Logica Modale

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Logica modale

Pubblicato per la prima volta mar 29 febbraio 2000; revisione sostanziale sab 8 set 2018

Un modale è un'espressione (come "necessariamente" o "possibilmente") che viene utilizzata per qualificare la verità di un giudizio. La logica modale è, a rigor di termini, lo studio del comportamento deduttivo delle espressioni "è necessario che" e "è possibile che". Tuttavia, il termine "logica modale" può essere usato più ampiamente per una famiglia di sistemi correlati. Questi includono logiche per il credo, per il tempo verbale e altre espressioni temporali, per le espressioni deontiche (morali) come "è obbligatorio che" e "è permesso che", e molte altre. La comprensione della logica modale è particolarmente preziosa nell'analisi formale dell'argomento filosofico, in cui le espressioni della famiglia modale sono sia comuni che confuse. La logica modale ha anche importanti applicazioni nell'informatica.

  • 1. Che cos'è la logica modale?
  • 2. Logiche modali
  • 3. Logiche deontiche
  • 4. Logiche temporali
  • 5. Logiche condizionali
  • 6. Semantica sui mondi possibili
  • 7. Assiomi e condizioni modali sui telai
  • 8. Mappa delle relazioni tra logiche modali
  • 9. L'assioma generale
  • 10. Semantica bidimensionale
  • 11. Logica della disponibilità
  • 12. Logica modale avanzata
  • 13. Bisimulazione
  • 14. Logica modale e giochi
  • 15. Quantificatori in logica modale
  • Bibliografia
  • Strumenti accademici
  • Altre risorse Internet
  • Voci correlate

1. Che cos'è la logica modale?

La logica modale, ristretta, studia il ragionamento che implica l'uso delle espressioni "necessariamente" e "possibilmente". Tuttavia, il termine "logica modale" è usato più ampiamente per coprire una famiglia di logiche con regole simili e una varietà di simboli diversi.

Segue un elenco che descrive la più nota di queste logiche.

Logica simboli Espressioni simbolizzate
Logica modale (Scatola) È necessario che …
(Diamante) È possibile questo …
Logica Deontica (O) È obbligatorio che …
(P) È permesso che …
(F) È vietato che …
Logica temporale (G) Sarà sempre il caso che …
(F) Sarà il caso che …
(H) È sempre stato il caso che …
(P) È stato il caso che …
Logica Doxastica (Bx) (x) ritiene che …

2. Logiche modali

Le logiche più familiari nella famiglia modale sono costruite da una logica debole chiamata (bK) (dopo Saul Kripke). Sotto la lettura ristretta, la logica modale riguarda la necessità e la possibilità. È possibile sviluppare una varietà di sistemi diversi per tali logiche usando (bK) come base. I simboli di (bK) includono '({ sim})' per 'non', '(rightarrow)' per 'if … then' e '(Box)' per l'operatore modale "è necessario che". (I connettivi '(amp)', '(vee)' e '(leftrightarrow)' possono essere definiti da '({ sim})' e '(rightarrow) 'come si fa nella logica proposizionale.) (bK) risulta dall'aggiunta di quanto segue ai principi della logica proposizionale.

Regola di necessità: se (A) è un teorema di (bK), allora lo è anche (Box A).

Assioma di distribuzione: (Box (A / rightarrow B) rightarrow (Box A / rightarrow / Box B)).

(In questi principi usiamo '(A)' e '(B)' come metavariabili che vanno oltre le formule del linguaggio.) Secondo la Necessitation Rule, è necessario qualsiasi teorema della logica. L'Assioma di distribuzione afferma che se è necessario che if (A) quindi (B), quindi se necessariamente (A), quindi necessariamente (B).

L'operatore (Diamond) (per "possibilmente") può essere definito da (Box) lasciando (Diamond A = { sim} Box { sim} A). In (bK), gli operatori (Box) e (Diamond) si comportano in modo molto simile ai quantificatori (forall) (all) e (exist) (alcuni). Ad esempio, la definizione di (Diamond) da (Box) rispecchia l'equivalenza di (forall xA) con ({ sim} esiste x { sim} A) nella logica del predicato. Inoltre, (Box (A / amp B)) implica (Box A / amp / Box B) e viceversa; mentre (Box A / vee / Box B) implica (Box (A / vee B)), ma non viceversa. Ciò riflette i modelli esibiti dal quantificatore universale: (forall x (A / amp B)) comporta (forall xA / amp / forall xB) e viceversa, mentre (forall xA / vee / forall xB) implica (forall x (A / vee B)) ma non viceversa. Paralleli simili tra (Diamond) e (exist) possono essere tracciati. Le basi di questa corrispondenza tra gli operatori modali e i quantificatori emergeranno più chiaramente nella sezione sulla semantica dei mondi possibili.

Il sistema (bK) è troppo debole per fornire un adeguato resoconto della necessità. Il seguente assioma non è dimostrabile in (bK), ma è chiaramente desiderabile.

(tag {(M)} Riquadro A / rightarrow A)

((M)) afferma che tutto ciò che è necessario è il caso. Si noti che ((M)) sarebbe errato se (Box) fosse letto "dovrebbe essere quello" o "era il caso". Quindi la presenza di axiom ((M)) distingue le logiche per necessità dalle altre logiche della famiglia modale. Una logica modale di base (M) risulta dall'aggiunta di ((M)) a (bK). (Alcuni autori chiamano questo sistema (mathbf {T}).)

Molti logici ritengono che (M) sia ancora troppo debole per formalizzare correttamente la logica della necessità e della possibilità. Raccomandano ulteriori assiomi per governare l'iterazione o la ripetizione degli operatori modali. Ecco due degli assiomi di iterazione più famosi:

(tag {4} Box A / rightarrow / Box / Box A) (tag {5} Diamond A / rightarrow / Box / Diamond A)

(mathbf {S4}) è il sistema che risulta dall'aggiunta di (4) a (M). Allo stesso modo (mathbf {S5}) è (M) più (5). In (mathbf {S4}), la frase (Box / Box A) è equivalente a (Box A). Di conseguenza, qualsiasi stringa di scatole può essere sostituita da una singola scatola, e lo stesso vale per le stringhe di diamanti. Ciò equivale all'idea che l'iterazione degli operatori modali sia superflua. Dire che (A) è necessariamente necessario è considerato un modo inutilmente prolisso per dire che (A) è necessario. Il sistema (mathbf {S5}) ha principi ancora più forti per semplificare le stringhe di operatori modali. In (mathbf {S4}), una stringa di operatori dello stesso tipo può essere sostituita per quell'operatore; in (mathbf {S5}), le stringhe contenenti sia le caselle che i diamanti sono equivalenti all'ultimo operatore nella stringa. Quindi, per esempio,dire che è possibile che (A) sia necessario equivale a dire che (A) è necessario. Segue un riepilogo di queste funzionalità di (mathbf {S4}) e (mathbf {S5}).

(tag {(mathbf {S4})} Box / Box / ldots / Box = / Box / text {and} Diamond / Diamond / ldots / Diamond = / Diamond) (begin {align *} tag {(mathbf {S5})} 00 / ldots / Box & = / Box / text {e} 00 / ldots / Diamond = / Diamond, \& / text {dove ciascuno} 0 / text {è} Box / text {oppure} Diamond / end {align *})

Si potrebbe impegnarsi in discussioni infinite sulla correttezza o erratezza di questi e altri principi di iterazione per (Box) e (Diamond). La controversia può essere parzialmente risolta riconoscendo che le parole "necessariamente" e "possibilmente" hanno molti usi diversi. Quindi l'accettabilità degli assiomi per la logica modale dipende da quale di questi usi abbiamo in mente. Per questo motivo, non esiste una logica modale, ma un'intera famiglia di sistemi costruita attorno a (M). La relazione tra questi sistemi è schematizzata nella Sezione 8 e la loro applicazione a diversi usi di "necessariamente" e "possibilmente" può essere compresa più approfonditamente studiando la loro possibile semantica mondiale nella Sezione 6.

Il sistema (mathbf {B}) (per il logico Brouwer) è formato aggiungendo assioma ((B)) a (M).

(tag {(B)} A / rightarrow / Box / Diamond A)

È interessante notare che (mathbf {S5}) può essere formulato in modo equivalente aggiungendo ((B)) a (mathbf {S4}). L'assioma ((B)) solleva un punto importante sull'interpretazione delle formule modali. ((B)) dice che se (A) è il caso, allora (A) è necessariamente possibile. Si potrebbe sostenere che ((B)) dovrebbe sempre essere adottato in qualsiasi logica modale, poiché sicuramente se (A) è il caso, allora è necessario che (A) sia possibile. Tuttavia, esiste un problema con questa affermazione che può essere esposto osservando che (Diamond / Box A / rightarrow A) è provabile da ((B)). Quindi (Diamond / Box A / rightarrow A) dovrebbe essere accettabile se ((B)) lo è. Tuttavia, (Diamond / Box A / rightarrow A) dice che se (A) è eventualmente necessario, allora (A) è il caso, e questo è tutt'altro che ovvio. Perché ((B)) sembra ovvio,mentre una delle cose che comporta non sembra affatto ovvia? La risposta è che esiste una pericolosa ambiguità nell'interpretazione inglese di (A / rightarrow / Box / Diamond A). Usiamo spesso l'espressione 'If (A) then necessariamente (B)' per esprimere che il condizionale 'if (A) then (B)' è necessario. Questa interpretazione corrisponde a (Riquadro (A / rightarrow B)). In altre occasioni, intendiamo che se (A), allora (B) è necessario: (A / rightarrow / Box B). In inglese, "necessariamente" è un avverbio e poiché gli avverbi sono generalmente posizionati vicino ai verbi, non abbiamo modo naturale di indicare se l'operatore modale si applica all'intero condizionale o al suo conseguente. Per questi motivi, c'è la tendenza a confondere ((B): A / rightarrow / Box / Diamond A) con (Box (A / rightarrow / Diamond A)). Ma (Box (A / rightarrow / Diamond A)) non è lo stesso di ((B)), poiché (Box (A / rightarrow / Diamond A)) è già un teorema di (M) e ((B)) no. Bisogna prestare particolare attenzione che la nostra reazione positiva a (Box (A / rightarrow / Diamond A)) non infetti la nostra valutazione di ((B)). Un modo semplice per proteggerci è formulare (B) in modo equivalente usando l'assioma: (Diamond / Box A / rightarrow A), dove non sorgono queste ambiguità di portata.dove non sorgono queste ambiguità di portata.dove non sorgono queste ambiguità di portata.

3. Logiche deontiche

Le logiche deontiche introducono il simbolo primitivo (O) per "è obbligatorio che", da cui i simboli (P) per "è consentito che" e (F) per "è vietato che" siano definiti: (PA = { sim} O { sim} A) e (FA = O { sim} A). L'analogo deontico dell'assioma modale ((M): OA / rightarrow A) non è chiaramente appropriato per la logica deontica. (Sfortunatamente, ciò che dovrebbe essere non è sempre il caso.) Tuttavia, un sistema di base (mathbf {D}) della logica deontica può essere costruito aggiungendo l'assioma più debole ((D)) a (bK).

