Jan Łukasiewicz

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Jan Łukasiewicz

Pubblicato per la prima volta il 15 maggio 2014; revisione sostanziale ven 6 giu 2014

Jan Łukasiewicz (1878–1956) fu un logico e filosofo polacco che introdusse la logica matematica in Polonia, divenne il primo fondatore della scuola di logica di Varsavia e uno dei principali architetti e insegnanti di quella scuola. Il suo risultato più famoso fu quello di dare la prima rigorosa formulazione della logica dai molti valori. Introdusse molti miglioramenti nella logica proposizionale e divenne il primo storico della logica a trattare la storia del soggetto dal punto di vista della moderna logica formale.

  • 1. Vita
  • 2. L'influenza di Twardowski
  • 3. Primi lavori
  • 4. Logica proposizionale

    • 4.1 Scoperte nella logica proposizionale
    • 4.2 Variabili proposizionali variabili
    • 4.3 Logica intuitiva
  • 5. Logica dai molti valori

    • 5.1 Possibilità e terzo valore
    • 5.2 Indeterminismo e il terzo valore
    • 5.3 Più di tre valori
    • 5.4 Assiomi e definizioni
    • 5.5 Secondo pensiero sulla modalità: Sistema Ł
  • 6. Storia della logica

    • 6.1 Logica proposizionale stoica
    • 6.2 Aristotele
  • 7. Posizioni filosofiche
  • 8. Legacy
  • Bibliografia

    • Revisione generale
    • Abbreviazioni
    • Fonti primarie: opere di Łukasiewicz
    • Letteratura secondaria selezionata
  • Strumenti accademici
  • Altre risorse Internet
  • Voci correlate

1. Vita

La vita di Jan Łukasiewicz fu quella di un accademico e studioso di carriera, gravemente sconvolto dagli sconvolgimenti della guerra nel ventesimo secolo. Nato e istruito nell'Austria polacca, prosperò nella Seconda Repubblica polacca, sopportò le difficoltà della guerra, fuggì prima dell'esercito rosso in Germania e trovò un rifugio finale nella Repubblica d'Irlanda.

Jan Leopold Łukasiewicz è nato il 21 dicembre 1878 a Lwów [1], storicamente una città polacca, a quel tempo la capitale della Galizia austriaca. Il padre di Łukasiewicz Paweł era un capitano dell'esercito austriaco, sua madre Leopoldine, nata Holtzer, era figlia di un funzionario austriaco. Jan era la loro unica figlia. La famiglia parlava polacco. Łukasiewicz ha frequentato la scuola (Gimnazjum classico o scuola di grammatica, sottolineando le lingue classiche) dal 1890, completando nel 1897 e iniziando lo studio del diritto all'Università di Lwów. Sotto il dominio austriaco l'università consentiva l'istruzione in polacco. Nel 1898 passò alla matematica, studiando sotto Józef Puzyna, e alla filosofia, studiando sotto Kazimierz Twardowski, che era stato nominato professore straordinario (associato) lì nel 1895, e anche Wojciech Dzieduszycki. Nel 1902 Łukasiewicz ottenne il dottorato in filosofia sotto Twardowski con una tesi "Sull'induzione come l'inverso della detrazione". Dopo aver conseguito il massimo dei voti in tutti gli esami tra la sua scuola e la sua tesi di dottorato, gli fu conferito il dottorato sotto auspiciis Imperatoris, una rara distinzione, e ricevette un anello di diamanti dall'imperatore Francesco Giuseppe.

Dal 1902 fu impiegato come insegnante privato e come impiegato nella biblioteca universitaria. Nel 1904 ottenne una borsa di studio dal governo autonomo galiziano e andò a studiare a Berlino, poi a Lovanio. Nel 1906 ottenne la sua abilitazione con un pezzo su "Analisi e costruzione del concetto di causa". Come Privatdozent in Filosofia, è stato in grado di tenere conferenze all'università, diventando il primo degli studenti di Twardowski ad unirsi a lui nel farlo. Il suo primo corso di lezioni, tenuto nell'autunno 1906, fu sull'algebra della logica, come formulato da Couturat. Nel 1908 e nel 1909 ottenne uno stipendio che gli permise di visitare Graz, dove conobbe Alexius Meinong e la sua scuola. Nel 1911 fu nominato professore straordinario e continuò a insegnare a Lwów fino allo scoppio della guerra nel 1914. Durante questo periodo i suoi studenti includevano Kazimierz Ajdukiewicz e Tadeusz Kotarbiński, che in seguito sarebbero diventati famosi filosofi a sé stanti. Nel 1912 conobbe anche Stanisław Leśniewski, che era comunque venuto a Lwów dopo aver studiato all'estero e non poteva essere considerato suo allievo.

Nel 1915 la fortuna della guerra mise la Germania al controllo di Varsavia e decisero di riaprire l'università, che non era stata autorizzata a funzionare come università di lingua polacca sotto il dominio russo. Łukasiewicz divenne professore di filosofia lì. Nel 1916 fu preside della Facoltà di Lettere e nel 1917 prorettore dell'università. Nel 1918 lasciò l'università, dove fu nominato capo del dipartimento delle scuole superiori del nuovo ministero dell'Istruzione polacco, e dopo che la Polonia ottenne la piena indipendenza divenne ministro dell'istruzione nel gabinetto di Paderewski, da gennaio a dicembre 1919. Dal 1920 al 1939 era, così come Leśniewski, un professore alla Facoltà di scienze naturali dell'Università di Varsavia. Nel 1922/23 e di nuovo nel 1931/32 fu rettore dell'università. Nel 1929 sposò Regina Barwińska.

Il periodo tra le due guerre fu il più fruttuoso per Łukasiewicz. Era una figura di spicco, con Leśniewski e Tarski, in quella che divenne nota come la Scuola di Logica di Varsavia. Fece amicizia con l'unico professore tedesco di logica matematica, Heinrich Scholz, e ottenne un dottorato onorario dall'Università di Münster di quest'ultima nel 1938. Altre onorificenze che gli furono conferite in questo periodo furono il Gran Comandante dell'Ordine della Polonia Restituta (1923), Gran Comandante dell'Ordine al merito ungherese, un premio in denaro della Città di Varsavia (1935) e dei membri dell'Accademia polacca delle arti e delle scienze di Cracovia e delle Società scientifiche polacche di Lwów e Varsavia.

Gli studenti che ha supervisionato durante le loro tesi di dottorato sono stati: Mordechaj Wajsberg, Zygmunt Kobrzyński, Stanisław Jaśkowski, Bolesław Sobociński e Jerzy Słupecki.

