Origini Moderne Della Logica Modale

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Origini moderne della logica modale

Pubblicato per la prima volta mar 16 nov 2010; revisione sostanziale lun 8 maggio 2017

La logica modale può essere vista in senso lato come la logica di diversi tipi di modalità, o modalità di verità: aletica ("necessariamente"), epistemica ("si sa che"), deontica ("dovrebbe essere il caso che"), o temporale ("è stato il caso che") tra gli altri. Le caratteristiche logiche comuni di questi operatori giustificano l'etichetta comune. In senso stretto, tuttavia, il termine "logica modale" è riservato alla logica delle modalità alettoniche, al contrario, ad esempio, della logica temporale o deontica. Da un punto di vista puramente tecnico, qualsiasi logica con operatori non-verità-funzionali, inclusa la logica del primo ordine, può essere considerata come una logica modale: in questa prospettiva anche i quantificatori possono essere considerati operatori modali (come a Montague 1960). Tuttavia, seguiamo la comprensione tradizionale delle logiche modali come non includendo la logica del primo ordine a tutti gli effetti. In questa prospettiva sono gli operatori modali che possono essere considerati quantificatori limitati, che vanno su entità speciali come mondi possibili o istanti temporali. Arthur Prior è stato uno dei primi filosofi / logici a sottolineare che il sistema modale S5 può essere tradotto in un frammento della logica del primo ordine, che ha chiamato "il calcolo monodico del predicato del primo ordine uniforme" (Prior and Fine 1977: 56). Monadico, poiché non è necessario stabilire relazioni tra mondi per S5; e uniforme poiché è necessaria una sola variabile per quantificare sui mondi (istanti) quando vincolati e per fare riferimento allo stato privilegiato (il mondo attuale o il tempo presente) quando liberi (vedere Priore e Fine 1977). Per quanto riguarda la questione tecnica di quali caratteristiche teoriche del modello caratterizzano le logiche modali intese come frammenti ben educati della logica del primo ordine, vedi "Modal Logic: A Semantic Perspective" di Blackburn e van Benthem (2007a).

Lo scopo di questa voce è il recente sviluppo storico della logica modale, inteso rigorosamente come la logica della necessità e della possibilità, e in particolare lo sviluppo storico di sistemi di logica modale, sia sintatticamente che semanticamente, dal lavoro pioneristico di CI Lewis a partire dal 1912, con i primi sistemi ideati nel 1918, per il lavoro di S. Kripke nei primi anni '60. In quel breve lasso di tempo di meno di cinquant'anni, la logica modale fiorì sia filosoficamente che matematicamente. Matematicamente, sono stati sviluppati diversi sistemi modali e i progressi dell'algebra hanno contribuito a promuovere la teoria dei modelli per tali sistemi. Ciò è culminato nello sviluppo di una semantica formale che ha esteso alla logica modale le tecniche teoriche del modello di primo ordine riuscite, offrendo così risultati di completezza e decidibilità per molti sistemi, ma non per tutti. Filosoficamente, la disponibilità di sistemi diversi e l'adozione della possibile semantica teorica modello-mondi sono state naturalmente accompagnate da riflessioni sulla natura della possibilità e della necessità, su tipi distinti di necessità, sul ruolo della semantica formale e sulla natura di i mondi possibili, per citarne solo alcuni. In particolare, la disponibilità di sistemi diversi pone in primo piano la questione filosofica di quale logica modale sia quella corretta, sotto una certa interpretazione intesa degli operatori modali, ad esempio, come necessità logica o metafisica. Quine ha insistentemente sollevato questioni relative all'interpretazione della logica modale, in particolare della logica modale quantificata. Tutte queste domande non sono perseguite in questa voce che è principalmente dedicata allo sviluppo formale della materia.la disponibilità di sistemi diversi e l'adozione della possibile semantica teorica modello-mondi sono state naturalmente accompagnate da riflessioni sulla natura di possibilità e necessità, su distinti tipi di necessità, sul ruolo della semantica formale e sulla natura della possibile mondi, per citarne solo alcuni. In particolare, la disponibilità di sistemi diversi pone in primo piano la questione filosofica di quale logica modale sia quella corretta, sotto una certa interpretazione intesa degli operatori modali, ad esempio, come necessità logica o metafisica. Quine ha insistentemente sollevato questioni relative all'interpretazione della logica modale, in particolare della logica modale quantificata. Tutte queste domande non sono perseguite in questa voce che è principalmente dedicata allo sviluppo formale della materia.la disponibilità di sistemi diversi e l'adozione della possibile semantica teorica modello-mondi sono state naturalmente accompagnate da riflessioni sulla natura di possibilità e necessità, su distinti tipi di necessità, sul ruolo della semantica formale e sulla natura della possibile mondi, per citarne solo alcuni. In particolare, la disponibilità di sistemi diversi pone in primo piano la questione filosofica di quale logica modale sia quella corretta, sotto una certa interpretazione intesa degli operatori modali, ad esempio, come necessità logica o metafisica. Quine ha insistentemente sollevato questioni relative all'interpretazione della logica modale, in particolare della logica modale quantificata. Tutte queste domande non sono perseguite in questa voce che è principalmente dedicata allo sviluppo formale della materia.

La logica modale è un argomento ricco e complesso. Questa voce non presenta un sondaggio completo di tutti i sistemi sviluppati e di tutti i risultati teorici del modello dimostrati nel lasso di tempo in esame. Offre tuttavia un'indagine significativa dei principali sistemi e mira a essere utile a coloro che cercano un profilo storico dell'argomento che, anche se non tutto compreso, delinea i risultati teorici del modello più interessante e indica ulteriori linee di esplorazione. Viene adottata l'utile divisione di Bull e Segerberg (1984: 3) delle fonti originali della logica modale in tre distinte tradizioni: sintattica, algebrica e teorica dei modelli. Per altre tradizioni meno influenti, vedi Bull e Segerberg (1984: 16). Vedi anche "Logica e filosofia modale" di Lindström e Segerberg (2007). L'obiettivo principale di questa voce è sulla logica modale proposizionale, mentre vengono discussi solo alcuni aspetti particolari della semantica della logica modale quantificata. Per un trattamento più dettagliato della logica modale quantificata, consultare la voce SEP sulla logica modale. Per quanto riguarda la notazione della voce, notare che (Rightarrow) è adottato al posto dell'amo di Lewis per implicazioni rigorose e (Leftrightarrow) per equivalenza rigorosa.

  • 1. La tradizione sintattica

    • 1.1 I sistemi di Lewis
    • 1.2 Altri sistemi e assiomatizzazioni alternative dei sistemi Lewis
  • 2. Il metodo Matrix e alcuni risultati algebrici
  • 3. La tradizione teorica modello

    • 3.1 Carnap
    • 3.2 Semantica dei mondi possibili di Kripke
  • Bibliografia

    • Testi introduttivi
    • Letteratura primaria
    • Letteratura secondaria
  • Strumenti accademici
  • Altre risorse Internet
  • Voci correlate

1. La tradizione sintattica

In un articolo pionieristico del 1912 su Mind "Implication and the Algebra of Logic", CI Lewis iniziò a esprimere le sue preoccupazioni sui cosiddetti "paradossi dell'implicazione materiale". Lewis sottolinea che nel Principia Mathematica di Russell e Whitehead troviamo due "teoremi sorprendenti: (1) una proposizione falsa implica qualsiasi proposizione, e (2) una proposizione vera è implicita da qualsiasi proposizione" (1912: 522). In simboli:

(tag {1} neg p / rightarrow (p / rightarrow q))

e

(tag {2} p / rightarrow (q / rightarrow p))

Lewis non ha obiezioni a questi teoremi in sé e per sé:

Di per sé, non sono né detti misteriosi, né grandi scoperte, né assurdità grossolane. Esibiscono solo, a grandi linee, il significato di "implica" che è stato incorporato nell'algebra. (1912: 522)

Tuttavia, i teoremi sono inadeguati rispetto al significato inteso di "implicazione" e ai nostri modi di inferenza reali che il significato inteso cerca di catturare. Quindi Lewis ha in mente un significato inteso per il connettivo condizionale (rightarrow) o (supset), e questo è il significato della parola inglese "implica". Il significato di "implica" è quello di "inferenza e prova ordinaria" (1912: 531) secondo cui una proposizione implica un'altra proposizione se la seconda può essere logicamente dedotta dalla prima. Data tale interpretazione, (1) e (2) non dovrebbero essere teoremi, e la logica proposizionale può essere considerata non corretta rispetto alla lettura di (rightarrow) come implicazione logica. Considera (2) ad esempio:dalla pura verità di una proposizione (p) non segue (logicamente) che (p) segue logicamente da qualsiasi proposizione di sorta. Inoltre, data la lettura voluta e rigorosa di (rightarrow) come implicazione logica e l'equivalenza di ((neg p / rightarrow q)) e ((p / vee q)), Lewis deduce tale disgiunzione anche a questo deve essere dato un nuovo senso intenzionale, secondo il quale ((p / vee q)) vale solo nel caso in cui (p) non fosse il caso dovrebbe essere il caso che (q).

