Logica Epistemica

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Logica epistemica

Pubblicato per la prima volta venerdì 7 giugno 2019

La logica epistemica è un sottocampo dell'epistemologia che si occupa di approcci logici a conoscenza, credenza e nozioni correlate. Sebbene qualsiasi logica con un'interpretazione epistemica possa essere definita una logica epistemica, il tipo più diffuso di logiche epistemiche attualmente in uso sono le logiche modali. Conoscenza e convinzione sono rappresentate tramite gli operatori modali K e B, spesso con un indice che indica l'agente che detiene l'atteggiamento. Le formule (K_ {a} varphi) e (B_ {a} varphi) vengono quindi lette rispettivamente "agente a sa che phi" e "agente a crede che phi". La logica epistemica consente l'esplorazione formale delle implicazioni dei principi epistemici. Ad esempio, la formula (K_ {a} varphi / rightarrow / varphi) afferma che ciò che è noto è vero, mentre (K_ {a} varphi / rightarrow K_ {a} K_ {a} varphi) afferma che ciò che è noto è noto per essere conosciuto. La semantica della logica epistemica viene generalmente data in termini di mondi possibili tramite modelli di Kripke in modo tale che la formula (K_ {a} varphi) viene letta per affermare che (varphi) è vera in tutti gli agenti del mondo che considera epistemicamente possibile in relazione alle sue informazioni attuali. I problemi centrali che hanno interessato i logici epistemici includono, ad esempio, determinare quali principi epistemici sono più appropriati per caratterizzare la conoscenza e la credenza, le relazioni logiche tra le diverse concezioni di conoscenza e credenza e le caratteristiche epistemiche di gruppi di agenti. Al di là della filosofia propria, la logica epistemica fiorisce nell'informatica teorica, nell'economia e nei campi correlati.

  • 1. Introduzione
  • 2. L'approccio modale alla conoscenza

    • 2.1 Il linguaggio formale della logica epistemica
    • 2.2 Atteggiamenti di ordine superiore
    • 2.3 Il principio di partizione e la semantica modale
    • 2.4 Modelli di Kripke e interpretazione della conoscenza indistinguibile
    • 2.5 Principi epistemologici nella logica epistemica
    • 2.6 Principi di conoscenza e credo
  • 3. Conoscenza nei gruppi

    • 3.1 Lingue e modelli multi-agente
    • 3.2 Nozioni di conoscenza del gruppo
  • 4. Onniscienza logica
  • Bibliografia
  • Strumenti accademici
  • Altre risorse Internet
  • Voci correlate

1. Introduzione

I testi aristotelici pongono le basi per le discussioni sulla logica della conoscenza e delle convinzioni, in particolare De Sophisiticis Elenchis, nonché dell'analisi preliminare e posteriore. Mentre Aristotele si rivolgeva ai quattro modi aletici di possibilità, necessità, impossibilità e contingenza, Buridan, Pseudo Scotus, Ockham e Ralph Strode, aiutarono ad estendere le intuizioni di Aristotele a temi e problemi epistemici (Boh 1993; Knuuttila 1993). Durante questo periodo, lo Pseudo-Scot e William of Ockham completarono lo studio di Aristotele sugli atti mentali di cognizione e volontà (vedi Boh 1993: 130). Gli studi di Ivan Boh sulla storia delle indagini del XIV e XV secolo sulla logica epistemica forniscono un'eccellente copertura dell'argomento, in particolare la sua Logica epistemica nel Medioevo (1993).

Secondo Boh, il filosofo inglese Ralph Strode ha formulato un sistema completamente generale di regole epistemiche proposizionali nel suo influente libro del 1387 Consequences (Boh 1993: 135). La presentazione di Strode si basava sui precedenti trattati logici di Ockham e Burley. I problemi della logica epistemica furono discussi anche tra il 1330 e il 1360 dai cosiddetti Oxford Calculator, soprattutto da William Heytesbury e Richard Kilvington. Nel XV secolo, Paolo di Venezia e altri filosofi italiani si dedicarono anche a una sofisticata riflessione sul rapporto tra conoscenza, verità e ontologia.

Le discussioni sulla logica epistemica durante il periodo medievale condividono un insieme simile di ipotesi di base con discussioni contemporanee. Ancora più importante, i filosofi medievali hanno esplorato la connessione tra conoscenza e veridicità: se conosco p, allora p è vero. Inoltre, molte discussioni medievali iniziano con un'ipotesi simile all'osservazione di GE Moore secondo cui un agente epistemico non può affermare coerentemente "p ma non credo (conosco) p". Le frasi di questo modulo sono generalmente indicate come frasi Moore.

I trattamenti moderni della logica della conoscenza e delle credenze sono nati dal lavoro di filosofi e logici che scrivono dal 1948 agli anni '50. Rudolf Carnap, Jerzy Łoś, Arthur Prior, Nicholas Rescher, GH von Wright e altri hanno riconosciuto che il nostro discorso riguardante la conoscenza e la credenza ammette un trattamento assiomatico-deduttivo. Tra i molti documenti importanti apparsi negli anni '50, l'opera fondamentale di von Wright (1951) è ampiamente riconosciuta come aver avviato lo studio formale della logica epistemica come la conosciamo oggi. Le intuizioni di Von Wright furono estese da Jaakko Hintikka nel suo libro Conoscenza e credenza: un'introduzione alla logica delle due nozioni (1962). Hintikka ha fornito un modo di interpretare i concetti epistemici in termini di possibile semantica mondiale e come tale da allora è servito come testo di base per lo studio della logica epistemica.

Negli anni '80 e '90, i logici epistemici si sono concentrati sulle proprietà logiche dei sistemi contenenti gruppi di conoscenti e successivamente ancora sulle caratteristiche epistemiche dei cosiddetti contesti "multi-modali". Dagli anni '90 il lavoro nella logica epistemica dinamica ha esteso la logica epistemica tradizionale modellando il processo dinamico di acquisizione della conoscenza e revisione delle credenze. Negli ultimi due decenni, la logica epistemica è arrivata a comprendere un'ampia serie di approcci formali allo studio interdisciplinare della conoscenza e delle credenze.

L'interesse per la logica epistemica si estende ben oltre i filosofi. Gli ultimi decenni hanno visto una grande attenzione interdisciplinare alla logica epistemica con economisti e scienziati informatici che hanno attivamente sviluppato il campo insieme a logici e filosofi. Nel 1995 due importanti libri segnalarono la fertile interazione tra informatica e logica epistemica: Fagin, Halpern, Moses e Vardi (1995) e Meyer e van der Hoek (1995). Il lavoro degli informatici è diventato sempre più centrale nella logica epistemica negli anni successivi.

Tra i filosofi, c'è una maggiore attenzione all'interazione tra questi approcci formali e i tradizionali problemi epistemologici (Vedi ad esempio van Benthem 2006; Hendricks & Symons 2006; Stalnaker 2006; Holliday 2018).

Esistono numerosi testi introduttivi sulla logica epistemica, ad esempio van Benthem (2011); Ditmarsch, Hoek e Kooi (2007); Ditmarsch et al. (2015); Gochet and Gribomont (2006); e Meyer (2001) con Lenzen (1980) fornendo una panoramica dei primi sviluppi.

2. L'approccio modale alla conoscenza

Fino a tempi relativamente recenti, la logica epistemica si concentrava quasi esclusivamente sulla conoscenza proposizionale. In caso di conoscenza proposizionale, un agente o un gruppo di agenti ha l'atteggiamento proposizionale di conoscere una certa proposizione. Ad esempio, quando si dice: "Zoe sa che c'è una gallina nel cortile", si afferma che Zoe è l'agente che porta l'atteggiamento proposizionale sapendo verso la proposizione espressa dalla frase inglese "c'è una gallina nel cortile". Ora immagina che Zoe non sappia se c'è una gallina nel cortile. Ad esempio, è possibile che non abbia accesso alle informazioni sull'esistenza o meno di una gallina nel cortile. In questo caso la sua mancanza di informazioni significa che considererà possibili due scenari, uno in cui c'è una gallina nel cortile e uno in cui non c'è.

Forse ha qualche decisione pratica che coinvolge non solo le galline ma anche la presenza di cani spaventosi nel cortile. Potrebbe desiderare di dare da mangiare alle galline, ma lo farà solo se non c'è nessun cane nel cortile. Se ignorava la presenza di un cane nel cortile, il numero di scenari che deve prendere in considerazione nelle sue deliberazioni aumenta a quattro. Chiaramente, si devono considerare alternative epistemiche quando non si hanno informazioni complete sulle situazioni che sono rilevanti per le proprie decisioni. Come vedremo di seguito, la possibile semantica dei mondi ha fornito un utile quadro per comprendere il modo in cui gli agenti possono ragionare sulle alternative epistemiche.

Mentre i logici epistemici si erano concentrati tradizionalmente sulla consapevolezza di ciò, si trova una serie di altri usi della conoscenza nel linguaggio naturale. Come sottolinea Wang (2015), le espressioni che sanno come, sapere cosa, sapere perché sono molto comuni, appaiono quasi altrettanto frequentemente (a volte più frequentemente) nella lingua parlata e scritta quanto saperlo. Recentemente sono state sviluppate logiche epistemiche non standard di tali espressioni, pur sapendo chi sono le costruzioni presenti in Hintikka's Knowledge and Belief (1962; vedi anche Boër & Lycan 1986; Rendsvig 2012). Pertanto, al di là della conoscenza proposizionale, la logica epistemica suggerisce anche modi per sistematizzare la logica di domande e risposte (Brendan sa perché il cane abbaiò). Fornisce inoltre informazioni sulle relazioni tra molteplici modalità di identificazione (Zoe sa che quest'uomo è il presidente). Qui, si può dire che l'agente conosce un fatto relativo a molteplici modalità di identificazione nella misura in cui identifica correttamente il presidente, che potrebbe conoscere dalle storie sul giornale con l'uomo che vede in piedi di fronte a lei, che identifica come un oggetto nel suo campo visivo (Hintikka & Symons 2003). La logica epistemica può anche fornire informazioni su questioni di "know-how" procedurale (Brendan sa come cambiare una miccia). Ad esempio, sapere come (varphi) può essere inteso come equivalente all'affermazione che esiste un modo tale che un agente sappia che è un modo per garantire che (varphi) (vedi Wang 2015, 2018). Il lavoro riguardante le giustificazioni della conoscenza è stato intrapreso anche da combinazioni di logica di giustificazione con logica epistemica (vedi, ad esempio, Artemov e Nogina 2005; Renne 2008). Sono in corso lavori su questi e altri argomenti e nuovi sviluppi si stanno affermando costantemente.

2.1 Il linguaggio formale della logica epistemica

Il lavoro recente nella logica epistemica si basa su una concezione modale della conoscenza. Per chiarire il ruolo della modalità nella logica epistemica, è utile introdurre gli elementi di base del formalismo moderno. Per semplicità, iniziamo con il caso della conoscenza e della convinzione per un singolo agente, rimandando l'esame di più agenti alla Sezione 3, Un linguaggio logico epistemico prototipico viene dato fissando prima un insieme di variabili proposizionali (p_ {1}), (p_ {2}),…. Nelle applicazioni della logica epistemica, alle variabili proposizionali vengono date interpretazioni specifiche: ad esempio, (p_ {1}) potrebbe essere preso per rappresentare la proposizione "c'è una gallina nel cortile" e (p_ {2}) il proposizione “c'è un cane nel cortile”, ecc. Le variabili proposizionali rappresentano proposizioni che non sono rappresentate in dettaglio nel linguaggio formale. Pertanto, vengono spesso definiti proposizioni atomiche o semplicemente atomi. Lascia che Atom denoti l'insieme di proposizioni atomiche.