Allo scoppio della guerra, nel settembre 1939, la casa di Łukasiewiczes fu bombardata dalla Luftwaffe: tutti i suoi libri, documenti e corrispondenza furono distrutti, tranne un volume delle sue impronte rilegate. Gli Łukasiewiczes vivevano in alloggi provvisori per accademici. Gli occupanti tedeschi chiusero l'università e Łukasiewicz trovò lavoro per un misero stipendio negli archivi della città di Varsavia. Un ulteriore sostegno finanziario è arrivato da Scholz. Łukasiewicz ha insegnato all'università sotterranea. Dalla fine del 1943, temendo l'arrivo e l'occupazione imminente della Polonia da parte dell'Armata Rossa, e sospettato da alcuni colleghi di essere filo-tedeschi e antiebraici, Łukasiewicz espresse il desiderio di Scholz che lui e sua moglie lasciassero la Polonia. Come primo passo per andare in Svizzera,Scholz riuscì a ottenere il permesso per gli Łukasiewiczes di recarsi a Münster. Lasciarono Varsavia il 17 luglio 1944, appena due settimane prima dello scoppio della rivolta di Varsavia. A seguito del complotto di bombe del 20 luglio 1944 contro Hitler non c'era speranza che ottengano il permesso di partire per la Svizzera. Rimasero a Münster, subendo i bombardamenti alleati, fino al gennaio 1945, quando gli fu offerto un alloggio da Jürgen von Kempski nella sua fattoria di Hembsen (Kreis Höxter, Westfalia), dove furono liberati dalle truppe americane il 4 aprile.quando gli fu offerto un alloggio da Jürgen von Kempski nella sua fattoria di Hembsen (Kreis Höxter, Westfalia), dove furono liberati dalle truppe americane il 4 aprile.quando gli fu offerto un alloggio da Jürgen von Kempski nella sua fattoria di Hembsen (Kreis Höxter, Westfalia), dove furono liberati dalle truppe americane il 4 aprile.

Dall'estate del 1945 Łukasiewicz insegnò logica in una scuola secondaria polacca istituita in un ex campo di prigionia polacco a Dössel. Nell'ottobre 1945 furono autorizzati a viaggiare a Bruxelles. Lì Łukasiewicz insegnò di nuovo la logica in un istituto scientifico polacco provvisorio. Non essendo disposto a tornare in Polonia sotto il controllo comunista, Łukasiewicz cercò un posto altrove. Nel febbraio del 1946 ricevette un'offerta per andare in Irlanda. Il 4 marzo 1946 gli Łukasiewiczes arrivarono a Dublino, dove furono ricevuti dal Segretario agli Esteri e dal Taoiseach Eamon de Valera. Nell'autunno del 1946 Łukasiewicz fu nominato professore di Logica matematica presso la Royal Irish Academy (RIA), dove dava lezioni una volta e poi due volte a settimana.

Negli ultimi anni in Irlanda Łukasiewicz ha ripreso i contatti con colleghi all'estero, in particolare Scholz, con i quali era in costante corrispondenza. Ha partecipato a conferenze in Gran Bretagna, Francia e Belgio, ha inviato documenti in Polonia prima di essere espulso (con altri 15 polacchi in esilio) dall'Accademia di Polonia a Cracovia, ha tenuto conferenze sulla logica matematica alla Queen's University di Belfast e sul sillogistico di Aristotele all'University College di Dublino. La sua salute si deteriorò e ebbe diversi attacchi di cuore: nel 1953 non fu più in grado di tenere lezioni all'Accademia. Nel 1955 ricevette un dottorato onorario dal Trinity College di Dublino. Il 13 febbraio 1956, dopo un'operazione per rimuovere i calcoli biliari, ebbe una terza trombosi coronarica grave e morì in ospedale. Fu sepolto nel cimitero del Monte Girolamo a Dublino, "lontano dal caro Lwów e dalla Polonia",come recita la sua lapide. Regina ha depositato la maggior parte dei suoi articoli scientifici e corrispondenza con la RIA. Nel 1963 l'Accademia trasferì le loro proprietà nella biblioteca dell'Università di Manchester, dove rimangono, senza licenza. La scelta di Manchester fu dovuta alla presenza lì come docente di Czesław Lejewski, che aveva studiato con Łukasiewicz a Varsavia e due volte esaminato da quest'ultimo per tesi di dottorato, una volta nel 1939, quando intervenne la guerra, una seconda volta a Londra nel 1954 Lejewski aveva visto attraverso la stampa la seconda edizione del libro di Łukasiewicz sul sillogistico di Aristotele: apparve postumo nel 1957. La scelta di Manchester fu dovuta alla presenza lì come docente di Czesław Lejewski, che aveva studiato con Łukasiewicz a Varsavia e due volte esaminato da quest'ultimo per tesi di dottorato, una volta nel 1939, quando intervenne la guerra, una seconda volta a Londra nel 1954 Lejewski aveva visto attraverso la stampa la seconda edizione del libro di Łukasiewicz sul sillogistico di Aristotele: apparve postumo nel 1957. La scelta di Manchester fu dovuta alla presenza lì come docente di Czesław Lejewski, che aveva studiato con Łukasiewicz a Varsavia e due volte esaminato da quest'ultimo per tesi di dottorato, una volta nel 1939, quando intervenne la guerra, una seconda volta a Londra nel 1954 Lejewski aveva visto attraverso la stampa la seconda edizione del libro di Łukasiewicz sul sillogistico di Aristotele: apparve postumo nel 1957.

2. L'influenza di Twardowski

Łukasiewicz è stato uno dei primi studenti di Twardowski a Lwów ed è stato influenzato dai suoi atteggiamenti e metodi dal suo insegnante. Twardowski nacque e studiò a Vienna, dove divenne discepolo di Franz Brentano, e fu pervaso dall'appassionato patrocinio della filosofia come disciplina rigorosa, da indagare con la stessa cura e attenzione ai dettagli di qualsiasi scienza empirica e essere comunicato con la massima trasparenza. Nel 1895 Twardowski fu nominato professore straordinario a Lwów. Trovò la vita filosofica polacca inattiva e di terzo livello, e iniziò a vitalizzare l'argomento e a costruire le sue istituzioni polacche, a spese della sua stessa produzione accademica. Come Brentano, credeva che una solida psicologia descrittiva fosse metodologicamente basilare per la filosofia, e come Brentano sosteneva modeste riforme nella logica formale. Łukasiewicz, sotto l'influenza di Husserl, Russell e Frege, respinse qualsiasi ruolo fondamentale per la psicologia, e ispirato in particolare da questi ultimi due, portò la riforma della logica molto al di là di qualsiasi cosa Twardowski immaginasse. Lesse The Principles of Mathematics di Russell nel 1904 e ciò lo influenzò notevolmente. L'atteggiamento generale secondo cui la filosofia avrebbe potuto e dovuto aspirare a essere scientificamente esatto era quello di Łukasiewicz, sebbene la sua valutazione dello stato della materia tendesse a diventare più pessimista che ottimista, e sosteneva di riformare fondamentalmente la filosofia secondo linee logiche. Lesse The Principles of Mathematics di Russell nel 1904 e ciò lo influenzò notevolmente. L'atteggiamento generale secondo cui la filosofia avrebbe potuto e dovuto aspirare a essere scientificamente esatto era quello di Łukasiewicz, sebbene la sua valutazione dello stato della materia tendesse a diventare più pessimista che ottimista, e sosteneva di riformare fondamentalmente la filosofia secondo linee logiche. Lesse The Principles of Mathematics di Russell nel 1904 e ciò lo influenzò notevolmente. L'atteggiamento generale secondo cui la filosofia avrebbe potuto e dovuto aspirare a essere scientificamente esatto era quello di Łukasiewicz, sebbene la sua valutazione dello stato della materia tendesse a diventare più pessimista che ottimista, e sosteneva di riformare fondamentalmente la filosofia secondo linee logiche.