Considerazioni di questo tipo, basate sulla distinzione tra letture estensive e intenzionali dei connettivi, non erano originali per Lewis. Già nel 1880 Hugh MacColl nel primo di una serie di otto articoli sul ragionamento simbolico pubblicati su Mind affermava che ((p / rightarrow q)) e ((neg p / vee q)) non sono equivalenti: ((neg p / vee q)) segue da ((p / rightarrow q)), ma non viceversa (MacColl 1880: 54). Questo è il caso perché MacColl interpreta (vee) come disgiunzione estensionale regolare e (rightarrow) come implicazione intenzionale, ma poi dalla falsità di (p) o dalla verità di (q) esso non segue che (p) senza (q) è logicamente impossibile. Nel secondo documento della serie, MacColl distingue tra certezze, possibilità e dichiarazioni variabili,e introduce le lettere greche come indici per classificare le proposizioni. Quindi (alpha ^ { varepsilon}) esprime che (alpha) è una certezza, (alpha ^ { eta}) che (alpha) è un'impossibilità e (alpha ^ { theta}) that (alpha) è una variabile, cioè, né una certezza né un'impossibilità (MacColl 1897: 496–7). Utilizzando questa triplice classificazione delle dichiarazioni, MacColl procede alla distinzione tra implicazioni causali e implicite generali. Un'implicazione causale vale tra le dichiarazioni (alpha) e (beta) se ogni volta che (alpha) è vero (beta) è vero e (beta) non è una certezza. Un'implicazione generale vale tra (alpha) e (beta) ogni volta che (alpha) e non (- / beta) è impossibile, quindi in particolare ogni volta che (alpha) è impossibile o (beta) una certezza (1897: 498). L'uso degli indici ha aperto le porte all'iterazione delle modalità e l'inizio del terzo documento della serie (MacColl 1900: 75–6) è dedicato a chiarire il significato delle dichiarazioni con indici iterati, tra cui (tau) per verità e (iota) per negazione. Ad esempio, (A ^ { eta / iota / varepsilon}) viene letto come "È certo che è falso che A sia impossibile" (si noti che gli indici vengono letti da destra a sinistra). È interessante notare che la recensione di Bertrand Russell del 1906 del libro Symbolic Logic e le sue applicazioni (1906) di MacColl rivela che Russell non capiva l'idea modale della variabilità di una proposizione, quindi erroneamente attribuita a MacColl una confusione tra frasi e proposizioni che permetteva l'attribuzione della variabilità solo alle frasi il cui significato, quindi il valore della verità, non è stato fissato. Allo stesso modo,la certezza e l'impossibilità sono per Russell proprietà materiali delle funzioni proposizionali (vere di tutto o di niente) e non proprietà modali delle proposizioni. Si potrebbe dire che il lavoro di MacColl è arrivato troppo presto e non è stato ascoltato. In effetti, Rescher riferisce della dichiarata difficoltà di Russell nel comprendere il simbolismo di MacColl e, cosa ancora più importante, sostiene che la visione della logica di Russell ebbe un impatto negativo sullo sviluppo della logica modale ("Bertrand Russell e Modal Logic" in Rescher 1974: 85–96). Nonostante il precedente lavoro di MacColl, Lewis può essere considerato il padre della tradizione sintattica, non solo per la sua influenza sui logici successivi, ma soprattutto per la sua introduzione di vari sistemi contenenti i nuovi connettivi intenzionali.

1.1 I sistemi di Lewis

In "The Calculus of Strict Implication" (1914) Lewis suggerisce due possibili alternative al sistema di estensione di Whitehead e Principia Mathematica di Russell. Un modo per introdurre un sistema di implicazioni rigorose consiste nell'eliminare dal sistema quei teoremi che, come (1) e (2) sopra, sono veri solo per l'implicazione materiale ma non per l'implicazione rigorosa, ottenendo così un sistema sonoro sia per il materiale che per implicazione rigorosa, ma in nessun caso completa. La seconda, più fruttuosa alternativa consiste nell'introdurre un nuovo sistema di implicazioni rigorose, ancora modellato sul sistema di implicazioni materiali di Whitehead e Russell, che conterrà (in tutto o in parte) la logica proposizionale estensiva come parte propria, ma aspirando alla completezza per almeno un'implicazione rigorosa. Questa seconda opzione è ulteriormente sviluppata in A Survey of Symbolic Logic (1918). Lì Lewis introduce un primo sistema inteso a catturare il senso ordinario e rigoroso dell'implicazione, guidato dall'idea che:

A meno che "implica" non abbia un significato "corretto", non vi è alcun criterio di validità, nessuna possibilità nemmeno di discutere la questione se ce ne sia o meno. Eppure la domanda Qual è il significato "corretto" di "implica"? rimane particolarmente difficile. (1918: 325)

Il sistema del 1918 prende come primitiva la nozione di impossibilità ((neg / Diamond)), definisce l'operatore di stretta implicazione nei suoi termini e impiega ancora un operatore di disgiunzione intenzionale. Tuttavia, Post dimostrerà che questo sistema porta al collasso della necessità alla verità - in alternativa, dell'impossibilità alla falsità - poiché da uno dei suoi teoremi (((p / Rightarrow q) Leftrightarrow (neg / Diamond q / Rightarrow / neg / Diamond p))) si può dimostrare che ((neg p / Leftrightarrow / neg / Diamond p)). Nel 1920, "Strict Implication-An Emendation", Lewis risolve il sistema sostituendo il vecchio assioma il più debole: ((((p / Rightarrow q) Rightarrow (neg / Diamond q / Rightarrow / neg / Diamond p))). Infine, nell'Appendice II del volume Symbolic Logic di Lewis e Langford (1932:492–502) "La struttura del sistema di implicazione rigorosa" al sistema del 1918 viene data una nuova base assiomatica.

Nell'appendice del 1932, Lewis introduce cinque diversi sistemi. Il simbolo primitivo modale è ora l'operatore della possibilità (Diamond), implicazione rigorosa ((p / Rightarrow q)) è definito come (neg / Diamond (p / wedge / neg q)), e (vee) è la normale disgiunzione estensiva. L'operatore di necessità (Box) può anche essere introdotto e definito, sebbene Lewis non lo faccia, come al solito come (neg / Diamond / neg).

Dove (p, q) e (r) sono variabili proposizionali, il Sistema S1 ha i seguenti assiomi:

Assiomi per S1

(begin {align} tag {B1} (p / wedge q) & / Rightarrow (q / wedge p) / \ tag {B2} (p / wedge q) & / Rightarrow p \\ / tag {B3 } p & / Rightarrow (p / wedge p) / \ tag {B4} ((p / wedge q) wedge r) & / Rightarrow (p / wedge (q / wedge r)) / \ tag {B5} p & / Rightarrow / neg / neg p \\ / tag {B6} ((p / Rightarrow q) wedge (q / Rightarrow r)) & / Rightarrow (p / Rightarrow r) / \ tag {B7} (p / wedge (p / Rightarrow q)) & / Rightarrow q \\ / end {align})

Axiom B5 è stato dimostrato ridondante da McKinsey (1934) e può quindi essere ignorato.

Le regole sono (1932: 125–6):

Regole per S1

Sostituzione uniforme

Una formula valida rimane valida se una formula viene sostituita uniformemente in essa con una variabile proposizionale.

Sostituzione di equivalenti rigorosi

È possibile sostituire una delle due formule strettamente equivalenti.

Aggiunta

Se (Phi) e (Psi) sono stati dedotti, allora (Phi / wedge / Psi) può essere dedotto.

Inferenza rigorosa

Se (Phi) e (Phi / Rightarrow / Psi) sono stati dedotti, allora (Psi) può essere dedotto.

Il sistema S2 è ottenuto dal sistema S1 aggiungendo quello che Lewis chiama "il postulato di coerenza", poiché ovviamente vale per (Diamond) interpretato come coerenza:

(tag {B8} Diamond (p / wedge q) Rightarrow / Diamond p)

Il sistema S3 si ottiene dal sistema S1 aggiungendo l'assioma:

(tag {A8} ((p / Rightarrow q) Rightarrow (neg / Diamond q / Rightarrow / neg / Diamond p)))

Il sistema S3 corrisponde al sistema di A Survey del 1918, che Lewis inizialmente considerava il sistema corretto per implicazioni rigorose. Nel 1932, Lewis è arrivato a preferire il sistema S2. Il motivo, come riportato in Lewis 1932: 496, è che sia Wajsberg che Parry derivarono nel sistema S3 - nella sua assiomatizzazione del 1918 - il seguente teorema:

[(p / Rightarrow q) Rightarrow ((q / Rightarrow r) Rightarrow (p / Rightarrow r)),)

che secondo Lewis non dovrebbe essere considerato un valido principio di detrazione. Nel 1932 Lewis non è sicuro che il discutibile teorema non sia derivabile in S2. Se così fosse, allora giudicherebbe S1 come il sistema adeguato per una stretta implicazione. Tuttavia, Parry (1934) dimostrerà in seguito che né A8 né

[(p / Rightarrow q) Rightarrow ((q / Rightarrow r) Rightarrow (p / Rightarrow r)))

può essere derivato in S2.