Oltre alle proposizioni atomiche, la logica epistemica completa il linguaggio della logica proposizionale con un operatore modale, (K_ {a}), per conoscenza e (B_ {a}), per credenza.

(K_ {a} varphi) dice "L'agente a sa che (varphi)"

e similmente

(B_ {a} varphi) recita "L'agente a ritiene che (varphi)".

In molte pubblicazioni recenti sulla logica epistemica, l'intera serie di formule nel linguaggio è data usando una cosiddetta forma Backus-Naur. Questa è semplicemente una tecnica notazionale derivata dall'informatica che fornisce una definizione ricorsiva delle formule ritenute grammaticalmente "corrette", cioè l'insieme di formule ben formate:

(varphi: = p / mid / neg / varphi / mid (varphi / wedge / varphi) mid K_ {a} varphi / mid B_ {a} varphi, / text {for} p / in / textit {Atomo}.)

Questo dice che (varphi) è p, se p è un atomo. (neg / varphi) è una formula ben formata se (varphi) è già una formula ben formata. Il simbolo '(neg)' è una negazione e '(wedge)' una congiunzione: (neg / varphi) legge 'non (varphi)' mentre ((varphi / wedge / psi)) legge '(varphi) e (psi)'. Chiameremo questo linguaggio di base che include sia un K nowledge che un operatore elief B, (mathcal {L} _ {KB}). Come nella logica proposizionale, i connettivi aggiuntivi sono definiti da (neg) e (wedge): la notazione tipica è '(vee)' per 'o', '(rightarrow)' per ' if …, then … 'e' (leftrightarrow) 'per' … if, e solo se, … . Inoltre in genere (top) ('top') e (bot) ('bottom') viene usato per indicare rispettivamente la proposizione costantemente vera e la proposizione costantemente falsa.

Come vedremo di seguito, (K_ {a} varphi) viene letto affermando che (varphi) è accessibile in tutti i mondi. In questo senso, K può essere considerato come un comportamento simile all'operatore 'box', (square), spesso usato per indicare la necessità. Nel valutare (K_ {a} varphi) in un possibile mondo w, si sta in effetti valutando una quantificazione universale su tutti i mondi accessibili da w. Il quantificatore universale (forall) nella logica del primo ordine ha il quantificatore esistenziale (exist) come suo doppio: questo significa che i quantificatori sono reciprocamente definibili prendendo entrambi (forall) come primitivi e definendo (esiste x / varphi) come abbreviazione di (neg / forall x / neg / varphi) o prendendo (exist) come primitivo e definendo (forall x / varphi) come (neg / esiste x / neg / varphi). Nel caso di (K_ {a}),si può vedere che la formula (neg K_ {a} neg / varphi) effettua una quantificazione esistenziale: dice che esiste un mondo accessibile che soddisfa (varphi). In letteratura, viene spesso introdotto un doppio operatore per (K_ {a}). La notazione tipica per (neg K_ {a} neg) include (langle K_ {a} rangle) e (widehat {K} _ {a}). Questa notazione imita la forma di diamante (losanga), che è il doppio operatore standard nella casella (quadrato), che a sua volta è notazione standard per l'operatore modale che quantifica universalmente (vedere la voce sulla logica modale). La notazione tipica per (neg K_ {a} neg) include (langle K_ {a} rangle) e (widehat {K} _ {a}). Questa notazione imita la forma di diamante (losanga), che è il doppio operatore standard nella casella (quadrato), che a sua volta è notazione standard per l'operatore modale che quantifica universalmente (vedere la voce sulla logica modale). La notazione tipica per (neg K_ {a} neg) include (langle K_ {a} rangle) e (widehat {K} _ {a}). Questa notazione imita la forma di diamante (losanga), che è il doppio operatore standard nella casella (quadrato), che a sua volta è notazione standard per l'operatore modale che quantifica universalmente (vedere la voce sulla logica modale).

Linguaggi più espressivi nella logica epistemica implicano l'aggiunta di operatori per varie nozioni di conoscenza di gruppo (vedi Sezione 3). Ad esempio, come discuteremo di seguito, l'operatore di conoscenza comune e i cosiddetti operatori dinamici sono aggiunte importanti al linguaggio della logica epistemica. Gli operatori dinamici possono indicare ad esempio l'annuncio pubblico veritiero di (varphi): ((varphi!]). Una formula ((varphi!] Psi) viene letta "se (varphi) viene effettivamente annunciato a tutti, quindi dopo l'annuncio, (psi) è il caso". La domanda su quale tipo di potere espressivo viene aggiunto con l'aggiunta di operatori è un argomento di ricerca che viene attivamente studiato nella logica epistemica dinamica. Quindi, ad esempio, aggiungere ((varphi!]) Da solo a (mathcal {L} _ {KB}) non aggiunge potere espressivo,ma in una lingua che include anche una conoscenza comune, lo fa.

2.2 Atteggiamenti di ordine superiore

Si noti che ad esempio (K_ {a} K_ {a} p) è una formula nella lingua che abbiamo introdotto sopra. Indica che l'agente a sa che l'agente a sa che p è il caso. La formula con operatori epistemici annidati di questo tipo esprime un atteggiamento di ordine superiore: un atteggiamento riguardante l'atteggiamento di un agente.

Gli atteggiamenti di ordine superiore sono un tema ricorrente nella logica epistemica. Le citate frasi di Moore, ad esempio, (B_ {a} (p / wedge B_ {a} neg p)) esprimono un atteggiamento di ordine superiore. Così fanno molti dei principi epistemici discussi nella letteratura e sotto. Considera il seguente importante principio epistemico che coinvolge la conoscenza di ordine superiore: (K_ {a} varphi / rightarrow K_ {a} K_ {a} varphi). È ragionevole richiedere che la conoscenza soddisfi questo schema, cioè che se qualcuno conosce (varphi), allora sa di conoscere (varphi)? In parte, potremmo esitare prima di accettare questo principio in virtù dell'atteggiamento di ordine superiore in questione. Questa è una questione di discussione in corso in logica epistemica ed epistemologia.

2.3 Il principio di partizione e la semantica modale

La semantica del linguaggio formale introdotto sopra è generalmente presentata in termini di cosiddetti mondi possibili. Nella logica epistemica i mondi possibili sono interpretati come alternative epistemiche. Hintikka fu il primo ad articolare esplicitamente un simile approccio (1962). Questa è un'altra caratteristica centrale del suo approccio all'epistemologia che continua a informare gli sviluppi oggi. Può essere dichiarato, semplificato, [1] come segue:

Principio di ripartizione: qualsiasi atteggiamento proposizionale suddivide l'insieme dei mondi possibili in quelli che sono in accordo con l'atteggiamento di quelli che non lo sono.

Il principio di partizione può essere utilizzato per fornire una semantica per l'operatore della conoscenza. informalmente, (K_ {a} varphi) è vero nel mondo w se, e solo se, (varphi) è vero in ogni mondo (w ') compatibile con ciò che a sa in w.

Qui, l'agente a sa che (varphi) nel caso in cui l'agente abbia informazioni che escludono ogni possibilità di errore esclude ogni caso in cui (neg / varphi).

2.4 Modelli di Kripke e interpretazione della conoscenza indistinguibile

Dagli anni '60, i modelli Kripke, definiti di seguito, sono stati la base della semantica più utilizzata per tutte le varietà di logica modale. L'uso di modelli Kripke nella rappresentazione di concetti epistemici implica una presa di posizione filosofica rispetto a tali concetti. Un'interpretazione diffusa, specialmente in economia teorica e informatica teorica, comprende la conoscenza in termini di indistinguibilità informativa tra mondi possibili. Ciò che chiameremo qui come interpretazione dell'indistinguibilità risale almeno a Lehmann (1984).

Poiché l'interpretazione dell'indistinguibilità riguarda la conoscenza, ma non la convinzione, lavoreremo con una lingua senza operatori di credenze. Pertanto, lascia che la lingua (mathcal {L} _ {K}) sia data dal modulo Backus-Naur

(varphi: = p / mid / neg / varphi / mid (varphi / wedge / varphi) mid K_ {a} varphi / text {per} p / in / textit {Atom}.)

Come vedremo, l'interpretazione dell'indistinguibilità implica requisiti molto rigorosi per qualificare qualcosa come conoscenza. Lo introduciamo qui per scopi pedagogici, mettendo in atto i dettagli formali dell'interpretazione in modo da introdurre e spiegare in seguito posizioni relativamente meno estreme.

Rifletti sul caso di Zoe, la gallina e il cane. L'esempio comprende due proposizioni, che identificheremo con gli atomi formali:

p leggi come "c'è una gallina nel cortile".

e

q leggi come "c'è un cane nel cortile".

Vale la pena sottolineare che ai fini della nostra formalizzazione di questo scenario, queste due sono le uniche proposizioni di interesse. Stiamo limitando la nostra attenzione a (textit {Atom} = {p, q }). Nelle prime presentazioni della logica epistemica e attualmente in gran parte della logica epistemica standard, tutti gli atomi di interesse sono inclusi fin dall'inizio. Ovviamente, questo è uno scenario idealizzato. È importante notare ciò che questo approccio lascia fuori. Considerazioni che non sono catturate in questo modo includono la comparsa di nuovi atomi; l'idea che altre proposizioni atomiche potrebbero essere introdotte in uno stato futuro tramite un processo di apprendimento, ad esempio, o la questione della consapevolezza delle proposizioni di un agente;lo scenario in cui un agente potrebbe essere temporaneamente ignaro di qualche atomo a causa di un fattore psicologico o di altro tipo (vedere la Sezione 4 per i riferimenti alla cosiddetta logica di consapevolezza). Per ora, il punto principale è che la logica epistemica standard inizia con l'ipotesi che l'insieme Atom esaurisca lo spazio delle proposizioni per l'agente.

Con due atomi, ci sono quattro modi diversi in cui un mondo potrebbe essere costantemente. Possiamo rappresentare ciascuno da una casella:

Quattro mondi di base: quattro scatole di fila con un po 'di spazio tra di loro. Il primo con etichetta w1 e contiene la coppia: p, q. Il secondo con l'etichetta w2 con la coppia: p non q. Il terzo, w3, con la coppia: non p, q. Il quarto, w4, con la coppia: non p, non q. Quasi tutte le immagini successive contengono le stesse con alcune lievi modifiche
Quattro mondi di base: quattro scatole di fila con un po 'di spazio tra di loro. Il primo con etichetta w1 e contiene la coppia: p, q. Il secondo con l'etichetta w2 con la coppia: p non q. Il terzo, w3, con la coppia: non p, q. Il quarto, w4, con la coppia: non p, non q. Quasi tutte le immagini successive contengono le stesse con alcune lievi modifiche

Le quattro caselle possono essere formalmente rappresentate da un insieme (W = {w_ {1}, w_ {2}, w_ {3}, w_ {4} }), in genere chiamato un insieme di mondi possibili. Ogni mondo è ulteriormente etichettato con gli atomi veri in quel mondo. Sono etichettati da una funzione V, la valutazione. La valutazione specifica quali atomi sono veri in ogni mondo nel modo seguente: Dato un atomo p, (V (p)) è il sottoinsieme di mondi in cui p è vero. [2] Che (w_ {1}) è etichettato con p e q significa quindi che (w_ {1} in V (p)) e (w_ {1} in V (q)). Nell'illustrazione, (V (p) = {w_ {1}, w_ {2} }) e (V (q) = {w_ {1}, w_ {3} }).

