della teoria degli insiemi e al paradosso di Russell nel fondamento dell'aritmetica di Frege.

Hilbert si rese quindi conto che era necessaria una prova di coerenza diretta dell'analisi, cioè una non basata sulla riduzione ad un'altra teoria. Ha proposto il problema di trovare una prova come il secondo dei suoi 23 problemi matematici nel suo discorso al Congresso Internazionale dei Matematici nel 1900 (1900a) e ha presentato uno schizzo di tale prova nel suo discorso di Heidelberg (1905). Numerosi fattori hanno ritardato l'ulteriore sviluppo del programma di base di Hilbert. Una fu forse la critica di Poincaré (1906) contro quello che vide come un uso ferocemente circolare dell'induzione nella bozza di coerenza abbozzata di Hilbert (vedi Steiner 1975, Appendice). Hilbert si rese anche conto che le indagini assiomatiche richiedevano un formalismo logico ben elaborato. All'epoca si basava su una concezione della logica basata sulla tradizione algebrica, in particolare sul lavoro di Schröder,che non era particolarmente adatto come formalismo per l'assiomatizzazione della matematica. (Vedi Peckhaus 1990 sullo sviluppo iniziale del Programma di Hilbert.)

1.2 L'influenza di Principia Mathematica

La pubblicazione di Principia Mathematica di Russell e Whitehead ha fornito la base logica necessaria per un rinnovato attacco alle questioni fondamentali. A partire dal 1914, lo studente di Hilbert Heinrich Behmann e altri studiarono il sistema di Principia (vedi Mancosu 1999 sul ruolo di Behmann nella scuola di Hilbert). Lo stesso Hilbert tornò a lavorare su questioni fondamentali nel 1917. Nel settembre del 1917, pronunciò un discorso alla Società matematica svizzera intitolato "Pensiero assiomatico" (1918a). È il suo primo contributo pubblicato alle basi matematiche dal 1905. In esso, sottolinea nuovamente il requisito delle prove di coerenza per i sistemi assiomatici: “Il requisito principale della teoria degli assiomi deve andare oltre [che semplicemente evitare i paradossi noti], vale a dire,dimostrare che all'interno di ogni campo della conoscenza le contraddizioni basate sul sistema di assiomi sottostante sono assolutamente impossibili. " Pone di nuovo la prova della coerenza dell'aritmetica (e della teoria degli insiemi) come i principali problemi aperti. In entrambi questi casi, non sembra esserci nulla di più fondamentale a cui ridurre la consistenza oltre alla logica stessa. E poi Hilbert pensò che il problema fosse stato essenzialmente risolto dal lavoro di Russell a Principia. Tuttavia, altri problemi fondamentali dell'assiomatica rimasero irrisolti, incluso il problema della "decidibilità di ogni questione matematica", che risale anche al discorso di Hilbert del 1900.sembra che non ci sia nulla di più fondamentale a disposizione al quale la consistenza potrebbe essere ridotta oltre alla logica stessa. E poi Hilbert pensò che il problema fosse stato essenzialmente risolto dal lavoro di Russell a Principia. Tuttavia, altri problemi fondamentali dell'assiomatica rimasero irrisolti, incluso il problema della "decidibilità di ogni questione matematica", che risale anche al discorso di Hilbert del 1900.sembra che non ci sia nulla di più fondamentale a disposizione al quale la consistenza potrebbe essere ridotta oltre alla logica stessa. E poi Hilbert pensò che il problema fosse stato essenzialmente risolto dal lavoro di Russell a Principia. Tuttavia, altri problemi fondamentali dell'assiomatica rimasero irrisolti, incluso il problema della "decidibilità di ogni questione matematica", che risale anche al discorso di Hilbert del 1900.

Questi problemi irrisolti degli assiomatici portarono Hilbert a dedicare notevoli sforzi a lavorare sulla logica negli anni seguenti. Nel 1917, Paul Bernays lo raggiunse come suo assistente a Gottinga. In una serie di corsi dal 1917 al 1921, Hilbert, con l'assistenza di Bernays e Behmann, apportò nuovi significativi contributi alla logica formale. Il corso del 1917 (Hilbert, 1918b), in particolare, contiene uno sviluppo sofisticato della logica del primo ordine e costituisce la base del libro di testo di Hilbert e Ackermann Principles of Theoretical Logic (1928) (vedi Ewald e Sieg 2013, Sieg 1999, e Zach 1999, 2003).

1.3 Il finitismo e la ricerca di prove di coerenza

Nel giro di pochi anni, tuttavia, Hilbert arrivò a respingere la soluzione logica di Russell al problema della coerenza per l'aritmetica. Allo stesso tempo, la matematica intuitiva di Brouwer ha guadagnato valuta. In particolare, l'ex studente di Hilbert Hermann Weyl si è convertito all'intuizionismo. L'articolo di Weyl "La nuova crisi fondamentale della matematica" (1921) ricevette risposta da Hilbert in tre colloqui ad Amburgo nell'estate del 1921 (1922b). Qui, Hilbert ha presentato la sua proposta per una soluzione al problema delle basi della matematica. Questa proposta comprendeva le idee di Hilbert del 1904 relative alle prove di coerenza diretta, alla sua concezione dei sistemi assiomatici, e anche agli sviluppi tecnici nell'assiomatizzazione della matematica nel lavoro di Russell, nonché gli ulteriori sviluppi realizzati da lui e dai suoi collaboratori. La novità era il modo in cui Hilbert voleva infondere nel suo progetto di coerenza il significato filosofico necessario per rispondere alle critiche di Brouwer e Weyl: il punto di vista finanziario.

Secondo Hilbert, esiste una parte privilegiata della matematica, la teoria dei numeri elementare dei contenuti, che si basa solo su una "base puramente intuitiva di segni concreti". Considerando che operare con concetti astratti è stato considerato "inadeguato e incerto", esiste un regno di

oggetti discreti extra logici, che esistono intuitivamente come esperienza immediata prima di ogni pensiero. Se l'inferenza logica deve essere certa, allora questi oggetti devono poter essere esaminati completamente in tutte le loro parti e la loro presentazione, la loro differenza, la loro successione (come gli oggetti stessi) devono esistere per noi immediatamente, intuitivamente, come qualcosa che non può essere ridotto a qualcos'altro. (Hilbert 1922b, 202; il passaggio è ripetuto quasi alla lettera in Hilbert 1926, 376, Hilbert 1928, 464 e Hilbert 1931b, 267)

Questi oggetti erano, per Hilbert, segni. Il dominio della teoria dei numeri contenuta consiste nei numeri finali, cioè sequenze di tratti. Questi non hanno alcun significato, cioè non rappresentano oggetti astratti, ma possono essere operati (ad esempio, concatenati) e confrontati. La conoscenza delle loro proprietà e relazioni è intuitiva e non mediata dall'inferenza logica. La teoria dei numeri contenuti sviluppata in questo modo è sicura, secondo Hilbert: nessuna contraddizione può sorgere semplicemente perché non c'è struttura logica nelle proposizioni della teoria dei numeri contenuti.