Un ulteriore assioma di esistenza può essere aggiunto a tutti questi sistemi:

(tag {B9} (esiste p, q) (neg (p / Rightarrow q) wedge / neg (p / Rightarrow / neg q)))

L'aggiunta di B9 rende impossibile interpretare (Rightarrow) come implicazione materiale, poiché nel caso di implicazione materiale si può dimostrare che per qualsiasi proposizione (p) e (q, ((p / rightarrow q) vee (p / rightarrow / neg q))) (1932: 179). Da B9 Lewis procede a dedurre l'esistenza di almeno quattro proposizioni logicamente distinte: una vera e necessaria, una vera ma non necessaria, una falsa e impossibile, una falsa ma non impossibile (1932: 184–9).

Dopo Becker (1930), Lewis considera altri tre assiomi:

Tre assiomi aggiuntivi

(begin {align} tag {C10} neg / Diamond / neg p & / Rightarrow / neg / Diamond / neg / neg / Diamond / neg p \\ / tag {C11} Diamond p & / Rightarrow / neg / Diamond / neg / Diamond p \\ / tag {C12} p & / Rightarrow / neg / Diamond / neg / Diamond p \\ / end {align})

Il sistema S4 aggiunge l'assioma C10 alla base di S1. Il sistema S5 aggiunge l'assioma C11, o in alternativa C10 e C12, alla base di S1. Lewis conclude l'Appendice II osservando che lo studio della logica è meglio servito concentrandosi su sistemi più deboli di S5 e non esclusivamente su S5.

Sorgono anche paradossi con implicazioni rigorose simili a quelli con implicazioni materiali. Dato che l'implicazione rigorosa ((p / Rightarrow q)) è definita come (neg / Diamond (p / wedge / neg q)), ne consegue che una proposizione impossibile implica qualcosa e che una proposizione necessaria è implicita da qualsiasi cosa. Lewis sostiene che questo è come dovrebbe essere. Poiché l'impossibilità è considerata l'impossibilità logica, cioè, in definitiva, una contraddizione, Lewis sostiene che da una proposizione impossibile come ((p / wedge / neg p)), sia (p) che (neg p) Seguire. Da (p) possiamo derivare ((p / vee q)), per qualsiasi proposizione (q). Da (neg p) e ((p / vee q)), possiamo derivare (q) (1932: 250). L'argomento è controverso poiché si potrebbe pensare che il principio ((p / Rightarrow (p / vee q))) non dovrebbe essere un teorema di un sistema che mira ad esprimere implicazioni ordinarie (vedi, ad esempio, Nelson 1930: 447). Qualunque sia il merito di questa argomentazione, coloro che non erano d'accordo con Lewis iniziarono a sviluppare una logica di coinvolgimento basata sul presupposto che il coinvolgimento richiedesse qualcosa di più della stretta implicazione di Lewis. Vedi, ad esempio, Nelson 1930, Strawson 1948 e Bennett 1954. Vedi anche la voce SEP sulla logica di pertinenza.

Si noti che è stata la ricerca di Lewis di un sistema in grado di esprimere un'implicazione rigorosa che ha fatto sì che Quine respingesse i sistemi modali basati su una confusione di menzione d'uso nella misura in cui tali sistemi erano formulati per esprimere a livello di oggetto nozioni teoriche o semantiche di prova come coerenza, implicazione, derivabilità e teorema (in effetti, ogni volta che (p / rightarrow q) è un teorema proposizionale, il sistema S1, e quindi anche tutti gli altri sistemi di Lewis più forti, possono dimostrare (p / Rightarrow q) (Parry 1939: 143)).

1.2 Altri sistemi e assiomatizzazioni alternative dei sistemi Lewis

Gödel in "Un'interpretazione del calcolo proposizionale intuitivo" (1933) è il primo a proporre un'assiomatizzazione alternativa del sistema di Lewis S4 che separa le basi proposizionali del sistema dagli assiomi e dalle regole modali. Gödel aggiunge le seguenti regole e assiomi al calcolo proposizionale.

(begin {align *} tag {Necessitation} textrm {If} mvdash / alpha & / textrm {then} mvdash / Box / alpha, \\ / tag {Axiom K} mvdash / Box (p / rightarrow q) & / rightarrow (Box p / rightarrow / Box q), \\ / tag {Axiom T} mvdash / Box p & / rightarrow p / textrm {e} / \ tag {Axiom 4} mvdash / Casella p & / rightarrow / Box / Box p. \\ / end {align *})

Inizialmente, Gödel impiega un operatore (B) di provabilità per tradurre i connettivi intuizionistici primitivi di Heyting, e quindi osserva che se sostituiamo (B) con un operatore di necessità otteniamo il sistema S4. Gödel afferma inoltre che una formula (Box p / vee / Box q) non è provabile in S4 a meno che (Box p) o (Box q) non sia provabile, analogamente alla disgiunzione intuitiva. L'affermazione di Gödel sarà provata algebricamente da McKinsey e Tarski (1948). La breve nota di Gödel è importante per iniziare la fruttuosa pratica di assiomatizzare i sistemi modali che separano il calcolo proposizionale dalla parte strettamente modale, ma anche per collegare la logica intuizionista e modale.

Feys (1937) è il primo a proporre il sistema T sottraendo l'assioma 4 dal sistema S4 di Gödel (vedi anche Feys 1965: 123–124). In An Essay in Modal Logic (1951) von Wright discute le modalità aletica, epistemica e deontica e introduce il sistema M, che Sobociński (1953) dimostrerà di essere equivalente al sistema T di Feys. Von Wright (1951: 84-90) dimostra che il sistema M contiene di Lewis S2, che contiene S1 -il sistema S si dice che contenga sistema S ' se tutte le formule dimostrabili in S' può essere verificata in S troppo. Sistema S3, un'estensione di S2, non è contenuto in M. Né M contenuto in S3. Von Wright trova S3 di scarso interesse indipendente e non vede alcun motivo per adottare S3 invece di S4 più forte. In generale, i sistemi di Lewis sono numerati in ordine di forza, con S1 il più debole e S5 il più forte, i sistemi più deboli sono contenuti in quelli più forti.

Lemmon (1957) segue anche Gödel nell'assiomatizzare i sistemi modali su una base di calcolo proposizionale e presenta un'assiomatizzazione alternativa dei sistemi di Lewis. Laddove il PC è la base di calcolo proposizionale, il PC può essere caratterizzato come le tre seguenti regole (1957: 177):

Una caratterizzazione del calcolo proposizionale PC

  • PCa Se (alpha) è una tautologia, allora (mvdash / alpha)
  • Sostituzione PCb per variabili proposizionali
  • PCc Distacco materiale / Modus Ponens: se (alpha) e (alpha / rightarrow / beta) sono tautologie, allora lo è anche (beta)

Ulteriori regole nel sistema Lemmon sono:

  • (a) If (mvdash / alpha) then (mvdash / Box / alpha) (Necessitazione)
  • (a ') Se (alpha) è una tautologia o un assioma, allora (mvdash / Box / alpha)
  • (b) Se (mvdash / Box (alpha / rightarrow / beta)) quindi (mvdash / Box (Box / alpha / rightarrow / Box / beta))
  • (b ') Sostituibilità di equivalenti rigorosi.

Ulteriori assiomi nel sistema di Lemmon sono:

(begin {align} tag {1} Box (p / rightarrow q) & / rightarrow / Box (Box p / rightarrow / Box q) / \ tag {1 '} Box (p / rightarrow q) & / rightarrow (Box p / rightarrow / Box q) & / textrm {(Axiom K)} / \ tag {2} Box p & / rightarrow p & / textrm {(Axiom T)} / \ tag { 3} (Box (p / rightarrow q) wedge / Box (q / rightarrow r)) & / rightarrow / Box (p / rightarrow r) / \ end {align})

Usando le regole e gli assiomi sopra citati Lemmon definisce quattro sistemi. Sistema P1, che si è dimostrato equivalente al sistema Lewis S1, impiega la base proposizionale (PC), le regole (a ') - necessità di tautologie e assiomi - e (b') e assiomi (2) e (3). Il sistema P2, equivalente a S2, impiega (PC), regole (a ') e (b) e assiomi (2) e (1'). Il sistema P3, equivalente a S3, impiega (PC), regola (a ') e assiomi (2) e (1). Il sistema P4, equivalente a S4, impiega (PC), regola (a) e assiomi (2) e (1). Nell'assiomatizzazione di Lemmon è facile vedere che S3 e il sistema M di von Wright (Feys ' T) non sono inclusi l'uno nell'altro, data la più forte regola di necessità di M e l'assioma più forte di S3 (1) al posto di (1') = K. In generale, l'assiomatizzazione di Lemmon rende più evidenti le distinzioni logiche tra i diversi sistemi di Lewis.