Ai fini della presentazione, supponiamo che ci sia davvero una gallina nel cortile, ma nessun cane. Quindi (w_ {2}) rappresenterebbe il mondo reale del modello. Nelle illustrazioni, il mondo reale è comunemente evidenziato:

I quattro mondi di base tranne w2 sono evidenziati con una doppia riga anziché una singola riga per la casella
I quattro mondi di base tranne w2 sono evidenziati con una doppia riga anziché una singola riga per la casella

Ora, supponi che la gallina stia sempre cigolando, ma che il cane non abbaia mai e che, sebbene Zoe abbia un udito acuto, non riesce a vedere il cortile. Poi ci sono alcuni mondi possibili che Zoe non riesce a distinguere: possibili modi in cui le cose possono essere che non può distinguere. Ad esempio, essendo nel mondo con solo una gallina ((p, / neg q)), Zoe non può dire se è nel mondo con gallina e cane ((p, q)): la sua situazione è tale che Zoe è consapevole di due modi in cui le cose potrebbero essere ma le sue informazioni non le consentono nemmeno di eliminarle.

Per illustrare che un mondo possibile non può essere distinto da un altro, una freccia viene in genere disegnata dal primo al secondo:

Quattro mondi di base tranne w2 è evidenziato e una freccia indica da w2 a w1
Quattro mondi di base tranne w2 è evidenziato e una freccia indica da w2 a w1

Qui, le frecce rappresentano una relazione binaria su mondi possibili. Nella logica modale in generale, viene definita relazione di accessibilità. Sotto l'interpretazione dell'indistinguibilità della logica epistemica, a volte viene chiamata relazione di indistinguibilità. Formalmente, denota la relazione (R_ {a}), con il pedice che mostra che la relazione appartiene all'agente a. La relazione è un sottoinsieme dell'insieme di coppie ordinate di mondi possibili, ({(w, w ') colon w, w' / in W }). Un mondo w "punta" a un altro (w ') if ((w, w') in R_ {a}). In questo caso, si dice che (w ') sia accessibile (indistinguibile) da w. In letteratura, questo è spesso scritto (wR_ {a} w ') o (R_ {a} ww'). Anche la notazione '(w' / in R_ {a} (w)) 'è comune: l'insieme (R_ {a} (w)) è quindi i mondi accessibili da w, cioè

[R_ {a} (w): = {w '\ in W: (w, w') in R_ {a} }.)

Un'ultima nota: l'insieme ({(w, w ') colon w, w' / in W }) è spesso scritto (W / times W), il prodotto cartesiano di W con se stesso.

Perché (R_ {a}) rappresenti fedelmente una relazione di indistinguibilità, a quali mondi dovrebbe riferirsi? Se Zoe fosse immersa in (w_ {1}) per esempio, potrebbe dire che non è in (w_ {2})? No: la relazione di indistinguibilità è simmetrica se non si può distinguere a da b, né si può distinguere b da a. Che una relazione sia simmetrica viene in genere disegnato omettendo del tutto le punte di freccia o inserendole in entrambe le direzioni:

Quattro mondi di base tranne w2 è evidenziato e una freccia a due punte collega w2 e w1
Quattro mondi di base tranne w2 è evidenziato e una freccia a due punte collega w2 e w1

Quali dei mondi rimanenti sono indistinguibili? Dato che la gallina sta sempre cigolando, Zoe ha informazioni che le consentono di distinguere (w_ {1}) e (w_ {2}) da (w_ {3}) e (w_ {4}) e viceversa, cfr. simmetria. Quindi, nessuna freccia tra questi. I mondi (w_ {3}) e (w_ {4}) sono indistinguibili. Questo ci porta alla seguente rappresentazione:

Quattro mondi di base tranne w2 è evidenziato e una freccia a due punte collega w2 e w1 e un'altra freccia a due punte collega w3 e w4
Quattro mondi di base tranne w2 è evidenziato e una freccia a due punte collega w2 e w1 e un'altra freccia a due punte collega w3 e w4

Poiché nessuna informazione consentirà mai a Zoe di distinguere qualcosa da se stessa, qualsiasi mondo possibile è quindi correlato a se stesso, la relazione indistinguibile è riflessiva:

Quattro mondi di base tranne w2 è evidenziato e una freccia a due punte collega w2 e w1 e un'altra freccia a due punte collega w3 e w4. Ogni mondo ha anche una freccia che ritorna nello stesso mondo
Quattro mondi di base tranne w2 è evidenziato e una freccia a due punte collega w2 e w1 e un'altra freccia a due punte collega w3 e w4. Ogni mondo ha anche una freccia che ritorna nello stesso mondo

L'interpretazione standard dell'esempio Zoe in termini di un possibile modello di mondi è ora completa. Prima di passare a una presentazione generale dell'interpretazione dell'indistinguibilità, diamo un'occhiata a ciò che Zoe sa.

Richiama la semantica modale informale dell'operatore della conoscenza dall'alto:

(K_ {a} varphi) è vero nel mondo w se, e solo se, (varphi) è vero in ogni mondo (w ') compatibile con le informazioni che ha in w.

Per avvicinarti a una definizione formale, prendi '(w / vDash / varphi)' per indicare che (varphi) è vero nel mondo w. Così possiamo definire la verità di (K_ {a} varphi) in w di

(w / vDash K_ {a} varphi) iff (w '\ vDash / varphi) per tutti (w') tale che (wR_ {a} w ').

Questa definizione afferma che a know (varphi) nel mondo w if, e solo se, (varphi) è il caso in tutti i mondi (w ') che a non può distinguere da w.

Quindi, da dove viene Zoe? Prima di tutto, la definizione ci consente di valutare la sua conoscenza in ciascuno dei mondi, ma visto che (w_ {2}) è il mondo reale, è il mondo di interesse. Ecco alcuni esempi di ciò che possiamo dire sulla conoscenza di Zoe in (w_ {2}):

  1. (w_ {2} vDash K_ {a} p). Zoe sa che la gallina è nel cortile poiché tutti i mondi indistinguibili da (w_ {2}) che sarebbero (w_ {1}) e (w_ {2}) renderanno vera la p.
  2. (w_ {2} vDash / neg K_ {a} q). Zoe non sa che il cane è nel cortile, dato che uno dei mondi indistinguibili in realtà (w_ {2}) rende q falso.
  3. (w_ {2} vDash K_ {a} K_ {a} p). Zoe sa di conoscere p perché (a)) (w_ {2} vDash K_ {a} p) (cfr. 1.) e (b)) (w_ {1} vDash K_ {a} p).
  4. (w_ {2} vDash K_ {a} neg K_ {a} q). Zoe sa che non conosce q perché (a)) (w_ {2} vDash / neg K_ {a} q) (cfr. 2.) e (b)) (w_ {1 } vDash / neg K_ {a} q).

Potremmo dire molto di più sulla conoscenza di Zoe: ogni formula del linguaggio epistemico senza convinzione che gli operatori possano essere valutati nel modello. Rappresenta quindi tutte le informazioni di ordine superiore di Zoe sulla propria conoscenza di quali punti 3. e 4. sono i primi esempi.

È necessario un ultimo ingrediente prima di poter affermare l'interpretazione dell'indistinguibilità nella sua piena generalità. Nell'esempio sopra, è stato dimostrato che la relazione di indistinguibilità era sia simmetrica che riflessiva. Formalmente, queste proprietà possono essere definite come segue:

Definizione: una relazione binaria (R / subseteq W / times W) è

  1. iff riflessivo per tutti (w / in W, wRw),
  2. iff simmetrico per tutti (w, w '\ in W,) if (wRw'), quindi (w'Rw).

L'ingrediente mancante è quindi la proprietà relazionale della transitività. 'Più breve di' è un esempio di una proprietà transitiva: Sia x più breve di y, e y sia più breve di z. Quindi x deve essere più corto di z. Quindi, dato (w_ {1}, w_ {2}) e (w_ {3}), se la relazione R vale tra (w_ {1}) e (w_ {2}) e tra (w_ {2}) e (w_ {3}), quindi la freccia tra (w_ {1}) e (w_ {3}) è la conseguenza del fatto che la relazione deve essere transitiva:

Un diagramma di tre nodi: w1, w2 e w3. Una freccia, etichettata 'presunta', va da w1 a w2 e un'altra freccia con la stessa etichetta va da w2 a w3. Una terza freccia, etichettata "implicita" va da w1 a w3
Un diagramma di tre nodi: w1, w2 e w3. Una freccia, etichettata 'presunta', va da w1 a w2 e un'altra freccia con la stessa etichetta va da w2 a w3. Una terza freccia, etichettata "implicita" va da w1 a w3

Formalmente, la transitività è definita come segue:

Definizione: una relazione binaria (R / subseteq W / times W) è iff transitiva per tutti (w, w ', w' '\ in W,) if (wRw') e (w'Rw ''), quindi (wRw '')

Una relazione che è sia riflessiva, simmetrica e transitiva è chiamata relazione di equivalenza.

Con tutti i componenti in atto, definiamo ora il modello Kripke:

Definizione: un modello Kripke per (mathcal {L} _ {K}) è una tupla (M = (W, R, V)) dove

  • W è un insieme non vuoto di mondi possibili,
  • R è una relazione binaria su W e
  • (V / colon / textit {Atom} longrightarrow / mathcal {P} (W)) è una valutazione.

Nella definizione, '(mathcal {P} (W))' indica il gruppo di potenza di W: è costituito da tutti i sottoinsiemi di W. Quindi (V (p)), la valutazione dell'atomo p nel modello M, è un sottoinsieme dei mondi possibili: quelli in cui p è vero. In questa definizione generale, R può essere qualsiasi relazione su W.

Per specificare quale mondo è reale, un ultimo parametro viene aggiunto al modello. Quando viene specificato il mondo reale, un modello Kripke viene comunemente chiamato appuntito:

Definizione: un modello Kripke appuntito per (mathcal {L} _ {K}) è una coppia ((M, w)) dove

  • (M = (W, R, V)) è un modello Kripke e
  • (w / in W).

Infine, possiamo definire formalmente la semantica che è stata in qualche modo liberamente espressa sopra. Questo viene fatto definendo una relazione tra i modelli Kripke appuntiti e le formule del linguaggio formale. La relazione è indicata con '(vDash)' ed è spesso chiamata relazione di soddisfazione.