(tag {(D)} OA / rightarrow PA)

Axiom ((D)) garantisce la coerenza del sistema di obbligazioni insistendo sul fatto che quando (A) è obbligatorio, (A) è consentito. Un sistema che ci obbliga a realizzare (A), ma che non ci consente di farlo, ci mette in un vincolo inevitabile. Sebbene alcuni sosterranno che tali conflitti di obbligo sono almeno possibili, la maggior parte dei logici deontici accetta ((D)).

(O (OA / rightarrow A)) è un altro assioma deontico che sembra desiderabile. Anche se è sbagliato dire che se (A) è obbligatorio, allora (A) è il caso ((OA / rightarrow A)), tuttavia, questo condizionale dovrebbe essere il caso. Quindi alcuni logici deontici ritengono che anche (D) debba essere integrato con (O (OA / rightarrow A)).

La controversia sull'iterazione (ripetizione) degli operatori si pone nuovamente nella logica deontica. In alcune concezioni di obbligo, (OOA) equivale a (OA). "Dovrebbe essere quello che dovrebbe essere" è trattato come una specie di balbuzie; gli extra dovrebbero non aggiungere nulla di nuovo. Quindi vengono aggiunti assiomi per garantire l'equivalenza di (OOA) e (OA). Può anche essere adottata la politica di iterazione più generale contenuta in (mathbf {S5}). Tuttavia, ci sono concezioni dell'obbligo in cui viene mantenuta la distinzione tra (OA) e (OOA). L'idea è che ci sono vere differenze tra gli obblighi che abbiamo effettivamente e quelli che dovremmo adottare. Ad esempio, 'dovrebbe essere che dovrebbe essere che (A)' comanda l'adozione di alcuni obblighi che potrebbero non essere effettivamente in vigore, con il risultato che (OOA) può essere vero anche quando (OA) è falso.

4. Logiche temporali

Nella logica temporale (nota anche come logica tesa), ci sono due operatori di base, (G) per il futuro e (H) per il passato. (G) viene letto 'sarà sempre quello' e l'operatore definito (F) (leggi 'sarà il caso che') può essere introdotto da (FA = { sim} G { sim }UN). Allo stesso modo, si legge (H): 'è sempre stato' e (P) (per 'era il caso che') è definito da (PA = { sim} H { sim} A). Un sistema di base della logica temporale chiamato (mathbf {Kt}) risulta dall'adozione dei principi di (bK) sia per (G) che (H), insieme a due assiomi per governare l'interazione tra operatori passati e futuri:

Regole di necessità:

Se (A) è un teorema, allora lo sono anche (GA) e (HA).

Assi di distribuzione:

(G (A / rightarrow B) rightarrow (GA / rightarrow GB)) e (H (A / rightarrow B) rightarrow (HA / rightarrow HB))

Assiomi di interazione:

(A / rightarrow GPA) e (A / rightarrow HFA)

Gli assiomi di interazione sollevano questioni relative alle asimmetrie tra passato e futuro. Un'intuizione standard è che il passato è fisso, mentre il futuro è ancora aperto. Il primo assioma di interazione ((A / rightarrow GPA)) si conforma a questa intuizione nel riferire che il caso ((A)), in tutti i tempi futuri, sarà nel passato ((GPA)). Tuttavia (A / rightarrow HFA) può sembrare avere un tono inaccettabilmente deterministico, poiché afferma, apparentemente, che ciò che è vero ora ((A)) è sempre stato tale che accadrà in futuro ((HFA)). Tuttavia, la possibile semantica mondiale per la logica temporale rivela che questa preoccupazione deriva da una semplice confusione e che i due assiomi di interazione sono ugualmente accettabili.

Si noti che l'assioma caratteristico della logica modale, ((M): / Box A / rightarrow A), non è accettabile per (H) o (G), poiché (A) non segue da 'sempre il caso (A)', né da 'sempre il caso (A)'. Tuttavia, è accettabile in una logica temporale strettamente correlata in cui (G) viene letto 'è e sarà sempre', e (H) viene letto 'è ed è sempre stato'.

A seconda delle ipotesi che si fanno sulla struttura del tempo, è necessario aggiungere ulteriori assiomi alle logiche temporali. Segue un elenco di assiomi comunemente adottati nella logica temporale. Un resoconto di come dipendono dalla struttura del tempo si troverà nella sezione Semantica dei mondi possibili.

(begin {align *} GA / rightarrow GGA & / text {e} HA / rightarrow HHA \\ GGA / rightarrow GA & / text {e} HHA / rightarrow HA \\ GA / rightarrow FA & / text {and} HA / rightarrow PA / end {align *})

È interessante notare che alcune combinazioni di operatori del tempo passato e futuro possono essere utilizzate per esprimere tempi complessi in inglese. Ad esempio, (FPA), corrisponde alla frase (A) nel futuro perfetto (come in '20 secondi da adesso la luce sarà cambiata '). Allo stesso modo, (PPA) esprime il passato perfetto.

Per una discussione più dettagliata, vedere la voce sulla logica temporale.

5. Logiche condizionali e di pertinenza

Il fondatore della logica modale, CI Lewis, ha definito una serie di logiche modali che non avevano (Box) come simbolo primitivo. Lewis era preoccupato di sviluppare una logica di condizionali che fosse libera dai cosiddetti paradossi dell'implicazione materiale, vale a dire i teoremi classici (A / rightarrow ({ sim} A / rightarrow B)) e (B / rightarrow (A / rightarrow B)). Ha introdotto il simbolo (fishhook) per "implicazione rigorosa" e ha sviluppato logiche in cui né (A / fishhook ({ sim} A / fishhook B)) né (B / fishhook (A / fishhook B)) è dimostrabile. La pratica moderna è stata quella di definire (A / fishhook B) con (Box (A / rightarrow B)) e usare logiche modali che governano (Box) per ottenere risultati simili. Tuttavia, la provabilità di tali formule come ((A / amp { sim} A) fishhook B) in tali logiche sembra in contrasto con la preoccupazione per i paradossi. Anderson e Belnap (1975) hanno sviluppato sistemi (mathbf {R}) (per Relevance Logic) e (mathbf {E}) (per Entailment) progettati per superare tali difficoltà. Questi sistemi richiedono la revisione dei sistemi standard di logica proposizionale. (Vedi Mares (2004) e la voce sulla logica di pertinenza.)

David Lewis (1973) e altri hanno sviluppato logiche condizionali per gestire espressioni controfattuali, ovvero espressioni della forma "se (A) dovesse accadere allora (B) accadrebbe". (Kvart (1980) è un'altra buona fonte sull'argomento.) Le logiche controfattuali differiscono da quelle basate su implicazioni rigorose perché la prima rifiuta mentre la seconda accetta la contrapposizione.

6. Semantica sui mondi possibili

Lo scopo della logica è di caratterizzare la differenza tra argomenti validi e non validi. Un sistema logico per una lingua è un insieme di assiomi e regole progettato per dimostrare esattamente gli argomenti validi statable nella lingua. Creare una tale logica può essere un compito difficile. Il logico deve assicurarsi che il sistema sia valido, vale a dire che ogni argomento dimostrato utilizzando le regole e gli assiomi è in effetti valido. Inoltre, il sistema dovrebbe essere completo, nel senso che ogni argomento valido ha una prova nel sistema. Dimostrare solidità e completezza dei sistemi formali è la preoccupazione centrale di un logico.

Una simile dimostrazione non può essere avviata fino a quando il concetto di validità non sarà definito rigorosamente. La semantica formale per una logica fornisce una definizione di validità caratterizzando il comportamento di verità delle frasi del sistema. Nella logica proposizionale, la validità può essere definita usando le tabelle di verità. Un argomento valido è semplicemente quello in cui ogni riga della tabella della verità che rende vere le sue premesse rende vera anche la sua conclusione. Tuttavia le tabelle di verità non possono essere utilizzate per fornire un resoconto di validità nelle logiche modali perché non esistono tabelle di verità per espressioni come "è necessario che", "è obbligatorio che" e simili. (Il problema è che il valore di verità di (A) non determina il valore di verità per (Riquadro A). Ad esempio, quando (A) è "I cani sono cani", (Riquadro A) è vero, ma quando (A) è "I cani sono animali domestici", (Box A) è falso.) Tuttavia,la semantica per le logiche modali può essere definita introducendo mondi possibili. Illustreremo la possibile semantica dei mondi per una logica di necessità contenente i simboli ({ sim}, / rightarrow) e (Box). Quindi spiegheremo come la stessa strategia può essere adattata ad altre logiche nella famiglia modale.

Nella logica proposizionale, una valutazione delle frasi atomiche (o riga di una tabella di verità) assegna un valore di verità ((T) o (F)) a ciascuna variabile proposizionale (p). Quindi i valori di verità delle frasi complesse vengono calcolati con tabelle di verità. Nella semantica modale, viene introdotto un insieme (W) di mondi possibili. Una valutazione fornisce quindi un valore di verità a ciascuna variabile proposizionale per ciascuno dei mondi possibili in (W). Ciò significa che il valore assegnato a (p) per il mondo (w) potrebbe differire dal valore assegnato a (p) per un altro mondo (w ').

Il valore di verità della frase atomica (p) nel mondo (w) dato dalla valutazione (v) può essere scritto (v (p, w)). Data questa notazione, i valori di verità ((T) per vero, (F) per falso) di frasi complesse di logica modale per una data valutazione (v) (e membro (w) dell'insieme dei mondi (W)) può essere definito dalle seguenti clausole di verità. ("iff" abbrevia "se e solo se".)

(tag {({ sim})} v ({ sim} A, w) = T / text {iff} v (A, w) = F.) (tag {(rightarrow)} v (A / rightarrow B, w) = T / text {iff} v (A, w) = F / text {o} v (B, w) = T.) (tag {5} v (Box A, w) = T / text {iff per ogni mondo} w '\ text {in} W, v (A, w') = T.)

Le clausole (({ sim})) e ((rightarrow)) descrivono semplicemente il comportamento della tabella di verità standard rispettivamente per negazione e implicazione materiale. Secondo (5), (Riquadro A) è vero (in un mondo (w)) esattamente quando (A) è vero in tutti i mondi possibili. Data la definizione di (Diamond), (ovvero, (Diamond A = { sim} Box { sim} A)) la condizione di verità (5) assicura che (Diamond A) sia vero nel caso in cui (A) sia vero in qualche mondo possibile. Poiché le clausole di verità per (Box) e (Diamond) coinvolgono i quantificatori 'all' e 'some' (rispettivamente), i parallelismi nel comportamento logico tra (Box) e (forall x), e tra (Diamond) e (esiste x) sarà previsto nella sezione 2.

Le clausole (({ sim}), (rightarrow)) e (5) ci consentono di calcolare il valore di verità di qualsiasi frase in qualsiasi mondo su una data valutazione. Una definizione di validità è ora dietro l'angolo. Un argomento è valido 5 per un dato insieme W (di mondi possibili) se e solo se ogni valutazione delle frasi atomiche che assegna le premesse (T) in un mondo in (W) assegna anche la conclusione (T) nello stesso mondo. Si dice che un argomento è valido 5 se è valido per ogni insieme non vuoto (W) di mondi possibili.