Lemmon considera anche alcuni sistemi più deboli di S1. Di particolare interesse è il sistema S0.5 che indebolisce S1 sostituendo la regola (a ') con la regola più debole (a ″):

(a ″) Se (alpha) è una tautologia, allora (mvdash / Box / alpha)

Lemmon interpreta il sistema S0.5 come un metalogico formalizzato del calcolo proposizionale, dove (Box / alpha) viene interpretato come "(alpha) è una tautologia".

Definiamo "normali" i sistemi che includono PC, assioma K e la regola della necessità. Il sistema K è il più piccolo sistema normale. Sistema T aggiunge assioma T per il sistema K. Il sistema B (il sistema Brouwersche) aggiunge l'assioma B

(mvdash p / Rightarrow / Box / Diamond p / quad / textrm {(equivalente a C12 di Becker)})

al sistema T. S4 aggiunge assioma 4 (equivalente al C10 di Becker) al sistema T. S5 aggiunge gli assiomi B e 4, o in alternativa l'assioma E

(mvdash / Diamond p / Rightarrow / Box / Diamond p / quad / textrm {(equivalente alla C11 di Becker)})

al sistema T. I sistemi S1, S2 e S3 di Lewis non sono normali dato che non contengono la regola della Necessitazione. Per la relazione tra questi (e altri) sistemi e le condizioni sui frame che gli assiomi impongono, consultare la voce SEP sulla logica modale.

Solo alcune delle molte estensioni dei sistemi di Lewis che sono state discusse in letteratura sono menzionate qui. Alban (1943) introdusse il sistema S6 aggiungendo a S2 l'assioma (mvdash / Diamond / Diamond p). Halldén (1950) chiama S7 il sistema che aggiunge l'assioma (mvdash / Diamond / Diamond p) a S3 e S8 il sistema che estende S3 con l'aggiunta dell'assioma (mvdash / neg / Diamond / neg / Diamante / Diamante p). Mentre l'aggiunta di un assioma di possibilità universale (mvdash / Diamond p) sarebbe incompatibile con tutti i sistemi di Lewis, poiché contengono tutti teoremi della forma (mvdash / Box p), sistemi S6, S7 e S8 sono coerenti. Invece, l'aggiunta di uno di questi assiomi a S4, e quindi anche a S5, si traduce in un sistema incoerente, dato che in S4 (mvdash / Diamond / Diamond p / Rightarrow / Diamond p). Halldén ha anche dimostrato che una formula è un teorema di S3 se e solo se è un teorema di S4 e S7 (1950: 231–232), quindi S4 e S7 sono due estensioni alternative di S3.

2. Il metodo Matrix e alcuni risultati algebrici

In "Osservazioni filosofiche su molti sistemi di logica proposizionale" (1930. Ma Łukasiewicz 1920 è una versione polacca preliminare delle idee principali di questo documento), Łukasiewicz dice:

Quando ho riconosciuto l'incompatibilità dei teoremi tradizionali sulle proposizioni modali nel 1920, mi sono occupato di stabilire il sistema del normale calcolo proposizionale "a due valori" mediante il metodo a matrice. Mi sono soddisfatto all'epoca che tutte le tesi del calcolo proposizionale ordinario potevano essere dimostrate supponendo che le loro variabili proposizionali potessero assumere solo due valori, "0" o "il falso", e "1" o "il vero". (1970: 164)

Questo passaggio illustra bene come Łukasiewicz stesse pensando alla logica nei primi anni Venti. In primo luogo, stava pensando in termini algebrici, piuttosto che sintatticamente, a preoccuparsi non tanto della costruzione di nuovi sistemi, ma della valutazione dei sistemi relativamente a insiemi di valori. In secondo luogo, stava introducendo matrici a tre valori per fare spazio logico alla nozione di proposizioni (eminentemente relative a contingenti futuri) che non sono né vere né false e che ricevono il nuovo valore indeterminato ½. Ironia della sorte, lavori successivi che impiegano il suo metodo a matrice originale mostreranno che la speranza di trattare la logica modale come un sistema a tre valori non può essere realizzata. Vedi anche la voce SEP sulla logica a molti valori.

Una matrice per una logica proposizionale L è data da (i) un insieme K di elementi, i valori di verità, (ii) un sottoinsieme non vuoto (D / subseteq K) di valori di verità designati e (iii) operazioni sull'insieme K, ovvero funzioni da (n) - tuple di valori di verità a valori di verità, che corrispondono ai connettivi di L. Una matrice soddisfa una formula A sotto un'assegnazione (sigma) di elementi di K alle variabili di A se il valore di A sotto (sigma) è un membro di D, ovvero un valore designato. Una matrice soddisfa una formula se la soddisfa in ogni incarico (sigma). Una matrice per una logica modale M estende una matrice per una logica proposizionale aggiungendo una funzione unaria che corrisponde al connettivo (Diamond).

Le matrici sono in genere utilizzate per mostrare l'indipendenza degli assiomi di un sistema e la loro coerenza. La coerenza di due formule A e B è stabilita da una matrice che, sotto un'assegnazione (sigma), assegna a entrambe le formule i valori designati. L'indipendenza della formula B dalla formula A è stabilita da una matrice che (i) conserva la validità delle regole del sistema e che (ii) in base a un'interpretazione (sigma) assegna ad A ma non a B un valore designato. Parry (1939) usa il metodo matrix per mostrare che il numero di modalità dei sistemi di Lewis S3 e S4 è finito. Una modalità è una funzione modale di una variabile che contiene solo gli operatori (neg) e (Diamond). Il grado di una modalità è dato dal numero di operatori (Diamond) contenuti. Una modalità corretta è di grado superiore a zero. Le modalità appropriate possono essere di quattro forme diverse:

(begin {align} tag {1} neg / ldots / Diamond p \\ / tag {2} Diamond / ldots / Diamond p \\ / tag {3} neg / ldots / Diamond / neg p / \ / tag {4} Diamond / ldots / neg p. \\ / end {align})

Le modalità improprie sono (p) e (neg p) (1939: 144). Parry dimostra che S3 ha 42 modalità distinte e che S4 ha 14 modalità distinte. Era già noto che il sistema S5 ha solo 6 modalità distinte poiché riduce tutte le modalità a modalità di grado zero o una. Parry introduce il sistema S4.5 aggiungendo a S4 il seguente assioma:

(mvdash / neg / Diamond / neg / Diamond / neg / Diamond p / Rightarrow / neg / Diamond p.)

Il sistema riduce il numero di modalità di S4 da 14 a 12 (o 10 appropriate). L'aggiunta dello stesso assioma al sistema S3 di Lewis si traduce in un sistema con 26 modalità distinte. Inoltre, se aggiungiamo

(mvdash / neg / Diamond / neg / Diamond / Diamond p / Rightarrow / neg / Diamond / neg / Diamond p)

a S3 otteniamo un sistema distinto con 26 modalità anche intermedie tra S3 e S4. Pertanto il numero di modalità non determina in modo univoco un sistema. I sistemi S1 e S2, così come T e B, hanno un numero infinito di modalità (Burgess 2009, capitolo 3 su Modal Logic, discute i sistemi aggiuntivi S4.2 e S4.3 e spiega bene la riduzione delle modalità nei diversi sistemi).

Una matrice caratteristica per un sistema L è una matrice che soddisfa tutti e solo i teoremi di L. Una matrice è finita se il suo insieme K di valori di verità è finito. Una matrice caratteristica finita produce una procedura decisionale, in cui un sistema è decidibile se ogni formula del sistema che non è un teorema è falsificata da una matrice finita (questa è la proprietà del modello finito). Eppure Dugundji (1940) mostra che nessuno di S1 - S5 ha una matrice caratteristica finita. Quindi, nessuno di questi sistemi può essere visto come una logica valutata a (n) per un finito (n). Più tardi, Scroggs (1951) dimostrerà che ogni corretta estensione di S5 che preserva il distacco per implicazioni materiali ed è chiusa in sostituzione ha una matrice caratteristica finita.

Nonostante la loro mancanza di una matrice caratteristica finita, McKinsey (1941) mostra che i sistemi S2 e S4 sono decidibili. Per dimostrare questi risultati, McKinsey introduce matrici modali ((K, D, -, *, / times)), con (-), (*) e (times) corrispondenti a negazione, possibilità e congiunzione rispettivamente. Una matrice è normale se soddisfa le seguenti condizioni:

  1. if (x / in D) e ((x / Rightarrow y) in D) e (y / in K), quindi (y / in D),
  2. if (x / in D) e (y / in D), quindi (x / times y / in D),
  3. if (x / in K) e (y / in K) e (x / Leftrightarrow y / in D), quindi (x = y).