La definizione quindi procede come segue:

Definizione: Let (M = (W, R_ {a}, V)) sia un modello Kripke per (mathcal {L} _ {K}) e let ((M, w)) sia un modello Kripke appuntito. Quindi per tutti (p / in / textit {Atom}) e tutti (varphi, / psi / in / mathcal {L} _ {K})

(begin {align} (M, w) & / vDash p & / textrm {iff} & w / in V (p) (M, w) & / vDash / neg / varphi & / textrm {iff} & / textrm {not} (M, w) vDash / varphi \(M, w) & / vDash (varphi / wedge / psi) & / textrm {iff} & (M, w) vDash / varphi / textrm {and} (M, w) vDash / psi \(M, w) & / vDash K_ {a} varphi & / textrm {iff} & (M, w ') vDash / varphi / textrm {per tutti } w '\ in W / textrm {tale che} wR_ {a} w'. / end {align})

La formula (varphi) è soddisfatta nel modello appuntito ((M, w)) iff ((M, w) vDash / varphi).

In generale, l'interpretazione dell'indistinguibilità sostiene che affinché (K_ {a}) acquisisca conoscenza, la relazione (R_ {a}) deve essere una relazione di equivalenza. Un modello Kripke appuntito per il quale questo è soddisfatto viene spesso definito stato epistemico. Negli stati epistemici, la relazione è indicata da una tilde con pedice: (sim_ {a}).

Dati i modelli appuntiti di Kripke e l'interpretazione dell'indistinguibilità, abbiamo una specifica semantica di un concetto di conoscenza. Con questo approccio, possiamo costruire modelli di situazioni che coinvolgono la conoscenza, come abbiamo fatto con l'esempio giocattolo di Zoe e delle galline. Possiamo usare questi modelli per determinare cosa fa o non sa l'agente. Abbiamo anche le basi formali per iniziare a porre domande su come si sviluppa la conoscenza o l'incertezza dell'agente quando riceve nuove informazioni, un argomento studiato nella logica epistemica dinamica.

Potremmo anche porre domande più generali riguardo al concetto di conoscenza modellato usando modelli di Kripke appuntiti con relazioni indistinguibili: invece di guardare un modello particolare al momento e chiedere quali formule il modello diventa realtà, possiamo chiedere quali principi generali concordano tutti questi modelli sopra.

2.5 Principi epistemologici nella logica epistemica

Stabilirsi sulla corretta rappresentazione formale della conoscenza implica riflettere attentamente sui principi epistemologici a cui ci si impegna. Un esempio non controverso di un tale principio che la maggior parte dei filosofi accetterà è la veridicità:

Se una proposizione è nota, allora è vera.

[K_ {a} varphi / rightarrow / varphi.)

In un contesto formale questo principio può essere inteso nel senso che se (varphi) è noto, dovrebbe sempre essere soddisfatto nei propri modelli. Se si scopre che alcuni dei modelli scelti da qualcuno falsificano il principio di veridicità, la maggior parte dei filosofi considererebbe semplicemente inaccettabili quei modelli.

Tornando ai modelli Kripke appuntiti, ora possiamo chiedere a quali principi si impegnano questi modelli. Per iniziare a rispondere a questa domanda, dobbiamo comprendere le caratteristiche più generali del nostro formalismo. La strategia nella logica modale in generale (vedi Blackburn, de Rijke e Venema 2001) è quella di sottrarsi alle caratteristiche contingenti di un dato modello. Le caratteristiche potenziali includono, ad esempio, il numero specifico di mondi considerati, la valutazione specifica degli atomi e la scelta di un mondo reale. In questo caso, le uniche caratteristiche che non sono contingenti sono quelle richieste dalla definizione generale di un modello Kripke appuntito.

Per astrarre opportunamente, prendi un modello Kripke appuntito ((M, w) = (W, R, V, w)). Per determinare se la relazione di questo modello è una relazione di equivalenza, dobbiamo solo considerare i mondi e la relazione. La coppia di questi elementi costituisce il livello fondamentale del modello ed è chiamata cornice del modello:

Definizione: Sia ((M, w) = (W, R, V, w)) un modello Kripke appuntito. Quindi la coppia ((W, R)) viene chiamata frame di ((M, w)). Si dice che qualsiasi modello ((M ', w')) che condivide il frame ((W, R)) sia costruito su ((W, R)).

Considera di nuovo lo stato epistemico di Zoe dall'alto:

Quattro mondi di base tranne w2 è evidenziato e una freccia a due punte collega w2 e w1 e un'altra freccia a due punte collega w3 e w4. Ogni mondo ha anche una freccia che ritorna nello stesso mondo
Quattro mondi di base tranne w2 è evidenziato e una freccia a due punte collega w2 e w1 e un'altra freccia a due punte collega w3 e w4. Ogni mondo ha anche una freccia che ritorna nello stesso mondo

Diversi altri modelli possono essere costruiti sullo stesso telaio. I seguenti sono due esempi:

Quattro mondi di base tranne w3 (anziché w2) è evidenziato e una freccia a due punte collega w2 e w1 e un'altra freccia a due punte collega w3 e w4. Ogni mondo ha anche una freccia che ritorna nello stesso mondo. Inoltre w2 ha la coppia: p, q invece di p, non q
Quattro mondi di base tranne w3 (anziché w2) è evidenziato e una freccia a due punte collega w2 e w1 e un'altra freccia a due punte collega w3 e w4. Ogni mondo ha anche una freccia che ritorna nello stesso mondo. Inoltre w2 ha la coppia: p, q invece di p, non q
Quattro mondi di base tranne w4 (anziché w2 o w3) è evidenziato e una freccia a due punte collega w2 e w1 e un'altra freccia a due punte collega w3 e w4. Ogni mondo ha anche una freccia che ritorna nello stesso mondo. Inoltre w1 ha la coppia: non p, non q; w2, w3 e w4 hanno ciascuno la coppia: p, q
Quattro mondi di base tranne w4 (anziché w2 o w3) è evidenziato e una freccia a due punte collega w2 e w1 e un'altra freccia a due punte collega w3 e w4. Ogni mondo ha anche una freccia che ritorna nello stesso mondo. Inoltre w1 ha la coppia: non p, non q; w2, w3 e w4 hanno ciascuno la coppia: p, q

Con la nozione di frame, possiamo definire la nozione di validità degli interessi. È il secondo termine definito di seguito:

Definizione: si dice che una formula (varphi) è valida nel frame (F = (W, R)) iff ogni modello Kripke appuntito costruito su F soddisfa (varphi), cioè iff per ogni ((M, w) = (F, V, w) = (W, R, V, w)), ((M, w) vDash / varphi). Una formula (varphi) è valida sulla classe di frame (mathsf {F}) (scritta (mathsf {F} vDash / varphi)) iff (varphi) è valida in ogni frame F in (mathsf {F}).

L'insieme di formule valide su una classe di frame (mathsf {F}) è chiamato logicadi (mathsf {F}). Indica questa logica, ovvero l'insieme ({ varphi / in / mathcal {L} _ {K} colon / mathsf {F} vDash / varphi }) di (Lambda _ { mathsf {F }}). Questo è un approccio semantico alla definizione di logiche, ognuna solo una serie di formule. Si può anche definire la logica in modo teorico definendo una logica come l'insieme di formule dimostrabili in alcuni sistemi. Con le logiche come solo insiemi di formule, i risultati di solidità e completezza possono quindi essere espressi usando l'inserimento set. Per fare un esempio, sia (mathsf {A}) un insieme di assiomi e scrivi (mathsf {A} vdash / varphi) quando (varphi) è provabile da (mathsf {A}) utilizzando un determinato set di regole di detrazione. Consenti alla logica risultante di indicare l'insieme di teoremi (Lambda _ { mathsf {A}}). È l'insieme di formule da (mathcal {L} _ {K}) provabile da (mathsf {A}), ovveroil set ({ varphi / in / mathcal {L} _ {K} colon / mathsf {A} vdash / varphi }). La logica (Lambda _ { mathsf {A}}) è valida rispetto a (mathsf {F}) iff (Lambda _ { mathsf {A}} subseteq / Lambda _ { mathsf {F }}) e completare rispetto a (mathsf {F}) iff (Lambda _ { mathsf {F}} subseteq / Lambda _ { mathsf {A}}).[3]

Ritornando all'interpretazione indistinguibile della conoscenza, potremmo quindi cercare di trovare i principi epistemologici a cui l'interpretazione è impegnata. C'è una banale risposta di scarso interesse diretto: / \ / \ mathsf {EQ}) sia la classe di frame con relazioni di equivalenza. Quindi la logica dell'interpretazione dell'indistinguibilità è l'insieme di formule di (mathcal {L} _ {K}) che sono valide su (mathsf {EQ}), cioè l'insieme (Lambda _ { mathsf {EQ}}: = { varphi / in / mathcal {L} _ {K} colon / mathsf {EQ} vDash / varphi }). Non molto informativo.

Adottare un approccio assiomatico per specificare la logica, tuttavia, produce una presentazione in termini di principi di facile comprensione. Per iniziare con il più semplice, il principio T afferma che la conoscenza è fattuale: se l'agente conosce (varphi), allora (varphi) deve essere vero. Il K più ingombrante afferma che se l'agente conosce un'implicazione, quindi se l'agente conosce l'antecedente, conosce anche il conseguente. Cioè, se includiamo la regola di derivazione modus ponens (da (varphi / rightarrow / psi) e (varphi), concludiamo (psi)) come regola della nostra logica della conoscenza, K afferma che la conoscenza è chiuso sotto implicazione. Il principio B afferma che se (varphi) è vero, l'agente sa che considera (varphi) possibile. Infine, 4 afferma che se l'agente conosce (varphi), allora sa che conosce (varphi). T,B e 4 nella tabella seguente (i nomi sono storici e non tutti significativi).

(begin {align} textrm {K} & & (K_ {a} (varphi / rightarrow / psi) & / rightarrow (K_ {a} varphi / rightarrow K_ {a} psi) / \ textrm {T} & & K_ {a} varphi & / rightarrow / varphi \\ / textrm {B} & & varphi & / rightarrow K_ {a} widehat {K} _ {a} varphi \\ / textrm { 4} & & K_ {a} varphi & / rightarrow K_ {a} K_ {a} varphi \\ / end {align})

Al posto delle intuizioni epistemologiche, potremmo discutere un concetto di conoscenza discutendo questi e altri principi. Dovremmo accettare T come principio che segue la conoscenza? E gli altri? Prima di procedere, chiariamo innanzitutto in che modo i quattro principi di cui sopra si riferiscono all'interpretazione dell'indistinguibilità. Per fare ciò, abbiamo bisogno del concetto di una normale logica modale. Nella definizione di seguito, come nei principi di cui sopra, stiamo tecnicamente usando schemi di formula. Ad esempio, in (K_ {a} varphi / rightarrow / varphi), (varphi) è una variabile che va oltre le formule in (mathcal {L} _ {K}). Quindi, a rigor di termini, (K_ {a} varphi / rightarrow / varphi) non è una formula, ma uno schema per ottenere una formula. Un'istanza modale di (K_ {a} varphi / rightarrow / varphi) è quindi la formula ottenuta lasciando (varphi) una formula concreta da (mathcal {L} _ {K}). Ad esempio, (K_ {a} p / rightarrow p) e (K_ {a} (p / wedge K_ {a} q) rightarrow (p / wedge K_ {a} q)) sono entrambe istanze modali di T.