Le operazioni intuitive-contestuali con segni costituiscono la base della metamatematica di Hilbert. Proprio come la teoria dei numeri contenuta opera con sequenze di tratti, così la metamatematica opera con sequenze di simboli (formule, prove). Formule e prove possono essere manipolate sintatticamente e le proprietà e le relazioni di formule e prove si basano in modo simile in una capacità intuitiva priva di logica che garantisce la certezza della conoscenza di formule e prove ottenute da tali operazioni sintattiche. La matematica stessa, tuttavia, opera con concetti astratti, ad esempio quantificatori, insiemi, funzioni e usa l'inferenza logica basata su principi come l'induzione matematica o il principio del mezzo escluso. Queste "formazioni concettuali" e le modalità di ragionamento erano state criticate da Brouwer e altri sulla base del fatto che presuppongono la totalità infinita data o che implicano definizioni impredicative (che sono state considerate dai critici come brutalmente circolari). Lo scopo di Hilbert era giustificare il loro uso. A tal fine, ha sottolineato che possono essere formalizzati in sistemi assiomatici (come quello di Principia o quelli sviluppati dallo stesso Hilbert), e proposizioni e prove matematiche si trasformano così in formule e derivazioni da assiomi secondo regole di derivazione rigorosamente circoscritte. La matematica, così Hilbert, "diventa un inventario di formule dimostrabili". In questo modo le prove della matematica sono soggette a un'indagine metamatematica e contenziosa. L'obiettivo del programma di Hilbert è quindi quello di dare un contenuto,prova metamatematica che non può esserci derivazione di una contraddizione, cioè nessuna derivazione formale di una formula (A) e della sua negazione (neg A).

Questo schizzo degli obiettivi del programma è stato messo a punto da Hilbert e dai suoi collaboratori nei successivi 10 anni. Dal punto di vista concettuale, il punto di vista finito e la strategia per una prova di coerenza sono stati elaborati da Hilbert (1928); Hilbert (1923); Hilbert (1926) e Bernays (1928b); Bernays (1922); Bernays (1930), di cui l'articolo di Hilbert “On the infinite” (1926) fornisce l'elaborazione più dettagliata del punto di vista finanziario. Oltre a Hilbert e Bernays, diverse altre persone sono state coinvolte nel lavoro tecnico sul programma. Nelle lezioni tenute a Gottinga (Hilbert e Bernays, 1923; Hilbert, 1922a), Hilbert e Bernays svilupparono il calcolo (varepsilon) come il loro formalismo definitivo per i sistemi di assiomi per l'aritmetica e l'analisi. Hilbert presentò anche il suo approccio nel fornire prove di coerenza usando il suo cosiddetto metodo di sostituzione (varepsilon). Ackermann (1924) tentò di estendere l'idea di Hilbert a un sistema di analisi. La prova era, tuttavia, errata (vedi Zach 2003). John von Neumann, allora in visita a Gottinga, fornì una corretta prova di coerenza per un sistema del formalismo (varepsilon) (che, tuttavia, non includeva l'assioma di induzione) nel 1925 (pubblicato nel 1927). Basandosi sul lavoro di von Neumann, Ackermann ha ideato una nuova procedura di sostituzione (varepsilon) che ha comunicato a Bernays (vedi Bernays 1928b). Nel suo discorso "Problemi di preparazione della matematica" al Congresso internazionale dei matematici di Bologna nel 1928 (1929),Hilbert affermò ottimisticamente che il lavoro di Ackermann e von Neumann aveva stabilito la coerenza della teoria dei numeri e che la prova di analisi era già stata svolta da Ackermann “nella misura in cui l'unico compito rimanente consisteva nella prova di un teorema elementare di finitudine che è puramente aritmetico ".

1.4 L'impatto dei teoremi di incompletezza di Gödel

I teoremi di incompletezza di Gödel hanno mostrato che l'ottimismo di Hilbert era indebito. Nel settembre del 1930, Kurt Gödel annunciò il suo primo teorema di incompletezza durante una conferenza a Königsberg. Von Neumann, che era tra il pubblico, ha immediatamente riconosciuto il significato del risultato di Gödel per il programma di Hilbert. Poco dopo la conferenza scrisse a Gödel, dicendogli che aveva trovato un corollario per il risultato di Gödel. Gödel aveva trovato lo stesso risultato già in modo indipendente: il secondo teorema di incompletezza, affermando che il sistema di Principia non prova la formalizzazione dell'affermazione che il sistema di Principia è coerente (purché lo sia). Tutti i metodi di ragionamento finanziario utilizzati fino a quel momento nelle prove di coerenza erano ritenuti formalizzabili in Principia. Quindi,se la coerenza di Principia fosse dimostrabile con i metodi usati nelle prove di Ackermann, dovrebbe essere possibile formalizzare questa prova in Principia; ma questo è ciò che il secondo teorema di incompletezza è impossibile. Bernays comprese anche l'importanza dei risultati di Gödel immediatamente dopo aver studiato il documento di Gödel nel gennaio 1931, scrivendo a Gödel che (supponendo che il ragionamento finanziario possa essere formalizzato in Principia) il teorema di incompletezza mostra che una prova di coerenza finanziaria di Principia è impossibile. Poco dopo, von Neumann ha dimostrato che la prova di coerenza di Ackermann è difettosa e ha fornito un controesempio alla proposta (varepsilon) proposta - procedura di sostituzione (vedi Zach 2003).ma questo è ciò che il secondo teorema di incompletezza è impossibile. Bernays comprese anche l'importanza dei risultati di Gödel immediatamente dopo aver studiato il documento di Gödel nel gennaio 1931, scrivendo a Gödel che (supponendo che il ragionamento finanziario possa essere formalizzato in Principia) il teorema di incompletezza mostra che una prova di coerenza finanziaria di Principia è impossibile. Poco dopo, von Neumann ha dimostrato che la prova di coerenza di Ackermann è difettosa e ha fornito un controesempio alla proposta (varepsilon) proposta - procedura di sostituzione (vedi Zach 2003).ma questo è ciò che il secondo teorema di incompletezza è impossibile. Bernays comprese anche l'importanza dei risultati di Gödel immediatamente dopo aver studiato il documento di Gödel nel gennaio 1931, scrivendo a Gödel che (supponendo che il ragionamento finanziario possa essere formalizzato in Principia) il teorema di incompletezza mostra che una prova di coerenza finanziaria di Principia è impossibile. Poco dopo, von Neumann ha dimostrato che la prova di coerenza di Ackermann è difettosa e ha fornito un controesempio alla proposta (varepsilon) proposta - procedura di sostituzione (vedi Zach 2003).scrivendo a Gödel che (supponendo che il ragionamento finanziario possa essere formalizzato in Principia) il teorema di incompletezza mostra che una prova di coerenza finanziaria di Principia è impossibile. Poco dopo, von Neumann ha dimostrato che la prova di coerenza di Ackermann è difettosa e ha fornito un controesempio alla proposta (varepsilon) proposta - procedura di sostituzione (vedi Zach 2003).scrivendo a Gödel che (supponendo che il ragionamento finanziario possa essere formalizzato in Principia) il teorema di incompletezza mostra che una prova di coerenza finanziaria di Principia è impossibile. Poco dopo, von Neumann ha dimostrato che la prova di coerenza di Ackermann è difettosa e ha fornito un controesempio alla proposta (varepsilon) proposta - procedura di sostituzione (vedi Zach 2003).