Un altro rispetto in cui Łukasiewicz ha continuato la tradizione della scuola di Brentano era nel suo rispetto per la storia della filosofia, in particolare quella di Aristotele e degli empiristi britannici. (Lui e Twardowski hanno tradotto la prima inchiesta di Hume in polacco.) Twardowski, che conosceva bene il lavoro di Bolzano, ha sottolineato somiglianze tra concetti nelle teorie della probabilità di Bolzano e Łukasiewicz. Il rispetto per la storia era anche alla base degli studi rivoluzionari di Łukasiewicz nella storia della logica, in particolare i suoi resoconti sulla logica proposizionale stoica e il sillogistico di Aristotele.

Łukasiewicz emulò e in effetti superò Twardowski nella sua attenzione alla chiarezza espressiva. Esperti qualificati concordano sul fatto che la prosa scientifica di Łukasiewicz, in qualunque delle tre lingue in cui ha scritto, è di chiarezza e bellezza senza pari.

3. Primi lavori

Negli anni prima della prima guerra mondiale, Łukasiewicz lavorava prevalentemente su questioni relative alla metodologia della scienza. Il suo dottorato, pubblicato nel 1903 come "Sull'induzione come l'inverso della deduzione", ha studiato il rapporto tra le due forme di ragionamento, alla luce del lavoro di Jevons, Sigwart ed Erdmann. Il ragionamento induttivo, partendo da singolari affermazioni empiriche, tenta nella sua visione iniziale di giungere a una conclusione generale alla quale si può attribuire una certa probabilità. Ma presto passò all'idea che è impossibile attribuire una determinata probabilità a un'affermazione generale sulla base dell'induzione. Piuttosto, il metodo delle scienze empiriche è di mettere in pericolo creativamente il pensiero che una certa generalizzazione è vera, dedurre conclusioni singolari da ciò e quindi vedere se queste sono vere. Se una conclusione non lo è,quindi la dichiarazione generale viene confutata. Questo, una prima formulazione del metodo scientifico ipotetico-deduttivo, anticipa le idee di Popper di oltre due decenni, sebbene espresse in modo meno energico. Łukasiewicz ha anche anticipato Popper sottolineando quelli che ha chiamato "elementi creativi nella scienza", contro l'idea che il compito dello scienziato sia di riprodurre o replicare i fatti.

Un interesse per la probabilità stava dietro una delle due monografie di Łukasiewicz pubblicate prima della guerra, vale a dire Logical Foundations of Probability Theory, che è stata scritta e pubblicata non in polacco ma in tedesco. Nel 1908 e nel 1909 Łukasiewicz visitò Graz, dove sia Alexius Meinong che Ernst Mally stavano lavorando anche alla teoria della probabilità in quel momento, quindi è probabile che il libro sia stato scritto in tedesco perché la loro lingua di discussione era il tedesco, e anche al fine di garantire un pubblico più ampio. La teoria di Łukasiewicz fa un uso costruttivo delle idee raccolte altrove: da Frege ha preso l'idea di un valore di verità, da Whitehead e Russell l'idea di una proposta indefinita, e da Bolzano l'idea del rapporto tra valori reali e tutti i valori per un proposizione. Considera l'esempio dell'urna classica,dove un'urna contiene m palline nere e n palline bianche. Lascia che la proposizione indefinita '(x) sia una palla nera in questa urna' sia tale che la variabile '(x)' possa assumere come valore qualsiasi espressione che nomina una palla nell'urna: la variabile viene quindi detta intervallo sopra le singole sfere e diverse espressioni che nominano la stessa sfera per avere lo stesso valore. (Si noti che Łukasiewicz usa davvero la terminologia, in seguito associata a Quine, di una variabile che assume valori, qui espressioni, e si estende su oggetti designati da dette espressioni.) Una proposizione indefinita si dice vera se produce una proposizione vera (dice Łukasiewicz "giudizio" per una proposizione definita) per tutti i valori delle sue variabili, è falso se produce un falso giudizio per tutti i valori,e non è né vero né falso se produce giudizi veri per alcuni valori e giudizi falsi per altri. Il rapporto valori reali / tutti i valori viene quindi chiamato da Łukasiewicz come valore di verità della proposizione indefinita. Per veri indefiniti è 1, per falsi indefiniti è 0, e per altri è un numero razionale compreso tra 0 e 1 (razionale perché vengono considerati solo domini finiti). Nel nostro caso dell'urna il valore di verità della proposizione indefinita 'x è una palla nera in questa urna' è (frac {m} {m + n}). Nel nostro caso dell'urna il valore di verità della proposizione indefinita 'x è una palla nera in questa urna' è (frac {m} {m + n}). Nel nostro caso dell'urna il valore di verità della proposizione indefinita 'x è una palla nera in questa urna' è (frac {m} {m + n}).

Su questa base Łukasiewicz sviluppa un calcolo di valori di verità in cui può trattare proposizioni logicamente complesse, probabilità condizionata, indipendenza probabilistica e derivare il Teorema di Bayes. Il calcolo dei valori di verità viene usato come teoria logica della probabilità, aiutandoci nei nostri rapporti con la realtà definita: Łukasiewicz nega che possa esistere una teoria della probabilità oggettiva o soggettiva in quanto tale. Vale la pena sottolineare due idee di questo breve ma straordinario lavoro perché risuonano con quelle successive di Łukasiewicz. In primo luogo, c'è l'idea che una proposizione (in questo caso una proposizione indefinita) non sia né vera né falsa; in secondo luogo, e collegato a questo, di una tale proposizione avente un valore numerico di verità correttamente compreso tra 0 (falso) e 1 (vero). La teoria di Łukasiewicz merita di essere meglio conosciuta:continua e amplia le idee precedenti di Bolzano, la sua probabilità corrisponde al grado di validità di quest'ultima di una proposizione (rispetto alle componenti variabili). Il suo principale svantaggio è che è formulato solo per domini finiti.

Di tutte le opere pubblicate da Łukasiewicz prima della prima guerra mondiale, una anticipava chiaramente le sue preoccupazioni successive. Questa era la monografia del 1910 sul principio di contraddizione in Aristotele. Ha segnato una svolta cruciale nello sviluppo della scuola Lwów-Varsavia. Per Łukasiewicz rappresentava il primo interrogatorio sostenuto delle ipotesi della logica aristotelica tradizionale.