Definizione: Sia (Lambda / subseteq / mathcal {L} _ {K}) essere un insieme di formule modali. Quindi (Lambda) è una normale logica modale iff (Lambda) soddisfa tutti i seguenti elementi:

  1. (Lambda) contiene tutte le istanze modali delle tautologie proposizionali classiche.
  2. (Lambda) contiene tutte le istanze modali di K.
  3. (Lambda) è chiuso in modus ponens: Se (varphi / in / Lambda) e (varphi / rightarrow / psi / in / Lambda), quindi (psi / in / Lambda).
  4. (Lambda) è chiuso sotto generalizzazione (aka necessità): Se (varphi / in / Lambda), allora (K_ {a} varphi / in / Lambda).

Esiste una logica modale normale più piccola unica (dato l'insieme Atom) che contiene esattamente ciò che è richiesto dalla definizione e niente di più. Viene spesso chiamata la logica modale normale minima ed è indicata dal grassetto K (da non confondere con il non grassetto K che indica lo schema).

La logica K è solo un insieme di formule da (mathcal {L} _ {K}). Vale a dire, K (subseteq / mathcal {L} _ {K}). Punti 1.4. offre una prospettiva su questo set: forniscono un'assiomatizzazione. Spesso, come di seguito, lo schema K è indicato come un assioma, sebbene in realtà le istanze di K siano assiomi.

A K, possiamo aggiungere ulteriori principi come assiomi (schemi di assiomi) per ottenere logiche più forti (logiche che hanno teoremi aggiuntivi: Logiche (Lambda) per le quali K (subseteq / Lambda)). Di interesse immediato è la logica chiamata S5:

Definizione: la logica S5 è la più piccola logica modale normale contenente tutte le istanze modali di T, B e 4.

Ecco quindi la relazione tra i quattro principi sopra indicati e l'interpretazione dell'indistinguibilità:

Teorema 1: La logica S5 è la logica della classe di modelli Kripke appuntiti costruita su frame con relazioni di equivalenza. Vale a dire, (textbf {S5} = / Lambda _ { mathsf {EQ}}).

Cosa ci dice questo teorema rispetto ai principi della conoscenza? In una direzione ci dice che se uno accetta l'interpretazione indistinguibile, allora ha implicitamente accettato i principi K, T, B e 4 come ragionevoli per la conoscenza. Nella direzione opposta, ci dice che se si trova che S5 è la logica appropriata della conoscenza e si scopre che i modelli Kripke appuntiti sono il modo giusto di rappresentare semanticamente la conoscenza, allora si deve usare una relazione di equivalenza. Se uno debba interpretare questa relazione in termini di indistinguibilità, tuttavia, è una questione su cui la logica è silenziosa.

Nel discutere i principi per la conoscenza, può darsi che alcuni dei quattro precedenti sembrino accettabili, mentre altri no: Uno potrebbe non essere d'accordo con l'accettabilità di B e 4, diciamo, accettando K e T. Nel comprendere la relazione tra S5 ed equivalenza relazioni, una prospettiva più fine è utile: il teorema 1 può essere suddiviso in pezzi più piccoli che riflettono il contributo dei singoli principi K, T, 4 e B all'equivalenza richiesta, ovvero che la relazione dovrebbe essere allo stesso tempo riflessivo, simmetrico e transitivo.

Teorema 2: Sia (F = (W, R)) un frame. Poi:

  • Tutte le istanze modali di K sono valide in F.
  • Tutte le istanze modali di T sono valide in F se R è riflessivo.
  • Tutte le istanze modali di B sono valide in F se R è simmetrica.
  • Tutte le istanze modali di 4 sono valide in F se R è transitivo.

Ci sono un certo numero di intuizioni da ottenere dal Teorema 2. Innanzitutto, se si desidera utilizzare qualsiasi tipo di modello Kripke per acquisire conoscenza, quindi si deve accettare K. Saltando alcuni dettagli, si deve in effetti accettare la logica completa K poiché questa è la logica della classe di tutti i modelli Kripke (vedi, ad esempio, Blackburn, de Rijke e Venema 2001).

In secondo luogo, il teorema mostra che esiste una relazione intima tra i singoli principi epistemici e le proprietà della relazione. Questo, a sua volta, significa che uno, in generale, può avvicinarsi alla "logica" nella logica epistemica da due lati dalle intuizioni sulla relazione di accessibilità o dalle intuizioni sui principi epistemici.

In letteratura sono stati suggeriti diversi sistemi logici modali normali più deboli di S5. Qui, specifichiamo le logiche in base all'insieme dei loro assiomi modali. Ad esempio, la logica K è data da ({ text {K} }), mentre S5 è data da ({ text {K}, / text {T}, / text {B}, / text {4} }). Per stabilire la nomenclatura, la seguente tabella contiene una selezione di principi della letteratura con le proprietà della cornice che caratterizzano, cfr. Aucher (2014) e Blackburn, de Rijke e Venema (2001), sulla linea sotto di loro. Le condizioni del telaio non sono tutte semplici.

Nella tabella 1, il pedice su (R_ {a}) è omesso per facilitare la leggibilità, così come il dominio di quantificazione W su cui le variabili dei mondi (x, y, z) variano.

K

(K_ {a} (varphi / rightarrow / psi) rightarrow (K_ {a} varphi / rightarrow K_ {a} psi))

Nessuna: Non applicabile

D

(K_ {a} varphi / rightarrow / widehat {K} _ {a} varphi)

Seriale: (forall x / esiste y, xRy).

T

(K_ {a} varphi / rightarrow / varphi)

Riflessivo: (forall x, xRx).

4

(K_ {a} varphi / rightarrow K_ {a} K_ {a} varphi)

Transitive: (forall x, y, z, / text {if} xRy / text {and} yRz / text {, quindi} xRz).

B

(varphi / rightarrow K_ {a} widehat {K} _ {a} varphi)

Simmetrico: (forall x, y, / text {if} xRy / text {, quindi} yRx).

5

(neg K_ {a} varphi / rightarrow K_ {a} neg K_ {a} varphi)

Euclidean: (forall x, y, z, / text {if} xR_ {a} y / text {and} xR_ {a} z / text {, quindi} yRz).

.2

(widehat {K} _ {a} K_ {a} varphi / rightarrow K_ {a} widehat {K} _ {a} varphi)

Confluent: (forall x, y, / text {if } xRy / text {e} xRy ', / text {then} esiste z, yRz / text {e} y'Rz).

.3

((widehat {K} _ {a} varphi / wedge / widehat {K} _ {a} psi) rightarrow (widehat {K} _ {a} (varphi / wedge / widehat {K} _ {a} psi) vee / widehat {K} _ {a} (varphi / wedge / psi) vee / widehat {K} _ {a} (psi / wedge / widehat {K} _ {a } varphi)))

Nessuna ramificazione a destra: (forall x, y, z, / text {if} xRy / text {and} xRz, / text {then} yRz / text {or} y = z / text {o} zRy)

.3.2

((widehat {K} _ {a} varphi / wedge / widehat {K} _ {a} K_ {a} psi) rightarrow K_ {a} (widehat {K} _ {a} varphi / vee / psi))

Semi-Euclideo: (forall x, y, z,) if (xRy) e (xRz), quindi (zRx) o (yRz).

.4

((varphi / wedge / widehat {K} _ {a} K_ {a} varphi) rightarrow K_ {a} varphi)

Sconosciuto agli autori: Non applicabile

Tabella 1. Principi epistemici e condizioni quadro.

L'aggiunta di principi epistemici come assiomi alla logica modale normale minima minima K produce nuove logiche modali normali. Una selezione è:

K ({ Text {K} })
T ({ Text {K}, / text {T} })
D ({ Text {K}, / text {D} })
KD4 ({ Text {K}, / text {} D, / text {4} })
KD45 ({ Text {K}, / text {} D, / text {4}, / text {5} })
S4 ({ Text {K}, / text {T}, / text {4} })
S4.2 ({ Text {K}, / text {T}, / text {4}, / text {0,2} })
S4.3 ({ Text {K}, / text {T}, / text {4}, / text {0,3} })
S4.4 ({ Text {K}, / text {T}, / text {4}, / text {0,4} })
S5 ({ Text {K}, / text {T}, / text {5} })

Tabella 2. Nomi logici e assiomi

Diverse specifiche assiomatiche possono produrre la stessa logica. Si noti, ad esempio, che la specifica assiomatica della tabella ({ text {K}, / text {T}, / text {5} }) di S5 non corrisponde a quella fornita nella definizione precedente il teorema 1, ({ text {K}, / text {T}, / text {B}, / text {4} }). Si noti inoltre che esiste più di un'assiomatizzazione di S5: gli assiomi ({ text {K}, / text {T}, / text {5} }), ({ text {K}, / text {T}, / text {B}, / text {4} }), ({ text {K}, / text {D}, / text {B}, / text {4} }) e ({ text {K}, / text {D}, / text {B}, / text {5} }) danno tutti l' S5logica (cfr. ad es. Chellas 1980). Una variante spesso vista è ({ text {K}, / text {T}, / text {4}, / text {5} }). Tuttavia, è ridondante aggiungerlo poiché tutte le sue istanze possono essere provate da K, T e 5. Ma poiché sia la 4 che la 5 catturano importanti principi epistemici (vedere la Sezione 2.6), 4 è spesso inclusa per motivi di trasparenza filosofica. Per maggiori equivalenze tra logiche modali, vedi, ad esempio, la voce sulla logica modale o Chellas (1980) o Blackburn, de Rijke e Venema (2001).

Le logiche possono essere più forti o più deboli l'una dell'altra e conoscere le proprietà della struttura dei loro assiomi può aiutarci a capire la loro relazione. Ad esempio, poiché 4 è derivabile da ({ text {K}, / text {T}, / text {5} }), tutti i teoremi di S4 sono derivabili in S5. S5 è quindi forte almeno quanto S4. In effetti, S5 è anche strettamente più forte: può provare cose che S4 non può.

Che S5 può essere assiomatizzato sia da ({ text {K}, / text {T}, / text {B}, / text {4} }) e ({ text {K}, / text {T}, / text {5} }) può essere visto attraverso le proprietà del frame degli assiomi: ogni relazione riflessiva ed euclidea (T e 5) è una relazione di equivalenza (T, B e 4). Questo mostra anche la ridondanza di 4: se uno ha assunto una relazione riflessiva ed euclidea, allora non aggiunge nulla di nuovo per supporre che sia transitivo. In generale, avere una comprensione dell'interazione tra le proprietà relazionali è di grande aiuto nel vedere le relazioni tra le logiche modali. Ad esempio, notare che ogni relazione riflessiva è anche seriale significa che tutte le formule valide sulla classe dei modelli seriali sono valide anche sulla classe dei modelli riflessivi. Quindi, ogni teorema di D è quindi un teorema di T. Quindi T è forte almeno quanto D (cioè, (textbf {D} subseteq / textbf {T})). Che T sia anche strettamente più forte (non (textbf {T} subseteq / textbf {D})) può essere mostrato trovando un modello seriale, non riflessivo che non soddisfa alcuni teoremi di T (per esempio (K_ {a} p / rightarrow p)).