Nel (1936), Gentzen pubblicò una prova di coerenza dell'aritmetica di Peano del primo ordine ((PA)). Come aveva dimostrato Gödel era necessario, la dimostrazione di Gentzen utilizzava metodi che non potevano essere formalizzati in (PA) stesso, vale a dire l'induzione transfinita lungo l'ordinale (varepsilon_0). Il lavoro di Gentzen segna l'inizio della teoria della prova post-Gödeliana e il lavoro sui programmi Hilbert relativi. La teoria della prova nella tradizione di Gentzen ha analizzato i sistemi assiomatici in base a quali estensioni del punto di vista finanziario sono necessarie per dimostrare la loro coerenza. Di solito, la forza di coerenza dei sistemi è stata misurata dalla prova teorica ordinale del sistema, cioè dall'induzione transfinita ordinale lungo la quale è sufficiente dimostrare la coerenza. Nel caso di (PA), quell'ordinale è (varepsilon_0). (Per ulteriori discussioni,vedere la voce sullo sviluppo della teoria delle prove).

2. Il punto di vista finanziario

La pietra angolare della filosofia matematica di Hilbert, e l'aspetto sostanzialmente nuovo del suo pensiero fondamentale dal 1922 in poi, consisteva in quello che chiamava il punto di vista finanziario. Questo punto di vista metodologico consiste in una restrizione del pensiero matematico a quegli oggetti che sono "intuitivamente presenti come esperienza immediata prima di ogni pensiero", e a quelle operazioni e metodi di ragionamento su tali oggetti che non richiedono l'introduzione di concetti astratti, in particolare, senza appello a completezze complete infinite.

Esistono diverse questioni di base e correlate nella comprensione del punto di vista finanziario di Hilbert:

  1. Quali sono gli oggetti del ragionamento finanziario?
  2. Quali sono le proposizioni significative dal punto di vista finanziario?
  3. Quali sono i metodi di costruzione e di ragionamento accettabili dal punto di vista finanziario?

2.1 Oggetti finitari ed epistemologia finitista

Hilbert caratterizzò il dominio del ragionamento finanziario in un noto paragrafo che appare più o meno nella stessa formulazione in tutti gli articoli più filosofici di Hilbert degli anni '20 (1931b; 1922b; 1928; 1926):

[A] una condizione per l'uso di inferenze logiche e l'esecuzione di operazioni logiche, qualcosa deve già essere dato alla nostra facoltà di rappresentazione, alcuni oggetti concreti extralogici che sono intuitivamente presenti come esperienza immediata prima di ogni pensiero. Se l'inferenza logica deve essere affidabile, deve essere possibile rilevare questi oggetti completamente in tutte le loro parti, e viene immediatamente dato il fatto che si verificano, che differiscono l'uno dall'altro e che si susseguono o si concatenano intuitivamente, insieme agli oggetti, come qualcosa che non può essere ridotto a nient'altro né richiede riduzione. Questa è la posizione filosofica di base che ritengo necessaria per la matematica e, in generale, per tutto il pensiero, la comprensione e la comunicazione scientifica. (Hilbert, 1926, 376)

Questi oggetti sono, per Hilbert, i segni. Per il dominio della teoria dei numeri contenuta, i segni in questione sono numeri come

1, 11, 111, 11111

Alla domanda su come Hilbert abbia capito esattamente i numeri è difficile rispondere. Non sono oggetti fisici (tratti reali su carta, ad esempio), poiché deve sempre essere possibile estendere un numero aggiungendo un altro tratto (e, come sostiene anche Hilbert in "Sull'infinito" (1926), è dubbio che l'universo fisico è infinito). Secondo Hilbert (1922b, 202), la loro "forma può essere generalmente e certamente riconosciuta da noi, indipendentemente dallo spazio e dal tempo, dalle condizioni speciali della produzione del segno e dalle differenze insignificanti nel prodotto finito". Non sono costruzioni mentali, poiché le loro proprietà sono oggettive, eppure la loro esistenza dipende dalla loro costruzione intuitiva (vedi Bernays 1923, 226). Ciò che è chiaro in ogni caso è che sono logicamente primitivi, cioènon sono né concetti (come i numeri di Frege) né insiemi. Ciò che è importante qui non è principalmente il loro stato metafisico (astratto contro concreto nel senso attuale di questi termini), ma che non entrano in relazioni logiche, ad esempio, non possono essere predicati di nulla. Nelle presentazioni più mature del finitismo di Bernays (Hilbert e Bernays, 1939; Bernays, 1930), gli oggetti del finitismo sono caratterizzati come oggetti formali generati in modo ricorsivo da un processo di ripetizione; i simboli del tratto sono quindi rappresentazioni concrete di questi oggetti formali. Nelle presentazioni più mature del finitismo di Bernays (Hilbert e Bernays, 1939; Bernays, 1930), gli oggetti del finitismo sono caratterizzati come oggetti formali generati in modo ricorsivo da un processo di ripetizione; i simboli del tratto sono quindi rappresentazioni concrete di questi oggetti formali. Nelle presentazioni più mature del finitismo di Bernays (Hilbert e Bernays, 1939; Bernays, 1930), gli oggetti del finitismo sono caratterizzati come oggetti formali generati in modo ricorsivo da un processo di ripetizione; i simboli del tratto sono quindi rappresentazioni concrete di questi oggetti formali.

La domanda su ciò che Hilbert pensava fosse lo stato epistemologico degli oggetti del finitismo è altrettanto difficile. Per svolgere il compito di fornire una base sicura per la matematica infinitistica, l'accesso agli oggetti finanziari deve essere immediato e certo. Il background filosofico di Hilbert era sostanzialmente Kantian, così come quello di Bernays, che era strettamente associato alla scuola di filosofia neo-kantiana attorno a Leonard Nelson a Gottinga. La caratterizzazione del finitismo di Hilbert si riferisce spesso all'intuizione kantiana e agli oggetti del finitismo come oggetti dati in modo intuitivo. In effetti, nell'epistemologia di Kant, l'immediatezza è una caratteristica distintiva della conoscenza intuitiva. La domanda è: che tipo di intuizione è in gioco? Mancosu (1998b) identifica un cambiamento in questo senso. Sostiene che mentre l'intuizione implicata nei primi lavori di Hilbert era una sorta di intuizione percettiva, negli scritti successivi (ad es. Bernays 1928a) è identificata come una forma di pura intuizione in senso kantiano. Tuttavia, all'incirca nello stesso momento Hilbert (1928, 469) identifica ancora il tipo di intuizione in gioco come percettivo. Nel (1931b, 266–267), Hilbert vede il modo di pensare finito come una fonte separata di conoscenza a priori oltre alla pura intuizione (ad esempio, dello spazio) e della ragione, sostenendo di aver "riconosciuto e caratterizzato la terza fonte di conoscenza che accompagna l'esperienza e la logica. " Sia Bernays che Hilbert giustificano la conoscenza finanziaria in termini ampiamente kantiani (senza tuttavia arrivare al punto di fornire una deduzione trascendentale), caratterizzando il ragionamento finanziario come il tipo di ragionamento che sta alla base di tutto il matematico,e in effetti, scientifico, pensiero e senza il quale tale pensiero sarebbe impossibile. (Vedi Kitcher 1976 e Parsons 1998 sull'epistemologia del finitismo, e Patton 2014 per il contesto storico e filosofico della teoria dei segni di Hilbert.)