Queste condizioni corrispondono alle regole di Lewis di inferenza rigorosa, aggiunta e sostituzione di equivalenti rigorosi. La struttura della dimostrazione di McKinsey è la seguente. La prova impiega tre passaggi. In primo luogo, usando un metodo inedito di Lindenbaum spiegato a lui da Tarski che vale per i sistemi che hanno la regola di sostituzione per le variabili proposizionali, McKinsey mostra che esiste una matrice caratteristica S2 (M = (K, D, -, *, / times)) che non soddisfa la condizione (iii) ed è quindi non normale. M è una matrice banale il cui dominio è l'insieme di formule del sistema, i cui elementi designati sono i teoremi del sistema e le cui operazioni sono gli stessi connettivi. La banale matrice M non soddisfa (iii) dato che per alcune formule distinte A e B, (A / Leftrightarrow B) è unTeorema S2. In secondo luogo, McKinsey mostra come costruire da M una matrice caratteristica, ma ancora infinita, S2- caratteristica (M_1 = (K_1, D_1, -_1, * ^ 1, / times_1)), i cui elementi sono classi di equivalenza di evidentemente equivalenti le formule di S2, cioè le formule A e B tali che (A / Leftrightarrow B) è un teorema di S2 S2e le cui operazioni sono state riviste di conseguenza. Ad esempio, se (E (A)) è l'insieme di formule dimostrabilmente equivalenti ad A e (E (A) in K_1), allora (-_ 1 E (A) = E (-A) = E (neg A). M_1) soddisfa esattamente le formule soddisfatte da M senza violare la condizione (iii), quindi è una matrice normale caratteristica per S2 ((M_1) è l'algebra di Lindenbaum per). Infine, viene mostrato che per ogni formula A che non è un teorema di S2 esiste una matrice finita e normale (una sub-algebra di (M_1)) che la falsifica. Una prova simile è fornita per S4.

Una matrice è un tipo speciale di algebra. Un'algebra è una matrice senza un insieme D di elementi designati. Le algebre booleane corrispondono alle matrici per la logica proposizionale. Secondo Bull e Segerberg (1984: 10) la generalizzazione dalle matrici alle algebre potrebbe aver avuto l'effetto di incoraggiare lo studio di queste strutture indipendentemente dalle loro connessioni con i sistemi logici e modali. L'insieme di elementi designati D facilita infatti una definizione di validità rispetto alla quale si possono valutare i teoremi di un sistema. Senza un tale set viene interrotto il collegamento più ovvio alla logica. Una seconda generalizzazione per le classi di algebre, piuttosto che semplicemente per le singole algebre, era anche cruciale per lo sviluppo matematico della materia. Tarski è la figura imponente in tale sviluppo.

Jónsson e Tarski (1951 e 1952) introducono l'idea generale delle algebre booleane con gli operatori, ovvero l'estensione delle algebre booleane mediante l'aggiunta di operatori che corrispondono ai connettivi modali. Dimostrano un teorema di rappresentazione generale per le algebre booleane con operatori che estende il risultato di Stone alle algebre booleane (ogni algebra booleana può essere rappresentata come algebra fissa). Questo lavoro di Jónsson e Tarski si è evoluto dallo studio puramente matematico dell'algebra delle relazioni di Tarski e non include alcun riferimento alla logica modale o persino alla logica in generale. Il teorema di Jónsson e Tarski è un analogo algebrico (più generale) dei successivi risultati di completezza semantica di Kripke, ma questo non è stato realizzato per qualche tempo. Tarski non solo non era a conoscenza della connessione,ma sembra che sia Kripke che Lemmon non avessero letto i documenti di Jónsson e Tarski al tempo in cui avevano fatto il loro lavoro modale alla fine degli anni Cinquanta e Sessanta, e Kripke afferma di aver raggiunto lo stesso risultato in modo indipendente.

Lemmon (1966a e 1966b) adatta i metodi algebrici di McKinsey per dimostrare risultati di decidibilità e teoremi di rappresentazione per vari sistemi modali tra cui T(sebbene apparentemente nell'ignoranza del lavoro di Jónsson e Tarski). In particolare, estende il metodo di McKinsey introducendo una nuova tecnica per costruire algebre finite di sottoinsiemi di una struttura modello Kripke (discussa nella prossima sezione di questa voce). Lemmon (1966b: 191) attribuisce a Dana Scott il principale risultato del suo secondo documento del 1966. Questo è un teorema di rappresentazione generale che dimostra che le algebre per i sistemi modali possono essere rappresentate come algebre basate sul gruppo di potenza dell'insieme K nelle corrispondenti strutture di Kripke. Di conseguenza, la completezza algebrica si traduce nella completezza teorica del modello di Kripke. Quindi, Lemmon chiarisce molto chiaramente la connessione tra i modelli di Kripke i cui elementi sono mondi e le corrispondenti algebre i cui elementi sono insiemi di mondi che possono essere pensati come proposizioni,dimostrando così che i risultati teorici algebrici e del modello sono profondamente collegati. Kripke (1963a) è già esplicito su questa connessione. In The Lemmon Notes (1977), scritto in collaborazione con Dana Scott e curato da Segerberg, la tecnica del 1966 viene trasformata in un metodo teorico puramente modello che produce risultati di completezza e decidibilità per molti sistemi di logica modale nella forma più generale possibile (1977: 29).

Vedi anche la voce SEP sull'algebra della tradizione logica. Per un'introduzione di base all'algebra della logica modale, consultare Hughes e Cresswell 1968, capitolo 17 su "Algebra booleana e logica modale". Per un trattamento più completo, vedere il capitolo 5 di Blackburn, de Rijke e Venema 2001. Vedi anche Goldblatt 2003.

3. La tradizione teorica modello

3.1 Carnap

All'inizio degli anni '40 il riconoscimento della natura semantica della nozione di verità logica ha portato Rudolf Carnap a una spiegazione informale di questa nozione in termini di possibili mondi leibniziani. Allo stesso tempo, ha riconosciuto che i molti progressi sintattici nella logica modale dal 1918 in poi non erano ancora accompagnati da adeguate considerazioni semantiche. Una notevole eccezione è stata l'interpretazione di Gödel della necessità come provabilità e la conseguente preferenza per S4. Carnap invece pensava alla necessità come verità logica o analiticità. Considerazioni sulle proprietà delle frasi logicamente vere lo hanno portato a pensare a S5come il sistema giusto per formalizzare questa nozione "informale". Il lavoro di Carnap nei primi anni quaranta si sarebbe quindi focalizzato sulla (1) definizione di una nozione semantica formale di L-verità atta a rappresentare le nozioni semantiche informali di verità logica, necessità e analiticità, cioè la verità in virtù del solo significato (inizialmente, non faceva distinzioni tra queste nozioni, ma pensava chiaramente all'analiticità come l'idea guida); e (2) fornire una semantica formale per S5 quantificato in termini della nozione formale di L-verità con lo scopo di ottenere risultati di solidità e completezza, cioè dimostrare che tutti i teoremi di S5 quantificato sono L-vero, e che tutti le L-verità (esprimibili nella lingua del sistema) sono teoremi del sistema.

L'idea di sistemi modali quantificati è venuta anche a Ruth Barcan. In "Un calcolo funzionale del primo ordine basato sull'implicazione rigorosa" (1946a) aggiunse la quantificazione al sistema proposizionale di Lewis S2; Carnap (1946) lo ha aggiunto a S5. Sebbene verranno presi in considerazione alcuni punti semantici specifici sulla logica modale quantificata, questa voce non è focalizzata sullo sviluppo della logica modale quantificata, ma piuttosto sull'emergere del modello semantico teorico formale per la logica modale, proposizionale o quantificata. Per un trattamento più ampio della logica modale quantificata, consultare la voce SEP sulla logica modale.

In "Modalità e quantificazione" (1946) e in Significato e necessità (1947), Carnap interpreta l'operatore del linguaggio degli oggetti della necessità come espressione a livello di oggetto della nozione semantica della verità logica:

[T] egli guida l'idea nelle nostre costruzioni di sistemi di logica modale è questa: una proposizione (p) è logicamente necessaria se e solo se una frase che esprime (p) è logicamente vera. Vale a dire, il concetto modale della necessità logica di una proposizione e il concetto semantico della verità logica o dell'analiticità di una frase corrispondono l'uno all'altro. (1946: 34)

Carnap introduce l'apparato delle descrizioni di stato per definire la nozione semantica formale di L-verità. Questa nozione formale deve quindi essere utilizzata per fornire una semantica formale per S5.

Una descrizione dello stato per una lingua L è una classe di frasi di L tale che, per ogni frase atomica (p) di L, sia (p) o (neg p), ma non entrambi, è contenuto nella classe. Una frase atomica contiene una descrizione dello stato R se e solo se appartiene a R. Una frase (neg A) (dove A non deve essere atomica) è valida in R se e solo se A non è valida in R; ((A / wedge B)) tiene in R se e solo se sia A che B tengono in R, e così via per gli altri connettivi nel solito modo induttivo; ((forall x) Fx) è presente in R se e solo se tutte le istanze di sostituzione di (Fx) sono contenute in R. L'intervallo di una frase è la classe di descrizioni di stato in cui è contenuta. La nozione di validità di Carnap o L-verità è una nozione massima, cioè Carnap definisce una frase valida o L-vero se e solo se vale in tutte le descrizioni di stato. Nel lavoro successivo Carnap adotta modelli al posto delle descrizioni degli stati. I modelli sono assegnazioni di valori alle costanti non logiche primitive della lingua. Nel caso di Carnap le costanti predicate sono le uniche costanti primitive a cui i modelli assegnano valori, poiché alle singole costanti viene data un'interpretazione pre-modello fissa e le assegnazioni di valore alle variabili vengono eseguite indipendentemente dai modelli (1963a).