Łukasiewicz introduce il progetto della sua monografia, un'indagine critica sulla legittimità del Principio di Contraddizione (PC), come variamente formulata da Aristotele, nel contesto della sua critica di Hegel e l'opportunità di riesaminare il PC alla luce del sviluppo della logica matematica da Boole a Russell. Le fonti di Łukasiewicz per la discussione post-hegeliana sulla "domanda logica" sono Ueberweg, Trendelenburg e Sigwart. Uno sfondo più locale era probabilmente il resoconto di Twardowski sulla natura assoluta e senza tempo della verità.

Łukasiewicz distingue tre diverse versioni non equivalenti di PC in Aristotele: una versione ontologica, una versione logica e una versione psicologica, come segue:

Ontologico (OPC): nessun oggetto può allo stesso tempo possedere e non possedere la stessa proprietà.

Logico (LPC): le dichiarazioni contraddittorie non sono simultaneamente vere.

Psicologico (PPC): nessuno può credere simultaneamente a cose contraddittorie.

Łukasiewicz critica Aristotele perché da un lato sostiene che il PC non può essere provato e, dall'altro, tenta una "prova" indiretta o pragmatica. In parziale accordo con la tradizione secondo cui il PC non è la pietra angolare o il principio base della logica, Łukasiewicz afferma che il suo status è meno sicuro di alcune altre proposizioni logiche e che la sua funzione è principalmente quella di servire come norma pragmatica. Tuttavia, in un'appendice del libro, dà una derivazione formale di una versione di PC da altri presupposti. Ciò dimostra che il PC è come se fosse solo un teorema logico tra gli altri, un'affermazione che avrebbe sollevato alcune sopracciglia oggi ma era abbastanza radicale ai suoi tempi. Tra le ipotesi utilizzate nella derivazione c'è una versione del Principio di bivalenza, secondo cui ogni proposizione è vera o falsa e nessuna è entrambe,quindi la derivazione del PC non è affatto una sorpresa.

Łukasiewicz si descrisse in seguito come un tentativo nella monografia di escogitare una "logica non aristotelica", ma ammette che non ci riuscì, principalmente perché in questa fase non era disposto a respingere il principio di bivalenza. Potrebbe essere l'influenza di Meinong sul lavoro quando Łukasiewicz arriva a dare i suoi rendering in linguaggio naturale del simbolismo dell'algebra della logica di Couturat nell'Appendice. C'è poca o nessuna traccia della logica proposizionale che Łukasiewicz doveva fare proprio da solo: i rendering sono goffamente teorici di oggetti: la costante '0' per esempio, che potrebbe essere naturalmente interpretata come una proposizione falsa costante (ed è così in seguito Łukasiewicz) viene visualizzato come "l'oggetto che non esiste". Questo è uno dei motivi per cui il lavoro formale di Łukasiewicz nell'Appendice al lavoro del 1910 appare relativamente arcaico. Mentre le lettere variabili come (a, b) ecc. "Indicano affermazioni affermative" e le loro negazioni (a ', b') ecc. "Indicano affermazioni negative", e in pratica funzionano come variabili proposizionali e le loro negazioni nella moderna logica proposizionale, i rendering di Łukasiewicz sono curiosamente ibridi: '(a)' è reso come '(X) contiene (a)' e '(a') 'come' (X) non contiene (a) ', mentre' 1 'indica' (X) è un oggetto 'e' 0 'significa' (X) non è un oggetto '. Tutto ciò è molto confuso, e non è assolutamente intesa una logica sentenziale classica, anche se funziona come una in pratica.e in pratica funzionano come variabili proposizionali e le loro negazioni nella moderna logica proposizionale, i rendering di Łukasiewicz su di essi sono curiosamente ibridi: '(a)' è reso come '(X) contiene (a)' e '(a ')' come '(X) non contiene (a)', mentre '1' significa '(X) è un oggetto' e '0' significa '(X) non lo è un oggetto'. Tutto ciò è molto confuso, e non è assolutamente intesa una logica sentenziale classica, anche se funziona come una in pratica.e in pratica funzionano come variabili proposizionali e le loro negazioni nella moderna logica proposizionale, i rendering di Łukasiewicz su di essi sono curiosamente ibridi: '(a)' è reso come '(X) contiene (a)' e '(a ')' come '(X) non contiene (a)', mentre '1' significa '(X) è un oggetto' e '0' significa '(X) non lo è un oggetto'. Tutto ciò è molto confuso, e non è assolutamente intesa una logica sentenziale classica, anche se funziona come una in pratica.

Pur non essendo di per sé un successo, il libro mostra Łukasiewicz sulla soglia delle sue successive scoperte logiche. Fu letto nel 1911 dal giovane Leśniewski, che cercò contro Łukasiewicz di provare l'OPC e che si presentò per la prima volta nel 1912 sulla soglia di Łukasiewicz con le parole: "Sono Leśniewski, e sono venuto a mostrarti le prove di un articolo che ho scritto contro di te. " Il libro contiene anche una breve discussione sul paradosso di Russell, e stava leggendo questo che ha ispirato Leśniewski a diventare un logico, intento a fornire una base logica priva di paradossi per la matematica. Il libro promuoveva ulteriori discussioni in Lwów: Kotarbiński scrisse in difesa dell'idea di Aristotele, discussa da Łukasiewicz, che un'affermazione sui futuri eventi contingenti potrebbe non avere un valore di verità prima dell'evento e guadagnarne uno solo dopo,mentre Leśniewski ha scritto in opposizione a questo e ha portato Kotarbiński alla sua opinione (che era d'accordo con le precedenti vedute di Twardowski e successive di Tarski) che la verità è senza tempo, o come Leśniewski l'ha espressa, sia eterna che semplice. Łukasiewicz presto si schierò dalla parte del precedente Kotarbiński, e così facendo fece la sua scoperta più famosa, quella della logica dai molti valori.