2.2 Proposte significative dal punto di vista finanziario e ragionamento finanziario

I giudizi più elementari sui numeri finali sono quelli su uguaglianza e disuguaglianza. Inoltre, il punto di vista finito consente operazioni su oggetti finiti. Qui il più semplice è quello della concatenazione. La concatenazione dei numeri 11 e 111 viene comunicata come “(2 + 3)”, e l'affermazione che 11 concatenato con 111 risulta nello stesso numero di 111 concatenato con 11 da “(2 + 3 = 3 + 2).” Nella pratica teorica della prova reale, così come esplicitamente in (Hilbert e Bernays, 1934; Bernays, 1930), queste operazioni di base sono generalizzate a operazioni definite da ricorsione, paradigmaticamente, ricorsione primitiva, ad esempio, moltiplicazione ed esponenziazione (vedere Parsons 1998 per difficoltà filosofiche in relazione all'esponenziazione e al 2007 per una discussione estesa di matematica intuitiva e finitismo). Allo stesso modo,i giudizi finali possono comportare non solo l'uguaglianza o la disuguaglianza, ma anche le proprietà decidibili di base, come "è un numero primo". Ciò è accettabile dal punto di vista finanziario fintanto che la funzione caratteristica di una tale proprietà è di per sé finanziaria: ad esempio, l'operazione che trasforma un numero in 1 se è primo e 11 altrimenti può essere definita mediante ricorsione primitiva ed è quindi finitaria. Tali proposizioni finanziarie possono essere combinate con le consuete operazioni logiche di congiunzione, disgiunzione, negazione, ma anche di quantificazione limitata. (Hilbert, 1926) fornisce l'esempio della proposizione che "esiste un numero primo tra (p + 1) e (p! + 1)" dove (p) è un certo numero primo grande. Questa affermazione è accettabile dal punto di vista finanziario poiché "serve semplicemente ad abbreviare la proposizione" che (p + 1) o (p + 2) o (p + 3) o … o (p! + 1) è un numero primo.

Le proposizioni finanziarie problematiche sono quelle che esprimono fatti generali su numeri come quello, per ogni dato numero (n, 1 + n = n + 1). È problematico perché, come afferma Hilbert, "è dal punto di vista finitista incapace di essere negato" (1926, 378). Con questo intende che la proposizione contraddittoria che esiste un numero (n) per la quale (1 + n / ne n + 1) non ha un significato finanziario. "Dopo tutto, non si possono provare tutti i numeri" (1928, 470). Per lo stesso motivo, una proposizione generale finanziaria non deve essere intesa come una congiunzione infinita ma "solo come un giudizio ipotetico che arriva ad affermare qualcosa quando viene dato un numero" (ibid.). Anche se sono problematici in questo senso, le dichiarazioni finanziarie generali sono di particolare importanza per la teoria delle prove di Hilbert,poiché la dichiarazione di coerenza di un sistema formale (S) ha una forma così generale: per ogni data sequenza di formule (P, P) non è una derivazione di una contraddizione in (S).

2.3 Operazioni finanziarie e prove finanziarie

Di importanza cruciale sia per la comprensione del finitismo che per la teoria della dimostrazione di Hilbert è la questione di quali operazioni e quali principi di prova dovrebbero essere consentiti dal punto di vista del finitismo. Che una risposta generale sia necessaria è chiaro dalle esigenze della teoria delle prove di Hilbert, vale a dire, non ci si può aspettare che, dato un sistema formale di matematica (o anche una singola sequenza di formule) si possa "vedere" che è coerente (o che non può essere una vera derivazione di un'incoerenza) nel modo in cui possiamo vedere, ad esempio, che (11 + 111 = 111 + 11). Ciò che è richiesto per una prova di coerenza è un'operazione che, data una derivazione formale, trasforma tale derivazione in una di una forma speciale, oltre alle prove che l'operazione di fatto fa questo e che le prove del tipo speciale non possono essere prove di un'incoerenza. Per essere considerata una prova di coerenza finanziaria, l'operazione stessa deve essere accettabile dal punto di vista finitista e le prove richieste devono utilizzare solo principi accettabili dal punto di vista finanziario.

Hilbert non ha mai fornito un resoconto generale di quali operazioni e metodi di prova siano accettabili dal punto di vista finitista, ma solo esempi di operazioni e metodi di inferenza nella teoria dei numeri finanziari contenziosi che ha accettato come finitari. L'induzione del contenuto fu accettata nella sua applicazione a dichiarazioni finanziarie di tipo ipotetico e generale esplicitamente in Hilbert (1922b). Egli (1923, 1139) affermò che il pensiero intuitivo "include la ricorsione e l'induzione intuitiva per le totalità esistenti finite" e usò l'esponenziazione in un esempio nel 1928. Bernays (1930) spiegò come l'esponenziazione potesse essere intesa come un'operazione finanziaria sui numeri. Hilbert e Bernays (1934) forniscono l'unico resoconto generale della teoria dei numeri contenziosi finitari; secondo esso,le operazioni definite dalla ricorsione primitiva e dalle prove mediante induzione sono accettabili dal punto di vista finanziario. Tutti questi metodi possono essere formalizzati in un sistema noto come aritmetica ricorsiva primitiva ((PRA)), che consente la definizione di funzioni mediante ricorsione primitiva e induzione su formule prive di quantificatori (ibid.). Tuttavia, né Hilbert né Bernays hanno mai sostenuto che solo le operazioni ricorsive primitive contano come finitarie, e in effetti hanno usato alcuni metodi ricorsivi non primitivi nelle prove di coerenza apparentemente finitarie già nel 1923 (vedi Tait 2002 e Zach 2003).né Hilbert né Bernays affermarono mai che solo le operazioni ricorsive primitive contano come finitarie, e in effetti usarono alcuni metodi ricorsivi non primitivi nelle prove di coerenza apparentemente finitarie già nel 1923 (vedi Tait 2002 e Zach 2003).né Hilbert né Bernays affermarono mai che solo le operazioni ricorsive primitive contano come finitarie, e in effetti usarono alcuni metodi ricorsivi non primitivi nelle prove di coerenza apparentemente finitarie già nel 1923 (vedi Tait 2002 e Zach 2003).

La questione concettuale più interessante è quali operazioni dovrebbero essere considerate finanziarie. Dal momento che Hilbert non era del tutto chiaro su cosa consistesse il punto di vista finanziario, c'è qualche margine di manovra nell'impostare i vincoli, epistemologici e non, un'analisi delle operazioni e delle prove finitiste deve soddisfare. Hilbert ha definito (vedi sopra) gli oggetti della teoria dei numeri finitari come "intuitivamente dati", come "rilevabili in tutte le loro parti" e ha affermato che il loro possesso delle proprietà di base deve "esistere intuitivamente" per noi. Bernays (1922, 216) suggerisce che nella matematica finitaria entrano in gioco solo "cognizioni intuitive primitive" e usa il termine "punto di vista dell'evidenza intuitiva" in connessione con il finitismo 1930, 250. Questa caratterizzazione del finitismo principalmente in relazione all'intuizione e alla conoscenza intuitiva è stata enfatizzata in particolare da (Parsons, 1998), il quale sostiene che ciò che può contare come finanziario su questa comprensione non è altro che quelle operazioni aritmetiche che possono essere definite dall'addizione e dalla moltiplicazione usando la ricorsione limitata. In particolare, secondo lui, l'espiazione e la ricorsione primitiva generale non sono accettabili dal punto di vista finanziario.