È stato dimostrato che (mathbf {S5}) è valido e completo per validità 5 (da cui il nostro uso del simbolo '5'). Gli argomenti 5 validi sono esattamente gli argomenti dimostrabili in (mathbf {S5}). Questo risultato suggerisce che (mathbf {S5}) è il modo corretto di formulare una logica di necessità.

Tuttavia, (mathbf {S5}) non è una logica ragionevole per tutti i membri della famiglia modale. Nella logica deontica, nella logica temporale e in altri, l'analogo della condizione di verità (5) non è chiaramente appropriato; inoltre ci sono persino concetti di necessità in cui anche (5) dovrebbe essere respinto. Il punto è più facile da vedere nel caso della logica temporale. Qui, i membri di (W) sono momenti del tempo, o mondi "congelati", per così dire, in un istante. Per semplicità, consideriamo una futura logica temporale, una logica in cui (Riquadro A) recita: "sarà sempre così". (Formuliamo il sistema usando (Box) anziché il tradizionale (G) in modo che le connessioni con altre logiche modali saranno più facili da apprezzare.) La clausola corretta per (Box) dovrebbe dire che (Riquadro A) è vero al momento (w) iff (A) è sempre vero nel futuro di (w). Per limitare l'attenzione al futuro, è necessario introdurre la relazione (R) (per "prima di"). Quindi la clausola corretta può essere formulata come segue.

(tag {(K)} v (Box A, w) = T / text {iff per ogni} w ', / text {if} wRw', / text {then} v (A, w ') = T.)

Questo dice che (Riquadro A) è vero in (w) nel caso in cui (A) sia vero in ogni momento dopo (w).

È ora possibile definire la validità per questa marca di logica temporale. Un frame (langle W, R / rangle) è una coppia costituita da un insieme non vuoto (W) (di mondi) e una relazione binaria (R) su (W). Un modello (langle F, v / rangle) è costituito da un frame (F) e una valutazione (v) che assegna valori di verità a ciascuna frase atomica in ciascun mondo in (W). Dato un modello, i valori di tutte le frasi complesse possono essere determinati usando (({ sim}), (rightarrow)) e ((K)). Un argomento è (bK) - valido nel caso in cui qualsiasi modello la cui valutazione assegni le premesse (T) in un mondo assegni anche la conclusione (T) allo stesso mondo. Come il lettore potrebbe aver intuito dal nostro uso di '(bK)', è stato dimostrato che la logica modale più semplice (bK) è sia solida che completa per (bK) - validità.

7. Assiomi e condizioni modali sui telai

Si potrebbe supporre da questa discussione che (bK) sia la logica corretta quando si legge (Box) "sarà sempre così". Tuttavia, ci sono ragioni per pensare che (bK) sia troppo debole. Una ovvia caratteristica logica della relazione (R) (precedente a) è la transitività. Se (wRv (w) è precedente a (v)) e (vRu (v) è precedente a (u)), ne consegue che (wRu (w) è precedente a (u)). Quindi definiamo un nuovo tipo di validità che corrisponde a questa condizione su (R). Sia un modello 4 qualsiasi modello il cui frame (langle W, R / rangle) sia tale che (R) sia una relazione transitiva su (W). Quindi un argomento è valido per 4 se qualsiasi modello a 4 la cui valutazione assegna (T) ai locali di un mondo assegna anche (T) alla conclusione nello stesso mondo. Usiamo '4' per descrivere un tale modello transitivo perché la logica che è adeguata (sia sana che completa) per la validità 4 è (mathbf {K4}), la logica che risulta dall'aggiunta dell'assioma (4): (Box A / rightarrow / Box / Box A) in (bK).

La transitività non è l'unica proprietà che potremmo desiderare per il frame (langle W, R / rangle) se (R) deve essere letto 'prima di' e (W) è un insieme di momenti. Una condizione (che è solo leggermente controversa) è che non esiste un ultimo momento, ovvero che per ogni mondo (w) esiste un mondo (v) tale che (wRv). Questa condizione sui frame si chiama serialità. La serialità corrisponde all'assioma ((D): / Box A / rightarrow / Diamond A), allo stesso modo in cui la transitività corrisponde a (4). A (mathbf {D}) - il modello è un (bK) - modello con un frame seriale. Dal concetto di (mathbf {D}) - modello la nozione corrispondente di (mathbf {D}) - la validità può essere definita proprio come abbiamo fatto nel caso di 4-validità. Come probabilmente hai indovinato, il sistema adeguato rispetto a (mathbf {D}) - la validità è (mathbf {KD}),o (bK) più ((D)). Non solo, ma il sistema (mathbf {KD4}) (ovvero (bK) più (4) e ((D))) è adeguato rispetto a (mathbf {D4}) - validità, dove un modello (mathbf {D4}) è un modello in cui (langle W, R / rangle) è sia seriale che transitivo.

Un'altra proprietà che potremmo desiderare per la relazione "prima di" è la densità, la condizione che dice che tra due volte ogni volta possiamo sempre trovarne un'altra. La densità sarebbe falsa se il tempo fosse atomico, cioè se ci fossero intervalli di tempo che non potrebbero essere suddivisi in parti più piccole. La densità corrisponde all'assioma ((C4): / Box / Box A / rightarrow / Box A), il contrario di (4), quindi ad esempio il sistema (mathbf {KC4}), che è (bK) plus ((C4)) è adeguato rispetto ai modelli in cui il frame (langle W, R / rangle) è denso e (mathbf {KDC4}), adeguato rispetto ai modelli i cui frame sono seriali e densi e così via.

Ciascuno degli assiomi logici modali che abbiamo discusso corrisponde allo stesso modo a una condizione sui frame. La relazione tra condizioni su frame e assiomi corrispondenti è uno degli argomenti centrali nello studio delle logiche modali. Una volta decisa l'interpretazione dell'operatore intenzionale (Box), è possibile determinare le condizioni appropriate su (R) per fissare la corrispondente nozione di validità. Questo, a sua volta, ci consente di selezionare il giusto insieme di assiomi per quella logica.

Ad esempio, considera una logica deontica, dove (Box) viene letto "è obbligatorio che". Qui la verità di (Riquadro A) non richiede la verità di (A) in ogni mondo possibile, ma solo in un sottoinsieme di quei mondi in cui le persone fanno ciò che dovrebbero. Quindi vorremmo introdurre una relazione (R) anche per questo tipo di logica e usare la clausola di verità ((K)) per valutare (Riquadro A) in un mondo. Tuttavia, in questo caso, (R) non è precedente a. Invece (wRw ') vale nel caso in cui il mondo (w') sia una variante moralmente accettabile di (w), cioè un mondo che le nostre azioni possono realizzare che soddisfa ciò che è moralmente corretto, o giusto, oppure appena. In base a tale lettura, dovrebbe essere chiaro che i relativi frame dovrebbero obbedire alla serialità, condizione che richiede che ogni possibile mondo abbia una variante moralmente accettabile. L'analisi delle proprietà desiderate per (R) chiarisce che una logica deontica di base può essere formulata aggiungendo l'assioma ((D)) e a (bK).

Anche nella logica modale, si potrebbe voler restringere la gamma di mondi possibili che sono rilevanti nel determinare se (Riquadro A) è vero in un dato mondo. Ad esempio, potrei dire che è necessario per me pagare le mie bollette, anche se so bene che esiste un mondo possibile in cui non riesco a pagarle. Nel discorso ordinario, l'affermazione che (A) sia necessaria non richiede la verità di (A) in tutti i mondi possibili, ma piuttosto solo in una certa classe di mondi che ho in mente (ad esempio, mondi in cui Evito le penalità per mancato pagamento). Per fornire un trattamento generico della necessità, dobbiamo dire che (Riquadro A) è vero in (w) sef (A) è vero in tutti i mondi che sono correlati a (w) in il modo giusto. Quindi per un operatore (Box) interpretato come necessità,introduciamo una relazione corrispondente (R) sull'insieme di mondi possibili (W), tradizionalmente chiamata relazione di accessibilità. La relazione di accessibilità (R) si trova tra i mondi (w) e (w ') iff (w') è possibile dati i fatti di (w). Sotto questa lettura per (R), dovrebbe essere chiaro che i frame per la logica modale dovrebbero essere riflessivi. Ne consegue che le logiche modali dovrebbero essere basate su (M), il sistema che risulta dall'aggiunta di ((M)) a (bK). A seconda di come viene intesa la relazione di accessibilità, si possono anche desiderare simmetria e transitività.dovrebbe essere chiaro che i frame per la logica modale dovrebbero essere riflessivi. Ne consegue che la logica modale dovrebbe essere fondata su (M), il sistema che risulta dall'aggiunta di ((M)) a (bK). A seconda di come viene intesa la relazione di accessibilità, si possono anche desiderare simmetria e transitività.dovrebbe essere chiaro che i frame per la logica modale dovrebbero essere riflessivi. Ne consegue che le logiche modali dovrebbero essere basate su (M), il sistema che risulta dall'aggiunta di ((M)) a (bK). A seconda di come viene intesa la relazione di accessibilità, si possono anche desiderare simmetria e transitività.

Un elenco di alcune delle condizioni più comunemente discusse sui frame e dei loro assiomi corrispondenti insieme a una mappa che mostra la relazione tra le varie logiche modali è disponibile nella sezione successiva.

8. Mappa delle relazioni tra logiche modali

Il diagramma seguente mostra le relazioni tra le logiche modali più conosciute, ovvero le logiche che possono essere formate aggiungendo una selezione degli assiomi ((D), (M)), (4), ((B)) e (5) a (bK). Un elenco di questi (e altri) assiomi con le rispettive condizioni di trama si trova sotto il diagramma.

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Diagramma della logica modale

In questo grafico, i sistemi sono indicati dall'elenco dei loro assiomi. Quindi, ad esempio (mathbf {M4B}) è il risultato dell'aggiunta di ((M)), (4) e ((B)) a (bK). In grassetto, abbiamo indicato i nomi tradizionali di alcuni sistemi. Quando system (mathbf {S}) appare sotto e / o alla sinistra di (mathbf {S} ') collegato da una linea, allora (mathbf {S}') è un'estensione di (mathbf {S}). Ciò significa che ogni argomento dimostrabile in (mathbf {S}) è dimostrabile in (mathbf {S} '), ma (mathbf {S}) è più debole di (mathbf {S} '), ovvero non tutti gli argomenti dimostrabili in (mathbf {S}') sono dimostrabili in (mathbf {S}).

L'elenco seguente indica gli assiomi, i loro nomi e le condizioni corrispondenti sulla relazione di accessibilità (R), per gli assiomi discussi finora in questa voce dell'enciclopedia.

Nome Assioma Condizioni sui telai R è …
((D)) (Riquadro A / rightarrow / Diamond A) (esiste u wRu) Seriale
((M)) (Riquadro A / rightarrow A) (WRW) Riflessivo
(4) (Box A / rightarrow / Box / Box A) ((wRv / amp vRu) Rightarrow wRu) Transitivo
((B)) (A / rightarrow / Box / Diamond A) (wRv / Rightarrow vRw) simmetrico
(5) (Diamond A / rightarrow / Box / Diamond A) ((wRv / amp wRu) Rightarrow vRu) euclideo
((CD)) (Diamond A / rightarrow / Box A) ((wRv / amp wRu) Rightarrow v = u) Funzionale
((Riquadro M)) (Box (Box A / rightarrow A)) (wRv / Rightarrow vRv)

Shift

Reflexive

((C4)) (Box / Box A / rightarrow / Box A) (wRv / Rightarrow / esiste u (wRu / amp uRv)) Denso
((C)) (Diamond / Box A / rightarrow / Box / Diamond A) (wRv / amp wRx / Rightarrow / esiste u (vRu / amp xRu)) Convergente

Nell'elenco delle condizioni sui frame e nel resto di questo articolo, le variabili '(w)', '(v)', '(u)', '(x)' e il quantificatore '(esiste u)' è compreso nell'intervallo (W). '&' abbreviates 'e' and '\' (Rightarrow) 'abbreviates' se … then '.