2.6 Principi di conoscenza e credo

Con lo sfondo formale della logica epistemica in atto, è semplice variare leggermente la struttura al fine di accogliere il concetto di credenza. Ritorna alla lingua (mathcal {L} _ {KB}) di conoscenza e credo:

(varphi: = p / mid / neg / varphi / mid (varphi / wedge / varphi) mid K_ {a} psi / mid B_ {a} psi, / text {for} p / in / textit {Atomo}.)

Per interpretare insieme le formule della conoscenza e delle convinzioni in modelli Kripke appuntiti, tutto ciò che serve è una relazione aggiuntiva tra mondi possibili:

Definizione: un modello Kripke appuntito per (mathcal {L} _ {KB}) è una tupla ((M, w) = (W, R_ {K}, R_ {B}, V, w)) dove

  • W è un insieme non vuoto di mondi possibili,
  • (R_ {K}) e (R_ {B}) sono relazioni binarie su W,
  • (V / colon / textit {Atom} longrightarrow / mathcal {P} (W)) è una valutazione e
  • (w / in W).

(R_ {K}) è la relazione per l'operatore della conoscenza e (R_ {B}) la relazione per l'operatore della credenza. La definizione non fa ulteriori ipotesi sulle loro proprietà. Nella figura seguente forniamo un'illustrazione, in cui le frecce sono etichettate in base alla relazione a cui corrispondono. Il ciclo riflessivo in (w_ {3}) è un'etichetta che indica che appartiene a entrambe le relazioni, ovvero, ((w_ {3}, w_ {3}) in R_ {K}) e ((w_ {3}, w_ {3}) in R_ {B}).

Quattro caselle etichettate w1 (contenente 'p'), w2 (contenente 'non p'), w3 (contenente 'p') e w4 (contenente 'non p'). w1 è evidenziato e una freccia, etichettata 'K', va da essa a w2. w2 ha frecce, ciascuna etichettata 'B', che indica w3 e w4. w3 ha una freccia, etichettata 'K, B', che riporta indietro ad essa
Quattro caselle etichettate w1 (contenente 'p'), w2 (contenente 'non p'), w3 (contenente 'p') e w4 (contenente 'non p'). w1 è evidenziato e una freccia, etichettata 'K', va da essa a w2. w2 ha frecce, ciascuna etichettata 'B', che indica w3 e w4. w3 ha una freccia, etichettata 'K, B', che riporta indietro ad essa

La relazione di soddisfazione è definita come sopra, ma con gli ovvi cambiamenti per conoscenza e convinzione:

((M, w) vDash K_ {a} varphi) iff ((M, w ') vDash / varphi) per tutti (w' / in W) tale che (wR_ {K } w ').

((M, w) vDash B_ {a} varphi) iff ((M, w ') vDash / varphi) per tutti (w' / in W) tale che (wR_ {B } w ').

L'interpretazione dell'indistinguibilità pone requisiti molto forti sulla relazione di accessibilità per la conoscenza. Questi sono stati ora eliminati e quindi non ha alcun impegno con i principi T, B, D, 4 e 5. Prendendo i modelli di Kripke come semantica di base, siamo ancora impegnati a K, sebbene questo principio non sia privo di problemi come vedremo più avanti in la nostra discussione sul problema dell'onniscienza logica.

Dei principi della Tabella 1, T, D, B, 4 e 5 sono stati discussi più ampiamente nella letteratura sulla logica epistemica, sia come principi per la conoscenza che come principi per la credenza. Il principio T per conoscenza

[K_ {a} varphi / rightarrow / varphi)

è ampiamente accettato. La conoscenza è comunemente considerata veridica, solo la vera proposizione può essere conosciuta. Ad esempio, Hintikka (1962) e Fagin et al. (1995), il fallimento di T per la convinzione è la differenza determinante tra le due nozioni.

Sebbene la credenza non sia comunemente considerata veridica, in genere le credenze sono considerate coerenti. Vale a dire, gli agenti sono presi per non credere mai alla contraddizione che è, qualsiasi formula equivalente a ((p / wedge / neg p)) o (bot), in breve. La convinzione che dovrebbe essere coerente viene quindi catturata dal principio

(neg B_ {a} bot.)

Il principio (neg B_ {a} bot) è, sui modelli Kripke, equivalente al principio D, (B_ {a} varphi / rightarrow / widehat {B} _ {a} varphi). Quindi la validità di (neg B_ {a} bot) richiede frame seriali. Testimonianza, ad esempio, il suo fallimento in (w_ {1}) sopra: Poiché non ci sono mondi accessibili attraverso (R_ {B}), tutti i mondi accessibili soddisfano (bot). Quindi (w_ {1}) soddisfa (B_ {a} bot), violando la coerenza. Nota anche che (neg B_ {a} bot) può essere riscritto in (widehat {B} _ {a} top), il che è vero in un mondo nel caso in cui un mondo sia accessibile attraverso (R_ {B}). La sua validità garantisce quindi la serialità.

Si noti che la veridicità della conoscenza ne garantisce la coerenza: qualsiasi fotogramma riflessivo è automaticamente seriale. Quindi accettare (K_ {a} varphi / rightarrow / varphi) implica accettare (neg K_ {a} bot).

Dei principi D, 4 e 5, i due ultimi hanno ricevuto molta più attenzione, sia per la conoscenza che per la credenza. Sono comunemente interpretati come il governo dell'accesso di principio ai propri stati mentali. I 4 principi

(begin {align} K_ {a} varphi & / rightarrow K_ {a} K_ {a} varphi \\ B_ {a} varphi & / rightarrow B_ {a} B_ {a} varphi \\ / end {align})

vengono spesso definiti principi di introspezione positiva o, per conoscenza, il principio "KK". Entrambi i principi sono ritenuti accettabili, ad esempio, da Hintikka (1962) per motivi diversi dall'introspezione. Sostiene basandosi su un'analisi autoepistemica della conoscenza, usando una semantica di mondi possibili non kripkea chiamata sistemi modello. Hintikka ritiene che quando un agente si impegna a conoscere (varphi), l'agente si impegna a mantenere lo stesso atteggiamento indipendentemente dalle nuove informazioni che l'agente incontrerà in futuro. Ciò implica che in tutte le alternative epistemiche dell'agente per Hintikka, tutti i set di modelli (descrizioni parziali di mondi possibili) in cui l'agente sa almeno quanto fanno ora l'agente sa ancora (varphi). Poiché (K_ {a} varphi) è quindi valido in tutte le alternative epistemiche dell'agente, Hintikka conclude che (K_ {a} K_ {a} varphi). Allo stesso modo Hintikka sostiene 4 per credenza, ma Lenzen solleva obiezioni (Lenzen 1978: cap. 4).

Williamson contesta l'accettabilità generale del principio (Williamson 2000: cap. 5) per un concetto di conoscenza basato su osservazioni leggermente inesatte, un cosiddetto principio del margine di errore (vedi, ad esempio, Aucher 2014 per un breve riassunto).

I 5 principi

(begin {align} neg K_ {a} varphi & / rightarrow K_ {a} neg K_ {a} varphi \\ / neg B_ {a} varphi & / rightarrow B_ {a} neg B_ {a} varphi \\ / end {align})

sono spesso indicati come principi di introspezione negativa. L'introspezione negativa è piuttosto controversa in quanto pone requisiti molto elevati in termini di conoscenza e credenza. Lo schema 5 può essere visto come un presupposto del mondo chiuso (Hendricks 2005): l'agente ha una panoramica completa di tutti i mondi possibili e le proprie informazioni. Se (neg / psi) è considerato possibile ((widehat {K} _ {a} neg / psi), ovvero, (neg K_ {a} psi)), l'agente sa che è considerato possibile ((K_ {a} neg K_ {a} psi)). Un'ipotesi del genere così chiusa è naturale quando si costruiscono agenti iper-razionali, ad esempio, nell'informatica o nella teoria dei giochi, in cui si presume che gli agenti ragionino il più duramente logicamente possibile delle proprie informazioni quando prendono decisioni.

Litigare contro 5 è Hintikka (1962), usando la sua concezione di alternative epistemiche. Avendo accettato T per conoscenza, 5 sta o cade assumendo una relazione di accessibilità simmetrica. Ma, sostiene Hintikka, la relazione di accessibilità non è simmetrica: se l'agente possiede una certa quantità di informazioni nel set di modelli (s_ {1}), allora il set di modelli (s_ {2}) dove l'agente ha imparato qualcosa more sarà un'alternativa epistemica a (s_ {1}). Ma (s_ {1}) non sarà un'alternativa epistemica a (s_ {2}), perché in (s_ {1}), per ipotesi, l'agente non conosce tanto quanto in (s_ {2}). Quindi la relazione non è simmetrica, quindi 5 non è un principio di conoscenza, per conto di Hintikka.

Data la semantica non standard di Hintikka, è un po 'difficile stabilire se accetterebbe una normale logica modale come logica della conoscenza e delle credenze, ma in tal caso, allora S4 e KD4 sarebbero i candidati più vicini (vedi Hendricks & Rendsvig 2018 per questo punto). Al contrario, per conoscenza von Kutschera ha sostenuto S4.4 (1976), Lenzen ha suggerito S4.2 (1978), van der Hoek ha sostenuto S4.3 (1993) e Fagin, Halpern, Moses e Vardi (1995) e molti altri usano S5 per conoscenza e KD45 per credenza.

Al di là dei principi che governano la conoscenza e dei principi che governano la credenza, si possono anche considerare i principi che regolano l'interazione tra conoscenza e credenza. Tre principi di interesse sono

(begin {align} tag * {KB1} K_ {a} varphi & / rightarrow B_ {a} varphi \\ / tag * {KB2} B_ {a} varphi & / rightarrow K_ {a} B_ {a} varphi \\ / tag * {KB3} B_ {a} varphi & / rightarrow B_ {a} K_ {a} varphi \\ / end {align})

I principi KB1 e KB2 sono stati introdotti da Hintikka, che sostiene entrambi Hintikka (1962) rilevando che Platone è anche impegnato con KB1 in Theatetus. Il primo principio, KB1, cattura l'intuizione che la conoscenza è una nozione più forte della credenza. Il secondo come 4 e 5 cattura l'idea che si abbia un accesso privilegiato alle proprie convinzioni. Il terzo, derivante da Lenzen (1978), cattura l'idea che le credenze siano mantenute con un qualche tipo di convinzione: se si ritiene che qualcosa si creda, si ritiene che sia noto.

Sebbene i principi di interazione KB1KB3 possano sembrare innocui da soli, possono portare a conclusioni controintuitive se combinati con logiche specifiche di conoscenza e credenza. In primo luogo, Voorbraak (1993) mostra che la combinazione di 5 per conoscenza e D per credenza con KB1, implica questo

[B_ {a} K_ {a} varphi / rightarrow K_ {a} varphi)

è un teorema della logica risultante. Supponendo che la conoscenza sia vera, questo teorema implica che gli agenti non possono credere di sapere qualcosa che sembra essere falso.

Se viene aggiunto anche KB3, le nozioni di conoscenza e convinzione crollano. Vale a dire, si può dimostrare che (B_ {a} varphi / rightarrow K_ {a} varphi), che, in combinazione con KB1, implica che

[B_ {a} varphi / leftrightarrow K_ {a} varphi.)