È importante notare che la definizione di L-verità non utilizza la nozione di verità, ma piuttosto solo quella di trattenere in uno stato-descrizione. La verità viene introdotta in seguito come ciò che è contenuto nella descrizione dello stato reale. Per essere un'adeguata rappresentazione formale dell'analiticità, L-verità deve rispettare l'idea di base dietro l'analiticità: la verità in virtù del solo significato. In effetti, le verità-L di un sistema S sono tali che le regole semantiche di S sono sufficienti per stabilire la loro verità. Informalmente, le descrizioni di stato rappresentano qualcosa di simile a possibili mondi leibniziani o possibili stati di cose di Wittgenstein e la gamma di descrizioni di stato per una determinata lingua dovrebbe esaurire la gamma di possibilità alternative descrivibili in quella lingua.

Per quanto riguarda le frasi modali, Carnap adotta le seguenti convenzioni (usiamo (Box) al posto dell'operatore N di Carnap per necessità logica). Sia S un sistema:

  1. Una frase (Riquadro A) è vera in S se e solo se (A) è L -true in S (quindi una frase (Riquadro A) è vera in S se e solo se (A) contiene tutte le descrizioni di stato di S);
  2. Una frase (Riquadro A) è L-vero in S se e solo se (Riquadro A) è vero in S (quindi tutte le descrizioni degli stati concordano nella valutazione delle frasi modali).

Da cui segue che:

(Riquadro A) è L-vero in S se e solo se (A) è L-vero in S

Le convenzioni di Carnap valgono anche se sostituiamo "verità in una descrizione di stato di S" con "verità in S".

Carnap assume un dominio fisso di quantificazione per il suo sistema quantificato, il calcolo funzionale con identità FC, e di conseguenza per il calcolo funzionale modale con identità MFC, una forma quantificata di S5. Il linguaggio di FC contiene innumerevoli molte costanti individuali, l'universo del discorso contiene innumerevoli individui, ogni costante è assegnata a un individuo del dominio e nessuna due costanti sono assegnate allo stesso individuo. Questo rende frasi come (a = a) L -true e frasi come (a = b) L -false (1946: 49). Per quanto riguarda l' MFC, la formula di Barcan e il suo contrario sono entrambi L-vero, cioè

(mvDash (forall x) Box Fx / leftrightarrow / Box (forall x) Fx.)

Questo risultato è garantito dall'ipotesi di un dominio fisso di quantificazione. Carnap dimostra che MFC è sano, cioè tutti i suoi teoremi sono L -true e solleva la questione della completezza sia per FC che per MFC. Gödel dimostrò completezza per il calcolo del predicato del primo ordine con identità, ma la nozione di validità impiegata era la verità in ogni dominio non vuoto di quantificazione, compresi i domini finiti. Carnap adotta invece un unico dominio di quantificazione unico. L'adozione di un dominio numerico fisso di individui genera alcune validità aggiuntive già a livello pre-modale che mettono a repentaglio la completezza, ad esempio "Ci sono almeno due individui", ((esiste x) (esiste y) (x / ne y)), risulta essere valido (1946: 53).

Una conseguenza delle definizioni delle descrizioni di stato per una lingua e L-verità è che ogni frase atomica e la sua negazione si rivelano vere in alcune descrizioni di stato, ma non in tutte. Quindi, se (p) è atomico sia (Diamond p) che (Diamond / neg p) sono L -true. Quindi, la regola di Lewis di Uniform Substitution non riesce (se (p / wedge / neg p) viene sostituito con (p) in (Diamond p) che deriviamo (Diamond (p / wedge / neg p)), che è L -false, non L -true). Questo è notato da Makinson (1966a) che sostiene che ciò che deve essere fatto è ripristinare la sostituibilità e rivedere la nozione ingenua di validità di Carnap (come necessità logica) a favore di una schematica nozione chineana ("Una verità logica … è definibile come una frase da cui otteniamo solo verità quando sostituiamo le frasi con le sue frasi semplici "Quine 1970:50) che non renderà valide frasi come (Diamond p). Tuttavia, Carnap dimostra la solidità e la completezza della proposizione S5, che chiama " MPC " per il calcolo proposizionale modale, seguendo Wajsberg. La prova tuttavia utilizza efficacemente una nozione schematica di validità.

E 'stato dimostrato che la nozione di Carnap di validità massima completezza rende impossibile per quantificato S5, cioè, che ci sono L -truths che non sono teoremi di di Carnap MFC. Sia (A) una frase non modale di MFC. Per convenzione (1), (Riquadro A) è vero in MFC se e solo se (A) è L-vero in MFC. Ma (A) è anche una frase di FC, quindi se L-vero in MFC è anche L-vero in FC, poiché le descrizioni di stato (modelli) della logica funzionale modale sono le stesse di quelle della logica funzionale (1946: 54). Ciò significa che le descrizioni di stato ricoprono il triplice ruolo di (i) modelli di primo ordine di FCdefinendo in tal modo la validità del primo ordine, (ii) mondi per MFC, definendo in tal modo la verità per (Riquadro A) frasi di MFC e (iii) modelli di MFC, definendo in tal modo la validità per MFC. Il nucleo dell'argomento di incompletezza consiste nel fatto che la non validità di una frase del primo ordine (A) può essere rappresentata nel linguaggio modale, come (neg / Box A), ma tutti i modelli concordano su la valutazione delle frasi modali, rendendo valido (neg / Box A). All'incirca, e mettendo da parte le complicazioni create dal fatto che la semantica di Carnap ha solo domini denumerabili, se (A) è una frase non valida di primo ordine di FC, (A) è vero in alcuni ma non in tutti i modelli o le descrizioni degli stati. Date le convenzioni di Carnap, ne consegue che (neg / Box A) è vero in MFC. Ma poi (neg / Box A) è L -true in MFC, ovvero in MFC (mvDash / neg / Box A). Dato che le frasi non valide del primo ordine non sono enumerabili in modo ricorsivo, né le validità per il sistema modale MFC. Ma la classe dei teoremi dell'MFC è ricorsivamente enumerabile. Quindi, MFC è incompleta rispetto alla massima validità di Carnap. Cocchiarella (1975b) attribuisce il risultato a Richard Montague e Donald Kalish. Vedi anche Lindström 2001: 209 e Kaplan 1986: 275–276.

3.2 Semantica dei mondi possibili di Kripke

La semantica di Carnap è davvero un precursore di Possible Worlds Semantics (PWS). Tuttavia mancano ancora alcuni ingredienti cruciali. Innanzitutto, la nozione massima di validità deve essere sostituita da una nuova nozione universale. In secondo luogo, le descrizioni degli stati devono fare spazio a mondi possibili intesi come indici o punti di valutazione. Infine, è necessario introdurre una relazione di accessibilità tra i mondi. Sebbene Kripke non sia affatto l'unico logico degli anni Cinquanta e Primi Sessanta a lavorare su queste idee, è nella versione di PWS di Kripke che tutte queste innovazioni sono presenti. Kanger (1957), Montague (1960, ma originariamente presentato nel 1955), Hintikka (1961) e Prior (1957) stavano tutti pensando a una relazione tra mondi e Hintikka (1961) come Kripke (1959a) adottò una nuova nozione di validità che richiedeva la verità in tutti gli insiemi di mondi arbitrari. Ma Kripke fu l'unico a caratterizzare i mondi come semplici punti di valutazione (nel 1963a). Altri logici stavano ancora pensando ai mondi fondamentalmente come modelli di logica del primo ordine, sebbene forse Prior nel suo sviluppo della logica temporale si stesse muovendo anche verso una caratterizzazione più astratta degli istanti del tempo. La caratterizzazione più astratta dei mondi di Kripke è cruciale nella fornitura di un legame tra la semantica teorica modello e l'algebra della logica modale. Kripke ha visto molto chiaramente questa connessione tra l'algebra e la semantica, e ciò gli ha permesso di ottenere in modo sistematico la completezza teorica del modello e i risultati di decidibilità per vari sistemi modali. Goldblatt (2003: sezione 4.8) sostiene in modo convincente che l'adozione da parte di Kripke di punti di valutazione nelle strutture modello è un'innovazione particolarmente cruciale. Tale generalizzazione apre le porte a diversi sviluppi futuri della teoria dei modelli e consente di fornire teorie dei modelli per la logica intensionale in generale. Per questi motivi, in questa voce dedichiamo maggiore attenzione alla versione di PWS di Kripke. Per un trattamento più completo dello sviluppo iniziale di PWS, compresi i lavori di fine anni '50compreso il lavoro di fine anni '50compreso il lavoro di fine anni '50 S5 del logico francese Bayart, il lettore si riferisce a Goldblatt 2003. Sulle differenze tra la semantica di Kanger e la semantica standard PWS, vedi Lindström 1996 e 1998.