La tesi secondo cui il finitismo coincide con il ragionamento ricorsivo primitivo ha ricevuto una forte difesa da parte di (Tait 1981; vedi anche 2002 e 2005b). Tait, contrariamente a Parsons, rifiuta l'aspetto della rappresentabilità nell'intuizione come segno distintivo del finanze; invece considera il ragionamento finanziario come "un tipo minimo di ragionamento presupposto da tutti i ragionamenti matematici non banali sui numeri". e analizza le operazioni finanziarie e i metodi di prova come quelli impliciti nella nozione stessa di numero come forma di una sequenza finita. Questa analisi del finitismo è supportata dall'affermazione di Hilbert secondo cui il ragionamento finanziario è una condizione preliminare per il logico e matematico, anzi qualsiasi pensiero scientifico Hilbert (1931b, 267). Poiché il ragionamento finanziario è quella parte della matematica che è presupposta da ogni ragionamento non banale sui numeri, è,così Tait, "indubitabile" in senso cartesiano, e questa indubitabilità come tutto ciò che sarebbe necessario per il ragionamento finanziario per fornire il fondamento epistemologico della matematica per cui Hilbert lo intendeva.

Un'altra interessante analisi delle prove finanziarie, che tuttavia non fornisce una giustificazione filosofica così dettagliata, fu proposta da Kreisel (1960). Dà il risultato che esattamente quelle funzioni sono finitarie che possono essere dimostrate totali nell'aritmetica del primo ordine (PA). Si basa sul concetto teorico-dimostrativo di un principio di riflessione; vedi Zach (2006) per maggiori dettagli e Dean (2015) per un'analisi. Kreisel (1970, Sezione 3.5) fornisce un'altra analisi concentrandosi su ciò che è "visualizzabile". Il risultato è lo stesso: la provabilità finitaria risulta essere coestensiva con la provabilità in (PA).

L'analisi tecnica di Tait produce che le funzioni finitistiche sono esattamente quelle primitive ricorsive e che le verità teoriche numeriche finitive sono esattamente quelle dimostrabili nella teoria dell'aritmetica ricorsiva primitiva (PRA). È importante sottolineare che questa analisi non viene effettuata dal punto di vista finitista stesso. Dal momento che le nozioni generali di "funzione" e "prova" non sono esse stesse finanziarie, il finizionista non è in grado di dare un senso alla tesi di Tait secondo cui tutto ciò che è dimostrabile in (PRA) è finitisticamente vero. Secondo Tait, una corretta analisi della provabilità finitistica non deve presumere che il finitismo stesso abbia accesso a tali nozioni non finitistiche. L'approccio di Kreisel e alcune critiche a Tait che si basano su principi di riflessione o (omega) - le regole scontrano con questo requisito (vedi Tait 2002, 2005b). D'altro canto,si potrebbe sostenere che (PRA) è una teoria troppo forte per essere considerata una formalizzazione di ciò che è "presupposto da tutti i ragionamenti matematici non banali sui numeri": ci sono teorie più deboli ma non banali che sono correlate a classi più piccole di funzioni rispetto a quelle primitive ricorsive, come (PV) e (EA), relative rispettivamente al tempo polinomiale e alle funzioni elementari di Kalmar (vedi Avigad 2003 su quanta matematica può essere svolta in (EA)). Usando un'analisi sulla stessa linea di quella di Tait, Ganea (2010) è arrivato alla corrispondente classe di funzioni elementari di Kalmar come quelle che sono finitistiche.ci sono teorie più deboli ma non banali che sono correlate a classi di funzioni più piccole di quelle primitive ricorsive, come (PV) e (EA), relative rispettivamente alle funzioni polinomiale-tempo e Kalmar-elementare (vedi Avigad 2003 su quanta matematica può essere effettuata in (EA)). Usando un'analisi sulla stessa linea di quella di Tait, Ganea (2010) è arrivato alla corrispondente classe di funzioni elementari di Kalmar come quelle che sono finitistiche.ci sono teorie più deboli ma non banali che sono correlate a classi di funzioni più piccole di quelle primitive ricorsive, come (PV) e (EA), relative rispettivamente alle funzioni polinomiale-tempo e Kalmar-elementare (vedi Avigad 2003 su quanta matematica può essere effettuata in (EA)). Usando un'analisi sulla stessa linea di quella di Tait, Ganea (2010) è arrivato alla corrispondente classe di funzioni elementari di Kalmar come quelle che sono finitistiche. Ganea (2010) è arrivato alla corrispondente classe di funzioni elementari di Kalmar come quelle che sono finite. Ganea (2010) è arrivato alla corrispondente classe di funzioni elementari di Kalmar come quelle che sono finite.

3. Formalismo, riduzionismo e strumentalismo

Weyl (1925) fu una reazione conciliante alla proposta di Hilbert del 1922b e 1923, che conteneva tuttavia alcune importanti critiche. Weyl descrisse il progetto di Hilbert come la sostituzione della matematica dei contenuti con un gioco insignificante di formule. Ha osservato che Hilbert voleva "assicurare non la verità, ma la coerenza dell'analisi" e ha suggerito una critica che fa eco a una precedente di Frege: perché dovremmo prendere la coerenza di un sistema formale di matematica come motivo per credere nella verità del matematica pre-formale che codifica? L'inventario senza senso delle formule di Hilbert non è solo "il fantasma senza sangue dell'analisi"? Weyl ha suggerito una soluzione:

[I] f la matematica deve rimanere una seria preoccupazione culturale, quindi un certo senso deve essere attaccato al gioco delle formule di Hilbert, e vedo solo una possibilità di attribuire ad essa (compresi i suoi componenti transfiniti) un significato intellettuale indipendente. Nella fisica teorica abbiamo davanti a noi il grande esempio di una [specie di] conoscenza di carattere completamente diverso rispetto alla conoscenza comune o fenomenale che esprime puramente ciò che è dato nell'intuizione. Mentre in questo caso ogni giudizio ha il suo senso che è completamente realizzabile nell'intuizione, questo non è affatto il caso delle affermazioni della fisica teorica. In tal caso, è piuttosto il sistema nel suo insieme che viene messo in discussione se confrontato con l'esperienza. (Weyl, 1925, 140)

L'analogia con la fisica è sorprendente e si possono trovare idee simili nella stessa scrittura di Hilbert, forse Hilbert ne è stato influenzato da Weyl. Sebbene le prime proposte di Hilbert si concentrassero esclusivamente sulla coerenza, c'è un notevole sviluppo nel pensiero di Hilbert nella direzione di un progetto reduttivista generale di una sorta abbastanza comune nella filosofia della scienza dell'epoca (come sottolineato da Giaquinto 1983). Nella seconda metà degli anni 1920, Hilbert sostituì il programma di coerenza con un programma di conservatività: la matematica formalizzata doveva essere considerata per analogia con la fisica teorica. La giustificazione ultima per la parte teorica risiede nella sua conservatività rispetto alla matematica "reale": ogni volta che la matematica teorica, "ideale" dimostra una proposizione "reale", tale proposizione è anche intuitivamente vera. Ciò giustifica l'uso della matematica transfinita: non è solo internamente coerente, ma dimostra solo vere proposizioni intuitive (e in effetti tutte, poiché una formalizzazione della matematica intuitiva fa parte della formalizzazione di tutta la matematica).