4. Logica proposizionale

4.1 Scoperte nella logica proposizionale

Łukasiewicz si imbatté nella logica proposizionale, che originariamente seguiva Whitehead e Russell nel chiamare "teoria della deduzione", nel loro lavoro e anche in quello di Frege. Nel 1921 Łukasiewicz pubblicò un articolo di chiarimento del terreno, "Two-Valued Logic", in cui riuniva i risultati nell'algebra della logica che governa i due valori di verità vero e falso, che, come Frege, Łukasiewicz interpretava come frasi o proposizioni indicato, ma per il quale, a differenza di Frege, introdusse costanti simboli proposizionali '1' e '0'. Lo intendeva come la prima parte di una monografia sulla logica a tre valori, che tuttavia non fu mai completata, probabilmente perché Łukasiewicz divenne insoddisfatto dell'approccio piuttosto ibrido che era già superato dal suo rapido sviluppo. L'articolo è degno di nota per diverse innovazioni. Usando un simbolismo derivato da quelli di Couturat e Peirce, introduce l'idea del rifiuto assiomatico accanto a quella dell'asserzione assiomatica, che quest'ultimo era ovviamente familiare a Frege, Whitehead e Russell. Le costanti '0' e '1' si verificano anche in formule asserite e rifiutate, in effetti impostando una versione in linguaggio oggetto delle tabelle di verità. Per dimostrarlo, usiamo la notazione successiva senza parentesi di Łukasiewicz (vedi il documento supplementare (Notazione libera da parentesi o polacca di Łukasiewicz) e i suoi simboli '(vdash)' per affermazione e '(dashv)' per rifiuto, da leggere rispettivamente come "Asserisco" e "Respingo". I primi principi della logica sono semplicemente ({ vdash} 1) e ({ dashv} 0) ma per indicare la tabulazione per l'implicazione quanto segue i principi devono essere rispettati: ({ vdash} C00, { vdash} C01, { dashv} C10,{ Vdash} C11). Quando Łukasiewicz impiegava variabili proposizionali, le quantificava alla maniera di Peirce, usando '(Pi)' per l'universale e '(Sigma)' per il particolare quantificatore.

Łukasiewicz e i suoi studenti fecero molto lo studio dei calcoli proposizionali: i risultati ottenuti tra il 1920 e il 1930 furono pubblicati in un documento congiunto del 1930 di Łukasiewicz e Tarski, "Untersuchungen über den Aussagenkalkül". Il lavoro è proseguito sia su calcoli classici (bivalenti) che su molti valori. La dimostrazione più chiara e completa di come Łukasiewicz nella sua maturità ha trattato il calcolo proposizionale classico nel suo libro di testo per studenti del 1929, basato su appunti di lezione, Elements of Mathematical Logic. Il sistema, seguendo Frege, si basa solo sull'implicazione ((C)) e sulla negazione ((N)), con l'elegante set di assiomi

(begin {align} & CCpqCCqrCpr \& CCNppp \& CpCNpq / end {align})

e tre regole di inferenza: modus ponens, una regola di sostituzione uniforme delle formule per le variabili proposizionali e una regola di sostituzione definitiva. Su questa base, e usando una notazione lineare estremamente compressa per le prove che è all'estremo opposto delle prove occupanti lo spazio di Frege, Łukasiewicz dimostra circa 140 teoremi in sole 19 pagine.

Łukasiewicz, aiutato e incoraggiato da studenti e colleghi, non solo Tarski ma anche Adolf Lindenbaum, Jerzy Słupecki, Bolesław Sobociński, Mordechaj Wajsberg e altri, ha studiato non solo il calcolo proposizionale completo (funzionalmente completo), con diversi set di connettivi come base, tra cui il funzione D di Sheffer, ma anche i calcoli parziali, in particolare il calcolo implicazionale puro (basato solo su C) e il calcolo equivalente equivalente (basato solo su E). Si sono sforzati di trovare insiemi di assiomi che soddisfino una serie di criteri normativi: gli assiomi dovrebbero essere il meno possibile, il più corti possibile, indipendenti, con il minor numero possibile di primitivi. Indubbiamente c'era un elemento competitivo nella ricerca di sistemi assiomi sempre migliori, in particolare nel tentativo di trovare assiomi singoli per vari sistemi,e l'esercizio è stato sorriso o addirittura sminuito come un semplice "sport", ma la preoccupazione polacca per il miglioramento dei sistemi di assiomi era una ricerca della perfezione logica, un esempio di ciò che Jan Woleński ha definito "la logica per il bene della logica". Un tempo si pensava, non senza alcuna giustificazione, che solo i polacchi potessero competere. Quando Tarski una volta si congratulò con il logico americano Emil Post per essere stato l'unico non polacco a dare un contributo fondamentale alla logica proposizionale, Post rispose che era nato ad Augustów e sua madre proveniva da Białystok. Più tardi, Łukasiewicz trovò nel matematico irlandese Carew Meredith un degno non polacco che poteva superare anche i polacchi nella brevità dei suoi assiomi.un'illustrazione di ciò che Jan Woleński ha definito "la logica per il bene della logica". Un tempo si pensava, non senza alcuna giustificazione, che solo i polacchi potessero competere. Quando Tarski una volta si congratulò con il logico americano Emil Post per essere stato l'unico non polacco a dare un contributo fondamentale alla logica proposizionale, Post rispose che era nato ad Augustów e sua madre proveniva da Białystok. Più tardi, Łukasiewicz trovò nel matematico irlandese Carew Meredith un degno non polacco che poteva superare anche i polacchi nella brevità dei suoi assiomi.un'illustrazione di ciò che Jan Woleński ha definito "la logica per il bene della logica". Un tempo si pensava, non senza alcuna giustificazione, che solo i polacchi potessero competere. Quando Tarski una volta si congratulò con il logico americano Emil Post per essere stato l'unico non polacco a dare un contributo fondamentale alla logica proposizionale, Post rispose che era nato ad Augustów e sua madre proveniva da Białystok. Più tardi, Łukasiewicz trovò nel matematico irlandese Carew Meredith un degno non polacco che poteva superare anche i polacchi nella brevità dei suoi assiomi. Post rispose che era nato ad Augustów e sua madre veniva da Białystok. Più tardi, Łukasiewicz trovò nel matematico irlandese Carew Meredith un degno non polacco che poteva superare anche i polacchi nella brevità dei suoi assiomi. Post rispose che era nato ad Augustów e sua madre veniva da Białystok. Più tardi, Łukasiewicz trovò nel matematico irlandese Carew Meredith un degno non polacco che poteva superare anche i polacchi nella brevità dei suoi assiomi.

Łukasiewicz ha usato matrici molto apprezzate per stabilire l'indipendenza degli assiomi logici nei sistemi di Frege, Russell e altri. Ha dimostrato la completezza dei calcoli completi, implicazionali ed equivalenti e ha dimostrato che il calcolo equivalenziale poteva basarsi sul singolo assioma (EEpqErqEpr), con sostituzione e distacco per equivalenza, e ha inoltre dimostrato che nessun assioma più breve poteva essere l'unico assioma del sistema. Tarski mostrò nel 1925 che il puro calcolo implicazionale poteva basarsi su un singolo assioma, ma una serie di miglioramenti di Wajsberg e Łukasiewicz portarono alla scoperta di quest'ultimo nel 1936 che la formula (CCCpqrCCrpCsp) poteva servire da singolo assioma e che non più breve l'assioma sarebbe sufficiente, anche se la pubblicazione di questo risultato dovette attendere fino al 1948.