La nozione di corrispondenza tra assiomi e condizioni del telaio che è in discussione qui è stata spiegata nella sezione precedente. Quando S è un elenco di assiomi e F (S) è il corrispondente set di condizioni di trama, allora S corrisponde a F (S) esattamente quando il sistema K + S è adeguato (valido e completo) per la validità di F (S), cioè, un argomento è dimostrabile in K + S se è F (S) -valido. Diverse nozioni più forti di corrispondenza tra assiomi e condizioni del telaio sono emerse nella ricerca sulla logica modale.

9. L'assioma generale

La corrispondenza tra assiomi e condizioni sui frame può sembrare qualcosa di misterioso. Un bellissimo risultato di Lemmon e Scott (1977) fa molto per spiegare quelle relazioni. Il loro teorema riguardava gli assiomi che hanno la seguente forma:

(tag {(G)} Diamond ^ h / Box ^ i A / rightarrow / Box ^ j / Diamond ^ k A)

Usiamo la notazione '(Diamond ^ n)' per rappresentare (n) diamanti in una riga, quindi, ad esempio, '(Diamond ^ 3)' abbrevia una stringa di tre diamanti: '(Diamante / Diamante / Diamante) '. Allo stesso modo '(Box ^ n)' rappresenta una stringa di (n) caselle. Quando i valori di (h, i, j) e (k) sono tutti 1, abbiamo assioma ((C)):

(tag {(C)} Diamond / Box A / rightarrow / Box / Diamond A = / Diamond ^ 1 / Box ^ 1 A / rightarrow / Box ^ 1 / Diamond ^ 1 A)

L'assioma ((B)) risulta dall'impostazione di (h) e (i) su 0 e lasciando (j) e (k) su 1:

(tag {(B)} A / rightarrow / Box / Diamond A = / Diamond ^ 0 / Box ^ 0 A / rightarrow / Box ^ 1 / Diamond ^ 1 A)

Per ottenere (4), possiamo impostare (h) e (k) su 0, impostare (i) su 1 e (j) su 2:

(tag {4} Box A / rightarrow / Box / Box A = / Diamond ^ 0 / Box ^ 1 A / rightarrow / Box ^ 2 / Diamond ^ 0 A)

Molti (ma non tutti) gli assiomi della logica modale possono essere ottenuti impostando i giusti valori per i parametri in ((G))

Il nostro prossimo compito sarà quello di dare la condizione sui frame che corrisponde a ((G)) per una data selezione di valori per (h, i, j) e (k). Per fare ciò, avremo bisogno di una definizione. La composizione di due relazioni (R) e (R ') è una nuova relazione (R / circ R') che è definita come segue:

[wR / circ R'v / text {iff per alcuni} u, wRu / text {e} uR'v.)

Ad esempio, se (R) è la relazione di essere un fratello e (R ') è la relazione di essere un genitore, allora (R / circ R') è la relazione di essere uno zio (perché (w) è lo zio di (v) iff per qualche persona (u), entrambi (w) è il fratello di (u) e (u) è il genitore di (v)). Una relazione può essere composta con se stessa. Ad esempio, quando (R) è la relazione di essere un genitore, allora (R / circ R) è la relazione di essere un nonno e (R / circ R / circ R) è la relazione di essere un bisnonno. Sarà utile scrivere '(R ^ n)', per il risultato di comporre (R) con se stesso (n) volte. Quindi (R ^ 2) è (R / circ R) e (R ^ 4) è (R / circ R / circ R / circ R). Lasceremo (R ^ 1) essere (R) e (R ^ 0) sarà la relazione di identità, ovvero (wR ^ 0 v) iff (w = v).

Ora possiamo dichiarare il risultato Scott-Lemmon. È che la condizione sui frame che corrisponde esattamente a qualsiasi assioma della forma ((G)) è la seguente.

(tag {(hijk) - Convergence} wR ^ hv / amp wR ^ ju / Rightarrow / esiste x (vR ^ ix / amp uR ^ kx))

È interessante vedere come le condizioni familiari su (R) risultano dall'impostazione dei valori per (h), (i), (j) e (k) in base ai valori in l'assioma corrispondente. Ad esempio, considera (5). In questo caso (i = 0) e (h = j = k = 1). Quindi la condizione corrispondente è

[wRv / amp wRu / Rightarrow / esiste x (vR ^ 0 x / amp uRx).)

Abbiamo spiegato che (R ^ 0) è la relazione di identità. Quindi se (vR ^ 0 x) quindi (v = x). Ma (esiste x (v = x / amp uRx)), equivale a (uRv) e quindi si ottiene la condizione euclidea:

[(wRv / amp wRu) Rightarrow uRv.)

Nel caso di assioma (4), (h = 0, i = 1, j = 2) e (k = 0). Quindi la condizione corrispondente sui frame è

[(w = v / amp wR ^ 2 u) Rightarrow / esiste x (vRx / amp u = x).)

Risolvere le identità equivale a:

[vR ^ 2 u / Rightarrow vRu.)

Con la definizione di (R ^ 2, vR ^ 2 u) iff (exist x (vRx / amp xRu)), questo significa:

(exist x (vRx / amp xRu) Rightarrow vRu,)

che per logica predicata equivale alla transitività.

[vRx / amp xRu / Rightarrow vRu.)

Il lettore può trovare un piacevole esercizio vedere come le condizioni corrispondenti cadono da hijk-Convergence quando i valori dei parametri (h), (i), (j) e (k) sono impostati da altri assiomi.

I risultati di Scott-Lemmon forniscono un metodo rapido per stabilire risultati sulla relazione tra assiomi e le loro corrispondenti condizioni del telaio. Dato che hanno mostrato l'adeguatezza di qualsiasi logica che si estende (bK) con una selezione di assiomi della forma ((G)) rispetto ai modelli che soddisfano il corrispondente set di condizioni del telaio, hanno fornito l'adeguatezza "all'ingrosso" prove per la maggior parte dei sistemi della famiglia modale. Sahlqvist (1975) ha scoperto importanti generalizzazioni del risultato Scott-Lemmon che copre una gamma molto più ampia di tipi di assioma.

Il lettore dovrebbe essere avvertito, tuttavia, che la corrispondenza ordinata tra assiomi e condizioni sui frame è atipica. Esistono condizioni sui frame che non corrispondono a nessun assioma e ci sono anche condizioni sui frame per cui nessun sistema è adeguato. (Per un esempio vedi Boolos, 1993, pagg. 148ff.)

10. Semantica bidimensionale

La semantica bidimensionale è una variante della possibile semantica mondiale che utilizza due (o più) tipi di parametri nella valutazione della verità, piuttosto che solo i mondi possibili. Ad esempio, una logica di espressioni indicizzate, come "io", "qui", "ora" e simili, deve introdurre il contesto linguistico (o il contesto in breve). Dato un contesto (c = / langle s, p, t / rangle) dove (s) è l'oratore, (p) il luogo e (t) il tempo di espressione, quindi 'I 'si riferisce a (s),' qui 'a (p) e' ora 'a (t). Quindi nel contesto (c = / langle) Jim Garson, Houston, 3:00 PM CST il 4/3 / (2014 / rangle) 'I am here now' is T iff Jim Garson is in Houston, at 15:00 CST il 3/04/2014.

Nella possibile semantica dei mondi, il valore di verità di una frase dipendeva dal mondo in cui viene valutato. Tuttavia, gli indici introducono una seconda dimensione, quindi dobbiamo generalizzare di nuovo. Kaplan (1989) definisce il carattere di una frase B come una funzione dall'insieme di contesti (linguistici) al contenuto (o intensione) di B, dove il contenuto, a sua volta, è semplicemente l'intensione di B, ovvero un funzione da mondi possibili a valori di verità. Qui, la valutazione della verità dipende doppiamente - sia dai contesti linguistici sia dai mondi possibili.

Una delle osservazioni più interessanti di Kaplan è che alcune frasi indicizzate sono contingenti, ma allo stesso tempo analiticamente vere. Un esempio è (1).

(1) Sono qui adesso

Proprio dal significato delle parole, puoi vedere che (1) deve essere vero in qualsiasi contesto (c = / langle s, p, t / rangle). Dopotutto, (c) conta come un contesto linguistico nel caso in cui (s) sia un oratore che è al posto (p) al momento (t). Pertanto (1) è vero in (c), e ciò significa che il modello di valori di verità (1) ha lungo la dimensione del contesto deve essere tutto Ts (dato che il mondo possibile è tenuto fisso). Ciò suggerisce che la dimensione del contesto è adatta per tracciare le conoscenze analitiche ottenute dalla padronanza della nostra lingua. D'altra parte, la dimensione dei mondi possibili tiene traccia di ciò che è necessario. Tenendo il contesto fisso, ci sono mondi possibili in cui (1) è falso. Ad esempio, quando (c = / langle) Jim Garson, Houston, 15:00 CST il 4/3 / (2014 / rangle), (1) fallisce a (c) in un mondo possibile in cui Jim Garson è a Boston alle 3:00:00 CST il 2014-04-03. Ne consegue che "I am here now" è una verità analitica contingente. Pertanto, la semantica bidimensionale può gestire situazioni in cui necessità e analiticità si differenziano.

Un altro esempio in cui è utile introdurre due dimensioni è nella logica di un futuro aperto (Thomason, 1984; Belnap, et al., 2001). Qui si impiega una struttura temporale in cui molte possibili storie future si estendono da un dato momento. Considerare (2).

(2) Joe ordinerà una battaglia navale domani

Se (2) è contingente, allora c'è una possibile storia in cui la battaglia si svolge il giorno dopo il momento della valutazione, e un'altra in cui non si verifica allora. Quindi per valutare (2) devi sapere due cose: qual è il tempo t della valutazione e quale delle storie h che attraversano t è quella da considerare. Quindi una frase in tale logica viene valutata in una coppia (langle t, h / rangle).

Un altro problema risolto dalla semantica bidimensionale è l'interazione tra "ora" e altre espressioni temporali come il futuro "sarà il caso". Quindi è plausibile pensare che "ora" si riferisca al momento della valutazione. Quindi avremmo la seguente condizione di verità:

(tag {Now} v (text {Now} B, t) = / mathrm {T} text {iff} v (B, t) = / mathrm {T}.)

Tuttavia, questo non funzionerà con frasi come (3).

(3) Ad un certo punto in futuro, tutti coloro che vivono saranno sconosciuti

Con (mathrm {F}) come futuro operatore teso, (3) potrebbe essere tradotto:

(tag {(3 ')} mathrm {F} forall x (text {Now} Lx / rightarrow Ux).)