Quindi, le due nozioni sono crollate in una. Lo affermò nel 1986, Kraus e Lehmann.

Se uno non è interessato al collasso della conoscenza e delle convinzioni, si deve quindi rinunciare a qualcosa: non si possono avere sia 5 per conoscenza, D per credenza che KB1 e KB3 che governano la loro interazione. Ancora una volta, i risultati relativi alla corrispondenza tra principi e proprietà della relazione possono essere di aiuto: nel 1993, van der Hoek ha dimostrato, sulla base di un'analisi semantica, che laddove i quattro principi sono congiuntamente sufficienti per il collasso, nessun sottoinsieme di essi lo è. Rinunciare a un principio qualsiasi eliminerà così il collasso. Anche l'indebolimento di KB1 da conservare solo per le formule non modali è sufficiente per evitare il collasso (cfr. Halpern 1996).

Per ulteriori informazioni sui principi di interazione epistemica, i principi.2,.3,.3.2. e.4, e le relazioni con le cosiddette credenze condizionali, vedi Aucher (2014). Per un'introduzione alle credenze condizionate e alle relazioni con molti altri tipi di conoscenza della letteratura filosofica, vedi Baltag and Smets (2008). Quest'ultimo include anche una discussione sull'interdefinibilità di varie nozioni, così come Halpern, Samet e Segev (2009) per la conoscenza e la credenza (non condizionale).

3. Conoscenza nei gruppi

Noi esseri umani siamo preoccupati per gli stati epistemici di altri agenti. Nella vita ordinaria, ragioniamo con vari gradi di successo su ciò che gli altri sanno. Siamo particolarmente interessati a ciò che gli altri sanno di noi e spesso in particolare a ciò che sanno di ciò che sappiamo.

Sa che io so dove ha seppellito il tesoro?

Lei sa che io so che lei lo sa?

E così via.

La logica epistemica può rivelare interessanti caratteristiche epistemiche di sistemi che coinvolgono gruppi di agenti. In alcuni casi, ad esempio, i fenomeni sociali emergenti dipendono dal ragionamento degli agenti in modi particolari sulla conoscenza e le credenze di altri agenti. Come abbiamo visto, i sistemi tradizionali di logica epistemica si applicavano solo a casi di singolo agente. Tuttavia, possono essere estesi a gruppi o sistemi multi-agente in modo relativamente semplice.

Come ha osservato David Lewis nel suo libro Convention (1969), molti aspetti importanti della vita sociale dipendono dagli agenti che assumono che le regole di alcune pratiche siano questioni di conoscenza comune. Ad esempio, i conducenti sanno che un semaforo rosso indica che devono fermarsi a un incrocio. Tuttavia, affinché sia in atto la convenzione dei semafori, è innanzitutto necessario che i conducenti debbano anche sapere che altri conducenti sanno che il rosso significa stop. Inoltre, i conducenti devono anche sapere che tutti sanno che tutti sanno che … Il ruolo convenzionale dei semafori si basa su tutti i conducenti sapendo che tutti i conducenti conoscono la regola, che la regola è un pezzo di conoscenza comune.

Una varietà di norme, pratiche sociali e linguistiche, interazioni tra agenti e giochi presuppongono una conoscenza comune, prima formalizzata da Aumann (1976) e con i primi trattamenti logici epistemici di Lehmann (1984) e di Halpern e Moses (1984). Per vedere come la logica epistemica fa luce su questi fenomeni, è necessario introdurre un po 'più di formalismo. Seguendo il trattamento standard (vedi, ad esempio, Fagin et al. 1995), possiamo sintatticamente aumentare il linguaggio della logica proposizionale con n operatori di conoscenza, uno per ciascun agente coinvolto nel gruppo di agenti in esame. La differenza principale tra la semantica data per una semantica mono-agente e una multi-agente è approssimativamente che vengono introdotte n relazioni di accessibilità. Un sistema modale per n agenti si ottiene unendo n logiche modali dove per semplicità si può presumere che gli agenti siano omogenei nel senso che possono essere tutti descritti dallo stesso sistema logico. Una logica epistemica per n agenti consiste di n copie di una certa logica modale. In una logica epistemica così estesa è possibile esprimere che un agente del gruppo conosce un certo fatto che un agente sa che un altro agente conosce un fatto ecc. È possibile sviluppare ulteriormente la logica: non solo un agente può sapere che un altro agente conosce un dato di fatto, ma tutti possono conoscerlo contemporaneamente. In una logica epistemica così estesa è possibile esprimere che un agente del gruppo conosce un certo fatto che un agente sa che un altro agente conosce un fatto ecc. È possibile sviluppare ulteriormente la logica: non solo un agente può sapere che un altro agente conosce un dato di fatto, ma tutti possono conoscerlo contemporaneamente. In una logica epistemica così estesa è possibile esprimere che un agente del gruppo conosce un certo fatto che un agente sa che un altro agente conosce un fatto ecc. È possibile sviluppare ulteriormente la logica: non solo un agente può sapere che un altro agente conosce un dato di fatto, ma tutti possono conoscerlo contemporaneamente.

3.1 Lingue e modelli multi-agente

Per rappresentare la conoscenza di un insieme (mathcal {A}) di n agenti, per prima cosa stipuliamo una lingua. Sia (mathcal {L} _ {Kn}) dato dalla forma Backus-Naur

(varphi: = p / mid / neg / varphi / mid (varphi / wedge / varphi) mid K_ {i} varphi \, / text {for} p / in / textit {Atom}, i / in / mathcal {A}.)

Per rappresentare la conoscenza di tutti gli n agenti congiuntamente nei modelli Kripke appuntiti, è sufficiente aggiungere adeguatamente molte relazioni:

Definizione: un modello Kripke appuntito per (mathcal {L} _ {Kn}) è una tupla ((M, w) = (W, {R_ {i} } _ {i / in / mathcal { A}}, V, w)) dove

  • W è un insieme non vuoto di mondi possibili,
  • Per ogni (i / in / mathcal {A}), (R_ {i}) è una relazione binaria su W,
  • (V / colon / textit {Atom} longrightarrow / mathcal {P} (W)) è una valutazione e
  • (w / in W).

Per incorporare anche le credenze, è sufficiente applicare la stessa mossa del caso del singolo agente: aumentare la lingua e lasciare che ci siano due relazioni per ciascun agente.

La definizione utilizza una famiglia di relazioni ({R_ {i} } _ {i / in / mathcal {A}}). In letteratura, lo stesso è indicato con ((W, R_ {i}, V, w) _ {i / in / mathcal {A}}). In alternativa, R è considerata una funzione che invia agenti alle relazioni, ovvero (R: / mathcal {A / rightarrow} mathcal {P} (W / times W)). Quindi per ogni (i / in / mathcal {A}), (R (i)) è una relazione su W, spesso indicata con (R_ {i}). Queste sono scelte stilistiche.

Quando si considera un solo agente, in genere non è rilevante includere più mondi in W di quanti siano le possibili valutazioni degli atomi. In casi multi-agente, questo non è il caso: per esprimere le diverse forme di conoscenza di ordine superiore disponibile, sono necessarie molte copie dello "stesso" mondo. Facciamo un esempio per (mathcal {A} = {a, b }), (textit {Atom} = {p }) e ciascuno (R_ {i}, i / in / mathcal {A},) una relazione di equivalenza. Supponiamo che sia a che b conoscano p, ma b non sappia che a conosce p, ovvero, (K_ {a} p / wedge K_ {b} p / wedge / neg K_ {b} K_ {a} p). Quindi abbiamo bisogno di tre mondi:

Tre caselle etichettate w1 (contenente 'p'), w2 (contenente 'p') e w3 (contenente 'non p'). Ogni casella ha una freccia etichettata 'a, b' che la riporta indietro. w1 è evidenziato ed è collegato a w2 da una freccia a due punte etichettata 'b'. w2 è collegato a w3 da una freccia a due punte etichettata 'a'
Tre caselle etichettate w1 (contenente 'p'), w2 (contenente 'p') e w3 (contenente 'non p'). Ogni casella ha una freccia etichettata 'a, b' che la riporta indietro. w1 è evidenziato ed è collegato a w2 da una freccia a due punte etichettata 'b'. w2 è collegato a w3 da una freccia a due punte etichettata 'a'

Se proviamo a far interpretare (w_ {1}) il ruolo di (w_ {2}), allora perderemmo conoscenza in p: sono necessari entrambi i mondi p. In generale, se si presume che W abbia dimensioni fisse e finite, ci sarà una formula di informazioni di ordine superiore che non può essere soddisfatta in essa.

3.2 Nozioni di conoscenza del gruppo

I sistemi multi-agente sono interessanti per altri motivi oltre a rappresentare informazioni di ordine superiore. Le informazioni dei singoli agenti possono anche essere raccolte per catturare ciò che gli agenti sanno congiuntamente, come conoscenza di gruppo (vedi Baltag, Boddy e Smets 2018 per una recente discussione). Una nozione standard è che questo stile è conoscenza distribuita: la conoscenza che il gruppo avrebbe se gli agenti condividessero tutte le loro conoscenze individuali. Per rappresentarlo, aumenta la lingua (mathcal {L} _ {Kn}) con gli operatori

[D_ {G} text {for} G / subseteq / mathcal {A},)

rendere (D_ {G} varphi) una formula ben formata. Dove (G / subseteq / mathcal {A}) è un gruppo di agenti, la formula (D_ {G} varphi) legge che è distribuita conoscenza nel gruppo G che (varphi).

Per valutare (D_ {G} varphi), definiamo una nuova relazione tra quelle già presenti nel modello. L'idea alla base della definizione è che se un agente ha eliminato un mondo come alternativa epistemica, lo sarà anche il gruppo. Definire la relazione come intersezione delle relazioni dei singoli agenti:

[R_ {G} ^ {D} = / bigcap_ {i / in G} R_ {i})

Nel modello a tre stati, (R_ {G} ^ {D}) contiene solo i tre loop. Per valutare una formula di conoscenza distribuita, utilizzare lo stesso modulo utilizzato per altri operatori modali:

[(M, w) vDash D_ {G} varphi / text {iff} (M, w ') vDash / varphi / text {per tutti} w' / in W / text {tale che} wR_ {G } ^ {D} w'.)

Può darsi che un agente molto esperto sappia tutto ciò che è conoscenza distribuita in G, ma non è garantito. Per capire che tutti gli agenti conoscono (varphi), potremmo usare la congiunzione delle formule (K_ {i} varphi) per (in / mathcal {A}), cioè, (bigwedge_ {i / in / mathcal {a}} K_ {i} varphi). Questa è una formula ben definita se (mathcal {A}) è finito (come in genere lo è). Se (mathcal {A}) non è finito, allora (bigwedge_ {i / in / mathcal {A}} K_ {i} varphi) non è una formula in (mathcal {L} _ {Kn}), poiché ha solo congiunzioni finite. Come abbreviazione di (bigwedge_ {i / in / mathcal {A}} K_ {i} varphi), è standard introdurre l'operatore che tutti conoscono, (E_ {G}):

[E_ {G} varphi:. = / Bigwedge_ {i / in / mathcal {A}} K_ {i} varphi)

Nel modello a tre mondi, (K_ {a} p / wedge K_ {b} p), quindi (E _ { {a, b }} p).