4.2 Variabili proposizionali variabili

Il calcolo proposizionale standard non impiega né quantificatori né funzioni variabili, ovvero i funzioni di uno o più luoghi che accettano argomenti proposizionali, ma che a differenza di tali funzioni costanti come (N) o (C) non hanno un significato fisso. Tali funzioni variabili agiscono come i predicati della logica dei predicati del primo ordine, tranne che per prendere argomenti proposizionali piuttosto che nominali. Si aggiungono così al potere espressivo della logica. Leśniewski ha aggiunto sia i quantificatori sia le variabili proposizionali e funzionali alla logica proposizionale e ha chiamato la teoria risultante protetica. Lasciando taciti quantificatori universali prefissati, si tratta di una tesi di quello protetico

(begin {align} & CEpqC / delta p / delta q / end {align})

dove (delta) è un funzione proposizionale a un posto, fuori dalla stessa stalla sintattica della negazione o necessità. Questa tesi è un'espressione della legge dell'estensione per le espressioni proposizionali. Se (p) e (q) sono sostituiti da espressioni complesse (x) e (y) la tesi può essere utilizzata per abilitare le definizioni nella forma implicazionale (C / delta x / delta y).

Se (delta) è sostituito dalla prima parte di un'espressione complessa, ad esempio (Cq) o (CCq0), allora semplicemente adiacente una variabile come (p) per dare (Cqp), (CCq0p), è semplice. Ma se il "gap" in cui la variabile deve andare non è alla fine, come (Cpq), o se la variabile deve essere inserita più di una volta, come (CCp0p), questa semplice procedura di sostituzione sarà non funziona. Leśniewski ha aggirato il problema introducendo definizioni ausiliarie che hanno spostato lo slot variabile richiesto nella posizione giusta con una sola occorrenza. Ma Łukasiewicz ha trovato questa procedura non intuitiva e dispendiosa. La sua preferenza - che di fatto fa eco alla pratica di Frege - era quella di consentire qualsiasi contesto in cui una singola variabile proposizionale fosse libera di servire da sostituente per un funzione come (delta),e segna i luoghi in cui l'argomento di (delta) doveva essere inserito con un apostrofo, quindi nei nostri esempi (C / apos q), (CC / apos 0 / apos). Questa "sostituzione con apostrofo" più liberale consente di dare alle definizioni una forma implicazionale soddisfacente e semplice. Ad esempio, nel calcolo proposizionale basato sull'implicazione e sulla costante proposizionale 0, la negazione può essere definita semplicemente da (C / delta Np / delta Cp0). L'uso di funzioni variabili con sostituzione liberale consente di dare una serie di principi della logica proposizionale compressioni sorprendentemente compresse ed eleganti, ad esempio il principio di bivalenza nella formaQuesta "sostituzione con apostrofo" più liberale consente di dare alle definizioni una forma implicazionale soddisfacente e semplice. Ad esempio, nel calcolo proposizionale basato sull'implicazione e sulla costante proposizionale 0, la negazione può essere definita semplicemente da (C / delta Np / delta Cp0). L'uso di funzioni variabili con sostituzione liberale consente di dare una serie di principi della logica proposizionale compressioni sorprendentemente compresse ed eleganti, ad esempio il principio di bivalenza nella formaQuesta "sostituzione con apostrofo" più liberale consente di dare alle definizioni una forma implicazionale soddisfacente e semplice. Ad esempio, nel calcolo proposizionale basato sull'implicazione e sulla costante proposizionale 0, la negazione può essere definita semplicemente da (C / delta Np / delta Cp0). L'uso di funzioni variabili con sostituzione liberale consente di dare una serie di principi della logica proposizionale compressioni sorprendentemente compresse ed eleganti, ad esempio il principio di bivalenza nella formaper esempio il principio di bivalenza nella formaper esempio il principio di bivalenza nella forma

(begin {align} & C / delta 0C / delta C00 / delta p / end {align})

che può essere letto come "se qualcosa è vero per una proposizione falsa, allora se è vera per una proposizione vera, è vera per qualsiasi proposizione" (C 00 è una proposizione vera). I risultati supremi della compressione usando funzioni variabili sono stati fatti da Meredith, che ha dimostrato che l'intera logica proposizionale classica con funzioni variabili può essere basata sul singolo assioma

(begin {align} & C / delta pC / delta Np / delta q. / end {align})

Più sorprendentemente, nel 1951 Meredith mostrò che l'intero calcolo proposizionale bivalente con quantificatori e funzioni variabili può essere dedotto, usando le regole di sostituzione, distacco e quantificatore, dalla singola formula assiomatica

(begin {align} & C / delta / delta 0 / delta p. / end {align})

Łukasiewicz ha descritto con ammirazione questa impresa come "un capolavoro dell'arte della deduzione".

4.3 Logica intuitiva

Łukasiewicz era interessato alla logica intuizionista, anche perché, come la sua, respingeva la legge del mezzo escluso. In un recente articolo pubblicato nel 1952, diede un'elegante assiomatizzazione con dieci assiomi, usando le lettere (F), (T) e (O) per i connettivi intuizionisti di implicazione, congiunzione e disgiunzione, rispettivamente, in al fine di ovviare agli scontri causati dalla "competizione" per i connettivi, sebbene in modo interessante mantenne la solita negazione per entrambi i sistemi. Quindi ha mostrato come definire l'implicazione classica come (NTpNq), ha formulato questa definizione usando un funzione variabile come implicazione

(begin {align} & F / delta NTpNq / delta Cpq / end {align})

e ha dimostrato che in questa versione la logica bivalente classica basata su (C) e (N) è contenuta nella logica intuizionistica, a condizione che il distacco sia limitato solo alle formule (C) - (N). La congiunzione classica e la disgiunzione possono essere definite nel solito modo rispettivamente (NCpNq) e (CNpq). Differenziando l'intuizionista dai connettivi classici, la sua prospettiva inverte quella consueta che il calcolo proposizionale intuizionista è più povero nei teoremi rispetto al classico: nella formulazione di Łukasiewicz è il contrario.