(La traduzione corretta non può essere (forall x (text {Now} Lx / rightarrow / mathrm {F} Ux)), con (mathrm {F}) che ha un ambito ristretto, perché (3) dice che è un momento futuro in cui tutte le cose che vivono ora sono sconosciute insieme, non che ogni cosa vivente sarà sconosciuta in un tempo futuro a sé stante). Quando vengono calcolate le condizioni di verità per (3) ('), usando (Adesso) e la condizione di verità ((mathrm {F})) per (mathrm {F}), si scopre che (3) (') è vero al momento (u) se c'è un tempo (t) dopo (u) tale che tutto ciò che vive a (t) (non (u)!) è sconosciuto in (t).

(tag {F} v (mathrm {F} B, t) = / mathrm {T} text {iff per qualche tempo} u / text {dopo di} t, v (B, u) = / mathrm {T}.)

Per valutare correttamente (3) (') in modo che corrisponda a ciò che intendiamo per (3), dobbiamo assicurarci che' now 'faccia sempre riferimento al tempo di espressione originale quando' now 'rientra nell'ambito di altri operatori temporali come F. Pertanto dobbiamo tenere traccia di quale sia il tempo dell'espressione ((u)) e di quale sia il tempo della valutazione ((t)). Quindi i nostri indici assumono la forma di una coppia (langle u, e / rangle), dove (u) è il momento dell'espressione e (e) è il momento della valutazione. Quindi la condizione di verità (Now) viene rivista in (2DNow).

(tag {2DNow} v (text {Now} B, / langle u, e / rangle) = / mathrm {T} text {iff} v (B, / langle u, u / rangle) = / mathrm {T}.)

Ciò significa che Now (B) è vero in un momento di espressione e tempo e di valutazione, a condizione che B sia vero quando si considera che sia il momento della valutazione. Quando le condizioni di verità per F, (forall) e (rightarrow) vengono riviste in modo ovvio (ignora solo u nella coppia), (3) (') è vero su (langle u, e / rangle) a condizione che ci sia un tempo (e ') successivo a e tale che tutto ciò che vive in (u) sia sconosciuto in (e'). Portando con sé una registrazione di ciò che (u) è durante il calcolo della verità, possiamo sempre fissare il valore di 'now' al tempo di espressione originale, anche quando 'now' è profondamente incorporato in altri operatori temporali.

Un fenomeno simile si manifesta nelle logiche modali con un operatore di attualità A (leggi "è effettivamente il caso"). Per valutare correttamente (4) dobbiamo tenere traccia di quale mondo è considerato il mondo reale (o reale) e quale è portato al mondo della valutazione.

(4) È possibile che tutti coloro che vivono effettivamente siano sconosciuti

L'idea di distinguere diverse possibili dimensioni del mondo in semantica ha avuto utili applicazioni in filosofia. Ad esempio, Chalmers (1996) ha presentato argomenti dalla concepibilità di (diciamo) zombi a conclusioni dualiste nella filosofia della mente. Chalmers (2006) ha implementato la semantica bidimensionale per aiutare a identificare un aspetto a priori del significato che sosterrebbe tali conclusioni.

L'idea è stata anche implementata nella filosofia del linguaggio. Kripke (1980) sostenne che "Water is H2O" è una realtà a posteriori ma tuttavia necessaria, dato che l'acqua è solo H20, non esiste un mondo possibile in cui QUESTA roba sia (diciamo) un elemento base come pensavano i Greci. D'altra parte, c'è una forte intuizione che se il mondo reale fosse stato in qualche modo diverso da quello che è, il liquido inodore che cade dal cielo come pioggia, riempie i nostri laghi e fiumi, ecc. Avrebbe potuto perfettamente essere un elemento. Quindi, in un certo senso, è concepibile che l'acqua non sia H20. La semantica bidimensionale fa spazio a queste intuizioni fornendo una dimensione separata che segue una concezione dell'acqua che mette da parte la natura chimica di ciò che l'acqua è realmente. Una spiegazione così "a contenuto ristretto" del significato di "acqua" può spiegare come si possa mostrare competenza semantica nell'uso di quel termine ed essere ancora ignari della chimica dell'acqua (Chalmers, 2002).

11. Logica della disponibilità

La logica modale è stata utile per chiarire la nostra comprensione dei risultati centrali riguardanti la provabilità nei fondamenti della matematica (Boolos, 1993). Le logiche della provvidenza sono sistemi in cui le variabili proposizionali (p, q, r), ecc. Vanno oltre le formule di alcuni sistemi matematici, ad esempio il sistema di Peano (mathbf {PA}) per l'aritmetica. (Il sistema scelto per la matematica potrebbe variare, ma supponiamo che sia (mathbf {PA}) per questa discussione.) Gödel ha mostrato che l'aritmetica ha forti poteri espressivi. Usando i numeri di codice per le frasi aritmetiche, è stato in grado di dimostrare una corrispondenza tra frasi di matematica e fatti su quali frasi sono e non sono provabili in (mathbf {PA}). Per esempio,ha mostrato che c'è una frase (C) che è vera nel caso in cui nessuna contraddizione sia dimostrabile in (mathbf {PA}) e c'è una frase (G) (la famosa frase di Gödel) che è vero nel caso in cui non sia dimostrabile in (mathbf {PA}).

Nelle logiche di provabilità, (Box p) viene interpretato come una formula (di aritmetica) che esprime che ciò che (p) indica è provabile in (mathbf {PA}). Usando questa notazione, le frasi della logica della dimostrabilità esprimono fatti sulla provabilità. Supponiamo che (bot) sia una costante della logica di dimostrabilità che denota una contraddizione. Quindi ({ sim} Box / bot) dice che (mathbf {PA}) è coerente e (Box A / rightarrow A) dice che (mathbf {PA}) è valido nel senso che quando dimostra (A, A) è davvero vero. Inoltre, la casella può essere ripetuta. Quindi, ad esempio, (Box { sim} Box / bot) fa la dubbia affermazione che (mathbf {PA}) è in grado di dimostrare la propria coerenza e ({ sim} Box / bot / rightarrow { sim} Box { sim} Box / bot) afferma (correttamente come ha dimostrato Gödel) che se (mathbf {PA}) è coerente allora (mathbf {PA}) non è in grado di dimostrare la propria coerenza.

Sebbene le logiche di provabilità formino una famiglia di sistemi correlati, il sistema (mathbf {GL}) è di gran lunga il più noto. Deriva dall'aggiunta del seguente assioma a (bK):

(tag {(GL)} Box (Box A / rightarrow A) rightarrow / Box A)

L'assioma (4): (Box A / rightarrow / Box / Box A) è dimostrabile in (mathbf {GL}), quindi (mathbf {GL}) è in realtà un rafforzamento di (mathbf {K4}). Tuttavia, assiomi come ((M): / Box A / rightarrow A) e anche i più deboli ((D): / Box A / rightarrow / Diamond A) non sono disponibili (né desiderabili) in (mathbf {GL}). Nella logica della provabilità, la provabilità non deve essere trattata come un marchio di necessità. Il motivo è che quando (p) è dimostrabile in un sistema arbitrario (mathbf {S}) per la matematica, non ne consegue che (p) sia vero, poiché (mathbf {S}) potrebbe non essere corretto. Inoltre, se (p) è dimostrabile in (mathbf {S} (Box p)) non è nemmeno necessario seguire che ({ sim} p) manca di una prova (({ sim} Box { sim} p = / Diamond p). / Mathbf {S}) potrebbe essere incoerente e quindi dimostrare sia (p) che ({ sim} p).

Axiom ((GL)) cattura il contenuto del teorema di Loeb, un risultato importante nelle basi dell'aritmetica. (Riquadro A / rightarrow A) afferma che (mathbf {PA}) è valido per (A), ovvero che se (A) fosse provato, A sarebbe vero. (Tale affermazione potrebbe non essere sicura per un sistema selezionato arbitrariamente (mathbf {S}), poiché A potrebbe essere dimostrabile in (mathbf {S}) e false.) ((GL)) che se (mathbf {PA}) riesce a provare la frase che rivendica la solidità per una determinata frase (A), allora (A) è già provabile in (mathbf {PA}). Il teorema di Loeb riporta una sorta di modestia da parte di (mathbf {PA}) (Boolos, 1993, p. 55). (mathbf {PA}) non insiste mai (dimostra) che una prova di (A) comporta la verità di (A), a meno che non abbia già una prova di (A) a sostegno di tale affermazione.

È stato dimostrato che (mathbf {GL}) è adeguato per la dimostrabilità nel senso seguente. Lascia che una frase di (mathbf {GL}) sia sempre provabile esattamente quando la frase di aritmetica che indica è dimostrabile, indipendentemente da come alle sue variabili siano assegnati valori alle frasi di (mathbf {PA}). Quindi le frasi dimostrabili di (mathbf {GL}) sono esattamente le frasi che sono sempre provabili. Questo risultato di adeguatezza è stato estremamente utile, poiché le domande generali sulla provabilità in (mathbf {PA}) possono essere trasformate in domande più facili su ciò che può essere dimostrato in (mathbf {GL}).

(mathbf {GL}) può anche essere dotato di una possibile semantica mondiale per la quale è solida e completa. Una condizione corrispondente sui frame per (mathbf {GL}) - la validità è che il frame sia transitivo, finito e irreflessivo.

12. Logica modale avanzata

Le applicazioni della logica modale in matematica e informatica sono diventate sempre più importanti. La logica della disponibilità è solo un esempio di questa tendenza. Il termine "logica modale avanzata" si riferisce a una tradizione nella ricerca in logica modale che è particolarmente ben rappresentata nei dipartimenti di matematica e informatica. Questa tradizione è stata intrecciata nella storia della logica modale sin dai suoi inizi (Goldblatt, 2006). La ricerca sulle relazioni con la topologia e le algebre rappresenta alcuni dei primissimi lavori tecnici sulla logica modale. Tuttavia, il termine "logica modale avanzata" si riferisce generalmente a una seconda ondata di lavoro svolto dalla metà degli anni '70. Alcuni esempi dei molti argomenti interessanti trattati includono i risultati sulla decidibilità (se è possibile calcolare se una formula di una determinata logica modale è un teorema) e sulla complessità (i costi in termini di tempo e memoria necessari per calcolare tali fatti sulla logica modale).

13. Bisimulazione

La bisimulazione fornisce un buon esempio delle interazioni fruttuose che sono state sviluppate tra la logica modale e l'informatica. In informatica, i sistemi di transizione etichettati (LTS) sono comunemente usati per rappresentare possibili percorsi di calcolo durante l'esecuzione di un programma. Gli LTS sono generalizzazioni dei frame Kripke, costituiti da un insieme (W) di stati e da una raccolta di (i) - relazioni di accessibilità (R_i), una per ogni processo del computer (i). Intuitivamente, (wR_i w ') vale esattamente quando (w') è uno stato che risulta dall'applicazione del processo (i) allo stato (w).