Nel 1926, Hilbert introdusse una distinzione tra formule reali e ideali. Questa distinzione non era presente nel 1922b e solo accennata nel 1923. In quest'ultimo, Hilbert presenta innanzitutto un sistema formale di teoria dei numeri libera da quantificatori sulla quale afferma che "Le formule dimostrabili che acquisiamo in questo modo hanno tutte il carattere del finito”(1139). Quindi gli assiomi transfiniti (cioè i quantificatori) vengono aggiunti per semplificare e completare la teoria (1144). Qui disegna l'analogia con il metodo degli elementi ideali per la prima volta: “Nella mia teoria delle prove, gli assiomi e le formule transfiniti sono adiacenti agli assiomi finiti, proprio come nella teoria delle variabili complesse gli elementi immaginari sono collegati al reale e proprio come nella geometria, le costruzioni ideali sono collegate all'attuale”(ibid). Quando Hilbert,nel 1926 introduce esplicitamente la nozione di proposizione ideale, e nel 1928, quando parla per la prima volta di proposizioni reali oltre all'ideale, è abbastanza chiaro che la parte reale della teoria consiste solo in formule decidibili e libere da variabili. Si suppone che siano "direttamente in grado di verificare", in base alle proposizioni derivate da leggi della natura che possono essere verificate mediante esperimento (1928, 475). La nuova immagine del programma era questa: la matematica classica deve essere formalizzata in un sistema che include le formalizzazione di tutte le proposizioni direttamente verificabili (mediante calcolo) della teoria dei numeri finiti. La prova di coerenza dovrebbe mostrare che tutte le proposizioni reali che possono essere dimostrate con metodi ideali sono vere, cioè possono essere verificate direttamente mediante calcoli finiti.(Prove reali come la sostituzione (varepsilon) erano sempre state del genere: fornire procedure finanziarie che eliminano elementi transfiniti dalle prove di dichiarazioni reali, in particolare, di (0 = 1). In effetti, Hilbert vide che qualcosa di più forte è vero: non solo una prova di coerenza stabilisce la verità di formule reali dimostrabili con metodi ideali, ma produce prove finanziarie di proposizioni generali finanziarie se la corrispondente formula a variabile libera è derivabile da metodi ideali (1928, 474).ma fornisce prove finanziarie di proposizioni generali finanziarie se la corrispondente formula a variabile libera è derivabile da metodi ideali (1928, 474).ma fornisce prove finanziarie di proposizioni generali finanziarie se la corrispondente formula a variabile libera è derivabile da metodi ideali (1928, 474).

Hilbert suggerì ulteriori restrizioni alla teoria oltre alla conservatività: semplicità, brevità delle prove, "economia del pensiero" e produttività matematica. Il sistema formale della logica transfinita non è arbitrario: “Questo gioco di formula si svolge secondo determinate regole definite, in cui si esprime la tecnica del nostro pensiero. […] L'idea fondamentale della mia teoria della dimostrazione non è altro che descrivere l'attività della nostra comprensione, creare un protocollo delle regole in base al quale il nostro pensiero procede effettivamente”(Hilbert, 1928, 475). Quando Weyl (1928) alla fine si allontanò dall'intuizionismo (per le ragioni, vedi Mancosu e Ryckman, 2002), sottolineò questa motivazione della teoria delle prove di Hilbert: non trasformare la matematica in un gioco di simboli insignificante,ma trasformarlo in una scienza teorica che codifica la pratica scientifica (matematica).

Il formalismo di Hilbert era quindi piuttosto sofisticato: evitava due obiezioni cruciali: (1) Se le formule del sistema sono insignificanti, come può la derivabilità nel sistema generare qualsiasi tipo di credenza? (2) Perché accettare il sistema di (PA) e non qualsiasi altro sistema coerente? Entrambe le obiezioni sono familiari a Frege; entrambe le domande ricevono (in parte) una risposta conservativa per affermazioni reali. Per (2), inoltre, Hilbert ha un criterio naturalistico di accettazione: siamo vincolati nella scelta dei sistemi da considerazioni di semplicità, fecondità, uniformità e da ciò che i matematici effettivamente fanno; Weyl aggiungerebbe che il test finale di una teoria sarebbe la sua utilità in fisica.

La maggior parte dei filosofi della scrittura matematica su Hilbert lo hanno letto come strumentista (tra cui Kitcher 1976, Resnik 1980, Giaquinto 1983, Sieg 1990 e in particolare Detlefsen 1986) in quanto hanno letto la spiegazione di Hilbert secondo cui le proposizioni ideali "non hanno alcun significato in se stesse" (Hilbert, 1926, 381) sostenendo che la matematica classica è un semplice strumento e che le affermazioni della matematica transfinita non hanno alcun valore di verità. Nella misura in cui ciò è accurato, deve essere inteso come uno strumentalismo metodologico: una corretta esecuzione del programma teorico delle prove dimostrerebbe che si potrebbe fingere come se la matematica fosse priva di significato. L'analogia con la fisica non è quindi: le proposizioni transfinite non hanno significato proprio come le proposizioni che coinvolgono termini teorici non hanno significato, ma:le proposizioni transfinite non richiedono alcun significato intuitivo diretto così come non è necessario vedere direttamente gli elettroni per teorizzare su di essi. Hallett (1990), tenendo conto del background matematico del 19 ° secolo da cui proveniva Hilbert, nonché di fonti pubblicate e non pubblicate dell'intera carriera di Hilbert (in particolare Hilbert 1992, la più ampia discussione sul metodo degli elementi ideali) giunge alla seguente conclusione:

[Il trattamento di Hilbert sulle questioni filosofiche] non è inteso come una specie di agnosticismo strumentale sull'esistenza e sulla verità e così via. Al contrario, ha lo scopo di fornire una soluzione non scettica e positiva a tali problemi, una soluzione espressa in termini cognitivi accessibili. E, a quanto pare, la stessa soluzione vale sia per le teorie matematiche che fisiche. Una volta che sono stati accettati nuovi concetti o "elementi ideali" o nuovi termini teorici, allora esistono nel senso in cui esistono entità teoriche. (Hallett, 1990, 239)

4. Il programma di Hilbert e i teoremi di incompletezza di Gödel

C'è stato un dibattito sull'impatto dei teoremi di incompletezza di Gödel sul Programma di Hilbert e se fosse il primo o il secondo teorema di incompletezza a consegnare il colpo di grazia. Indubbiamente l'opinione di coloro che sono direttamente coinvolti negli sviluppi era convinta che i teoremi avessero avuto un impatto decisivo. Gödel annunciò il secondo teorema di incompletezza in un abstract pubblicato nell'ottobre 1930: nessuna prova di coerenza di sistemi come Principia, teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel, o i sistemi studiati da Ackermann e von Neumann è possibile con metodi che possono essere formulati in questi sistemi. Nella versione completa del suo documento, Gödel (1931) lasciava aperta la possibilità che esistessero metodi finanziari non formalizzabili in questi sistemi e che avrebbero prodotto le prove di coerenza richieste. La prima reazione di Bernays in una lettera a Gödel nel gennaio 1931 fu allo stesso modo che se, come fa von Neumann, si è certi che ogni considerazione finanziaria possa essere formalizzata all'interno del sistema (P) - come te, io considero che in nessun modo come stabilito si giunge alla conclusione che una dimostrazione finanziaria della coerenza di (P) è impossibile”(Gödel, 2003a, 87).