5. Logica dai molti valori

5.1 Possibilità e terzo valore

Il risultato più celebre di Łukasiewicz è stato il suo sviluppo di logiche molto apprezzate. Questo sviluppo rivoluzionario è venuto nel contesto della discussione della modalità, in particolare delle possibilità. Ai logici moderni, abituati all'idea che la logica modale si innesti nella logica bivalente classica, questo può sembrare strano. Ma consideriamo come Łukasiewicz è arrivato all'idea. Se (p) è una proposizione, notiamo (Lp) che è necessario che (p) e (Mp) che sia possibile che (p). I due operatori modali sono collegati dalla solita equivalenza (ENLpMNp). Tutti accettano le implicazioni (CLpp) e (CpMp). Łukasiewicz suppone che si accettino anche le implicazioni opposte (CpLp) e (CMpp), come si farebbe da un punto di vista deterministico. Ciò fornisce le equivalenze (EpLp) e (EpMp), che collassano efficacemente le distinzioni modali. Ora aggiungi l'idea che la possibilità è bilaterale: se qualcosa è possibile, allora lo è anche la sua negazione: (EMpMNp). Da questi ne consegue immediatamente che (EpNp), e questo è paradossale nella logica a due valori. La via d'uscita, come la ritrae Łukasiewicz, è quella di non eliminare le distinzioni modali, non rifiutando nessuno dei principi sopra ma trovando un caso in cui (EpNp) è vero. Intratteniamo l'idea che la proposizione (Mp) sia vera quando (p) non è né vera né falsa. Oltre ai valori di veritànon rifiutando nessuno dei principi di cui sopra, ma trovando un caso in cui (EpNp) è vero. Intratteniamo l'idea che la proposizione (Mp) sia vera quando (p) non è né vera né falsa. Oltre ai valori di veritànon rifiutando nessuno dei principi di cui sopra, ma trovando un caso in cui (EpNp) è vero. Intratteniamo l'idea che la proposizione (Mp) sia vera quando (p) non è né vera né falsa. Oltre ai valori di verità true (1) e false (0), consentono quindi un terzo valore, possibile, che scriviamo '(tfrac {1} {2})', in modo che quando (p) non sia né vero né falso, è possibile, così come la sua negazione (Np), poiché se (Np) fosse vero, (p) sarebbe falso e viceversa. Se (Epq) è vero quando (p) e (q) hanno lo stesso valore di verità, allora quando (p) è possibile (scriviamo '(tval {p})' per il valore di verità di (p), quindi (tval {p} = / tfrac {1} {2})) abbiamo

(begin {align} & / tval {EpNp} = / tval {E / tfrac {1} {2} tfrac {1} {2}} = 1 / end {align})

Questo è, con lievi modifiche, il modo in cui Łukasiewicz introduce il terzo valore nel suo primo articolo pubblicato sull'argomento, che porta il titolo "Sul concetto di possibilità". Questo breve articolo si basa su un discorso tenuto il 5 giugno 1920 a Lwów. Due settimane dopo un secondo discorso nello stesso posto è stato intitolato in modo più trasparente "Sulla logica a tre valori". In questo, Łukasiewicz stabilisce i principi che governano l'implicazione e l'equivalenza che coinvolgono il terzo valore. Questi in effetti determinano le tabelle di verità [2] per questi connettivi:

(C) 1 ½ 0
1 1 ½ 0
½ 1 1 ½
0 1 1 1
(E) 1 ½ 0
1 1 ½ 0
½ ½ 1 ½
0 0 ½ 1

Insieme alle definizioni assunte di negazione, congiunzione e disgiunzione come, rispettivamente

(begin {align} Np & = Cp0 \\ Apq & = CCpqq \\ Kpq & = NANpNq / end {align})

questo produce tabelle di verità per questi connettivi come

(N)
1 0
½ ½
0 1
(UN) 1 ½ 0
1 1 1 1
½ 1 ½ ½
0 1 ½ 0
(K) 1 ½ 0
1 1 ½ 0
½ ½ ½ 0
0 0 0 0

Łukasiewicz dichiara con orgoglio "che la logica a tre valori ha, soprattutto, un significato teorico come il primo tentativo di creare una logica non aristotelica" (PL, 18; SW, 88). Quale sia il suo significato pratico, pensa che aspetti di essere visto, e per questo abbiamo bisogno di "confrontare con l'esperienza le conseguenze della visione indeterministica che è la base metafisica della nuova logica" (ibid.).

5.2 Indeterminismo e il terzo valore

Questa osservazione finale rivela la motivazione della spinta di Łukasiewicz a sostituire la vecchia logica bivalente con quella nuova trivalente. Era per difendere l'indeterminismo e la libertà. In effetti l'idea era stata realizzata tre anni prima. Essendo stato nominato ad una posizione amministrativa presso il Ministero della Pubblica Istruzione nel 1918 e stava per lasciare la vita accademica per un periodo indefinito, Łukasiewicz tenne una "lezione d'addio" all'Università di Varsavia il 17 marzo, in cui annunciò in modo drammatico, " Ho dichiarato una guerra spirituale contro ogni coercizione che limita la libera attività creativa dell'uomo. " La forma logica di questa coercizione, secondo l'opinione di Łukasiewicz, era la logica aristotelica, che limitava le proposizioni a vero o falso. La sua arma in questa guerra era una logica a tre valori. Ricordando la sua monografia del 1910, osserva che:

Anche allora mi sono sforzato di costruire una logica non aristotelica, ma invano. Ora credo di esserci riuscito. Il mio percorso mi è stato indicato dalle antinomie, che dimostrano che c'è una lacuna nella logica di Aristotele. Colmare questa lacuna mi ha portato a una trasformazione dei principi tradizionali della logica. L'esame di tale questione è stato l'oggetto delle mie ultime lezioni. Ho dimostrato che oltre alle proposizioni vere e false ci sono possibili proposizioni, a cui la possibilità oggettiva corrisponde come terzo oltre all'essere e al non essere. Ciò ha dato origine a un sistema di logica a tre valori, che ho elaborato in dettaglio l'estate scorsa. Tale sistema è coerente e autoconsistente come la logica di Aristotele, ed è molto più ricco di leggi e formule. Quella nuova logica, introducendo il concetto di possibilità oggettiva,distrugge il precedente concetto di scienza, basato sulla necessità. I possibili fenomeni non hanno cause, sebbene essi stessi possano essere l'inizio di una sequenza causale. Un atto di un individuo creativo può essere libero e allo stesso tempo influenzare il corso del mondo. (SW, 86)

Poiché Łukasiewicz fu coinvolto nel governo fino alla fine del 1919, ci vollero fino al 1920 perché le sue scoperte del 1917 fossero rivelate a un pubblico accademico più ampio. Łukasiewicz tornò sull'argomento del determinismo per la sua lezione inaugurale come Rettore dell'Università di Varsavia il 16 ottobre 1922. Quella lezione, tenuta senza appunti ma in seguito scritta, fu rielaborata, sebbene non essenziale, fino al 1946. Fu pubblicata solo postumo nel 1961 come "Sul determinismo". Distinguendo il determinismo logico dal causale, Łukasiewicz afferma che se una previsione di un evento contingente futuro come un'azione è vera al momento della previsione, l'evento deve verificarsi, quindi l'unico modo per salvare la libertà d'azione dell'agente è negare che la previsione è vera e assegnarla invece al terzo valore di verità della possibilità.

Qui non è il posto giusto per affrontare i problemi con l'argomentazione di Łukasiewicz. Basti pensare che il determinante EpLp non deve essere accettato dai deterministi e che altri logici che hanno preso in considerazione l'aggiunta di un terzo valore alla logica, come (all'insaputa di Łukasiewicz) William of Ockham, hanno concluso che non vi era motivo di rifiutare la bivalenza mentre sostenere la libertà. Questo senza nemmeno considerare le opinioni compatibiliste.