Il linguaggio della logica polimodale o dinamica introduce una raccolta di operatori modali (Box_i), uno per ciascun programma (i) (Harel, 1984). Quindi (Box_i) A afferma che la frase (A) contiene tutti i risultati dell'applicazione (i). Quindi idee come la correttezza e la conclusione positiva dei programmi possono essere espresse in questa lingua. I modelli per tale linguaggio sono come i modelli Kripke, salvo che gli LTS sono usati al posto dei frame. Una bisimulazione è una relazione di contropartita tra stati di due di tali modelli in modo tale che le stesse variabili proposizionali sono vere negli stati di contropartita e ogni volta che il mondo (v) è (i) - accessibile da uno dei due stati di contropartita, allora il l'altra controparte reca la relazione di accessibilità (i) con una controparte di (v). In breve,la (i) - struttura di accessibilità che si può "vedere" da un determinato stato imita ciò che si vede da una controparte. La bisimulazione è una nozione più debole dell'isomorfismo (una relazione di bisimulazione non deve necessariamente essere 1-1), ma è sufficiente per garantire l'equivalenza nell'elaborazione.

Negli anni Settanta, i logici modali avevano già sviluppato una versione della bisimulazione per aiutare a comprendere meglio la relazione tra assiomi logici modali e le loro condizioni corrispondenti sui frame Kripke. La semantica di Kripke fornisce una base per tradurre assiomi modali in frasi di una lingua del secondo ordine in cui la quantificazione è consentita su lettere predicate a un posto (P). Sostituisci le metavariabili (A) con frasi aperte (Px), traduci (Box Px) in (forall y (Rxy / rightarrow Py)) e chiudi le variabili libere (x) e predicato lettere (P) con quantificatori universali. Ad esempio, la traduzione logica predicata dello schema assioma (Riquadro A / rightarrow A) arriva a (forall P / forall x (forall y (Rxy / rightarrow Py) rightarrow Px)]. Data questa traduzione, si può istanziare la variabile (P) in un predicato arbitrario di un posto,per esempio al predicato (Rx) la cui estensione è l'insieme di tutti i mondi tale che (Rxw) per un dato valore di (x). Quindi si ottiene (forall x (forall y (Rxy / rightarrow Rxy) rightarrow Rxx)], che si riduce a (forall xRxx), poiché (forall y (Rxy / rightarrow Rxy)) è una tautologia. Questo illumina la corrispondenza tra (Box A / rightarrow A) e la riflessività dei frame ((forall xRxx)). Risultati simili valgono per molti altri assiomi e condizioni del telaio. Il "collasso" delle condizioni assiologiche del secondo ordine alle condizioni del quadro del primo ordine è molto utile per ottenere risultati di completezza per le logiche modali. Ad esempio, questa è l'idea alla base degli eleganti risultati di Sahlqvist (1975). Quindi si ottiene (forall x (forall y (Rxy / rightarrow Rxy) rightarrow Rxx)], che si riduce a (forall xRxx), poiché (forall y (Rxy / rightarrow Rxy)) è una tautologia. Questo illumina la corrispondenza tra (Box A / rightarrow A) e la riflessività dei frame ((forall xRxx)). Risultati simili valgono per molti altri assiomi e condizioni del telaio. Il "collasso" delle condizioni assiologiche del secondo ordine alle condizioni del quadro del primo ordine è molto utile per ottenere risultati di completezza per le logiche modali. Ad esempio, questa è l'idea alla base degli eleganti risultati di Sahlqvist (1975). Quindi si ottiene (forall x (forall y (Rxy / rightarrow Rxy) rightarrow Rxx)], che si riduce a (forall xRxx), poiché (forall y (Rxy / rightarrow Rxy)) è una tautologia. Questo illumina la corrispondenza tra (Box A / rightarrow A) e la riflessività dei frame ((forall xRxx)). Risultati simili valgono per molti altri assiomi e condizioni del telaio. Il "collasso" delle condizioni assiologiche del secondo ordine alle condizioni del quadro del primo ordine è molto utile per ottenere risultati di completezza per le logiche modali. Ad esempio, questa è l'idea alla base degli eleganti risultati di Sahlqvist (1975). Risultati simili valgono per molti altri assiomi e condizioni del telaio. Il "collasso" delle condizioni assiologiche del secondo ordine alle condizioni del quadro del primo ordine è molto utile per ottenere risultati di completezza per le logiche modali. Ad esempio, questa è l'idea alla base degli eleganti risultati di Sahlqvist (1975). Risultati simili valgono per molti altri assiomi e condizioni del telaio. Il "collasso" delle condizioni assiologiche del secondo ordine alle condizioni del quadro del primo ordine è molto utile per ottenere risultati di completezza per le logiche modali. Ad esempio, questa è l'idea alla base degli eleganti risultati di Sahlqvist (1975).

Ma quando la traduzione del secondo ordine di un assioma si riduce a una condizione del primo ordine su (R) in questo modo? Negli anni '70, Van Benthem mostrò che ciò accade se la tenuta della traduzione in un modello comporta la sua tenuta in qualsiasi modello bisimulare, dove due modelli sono bisimulari se c'è una bisimulazione tra loro nel caso speciale in cui esiste una singola relazione di accessibilità. Questo risultato si generalizza facilmente al caso polimodale (Blackburn et al., 2001, p. 103). Ciò suggerisce che la logica polimodale si trova esattamente al giusto livello di astrazione per descrivere e ragionare sul calcolo e su altri processi. (Dopotutto, ciò che conta davvero è la conservazione dei valori di verità delle formule nei modelli piuttosto che i dettagli più fini delle strutture del telaio.) Inoltre, la traduzione implicita di tali logiche in frammenti ben comprensibili di logica predicata fornisce una vasta gamma di informazioni di interesse per gli informatici. Di conseguenza, una fruttuosa area di ricerca nell'informatica si è sviluppata con la bisimulazione come idea principale (Ponse et al. 1995).

14. Logica modale e giochi

L'interazione tra la teoria dei giochi e la logica modale è una nuova area di ricerca fiorente (van der Hoek e Pauly, 2007; van Benthem, 2011, cap. 10 e 2014). Questo lavoro ha interessanti applicazioni per comprendere la cooperazione e la concorrenza tra agenti man mano che le informazioni a loro disposizione evolvono.

Il dilemma del prigioniero illustra alcuni concetti della teoria dei giochi che possono essere analizzati usando logiche modali. Immagina due giocatori che scelgono di collaborare o imbrogliare. Se entrambi cooperano, entrambi ottengono una ricompensa di 3 punti, se entrambi imbrogliano, entrambi non ottengono nulla, e se uno coopera e l'altro imbroglia, l'imbroglione fa 5 punti e il collaboratore non ottiene nulla. Se entrambi i giocatori sono altruisti e motivati a massimizzare la somma dei loro premi, coopereranno entrambi, poiché questo è il meglio che possono fare insieme. Tuttavia, entrambi sono tentati di imbrogliare per aumentare la propria ricompensa da 3 a 5. D'altra parte, se sono razionali, possono riconoscere che se imbrogliano il loro avversario minaccia di imbrogliare e lasciarli senza nulla. Quindi la cooperazione è la migliore che si possa fare data questa minaccia. E se uno pensa che l'altro se ne renda conto, potrebbe essere motivato a collaborare. Una versione estesa (o ripetuta) di questo gioco offre ai giocatori più mosse, cioè ripetute opportunità di giocare e raccogliere ricompense. Se i giocatori hanno informazioni sulla storia delle mosse e dei loro risultati, entrano in gioco nuove preoccupazioni, poiché il successo nel gioco dipende dalla conoscenza della strategia del loro avversario e dalla determinazione (ad esempio) di quando si può fidare di non imbrogliare. Nelle versioni multiplayer del gioco, in cui i giocatori vengono pescati in coppie da un pool più ampio ad ogni mossa, la propria strategia migliore può dipendere dal fatto che si possano riconoscere i propri avversari e dalle strategie che hanno adottato. (Vedi Grim et al., 1998 per affascinanti ricerche sui dilemmi del prigioniero interato.)Una versione estesa (o ripetuta) di questo gioco offre ai giocatori più mosse, cioè ripetute opportunità di giocare e raccogliere ricompense. Se i giocatori hanno informazioni sulla storia delle mosse e dei loro risultati, entrano in gioco nuove preoccupazioni, poiché il successo nel gioco dipende dalla conoscenza della strategia del loro avversario e dalla determinazione (ad esempio) di quando si può fidare di non imbrogliare. Nelle versioni multiplayer del gioco, in cui i giocatori vengono pescati in coppie da un pool più ampio ad ogni mossa, la propria strategia migliore può dipendere dal fatto che si possano riconoscere i propri avversari e dalle strategie che hanno adottato. (Vedi Grim et al., 1998 per affascinanti ricerche sui dilemmi del prigioniero interato.)Una versione estesa (o ripetuta) di questo gioco offre ai giocatori più mosse, cioè ripetute opportunità di giocare e raccogliere ricompense. Se i giocatori hanno informazioni sulla storia delle mosse e dei loro risultati, entrano in gioco nuove preoccupazioni, poiché il successo nel gioco dipende dalla conoscenza della strategia del loro avversario e dalla determinazione (ad esempio) di quando si può fidare di non imbrogliare. Nelle versioni multiplayer del gioco, in cui i giocatori vengono pescati in coppie da un pool più ampio ad ogni mossa, la propria strategia migliore può dipendere dal fatto che si possano riconoscere i propri avversari e dalle strategie che hanno adottato. (Vedi Grim et al., 1998 per affascinanti ricerche sui dilemmi del prigioniero interato.)Se i giocatori hanno informazioni sulla storia delle mosse e dei loro risultati, entrano in gioco nuove preoccupazioni, poiché il successo del gioco dipende dalla conoscenza della strategia del loro avversario e dalla determinazione (ad esempio) di quando si può fidare di non imbrogliare. Nelle versioni multiplayer del gioco, in cui i giocatori vengono pescati in coppie da un pool più ampio ad ogni mossa, la propria strategia migliore può dipendere dal fatto che si possano riconoscere i propri avversari e dalle strategie che hanno adottato. (Vedi Grim et al., 1998 per affascinanti ricerche sui dilemmi del prigioniero interato.)Se i giocatori hanno informazioni sulla storia delle mosse e dei loro risultati, entrano in gioco nuove preoccupazioni, poiché il successo del gioco dipende dalla conoscenza della strategia del loro avversario e dalla determinazione (ad esempio) di quando si può fidare di non imbrogliare. Nelle versioni multiplayer del gioco, in cui i giocatori vengono pescati in coppie da un pool più ampio ad ogni mossa, la propria strategia migliore può dipendere dal fatto che si possano riconoscere i propri avversari e dalle strategie che hanno adottato. (Vedi Grim et al., 1998 per affascinanti ricerche sui dilemmi del prigioniero interato.)la propria migliore strategia può dipendere dal fatto che si possano riconoscere i propri avversari e dalle strategie che hanno adottato. (Vedi Grim et al., 1998 per affascinanti ricerche sui dilemmi del prigioniero interato.)la propria migliore strategia può dipendere dal fatto che si possano riconoscere i propri avversari e dalle strategie che hanno adottato. (Vedi Grim et al., 1998 per affascinanti ricerche sui dilemmi del prigioniero interato.)