Il "Teorema della completezza nella logica modale" del 1959 di Kripke contiene un risultato teorico di completezza del modello per una versione quantificata di S5 con identità. Nel trattamento semantico di Kripke di S5 quantificato, che chiama S5 * (^ =), un'assegnazione di valori a una formula (A) in un dominio di individui (D) assegna un membro di (D) a ciascuna variabile individuale libera di (A), un valore di verità (T) o (F) per ciascuna variabile proposizionale di (A) e un insieme di (n) ordinati - tuple dei membri di (D) per ciascuno (n) - posiziona la variabile predicato di (A) (la lingua per il sistema non contiene costanti non logiche). Kripke definisce un modello su un dominio non vuoto (D) di individui come una coppia ordinata ((G, K)), in modo tale che (G / in K, K) sia un sottoinsieme arbitrario di assegnazioni di valori alle formule di S5 * (^ =)e tutti (H / in K) concordano le assegnazioni alle singole variabili. Per ogni (H / in K), il valore che (H) assegna a una formula (B) viene definito induttivamente. Le variabili proposizionali sono assegnate (T) o (F) per ipotesi. Se (B) è (P (x_1, / ldots, x_n)), (B) è assegnato (T) se e solo se la (n) - tupla di elementi assegnati a (x_1),…, (x_n) appartiene all'insieme di (n) - tuple di individui che (H) assegna a (P. H) assegna (T) a (neg B) se e solo se assegna (F) a (B. H) assegna (T) a (B / wedge C) se e solo se assegna (T) a (B) e a (C). Se (B) è (x = y) è assegnato (T) se e solo se (x) e (y) hanno lo stesso valore in (D). Se (B) è ((forall x) Fx) viene assegnato (T) se e solo se (Fx) viene assegnato (T) per ogni assegnazione a (x).(Box B) è assegnato (T) se e solo se (B) è assegnato (T) da ogni (H / in K).

La cosa più importante da notare nella teoria dei modelli del 1959 è la definizione di validità. Si dice che una formula (A) è valida in un modello ((G, K)) in (D) se e solo se è assegnata (T) in (G), a essere valido in un dominio (D) se e solo se è valido in ogni modello in (D) e essere universalmente valido se e solo se è valido in ogni dominio non vuoto. Kripke dice:

Nel tentativo di costruire una definizione di validità logica universale, sembra plausibile supporre non solo che l'universo del discorso possa contenere un numero arbitrario di elementi e che ai predicati possa essere assegnata una data interpretazione nel mondo reale, ma anche che qualsiasi combinazione di possibili mondi possono essere associati al mondo reale rispetto ad alcuni gruppi di predicati. In altre parole, è plausibile supporre che non siano necessarie ulteriori restrizioni su (D, G) e (K), tranne quella standard che (D) non è vuota. Questo presupposto porta direttamente alla nostra definizione di validità universale. (1959a: 3)

Questa nuova nozione universale di validità è molto più generale della massima validità di Carnap. Gli elementi (H) di (K) corrispondono ancora ai modelli del primo ordine, come le descrizioni di stato di Carnap, e in ciascun modello Kripke agli elementi (H) di (K) viene assegnato lo stesso dominio (D) degli individui e le singole variabili hanno un'assegnazione incrociata tra i modelli. Finora l'unica divergenza significativa rispetto a Carnap è che diversi modelli Kripke possono avere domini di diversa cardinalità. Questo di per sé è sufficiente per reintrodurre completezza per la parte non modale del sistema. Ma lo sviluppo più significativo, e quello che rende possibile dimostrare la completezza del sistema modale, è la definizione di validità non come verità in tutti i mondi di una struttura massima di mondi, ma come verità in tutti i sottoinsiemi della struttura massima. La considerazione di sottoinsiemi arbitrari di mondi possibili, consente alla teoria dei modelli di Kripke di disconnettere la validità dalla necessità. Mentre le necessità sono relative a un modello, quindi a un insieme di mondi, le validità devono valere per tutti questi insiemi. Ciò consente la reintroduzione della regola della sostituzione uniforme. Per vederlo intuitivamente in un caso semplice, considera una frase atomica (p). La classica tabella di verità per (p) contiene due righe, una in cui (p) è vera e una in cui (p) è falsa. Ogni riga è come un mondo possibile o un elemento (H) di (K). Se consideriamo solo questa tabella di verità completa, stiamo solo prendendo in considerazione i modelli massimi che contengono due mondi (non fa differenza quale mondo sia reale). Secondo la definizione di verità per una formula (Box B, / Box p) è falso in tutti i mondi del modello massimo,e (Diamond p) è vero in tutti loro. Se la validità è la verità in tutti i mondi di questo modello massimo, come per Carnap, ne consegue che (mvDash / Diamond p), ma in S5(nmvdash / Diamond p). Se invece definiamo la validità come fa Kripke, dobbiamo considerare anche i modelli non massimi che contengono un solo mondo, ovvero tabelle di verità incomplete che annullano alcune righe. Quindi, ci sono altri due modelli da prendere in considerazione: uno che contiene solo un mondo (H = G) dove (p) è vero, quindi lo è anche (Box p), e uno che contiene solo un mondo (H = G) dove (p) è falso e così è (Box p) e (Diamond p). Grazie a questo ultimo modello (nmvDash / Diamond p). Si noti che l'innovazione cruciale è la definizione di validità come verità in tutti i sottogruppi di mondi, non solo nel sottoinsieme massimo. Il fatto aggiuntivo che la validità in un modello è definita come verità nel mondo reale del modello - in contrapposizione alla verità in tutti i mondi del modello - sebbene rivelando il fatto che Kripke non ha collegato la nozione di necessità alla nozione di validità, è irrilevante per questo risultato tecnico.

La prova di completezza di Kripke si avvale del metodo di Beth di tableaux semantico. Un tableau semantico viene utilizzato per verificare se una formula (B) è una conseguenza semantica di alcune formule (A_1, / ldots, A_n). Il tableau presuppone che le formule (A_1, / ldots, A_n) siano vere e (B) sia false e siano costruite secondo le regole che seguono le definizioni dei connettivi logici. Ad esempio, se una formula (neg A) si trova nella colonna di sinistra del tableau (dove sono elencate le formule vere), (A) verrà inserito nella colonna di destra (dove sono elencate le formule false). Per gestire le formule modali, è necessario prendere in considerazione una serie di tableaux, poiché se (Riquadro A) si trova nella colonna di destra di un tableau, è necessario introdurre un nuovo tableau ausiliario con (A) nella colonna di destra. Un tableau principale e i suoi tableau ausiliari formano un insieme di tableau. Se una formula (A / cuneo B) si trova sulla colonna di destra del tableau principale, il set di tableaux si divide in due nuovi set di tableaux: uno il cui tableau principale elenca (A) nella sua colonna di destra e uno il cui elenchi tableau principali (B) nella colonna di destra. Quindi dobbiamo considerare set alternativi di tableaux. Un tableau semantico è chiuso se e solo se tutti i suoi insiemi alternativi sono chiusi. Un set di tableaux è chiuso se contiene un tableau (principale o ausiliario) che raggiunge una contraddizione nella forma di (i) una stessa formula (A) che appare in entrambe le sue colonne o (ii) una formula di identità di la forma (a = a) nella parte destra (questa è una semplificazione eccessiva della definizione di un tableau chiuso, ma non dannosa per i nostri scopi). Semplificando ancora una volta,la struttura della prova di completezza di Kripke consiste nel provare che un tableau semantico usato per testare se una formula (B) è una conseguenza semantica delle formule (A_1, / ldots, A_n) è chiusa se e solo (i) in S5 * (^ =) (A_1, / ldots, A_n / vdash B) e (ii) (A_1, / ldots, A_n / vDash B). Quest'ultimo risultato si ottiene mostrando come costruire modelli da tabelle semantiche. Come conseguenza di (i) e (ii) abbiamo solidità e completezza per S5 * (^ =), ovvero: (A_1, / ldots, A_n / vdash B) se e solo se (A_1, / ldots, A_n / vDash B).

Il documento del 1959 contiene anche una prova della controparte modale del teorema di Löwenhein-Skolem per la logica del primo ordine, secondo la quale se una formula è soddisfacente in un dominio non vuoto, allora è soddisfacente, e quindi valida (true in (G)), in un modello ((G, K)) in un dominio (D), dove sia (K) che (D) sono o finiti o numerabili; e se una formula è valida in ogni dominio finito o numerabile è valida in ogni dominio.

"L'indecidibilità della teoria della quantificazione modale monadica" di Kripke del 1962 sviluppa un parallelo tra la logica del primo ordine con un predicato diadico e la logica modale monadica del primo ordine con solo due lettere predicate, per dimostrare che questo frammento della logica modale del primo ordine è già indecidibile.