Che tutti sappiano qualcosa non significa che questa conoscenza sia condivisa tra i membri del gruppo. Il modello dei tre mondi esemplifica questo: sebbene (E _ { {a, b }} p), è anche il caso che (neg K_ {b} E _ { {a, b }} p).

Per catturare che non ci sono incertezze nel gruppo su (varphi) né alcuna incertezza di ordine superiore sul fatto che (varphi) sia conosciuta da tutti gli agenti, nessuna formula nella lingua (mathcal {L} _ { Kn}) è abbastanza. Considera la formula

[E_ {G} ^ {k} varphi)

dove (E_ {G} ^ {k}) è l'abbreviazione di k iterazioni dell'operatore (E_ {G}). Quindi per nessun numero naturale k sarà sufficiente la formula (E_ {G} ^ {k} varphi): potrebbe essere il caso che b non lo sappia! Per correggere questa situazione, si potrebbe provare

(Bigwedge_ {k / in / mathbb {N}} E_ {G} ^ {k} varphi)

ma questa non è una formula poiché (mathcal {L} _ {Kn}) contiene solo congiunzioni finite.

Quindi, sebbene l'operatore (E_ {G}) sia definibile nella lingua (mathcal {L} _ {Kn}), una nozione adatta di conoscenza comune non lo è. Per questo, dobbiamo ancora definire una nuova relazione sul nostro modello. Questa volta, siamo interessati a catturare che nessuno considera (varphi) epistemicamente possibile ovunque. Per costruire la relazione, quindi, per prima cosa prendiamo l'unione delle relazioni di tutti gli agenti in G, ma questo non è abbastanza: per usare la clausola semantica modale standard, dobbiamo anche essere in grado di raggiungere tutti i mondi in questa relazione in un solo passo. Quindi, lascia

[R_ {G} ^ {C}: = / left (bigcup_ {i / in G} R_ {i} right) ^ {*})

dove ((cdotp) ^ {*}) è l'operazione di acquisizione della chiusura transitiva. Se R è una relazione, allora ((R) ^ {*}) è R più tutte le coppie mancanti per rendere R una relazione transitiva. Considera il modello a tre mondi: con la relazione (bigcup_ {i / in {a, b }} R_ {i}), possiamo raggiungere (w_ {3}) da (w_ {1}) in due passaggi, fermandosi a (w_ {2}). Con ((bigcup_ {i / in {a, b }} R_ {i}) ^ {*}), (w_ {3}) è raggiungibile in un solo passaggio: tramite il collegamento transitivo appena aggiunto da (w_ {1}) a (w_ {3}).

Per rappresentare la conoscenza comune, aumentare la forma Backus-Naur di (mathcal {L} _ {Kn}) con gli operatori

[C_ {G} text {for} G / subseteq / mathcal {A},)

rendere (C_ {G} varphi) una formula ben formata. Valuta tali formule con la clausola semantica

[(M, w) vDash C_ {G} varphi / text {iff} (M, w ') vDash / varphi / text {per tutti} w' / in W / text {tale che} wR_ {G } ^ {C} w'.)

Variando le proprietà delle relazioni di accessibilità (R_ {1}, R_ {2}, / ldots, R_ {n}), come descritto sopra, si ottengono diverse logiche epistemiche. Ad esempio il sistema K con conoscenza comune è determinato da tutti i frame, mentre il sistema S4 con conoscenza comune è determinato da tutti i frame riflessivi e transitivi. Risultati simili possono essere ottenuti per le restanti logiche epistemiche (Fagin et al. 1995). Per ulteriori informazioni, consultare la voce sulle conoscenze comuni.

4. Onniscienza logica

La principale lamentela contro l'approccio adottato dai logici epistemici è che si impegna in un quadro eccessivamente idealizzato del ragionamento umano. I critici si sono preoccupati che la semantica relazionale della logica epistemica si impegna a una proprietà di chiusura per la conoscenza di un agente che è plausibilmente forte date le reali capacità di ragionamento umano. Le proprietà di chiusura danno origine a quello che è diventato il problema dell'onniscienza logica:

Ogni volta che un agente c conosce tutte le formule in un set (Gamma) e A segue logicamente da (Gamma), allora c conosce anche A.

In particolare, c conosce tutti i teoremi (lasciando (Gamma = / emptyset)) e conosce tutte le conseguenze logiche di qualsiasi formula che l'agente conosce (lasciando (Gamma) costituito da una singola formula). La preoccupazione qui è che gli agenti finiti sono vincolati da limiti sulle loro capacità cognitive e capacità di ragionamento. Il resoconto della conoscenza e della convinzione a cui la logica epistemica sembra impegnata coinvolge abilità sovrumane come la conoscenza di tutte le tautologie. Pertanto, la preoccupazione è che la logica epistemica sia semplicemente inadatta a catturare la conoscenza e la credenza reali come queste nozioni figurano nella vita umana ordinaria.

Hintikka ha riconosciuto una discrepanza tra le regole della logica epistemica e il modo in cui il verbo "conoscere" è normalmente usato già nelle prime pagine di Conoscenza e Credenza. Lo ha sottolineato

è chiaramente inammissibile dedurre "sa che q" da "sa che p" solo sulla base che q segue logicamente da p, poiché la persona in questione potrebbe non vedere che p comporta q, in particolare se p e q sono dichiarazioni relativamente complicate. (1962: 30-31)

La prima reazione di Hintikka a quello che venne chiamato il problema dell'onniscienza logica fu di vedere la discrepanza tra l'uso ordinario di termini come "coerenza" e trattamenti formali della conoscenza come indicando un problema con la nostra terminologia ordinaria. Se una persona conosce gli assiomi di una teoria matematica, ma non è in grado di affermare le lontane conseguenze della teoria, Hintikka ha negato che sia appropriato definirla incoerente. Negli affari umani ordinari, sosteneva Hintikka, l'accusa di incoerenza quando diretta verso un agente ha la connotazione di essere irrazionale o disonesta. Pertanto, dal punto di vista di Hintikka dovremmo scegliere qualche altro termine per catturare la situazione di qualcuno che è razionale e suscettibile di persuasione o correzione ma non logicamente onnisciente. Non onnisciente,gli agenti razionali possono essere in grado di dire che "so che p ma non so se q" anche nel caso in cui q possa p. Suggerisce quindi che q dovrebbe essere considerato difendibile data la conoscenza dell'agente e che la negazione di q dovrebbe essere considerata indifendibile. Questa scelta della terminologia è stata criticata in quanto attribuisce il peggiorativo indifendibile a una serie di proposizioni, anche se la colpa risiede effettivamente nelle capacità cognitive dell'agente (Chisholm 1963; Hocutt 1972; Jago 2007).anche se la colpa sta proprio nelle capacità cognitive dell'agente (Chisholm 1963; Hocutt 1972; Jago 2007).anche se la colpa sta proprio nelle capacità cognitive dell'agente (Chisholm 1963; Hocutt 1972; Jago 2007).

La prima logica epistemica di Hintikka può essere intesa come un modo di ragionare su ciò che è implicito nella conoscenza di un agente anche nei casi in cui l'agente stesso non è in grado di determinare ciò che è implicito. Un simile approccio rischia di essere eccessivamente idealizzato e la sua rilevanza per comprendere le circostanze epistemiche umane può essere messa in discussione per questi motivi.

Pochi filosofi erano soddisfatti del tentativo di Hintikka di rivedere il nostro uso ordinario del termine "coerente" mentre lo presentava in Conoscenza e Credenza. Tuttavia, lui e altri presto fornirono modi più popolari di trattare l'onniscienza logica. Negli anni '70 le risposte al problema dell'onniscienza logica hanno introdotto entità semantiche che spiegano perché l'agente sembra essere, ma in realtà non è veramente colpevole di onniscienza logica. Hintikka ha definito queste entità "mondi possibili impossibili" (1979; vedi anche la voce sui mondi impossibili e Jago 2014). L'idea di base è che un agente possa erroneamente contare tra i mondi coerenti con la sua conoscenza, alcuni mondi che contengono contraddizioni logiche. L'errore è semplicemente un prodotto delle risorse limitate dell'agente;l'agente potrebbe non essere in grado di rilevare la contraddizione e potrebbe erroneamente considerarli come possibilità reali. Per alcuni aspetti, questo approccio può essere inteso come un'estensione della summenzionata risposta all'onniscienza logica che Hintikka aveva già delineato in Conoscenza e Credenza.

Nello stesso spirito, entità chiamate mondi "apparentemente possibili" sono introdotte da Rantala (1975) nella sua analisi dell'urna modello logico dell'onniscienza. Consentire mondi possibili impossibili o mondi apparentemente possibili in cui la valutazione semantica delle formule è arbitraria in una certa misura fornisce un modo per rendere meno minacciosa l'apparizione dell'onniscienza logica. Dopotutto, su qualsiasi conto realistico dell'agenzia epistemica, è probabile che l'agente consideri (anche se inavvertitamente) mondi in cui le leggi della logica non reggono. Poiché nessun vero e proprio principio epistemico è sufficientemente ampio da comprendere mondi impossibili e apparentemente possibili, alcune condizioni devono essere applicate a modelli epistemici in modo tale che siano coerenti con i principi epistemici (per critiche a questo approccio si veda Jago 2007: 336-337).

In alternativa alla progettazione di logiche in cui gli operatori della conoscenza non esibiscono onniscienza logica, la logica di consapevolezza offre un'alternativa: modificare l'interpretazione di (K_ {a} varphi) da "a know that (varphi)" a "a sa implicitamente che (varphi) "e prende esplicita conoscenza che (varphi) sia conoscenza implicita di (varphi) e consapevolezza di (varphi). Con consapevolezza non chiusa per conseguenza logica, tale mossa consente la nozione di conoscenza esplicita non logicamente onnisciente. Poiché gli agenti non devono calcolare la loro conoscenza implicita né possono essere ritenuti responsabili per rispondere alle domande basate su di essa, l'onniscienza logica è problematica solo per la conoscenza esplicita, quindi il problema dell'onniscienza logica è evitato. Sebbene l'onniscienza logica sia una condizione epistemologica per la conoscenza implicita,l'agente stesso potrebbe non riuscire a realizzare questa condizione. Per ulteriori informazioni sulla logica della consapevolezza, vedere, ad esempio, il seminale Fagin & Halpern (1987) o Velazquez-Quesada (2011) e Schipper (2015) per le rassegne.

Dibattiti sui vari tipi di idealizzazione coinvolti nella logica epistemica sono in corso sia in contesti filosofici che interdisciplinari.

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Altre risorse Internet

  • Il mondo di Hintikka, uno strumento grafico e pedagogico per l'apprendimento della logica epistemica, del ragionamento di ordine superiore e delle dinamiche della conoscenza.
  • Modal Logic Playground, un'interfaccia grafica per disegnare e valutare formule di logica proposizionale modale.
  • Hendricks, Vincent e John Symons, “Epistemic Logic”, Stanford Encyclopedia of Philosophy (Edizione primavera 2019), Edward N. Zalta (ed.), URL = . [Questa era la voce precedente su questo argomento nella Stanford Encyclopedia of Philosophy - vedi la cronologia delle versioni.]

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