In giochi come gli scacchi, i giocatori a turno fanno le loro mosse e gli avversari possono vedere le mosse fatte. Se adottiamo la convenzione secondo cui i giocatori in una partita si alternano facendo le loro mosse, il Dilemma del Prigioniero Iterato è un gioco con informazioni mancanti sullo stato del gioco - al giocatore con il secondo turno mancano informazioni su quale sia stata l'ultima mossa dell'altro giocatore. Ciò illustra l'interesse dei giochi con informazioni imperfette.

L'applicazione dei giochi alla logica ha una lunga storia. Un'applicazione influente con importanti implicazioni per la linguistica è la Game Theoretic Semantics (GTS) (Hintikka et. Al. 1983), in cui la validità è definita dal risultato di un gioco tra due giocatori, uno che cerca di verificare e l'altro che tenta di falsificare una determinata formula. GTS ha risorse significativamente più forti della semantica standard in stile Tarski, in quanto può essere usato (per esempio) per spiegare come il significato si evolve in un discorso (una sequenza di frasi).

Tuttavia, il lavoro sui giochi e sulla logica modale da descrivere qui è leggermente diverso. Invece di utilizzare i giochi per analizzare la semantica di una logica, le logiche modali in questione vengono utilizzate per analizzare i giochi. La struttura dei giochi e il loro gioco sono molto ricchi, in quanto coinvolgono la natura del gioco stesso (le mosse consentite e le ricompense per i risultati), le strategie (che sono sequenze di mosse nel tempo) e il flusso di informazioni disponibile per i giocatori mentre il gioco procede. Pertanto, lo sviluppo della logica modale per i giochi si basa su caratteristiche presenti nelle logiche che coinvolgono concetti come tempo, agenzia, preferenza, obiettivi, conoscenza, convinzione e cooperazione.

Per fornire qualche indizio su questa varietà, ecco una descrizione limitata di alcuni degli operatori modali che emergono nell'analisi dei giochi e di alcune delle cose che possono essere espresse con loro. L'idea di base nella semantica è che un gioco consiste in un insieme di giocatori 1, 2, 3, … e un insieme di W di stati di gioco. Per ogni giocatore i, esiste una relazione di accessibilità (R_i) intesa in modo che (sR_i t) vale per stati (s) e (t) iff quando il gioco è venuto a dichiarare (s) il giocatore (i) ha la possibilità di fare una mossa che si traduce in (t). Questa raccolta di relazioni definisce un albero i cui rami definiscono ogni possibile sequenza di mosse nel gioco. La semantica assegna anche valori di verità agli atomi che tengono traccia dei guadagni. Quindi, ad esempio in un gioco come gli scacchi, potrebbe esserci un atomo (win_i) tale che (v (win_i,s) = T) iff state s è una vittoria per il giocatore (i). Operatori modello (Box_i) e (Diamond_i) per ogni giocatore che posso quindi essere definito come segue.

(begin {align *} v (Box_i A, s) & = T / text {iff for all} t / text {in} W, / text {if} sR_i t, / text {then} v (A, t) = T. \\ v (Diamond_i A, s) & = T / text {iff per alcuni} t / text {in} W, sR_i t / text {e} v (A, t) = T. / End {* align})

Quindi (Box_i A) ((Diamond_i A)) è vero in s a condizione che la frase (A) sia vera in ogni (alcuni) stato che (i) può scegliere da state (s). Dato che (bot) è una contraddizione (quindi ({ sim} bot) è una tautologia), (Diamond_i { sim} bot) è vero in uno stato quando è (è il turno di muovermi. Per una partita a due giocatori (Box_1 / bot) & (Box_2 / bot) è vero per uno stato che termina il gioco, perché né 1 né 2 possono muoversi. (Box_1 / Diamond_2) win (_ 2) afferma che il giocatore 1 ha una perdita perché qualunque cosa faccia 1 dallo stato attuale, 2 possono vincere nella seguente mossa.

Per un conto più generale dei profitti del giocatore, le relazioni di ordinamento (leq_i) possono essere definite sugli stati in modo che (s / leq_i t) significhi che il payoff di (i) per (t) è almeno buono come quello per (s). Un'altra generalizzazione è quella di esprimere fatti sulle sequenze (q) delle mosse, introducendo operatori interpretati dalle relazioni (sR_q t) indicando che la sequenza (q) a partire da s alla fine arriva a (t). Con queste e risorse correlate, è possibile esprimere (per esempio) che q è la migliore strategia di (i) dato lo stato attuale.

È fondamentale per l'analisi dei giochi avere un modo per esprimere le informazioni disponibili per i giocatori. Un modo per ottenere ciò è prendere in prestito idee dalla logica epistemica. Qui possiamo introdurre una relazione di accessibilità ({ sim} _i) per ogni giocatore in modo tale che (s { sim} _i t) detenga iff (i) non sia in grado di distinguere tra stati (s) e (t). Quindi gli operatori di conoscenza (rK_i) per i giocatori possono essere definiti in modo che (rK_i A) dica a (s) che (A) detenga in tutti i mondi che (i) possa distinguere da \(S); vale a dire, nonostante l'ignoranza di (i) sullo stato di avanzamento, può ancora essere sicuro che (A). Gli operatori (rK) possono essere usati per dire che il giocatore 1 è in grado di dimettersi, perché sa che 2 vede che ha una vittoria: (rK_1 / rK_2 / Box_1 / Diamond_2 / win_2).

Poiché le informazioni del giocatore variano man mano che il gioco procede, è utile pensare alle mosse del gioco come indicizzate dai tempi e introdurre gli operatori (O) e (U) dalla logica tesa per "successivo" e "fino a". Quindi (K_i OA / rightarrow OK_i A) esprime che il giocatore (i) ha un "richiamo perfetto", cioè che quando (i) sa che (A) accade dopo, quindi al momento successivo (i) non ha dimenticato che (A) è successo. Questo dimostra come le logiche modali per i giochi possano riflettere idealizzazioni cognitive e il successo (o il fallimento) di un giocatore nel rispettarle.

Il lato tecnico delle logiche modali per i giochi è impegnativo. Il progetto di identificazione di sistemi di regole che siano solidi e completi per una lingua contenente una vasta raccolta di operatori può essere guidato da ricerche passate, ma le interazioni tra la varietà di relazioni di accessibilità portano a nuove preoccupazioni. Inoltre, la complessità computazionale di vari sistemi e dei loro frammenti è un vasto paesaggio in gran parte inesplorato.

I concetti di teoria dei giochi possono essere applicati in una sorprendente varietà di modi: dal controllo della validità di un argomento al successo nell'arena politica. Quindi ci sono forti motivazioni per la formulazione di logiche in grado di gestire i giochi. Ciò che colpisce di questa ricerca è il potere che si ottiene intrecciando logiche di tempo, agenzia, conoscenza, convinzione e preferenza in un ambiente unificato. Le lezioni apprese da tale integrazione hanno un valore ben al di là di ciò che contribuiscono a comprendere i giochi.

15. Quantificatori in logica modale

Sembrerebbe una questione semplice dotare una logica modale con i quantificatori (forall) (all) e (exist) (alcuni). Si aggiungerebbero semplicemente le regole standard (o classiche) per i quantificatori ai principi della logica modale proposizionale che si sceglie. Tuttavia, l'aggiunta di quantificatori alla logica modale comporta una serie di difficoltà. Alcuni di questi sono filosofici. Ad esempio, Quine (1953) ha affermato che la quantificazione in contesti modali è semplicemente incoerente, una visione che ha generato una letteratura gigantesca. Le lamentele di Quine non hanno il peso che avevano una volta. Vedi Barcan (1990) per un buon riassunto e nota Kripke's (2017) (scritto negli anni '60 per una lezione con Quine) che fornisce una forte argomentazione formale che non ci può essere nulla di sbagliato nel "quantificare".

Un secondo tipo di complicazione è tecnico. Esiste un'ampia varietà nelle scelte che si possono fare in semantica per la logica modale quantificata e la prova che un sistema di regole è corretto per una data scelta può essere difficile. Il lavoro di Corsi (2002) e Garson (2005) porta in qualche modo a portare unità su questo terreno, e Johannesson (2018) introduce vincoli che aiutano a ridurre il numero di opzioni; tuttavia la situazione rimane ancora impegnativa.

Un'altra complicazione è che alcuni logici ritengono che la modalità richieda l'abbandono delle regole classiche dei quantificatori a favore delle regole più deboli della logica libera (Garson 2001). I principali punti di disaccordo in merito alle regole del quantificatore possono essere ricondotti alle decisioni su come gestire il dominio di quantificazione. L'alternativa più semplice, l'approccio a dominio fisso (talvolta chiamato possibilista), presuppone un singolo dominio di quantificazione che contenga tutti gli oggetti possibili. D'altra parte, l'interpretazione relativa al mondo (o attualista) presuppone che il dominio di quantificazione cambi da un mondo all'altro e contiene solo gli oggetti che esistono realmente in un determinato mondo.

L'approccio del dominio fisso non richiede aggiustamenti importanti ai macchinari classici per i quantificatori. Le logiche modali che sono adeguate per la semantica del dominio fisso possono di solito essere assiomatizzate aggiungendo i principi di una logica modale proposizionale alle regole classiche del quantificatore insieme alla formula di Barcan ((BF)) (Barcan 1946). (Per un resoconto di alcune interessanti eccezioni si veda Cresswell (1995)).

(tag {(BF)} forall x / Box A / rightarrow / Box / forall xA.)

L'interpretazione a dominio fisso presenta vantaggi di semplicità e familiarità, ma non fornisce un resoconto diretto della semantica di alcune espressioni quantificabili del linguaggio naturale. Non pensiamo che "Esista un uomo che ha firmato la Dichiarazione di Indipendenza" sia vero, almeno non se leggiamo "esiste" al tempo presente. Tuttavia, questa frase era vera nel 1777, il che dimostra che il dominio per l'espressione del linguaggio naturale "qualche uomo esiste chi" cambia per riflettere quali uomini esistono in tempi diversi. Un problema correlato è che sull'interpretazione del dominio fisso, la frase (forall y / Box / esiste x (x = y)) è valida. Supponendo che (esisterà x (x = y)) sia letto: (y) esiste, (forall y / Box / esiste x (x = y)) dice che tutto esiste necessariamente. Però,sembra una caratteristica fondamentale delle idee comuni sulla modalità che l'esistenza di molte cose sia contingente e che esistano oggetti diversi in mondi possibili diversi.

Il difensore dell'interpretazione del dominio fisso può rispondere a queste obiezioni insistendo sul fatto che nella sua lettura dei quantificatori, il dominio di quantificazione contiene tutti i possibili oggetti, non solo gli oggetti che accadono in un determinato mondo. Quindi il teorema (forall y / Box / esiste x (x = y)) afferma innocentemente che ogni possibile oggetto si trova necessariamente nel dominio di tutti gli oggetti possibili. Inoltre, quelle espressioni quantificabili del linguaggio naturale il cui dominio dipende dal mondo (o dal tempo) possono essere espresse usando il quantificatore del dominio fisso (esiste x) e una lettera predicata (E) con la lettura "effettivamente esiste". Ad esempio, invece di tradurre "Some (M) an esiste che (S) ha firmato la Dichiarazione di Indipendenza" da

(esiste x (Mx / amp Sx),)

il difensore dei domini fissi può scrivere:

(esiste x (Ex / amp Mx / amp Sx),)

garantendo così che la traduzione sia considerata falsa al momento attuale. Cresswell (1991) fa l'interessante osservazione che la quantificazione relativa al mondo ha un potere espressivo limitato rispetto alla quantificazione del dominio fisso. La quantificazione relativa al mondo può essere definita con quantificatori del dominio fisso e (E), ma non c'è modo di esprimere pienamente quantificatori del dominio fisso con quelli relativi al mondo. Sebbene ciò sostenga l'approccio classico alla logica modale quantificata, la tattica della traduzione equivale anche a una concessione a favore della logica libera, poiché i quantificatori relativi al mondo così definiti obbediscono esattamente alle regole della logica libera.