Di grande importanza è l'articolo "Analisi semantica della logica modale I" (Kripke 1963a) in cui vengono trattati i sistemi normali. È qui che Kripke sviluppa pienamente l'analogia con i risultati algebrici di Jónsson e Tarski e dimostra completezza e decidibilità per i sistemi proposizionali T, S4, S5 e B(il sistema Brouwersche), che è qui introdotto. Kripke afferma di aver derivato da solo il principale teorema di "Algebre booleane con operatori" da un analogo algebrico dei suoi metodi semantici (69, fn. 2). È in questo documento che vengono introdotte due generalizzazioni cruciali della teoria dei modelli. La prima è la nuova comprensione degli elementi (H) di (K) come indici semplici, non assegnazioni di valori. Una volta introdotto questo cambiamento, i modelli devono essere integrati da una funzione ausiliaria (Phi) necessaria per assegnare valori alle variabili proposizionali relative ai mondi. Quindi, mentre nella teoria dei modelli del 1959

non ci possono essere due mondi in cui lo stesso valore di verità è assegnato a ciascuna formula atomica [che] risulta forse conveniente per S5, ma è piuttosto scomodo quando trattiamo i normali MPC in generale (1963a: 69)

ora possiamo avere duplicati del mondo. La cosa più importante riguardo al distacco degli elementi di (K) dalla funzione di valutazione è che apre la porta alla considerazione generale di frame modali, insiemi di mondi più una relazione binaria tra loro e la corrispondenza di tali frame ai sistemi modali. Quindi, il secondo nuovo elemento del documento, l'introduzione di una relazione (R) tra gli elementi di (K), accompagna naturalmente il primo. Sia sottolineato ancora una volta che l'idea di una relazione tra mondi non è nuova per Kripke. Ad esempio, è già presente come relazione di alternanza a Montague 1960, Hintikka 1961 e Priore 1962, dove l'idea è attribuita a Peter Geach.

Nel 1963 Kripke "pone varie domande riguardanti la relazione (R)" (1963a: 70). In primo luogo, mostra che ogni formula soddisfacente ha un modello connesso, cioè un modello basato su una struttura del modello ((G, K, R)) dove per tutti (H / in K), (G / mathrel {R *} H), dove (R *) è la relazione ancestrale corrispondente a (R). Pertanto, devono essere considerati solo i modelli collegati. Quindi, Kripke mostra i risultati oggi noti che l'assioma 4 corrisponde alla transitività della relazione (R), che l'assioma (B) corrisponde alla simmetria e che l'assioma caratteristico di S5 aggiunto al sistema T corrisponde a (R) essendo una relazione di equivalenza. Utilizzando il metodo di tableaux, completezza per i sistemi proposizionali modali T, S4, S5e B rispetto alla classe di modelli appropriata (strutture riflessive per T) è dimostrata. Viene anche dimostrata la decidibilità di questi sistemi, incluso il caso più complesso di S4. (Per un trattamento più dettagliato dei frame, consultare la voce SEP sulla logica modale.)

Nel documento del 1965 "Semantical Analysis of Modal Logic II", Kripke estende la teoria dei modelli per trattare i sistemi modali non normali, inclusi S2 e S3 di Lewis. Sebbene questi sistemi siano considerati in qualche modo innaturali, la loro teoria dei modelli è considerata elegante. I risultati di completezza e decidibilità sono dimostrati rispetto alla corretta classe di strutture, compresa la completezza di S2 e S3 e la decidibilità di S3. Per ottenere questi risultati, la teoria dei modelli è estesa dall'introduzione di un nuovo elemento (N / subseteq K) nelle strutture del modello ((G, K, R, N). N) è il sottoinsieme dei mondi normali, cioè mondi (H) tali che (H / mathrel {R} H). Un altro aspetto interessante dei sistemi non normali è che nel modello i risultati teorici che li riguardano, (G) (il mondo reale) gioca un ruolo essenziale, in particolare nelle strutture del modello S2 e S3 che il mondo reale deve sii normale. Invece, la regola della necessità che si applica ai sistemi normali rende teoricamente irrilevante la scelta del modello (G).

Nonostante il grande successo della teoria dei modelli kripkeani, vale la pena sottolineare che non tutte le logiche modali sono complete. Per i risultati di incompletezza vedi Makinson 1969, per un sistema più debole di S4; e Fine 1974, S. Thomason 1974, Goldblatt 1975 e van Benthem 1978, per sistemi tra S4 e S5. Alcune formule modali impongono condizioni su frame che non possono essere espresse in un linguaggio del primo ordine, quindi anche la logica modale proposizionale è fondamentalmente di secondo ordine in natura. Nella misura in cui la nozione di validità su un frame si sottrae alla funzione di interpretazione, implica implicitamente una quantificazione di ordine superiore rispetto alle proposizioni. Sulla corrispondenza tra la validità dei frame e la logica del secondo ordine e sui criteri teorici modello che distinguono le frasi modali che sono di primo ordine esprimibili da quelle che sono essenzialmente di secondo ordine, vedi "Modal Logic: A Semantic Perspective" di Blackburn e van Benthem (2007a).

Nel 1963b, "Considerazioni semantiche sulla logica modale", Kripke introduce una nuova generalizzazione ai modelli di sistemi modali quantificati. Nel 1959 fu definito un modello in un dominio (D). Di conseguenza, tutti i mondi in un modello avevano la stessa cardinalità. Nel 1963b i modelli non sono dati in un dominio, quindi i mondi nello stesso modello possono essere assegnati a domini diversi da una funzione (Psi) che assegna domini agli elementi (H) di (K). Data la variabilità dei domini nei mondi, Kripke ora può costruire contro-esempi sia alla formula di Barcan

[(forall x) Box Fx / rightarrow / Box (forall x) Fx)

e viceversa

(Box (forall x) Fx / rightarrow (forall x) Box Fx.)

La formula di Barcan può essere falsificata in strutture con domini in crescita. Ad esempio, un modello con due mondi, (G) e un altro mondo possibile (H) che lo estende. Il dominio di (G) è ({a }) e (Fa) è vero in (G). Il dominio di (H) è l'insieme ({a, b }) e (Fa), ma non (Fb), è vero in (H). In questo modello ((forall x) Box Fx) ma non (Box (forall x) Fx) è vero in (G). Per confutare il contrario della formula di Barcan abbiamo bisogno di modelli con domini decrescenti. Ad esempio, un modello con due mondi (G) e (H), in cui il dominio di (G) è ({a, b }) e il dominio di (H) è ({a }), con (Fa) e (Fb) true in (G, Fa) true in (H), ma (Fb) false in (H). Questo modello richiede che assegniamo un valore di verità alla formula (Fb) nel mondo (H) dove l'individuo (b) non esiste (non è nel dominio di (H)). Kripke sottolinea che dal punto di vista teorico del modello questa è solo una scelta tecnica.

Kripke ricostruisce una dimostrazione della formula inversa di Barcan in T quantificata e mostra che la dimostrazione passa solo consentendo la necessità di una frase contenente una variabile libera. Ma se invece le variabili libere devono essere considerate universalmente vincolate, questo passaggio è illecito. Necessitare direttamente una formula aperta, senza prima chiuderla, equivale ad assumere ciò che deve essere provato. Prima del 1956 contiene una prova della formula di Barcan

(Diamond (esiste x) Fx / rightarrow (esiste x) Diamond Fx.)

Kripke non discute i dettagli della prova di Prior. La dimostrazione di Prior per la formula di Barcan adotta le regole di Łukasiewicz per l'introduzione del quantificatore esistenziale. La seconda di queste regole afferma che if (mvdash A / rightarrow B) quindi (mvdash A / rightarrow (esiste x) B). Prior utilizza la regola per derivare

(mvdash / Diamond Fx / rightarrow (esiste x) Diamond Fx)

a partire dal

(mvdash / Diamond Fx / rightarrow / Diamond Fx.)

Questo ci sembra essere il passo 'illegittimo' nella dimostrazione, da allora

(Diamond Fx / rightarrow (esiste x) Diamond Fx)

non contiene un modello con due mondi (G) e (H), dove il dominio di (G) è ({a }) e il dominio di (H) è ({a, b }) e dove (Fa) è falso in entrambi ((G) e (H), ma (Fb) è vero in (H). In questo modello (Diamond Fx) è vero ma ((esiste x) Diamond Fx) è falso in (G). In questo contromodello (Diamond Fx) è reso vero in (G) dall'individuo (b) che non si trova nel dominio di (G). In generale, la regola che se (mvdash A / rightarrow B) quindi (mvdash A / rightarrow (esiste x) B) non mantiene la validità se permettiamo che (Fx) possa essere realizzato in un mondo da un individuo che non esiste lì. Concludiamo che la regola deve essere respinta per preservare la solidità di S5 relativamente a questo modello di ipotesi teorica.

Bibliografia

Si noti che la distinzione nella bibliografia tra testi introduttivi, letteratura primaria e letteratura secondaria è parzialmente artificiale.

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Altre risorse Internet

  • Concetti di base in logica modale, di Edward N. Zalta (appunti del corso)
  • Manuale di logica modale, di Blackburn, van Benthem e Wolter

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