In che modo i teoremi di Gödel incidono sul programma di Hilbert? Attraverso un'attenta ("Gödel" -) codifica delle sequenze di simboli (formule, prove), Gödel ha mostrato che nelle teorie (T) che contengono una quantità sufficiente di aritmetica, è possibile produrre una formula (Pr (x, y)) che "dice" che (x) è (il codice di) una prova di (la formula con codice) (y). In particolare, se (ulcorner 0 = 1 / urcorner) è il codice della formula (0 = 1), quindi (Con_T = / forall x / neg Pr (x, / ulcorner 0 = 1 / urcorner)) può essere usato per "dire" che (T) è coerente (nessun numero è il codice di una derivazione in (T) di (0 = 1)). Il secondo teorema di incompletezza (G2) dice che sotto certe ipotesi su (T) e l'apparato di codifica, (T) non prova (Con_T). Supponiamo ora che ci sia una prova di coerenza finanziaria di (T). I metodi usati in tale dimostrazione sarebbero presumibilmente formalizzabili in (T). ("Formalizzabile" significa che, approssimativamente, se la prova utilizza un'operazione finanziaria (f) su derivazioni che trasforma qualsiasi derivazione (D) in derivazione (f (D)) di una forma semplice; è una formula (F (x, y)) in modo che, per tutte le derivazioni (D, T / vdash F (ulcorner D / urcorner, / ulcorner f (D) urcorner)).) La coerenza di (T) verrebbe espresso finitarmente come l'ipotetico generale che, se (D) è una data sequenza di simboli, (D) non è una derivazione in (T) della formula (0 = 1). La formalizzazione di questa proposta è la formula (neg Pr (x, / ulcorner 0 = 1 / urcorner)) in cui la variabile (x) appare libera. Se ci fosse una prova finanziaria della coerenza di (T), la sua formalizzazione produrrebbe una derivazione in (T) di (neg Pr_T (x,\ ulcorner 0 = 1 / urcorner)), da cui (Con_T) può essere derivato in (T) mediante una semplice generalizzazione universale su (x). Tuttavia, una derivazione di (Con_T) in (T) è esclusa da G2.

Come accennato in precedenza, inizialmente Gödel e Bernays pensavano che la difficoltà per la prova di coerenza di (PA) potesse essere superata impiegando metodi che, sebbene non formalizzabili in (PA), sono comunque finanziari. È discutibile se tali metodi siano considerati finitari secondo la concezione originale del finitismo o se costituiscano un'estensione del punto di vista finitista originale. I nuovi metodi considerati includevano una versione definitiva della regola (omega) proposta da Hilbert (1931b; 1931a). È giusto dire, tuttavia, che dopo circa il 1934 è stato quasi universalmente accettato che i metodi di prova accettati come finanziari prima dei risultati di Gödel siano tutti formalizzabili in (PA). Le estensioni del punto di vista finitista originale sono state proposte e difese su basi ampiamente finanziarie, ad es. Gentzen (1936) difese l'uso dell'induzione transfinita fino a (varepsilon_0) nella sua prova di coerenza per (PA) come "indiscutibile", Takeuti (1987) diede un'altra difesa. Gödel (1958) presentò un'altra estensione del punto di vista finitista; l'opera di Kreisel menzionata sopra può essere vista come un altro tentativo di estendere il finitismo mantenendo lo spirito della concezione originale di Hilbert.

Un altro tentativo di fornire un modo per aggirare il secondo teorema di Gödel per il Programma di Hilbert fu proposto da Detlefsen (1986; 2001; 1979). Detlefsen presenta diverse linee di difesa, una delle quali è simile a quella appena descritta: sostenere che una versione della regola (omega) - è accettabile dal punto di vista finanziario, sebbene non sia in grado di formalizzazione (tuttavia, si veda Ignjatovic 1994). L'altro argomento di Detlefsen contro l'interpretazione comune del secondo teorema di Gödel si concentra sulla nozione di formalizzazione: che la particolare formalizzazione di "(T) è coerente" con la formula di Gödel (Con_T) non è dimostrabile non implica che non si possa ' essere altre formule, che sono dimostrabili in (T) e che hanno lo stesso diritto di essere chiamate "formalizzazioni della coerenza di (T)."Questi si basano su diverse formalizzazioni del predicato della provabilità (Pr_T) rispetto a quelle standard. È noto che le dichiarazioni di coerenza formalizzate non sono dimostrabili ogni volta che il predicato della dimostrabilità obbedisce a determinate condizioni generali di derivabilità. Detlefsen sostiene che queste condizioni non sono necessarie affinché un predicato possa essere considerato un vero predicato della dimostrabilità, e in effetti vi sono predicati della dimostrabilità che violano le condizioni di provabilità e che danno origine a formule di coerenza che sono dimostrabili nelle loro corrispondenti teorie. Questi, tuttavia, dipendono da concezioni non standard di provabilità che probabilmente non sarebbero state accettate da Hilbert (vedi anche Resnik 1974, Auerbach 1992 e Steiner 1991). È noto che le dichiarazioni di coerenza formalizzate non sono dimostrabili ogni volta che il predicato della dimostrabilità obbedisce a determinate condizioni generali di derivabilità. Detlefsen sostiene che queste condizioni non sono necessarie affinché un predicato possa essere considerato un vero predicato della dimostrabilità, e in effetti vi sono predicati della dimostrabilità che violano le condizioni di provabilità e che danno origine a formule di coerenza che sono dimostrabili nelle loro corrispondenti teorie. Questi, tuttavia, dipendono da concezioni non standard di provabilità che probabilmente non sarebbero state accettate da Hilbert (vedi anche Resnik 1974, Auerbach 1992 e Steiner 1991). È noto che le dichiarazioni di coerenza formalizzate non sono dimostrabili ogni volta che il predicato della dimostrabilità obbedisce a determinate condizioni generali di derivabilità. Detlefsen sostiene che queste condizioni non sono necessarie affinché un predicato possa essere considerato un vero predicato della dimostrabilità, e in effetti vi sono predicati della dimostrabilità che violano le condizioni di provabilità e che danno origine a formule di coerenza che sono dimostrabili nelle loro corrispondenti teorie. Questi, tuttavia, dipendono da concezioni non standard di provabilità che probabilmente non sarebbero state accettate da Hilbert (vedi anche Resnik 1974, Auerbach 1992 e Steiner 1991).e in effetti ci sono predicati di provabilità che violano le condizioni di provabilità e che danno origine a formule di coerenza che sono dimostrabili nelle loro teorie corrispondenti. Questi, tuttavia, dipendono da concezioni non standard di provabilità che probabilmente non sarebbero state accettate da Hilbert (vedi anche Resnik 1974, Auerbach 1992 e Steiner 1991).e in effetti ci sono predicati di provabilità che violano le condizioni di provabilità e che danno origine a formule di coerenza che sono dimostrabili nelle loro teorie corrispondenti. Questi, tuttavia, dipendono da concezioni non standard di provabilità che probabilmente non sarebbero state accettate da Hilbert (vedi anche Resnik 1974, Auerbach 1992 e Steiner 1991).

Smorynski (1977) ha sostenuto che già il primo teorema di incompletezza sconfigge il Programma di Hilbert. Lo scopo di Hilbert non era semplicemente quello di dimostrare che la matematica formalizzata è coerente, ma di farlo in un modo specifico dimostrando che la matematica ideale non può mai portare a conclusioni non in accordo con la matematica reale. Pertanto, per avere successo, la matematica ideale deve essere conservativa rispetto alla parte reale: ogni volta che la matematica ideale formalizzata dimostra una vera formula (P, P) stessa (o la proposizione finanziaria che esprime) deve essere provabile finanziariamente. Per Smorynski le formule reali comprendono non solo le uguaglianze numeriche e le relative combinazioni, ma anche formule generali con variabili libere ma senza quantificatori illimitati.