Un problema con la strategia di traduzione usata dai difensori della quantificazione del dominio fisso è che rendere l'inglese in logica meno diretto, poiché (E) deve essere aggiunto a tutte le traduzioni di tutte le frasi le cui espressioni di quantificatore hanno domini che dipendono dal contesto. Un'obiezione più seria alla quantificazione del dominio fisso è che spoglia il quantificatore di un ruolo che Quine gli ha raccomandato, vale a dire di registrare un forte impegno ontologico. In questa vista, il dominio di (esistenti x) deve contenere solo entità ontologicamente rispettabili e possibili oggetti sono troppo astratti per essere qualificati. Gli attori di questa fascia vorranno sviluppare la logica di un quantificatore (esiste x) che riflette l'impegno per ciò che è reale in un dato mondo piuttosto che per ciò che è semplicemente possibile.

Tuttavia, alcuni lavori sull'attualismo (Menzel, 1990) tendono a minare questa obiezione. Ad esempio, Linsky e Zalta (1994) e Williamson, (2013) sostengono che al quantificatore del dominio fisso può essere data un'interpretazione che è perfettamente accettabile per gli attualisti. Pavone (2018) sostiene addirittura che sull'interpretazione degli eccezionisti, che si quantifica su singole essenze, sono richiesti domini fissi. Gli attori che impiegano la semantica dei mondi possibili quantificano sistematicamente su possibili mondi nella loro teoria semantica del linguaggio. Quindi sembrerebbe che i mondi possibili siano attuali dalle luci di questi attualisti. Popolando il dominio con entità astratte non più discutibili dei mondi possibili, gli attualisti possono rivendicare la formula di Barcan e i principi classici.

Si noti tuttavia che alcuni attualisti potrebbero rispondere che non è necessario impegnarsi per l'attualità dei mondi possibili, purché si capisca che i quantificatori utilizzati nella loro teoria del linguaggio mancano di una forte importanza ontologica. Inoltre, Hayaki (2006) sostiene che la quantificazione su entità astratte è in realtà incompatibile con qualsiasi forma seria di attualismo. In ogni caso, è aperto agli attualisti (e anche ai non attualisti) indagare la logica dei quantificatori con domini più robusti, ad esempio domini che escludono mondi possibili e altre entità astratte simili, e contenenti solo i particolari spazio-temporali trovati in un mondo dato. Per quantificatori di questo tipo, sono appropriati domini relativi al mondo.

Tali considerazioni motivano l'interesse per i sistemi che riconoscono la dipendenza dal contesto della quantificazione introducendo domini relativi al mondo. Qui ogni mondo possibile ha il suo dominio di quantificazione (l'insieme di oggetti che esiste realmente in quel mondo), e i domini variano da un mondo all'altro. Quando viene presa questa decisione, sorge una difficoltà per la teoria della quantificazione classica. Nota che la frase (esiste x (x = t)) è un teorema della logica classica, e quindi (Box / esiste x (x = t)) è un teorema di (bK) di la regola della necessità. Lascia che il termine (t) significhi Saul Kripke. Quindi questo teorema dice che è necessario che Saul Kripke esista, in modo che sia nel dominio di ogni mondo possibile. L'intera motivazione per l'approccio relativo al mondo era di riflettere l'idea che gli oggetti in un mondo potrebbero non esistere in un altro. Se si usano righelli quantificatori standard, ogni termine (t) deve riferirsi a qualcosa che esiste in tutti i mondi possibili. Ciò sembra incompatibile con la nostra pratica ordinaria di usare termini per riferirsi a cose che esistono solo contingentemente.

Una risposta a questa difficoltà è semplicemente eliminare i termini. Kripke (1963) fornisce un esempio di un sistema che utilizza l'interpretazione relativa al mondo e preserva le regole classiche. Tuttavia, i costi sono elevati. In primo luogo, il suo linguaggio è artificialmente impoverito e, in secondo luogo, le regole per la logica modale proposizionale devono essere indebolite.

Presumendo che vorremmo un linguaggio che includa termini e che le regole classiche vengano aggiunte ai sistemi standard di logica modale proposizionale, sorge un nuovo problema. In un tale sistema, è possibile provare ((CBF)), il contrario della formula di Barcan.

(tag {(CBF)} Box / forall xA / rightarrow / forall x / Box A.)

Questo fatto ha gravi conseguenze per la semantica del sistema. Non è difficile dimostrare che ogni modello relativo al mondo di ((CBF)) deve soddisfare la condizione ((ND)) (per "domini nidificati").

((ND)) Se (wRv) il dominio di (w) è un sottoinsieme del dominio di (v)

Tuttavia ((ND)) è in conflitto con il punto di introdurre domini relativi al mondo. L'idea era che l'esistenza di oggetti è contingente, in modo che ci siano mondi possibili accessibili in cui una delle cose nel nostro mondo non esiste.

Una soluzione semplice a questi problemi è abbandonare le regole classiche per i quantificatori e adottare invece regole per la logica libera ((mathbf {FL})). Le regole di (mathbf {FL}) sono le stesse delle regole classiche, tranne per il fatto che le inferenze da (forall xRx) (tutto è reale) a (Rp) (Pegasus è reale) sono bloccate. Questo viene fatto introducendo un predicato '(E)' (per 'effettivamente esiste') e modificando la regola dell'istanza universale. Da (forall xRx) si può ottenere (Rp) solo se si è anche ottenuto (Ep). Supponendo che il quantificatore universale (forall x) sia primitivo e che il quantificatore esistenziale (esistenti x) sia definito da (esistenti xA = _ {df} { sim} forall x { sim} A), quindi (mathbf {FL}) può essere costruito aggiungendo i seguenti due principi alle regole della logica proposizionale

Generalizzazione universale.

Se (B / rightarrow (Ey / rightarrow A (y))) è un teorema, così è (B / rightarrow / forall xA (x)).

Istanziazione universale.

(forall xA (x) rightarrow (En / rightarrow A (n)))

(Qui si presume che (A (x)) sia una formula ben formata della logica predicata e che (A (y)) e (A (n)) risultino dalla sostituzione di (y) e (n) correttamente per ogni occorrenza di (x) in (A (x)).) Si noti che l'assioma di istanziazione è limitato dalla menzione di (En) nell'antecedente. La regola della generalizzazione universale viene modificata allo stesso modo. In (mathbf {FL}), prove di formule come (esistenti x / Box (x = t)), (forall y / Box / exist x (x = y)), ((CBF)) e ((BF)), che sembrano incompatibili con l'interpretazione relativa al mondo, sono bloccati.

Un'obiezione filosofica a (mathbf {FL}) è che (E) sembra essere un predicato di esistenza, e molti sosterrebbero che l'esistenza non è una proprietà legittima come essere verde o pesare più di quattro chili. Quindi i filosofi che rifiutano l'idea che l'esistenza sia un predicato possono opporsi a (mathbf {FL}). Tuttavia nella maggior parte (ma non in tutte) le logiche modali quantificate che includono identità ((=)) queste preoccupazioni possono essere aggirate definendo (E) come segue.

[Et = _ {df} esiste x (x = t).)

Il modo più generale per formulare la logica modale quantificata è creare (mathbf {FS}) aggiungendo le regole di (mathbf {FL}) a una determinata logica modale proposizionale (mathbf {S}). Nelle situazioni in cui si desidera la quantificazione classica, si può semplicemente aggiungere (Et) come assioma a (mathbf {FS}), in modo che i principi classici diventino regole derivabili. Risultati di adeguatezza per tali sistemi possono essere ottenuti per la maggior parte delle scelte della logica modale (mathbf {S}), ma ci sono eccezioni.

Un'ultima complicazione nella semantica della logica modale quantificata merita di essere menzionata. Sorge quando vengono introdotte nel linguaggio espressioni non rigide come "l'inventore dei bifocali". Un termine non è rigido quando individua oggetti diversi in diversi mondi possibili. Il valore semantico di tale termine può essere dato da ciò che Carnap (1947) chiamava un concetto individuale, una funzione che individua la denotazione del termine per ogni mondo possibile. Un approccio alla gestione di termini non rigidi è quello di utilizzare la teoria delle descrizioni di Russell. Tuttavia, in un linguaggio che tratta espressioni non rigide come termini autentici, risulta che né le regole della logica classica né quella libera per i quantificatori sono accettabili. (Il problema non può essere risolto indebolendo la regola di sostituzione per l'identità.) Una soluzione a questo problema consiste nell'utilizzare un trattamento più generale dei quantificatori, in cui il dominio di quantificazione contiene concetti individuali anziché oggetti. Questa interpretazione più generale fornisce una migliore corrispondenza tra il trattamento dei termini e il trattamento dei quantificatori e dei risultati in sistemi adeguati alle regole della logica classica o libera (a seconda che vengano scelti i domini fissi o relativi al mondo). Fornisce anche una lingua con poteri espressivi forti e molto necessari (Bressan, 1973, Belnap e Müller, 2013a, 2013b). Questa interpretazione più generale fornisce una migliore corrispondenza tra il trattamento dei termini e il trattamento dei quantificatori e dei risultati in sistemi adeguati alle regole della logica classica o libera (a seconda che vengano scelti i domini fissi o relativi al mondo). Fornisce anche una lingua con poteri espressivi forti e molto necessari (Bressan, 1973, Belnap e Müller, 2013a, 2013b). Questa interpretazione più generale fornisce una migliore corrispondenza tra il trattamento dei termini e il trattamento dei quantificatori e dei risultati in sistemi adeguati alle regole della logica classica o libera (a seconda che vengano scelti i domini fissi o relativi al mondo). Fornisce anche una lingua con poteri espressivi forti e molto necessari (Bressan, 1973, Belnap e Müller, 2013a, 2013b).

Bibliografia

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Humberstone (2015) fornisce una superba guida alla letteratura sulle logiche modali e le loro applicazioni alla filosofia. La bibliografia (di oltre un migliaio di voci) fornisce una risorsa inestimabile per tutti i principali argomenti, tra cui logiche di tempo, obbligo, convinzione, conoscenza, agenzia e necessità nomiche.

Gabbay and Guenthner (2001) fornisce utili articoli di sintesi su argomenti importanti, mentre Blackburn et. al. (2007) è una risorsa inestimabile da una prospettiva più avanzata.

Un'eccellente bibliografia di fonti storiche può essere trovata in Hughes e Cresswell (1968).

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Altre risorse Internet

  • Progressi nella logica modale
  • Elenco delle risorse da Wikipedia
  • Manuale di logica modale di Blackburn, Bentham e Wolter
  • Pagina di logica modale di John McCarthy

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