Ora il primo teorema di incompletezza di Gödel (G1) afferma che per ogni teoria formale sufficientemente forte e coerente (S) esiste una frase (G_S) che è vera ma non derivabile in (S). (G_S) è una vera frase secondo la definizione di Smorynski. Consideriamo ora una teoria (T) che formalizza la matematica ideale e la sua teoria secondaria ((S) che formalizza la matematica reale. (S) soddisfa le condizioni di G1 e quindi (S) non deriva (G_S). Tuttavia, (T), essendo una formalizzazione di tutta la matematica (incluso ciò che è necessario per vedere che (G_S) è vero), deriva (G_S). Quindi, abbiamo un'affermazione reale che è dimostrabile nella matematica ideale e non nella matematica reale.

Detlefsen (1986, Appendice; vedi anche 1990) ha difeso anche il Programma di Hilbert contro questo argomento. Detlefsen sostiene che lo strumentalismo "Hilbertiano" sfugge all'argomento di G1 negando che la matematica ideale deve essere conservatrice rispetto alla parte reale; tutto ciò che serve è la vera solidità. Lo strumentalismo Hilbertiano richiede solo che la teoria ideale non provi nulla che sia in conflitto con la teoria reale; non è richiesto che dimostri solo affermazioni reali, come dimostra anche la vera teoria. (Vedi Zach 2006 per ulteriori informazioni sul tema della conservatività e della coerenza, la sezione pertinente nella voce su Gödel per ulteriori discussioni, Franks 2009 per una relativa difesa e rivalutazione del progetto di Hilbert e McCarthy 2016 per un approccio alternativo alla provabilità di coerenza e G2 dovuti allo stesso Gödel.)

5. Programmi Hilbert rivisti

Anche se nessuna prova di coerenza finanziaria dell'aritmetica può essere fornita, la questione di trovare prove di coerenza ha comunque un valore: i metodi utilizzati in tali prove, sebbene debbano andare oltre l'originario senso di finitismo di Hilbert, potrebbero fornire una visione reale del contenuto costruttivo di teorie aritmetiche e più forti. Ciò che il risultato di Gödel mostrò fu che non ci può essere alcuna prova di coerenza assoluta di tutta la matematica; quindi il lavoro nella teoria delle prove dopo che Gödel si è concentrato sui risultati relativi, sia: relativi al sistema per il quale è stata fornita una prova di coerenza, sia rispetto ai metodi di prova utilizzati.

La teoria delle prove riduttive in questo senso ha seguito due tradizioni: la prima, condotta principalmente dai teorici delle prove dopo Gentzen e Schütte, ha perseguito un programma di quella che viene chiamata analisi ordinale, ed è esemplificata dalla prima prova di coerenza di Gentzen di (PA) per induzione fino a (varepsilon_0. / varepsilon_0) è un certo ordinario transfinito (sebbene numerabile), tuttavia, "induzione fino a (varepsilon_0)" nel senso usato qui non è una procedura autenticamente transfinita. L'analisi ordinale non opera con infiniti numeri ordinali, ma piuttosto con sistemi di notazione ordinale che possono essere formalizzati in sistemi molto deboli (essenzialmente, finitari). Un'analisi ordinale di un sistema (T) viene fornita se:(a) si può produrre un sistema di notazione ordinale che imita gli ordinali meno di alcuni / ordinali (alpha_T) in modo che (b) si possa provare finanziariamente che la formalizzazione (TI (alpha_T)) del principio di l'induzione fino a (alpha_T) implica la coerenza di (T) (ovvero, (S / vdash TI (alpha_T) rightarrow Con_T)) e (c) (T) proves (TI (beta)) per tutti (beta / lt / alpha_T) ((S) è una teoria che formalizza la metamatematica finanziaria ed è generalmente una debole sotto-teoria di (T)). Per avere un significato fondamentale è anche necessario fornire un argomento costruttivo per l'induzione transfinita fino a (alpha_T). Come accennato in precedenza, questo è stato fatto da Gentzen e Takeuti per (varepsilon_0), la prova teorica ordinale di (PA),ma diventa più difficile e di significato filosofico progressivamente discutibile per teorie più forti.

Una continuazione filosoficamente più soddisfacente del Programma di Hilbert in termini teorici di prova è stata suggerita da Kreisel (1983; 1968) e Feferman (Feferman, 1988; Feferman, 1993a). Questo lavoro procede da una più ampia concezione del Programma di Hilbert come un tentativo di giustificare la matematica ideale con mezzi limitati. In questa concezione, lo scopo della teoria della dimostrazione di Hilbert era di mostrare che, almeno per quanto riguarda una certa classe di proposizioni reali, la matematica ideale non va oltre la matematica reale. Una prova di coerenza finanziaria del tipo immaginato da Hilbert avrebbe ottenuto questo risultato: se la matematica ideale dimostra una proposizione reale, allora questa proposizione è già provabile con metodi reali (cioè finanziari). In un certo senso ciò riduce la matematica ideale alla matematica reale. Una riduzione teorica della dimostrazione di una teoria (T) in una teoria (S) mostra che, per quanto riguarda una certa classe di proposizioni, se (T) dimostra una proposizione, allora (S) lo dimostra anche e la prova di questo fatto è di per sé finanziaria. Il programma teorico delle prove di Hilbert può quindi essere visto come una ricerca di una riduzione teorica delle prove di tutta la matematica alla matematica finlandese; in un programma relativizzato si cercano riduzioni di teorie più deboli di tutta la matematica classica a teorie spesso più forti della matematica finanziaria. I teorici della prova hanno ottenuto una serie di tali risultati, tra cui riduzioni delle teorie che sulla loro faccia richiedono una quantità significativa di matematica ideale per la loro giustificazione (ad esempio, sottosistemi di analisi) ai sistemi finanziari. (Feferman,1993b) ha usato tali risultati in combinazione con altri risultati che mostrano che la maggior parte, se non tutta, della matematica scientificamente applicabile può essere effettuata in sistemi per i quali sono disponibili tali riduzioni per discutere contro l'argomento di indispensabilità nella filosofia della matematica. Il significato filosofico di tali riduzioni teoriche di prove è attualmente oggetto di dibattito (Hofweber, 2000; Feferman, 2000).

Il programma della cosiddetta matematica inversa sviluppato, in particolare, da Friedman e Simpson, è un'altra continuazione del programma di Hilbert. Di fronte ai risultati di Gödel che mostrano che non tutta la matematica classica può essere ridotta a fini finanziari, cercano di rispondere alla domanda: quanta parte della matematica classica può essere così ridotta? La matematica inversa cerca di dare una risposta precisa a questa domanda studiando quali teoremi della matematica classica sono dimostrabili in sottosistemi di analisi deboli che sono riducibili alla matematica finlandese (nel senso discusso nel paragrafo precedente). Un risultato tipico è che il teorema di Hahn-Banach dell'analisi funzionale è dimostrabile in una teoria nota come (WKL_0) (per "debole lemma di König"); (WKL_0) è prudente rispetto a (PRA) per (Pi ^ {0} _2) frasi (ad es.frasi della forma (forall x / esiste yA (x, y)). (Vedi Simpson 1988 per una panoramica e Simpson 1999 per un trattamento tecnico.)

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