5.3 Più di tre valori

Una volta spezzato l'incantesimo della bivalenza, un passo successivo naturale era considerare la logica con più di tre valori. Nel 1922 Łukasiewicz indicò come fornire tabelle di verità per i connettivi standard in sistemi con valori di verità finiti o infiniti, secondo i seguenti principi, dove i valori di verità sono numeri nell'intervallo [0,1]:

(begin {allineato} tval {Cpq} & = / begin {casi} 1, & / text {if} tval {p} le / tval {q} (1 - / tval {p}) + / tval {q}, & / text {if} tval {p} gt / tval {q} end {case} / \ tval {Np} & = 1 - / tval {p} end {allineato })

Nel proporre logiche con infiniti valori, Łukasiewicz fu quindi l'inventore di ciò che molto più tardi (43 anni dopo, per essere esatti) si chiamava "logica fuzzy". Commentando questi sistemi nel 1930, scrisse Łukasiewicz

mi è stato chiaro fin dall'inizio che tra tutti i sistemi a molti valori solo due possono rivendicare un significato filosofico: quello a tre valori e quelli a valore infinito. Se valori diversi da "0" e "1" sono interpretati come "il possibile", si possono ragionevolmente distinguere solo due casi: uno dei due assume che non vi siano variazioni in gradi del possibile e conseguentemente arriva al sistema a tre valori; o si assume il contrario, nel qual caso sarebbe più naturale supporre, come nella teoria delle probabilità, che ci siano infiniti gradi di possibilità, che porta al calcolo proposizionale infinitamente valutato. Credo che quest'ultimo sistema sia preferibile a tutti gli altri. Sfortunatamente questo sistema non è stato ancora sufficientemente studiato;in particolare, le relazioni del sistema a valore infinito con il calcolo delle probabilità sono in attesa di ulteriori approfondimenti”. (SW, 173)

Discuteremo questo atteggiamento filosofico di seguito.

5.4 Assiomi e definizioni

Una volta stabilito l'approccio tabellare della verità o della matrice alla logica a molti valori, era naturale considerare la loro assiomatizzazione. Gli studenti di Łukasiewicz hanno assistito in questo. Nel 1931 Wajsberg assiomatizzò il sistema a tre valori Ł (_ 3) con le tesi

(begin {align} & CpCqp \& CCpqCCqrCpr \& CCNpNqCqp \& CCCpNppp / end {align})

Wajsberg ha anche dimostrato una congettura di Łukasiewicz secondo cui il sistema a valore infinito Ł (_ { aleph_0}) può essere assiomatizzato da

(begin {align} & CpCqp \& CCpqCCqrCpr \& CCCpqqCCqpp \& CCCpqCqpCqp \& CCNpNqCqp / end {align})

Nessuno di questi sistemi è funzionalmente completo: esistono connettivi non definibili solo sulla base di C e N. Tra quelli definibili c'è la possibilità M: già nel 1921 Tarski mostrò che poteva essere definito CNpp. Nel 1936 Słupecki mostrò che aggiungendo un functor (T) specificabile come (tval {Tp} = / tfrac {1} {2}) per tutti i valori di p, tutti i connettivi possono essere definiti in £ 3. Assiomatizzare questi sistemi completano funzionalmente le formule

(begin {align} & CTpNTp \& CNTpTp / end {align})

devono essere aggiunti agli assiomi di Wajsberg.

Adolf Lindenbaum ha mostrato che Ł (_ n) è contenuto in Ł (_ m) ((n / lt m)) se e solo se (n - 1) è un divisore di (m - 1), quindi se nessuno dei due divide le rispettive tautologie si sovrappongono correttamente, ma nessuna delle due serie è contenuta nell'altra. Le tautologie del sistema a valore infinito Ł (_ { aleph_0}) sono contenute in quelle di tutti i sistemi a valore finito.

5.5 Secondo pensiero sulla modalità: Sistema Ł

Dal 1917, Łukasiewicz era stato contento della logica a tre valori come la formulazione di adeguate nozioni di modalità, con la nota preferenza per il sistema a valore infinito come perfettamente precisa. A un certo punto, probabilmente intorno al 1951-1952, quando stava lavorando sulla logica modale di Aristotele, Łukasiewicz cambiò idea. Ci sono una serie di ragioni dietro il cambio di mentalità, ma la più facile da identificare è la preoccupazione di Łukasiewicz che in Ł (_ 3) ci sono teoremi della forma (L / alpha), per esempio (LCpp). Perché questa dovrebbe essere una preoccupazione, dato che la maggior parte delle logiche modali "standard" riconoscono il principio che se (alpha) è un teorema, lo è anche (L / alpha)? Łukasiewicz fornisce due esempi per giustificare la preoccupazione. Se ({=} ab) è la proposizione che (a) è identico a (b), allora basando l'identità sui due assiomi di auto-identità ed estensione

(begin {align} & {=} aa \& C {=} abC { phi} a { phi} b / end {align})

quindi crea un'istanza (L {=} a / apos) per (phi)

(begin {align} & C {=} abCL {=} aaL {=} ab / end {align})

e se accettiamo (L {=} aa) siamo costretti a concludere che (L {=} ab), che Łukasiewicz ritiene falso (SW 392, AS 171), citando l'esempio di Quine (1953) (ora obsoleto perché il numero è cambiato) che mentre è vero che 9 = il numero di pianeti, questo non è necessariamente vero, sebbene necessariamente 9 = 9. Doppio, abbiamo

(begin {align} & CMN {=} abN {=} ab / end {align})

cioè se (MN {=} ab) quindi (N {=} ab). Ma supponiamo che a sia sostituito da "il numero lanciato su questo lancio di questo dado" eb da "il numero lanciato sul successivo lancio di questo dado" l'antecedente può essere vero e il conseguente falso.

Sulla scia della successiva successiva discussione di tali esempi di Quine, Kripke e altri, questi esempi sono poco convincenti, ma c'è un'altra ragione più generale per cui Łukasiewicz rifiuta le necessità come teoremi:

si ritiene comunemente che le proposizioni apodittiche abbiano una dignità più elevata e siano più affidabili di quelle assertoriche corrispondenti. Questa conseguenza non è per me evidente. […] Sono propenso a pensare che tutti i sistemi di logica modale che accettano affermazioni apodittiche asserite siano sbagliati. (SW 395-6).

Poiché (LCpp) è un teorema di tutti i sistemi di logica a molti valori fino ad oggi, Łukasiewicz aveva bisogno di inventare qualcosa di nuovo. Lo fece nel suo articolo del 1953 "Un sistema di logica modale".

Łukasiewicz inizia il lavoro definendo le condizioni che una logica modale deve soddisfare. Questi includono rigetti assiomatici e asserzioni, come segue:

(begin {align} & / vdash CpMp \& / dashv CMpp \& / dashv Mp \& / vdash CLpp \& / dashv CpLp \& / dashv NLp \& / vdash EMpNLNp \& / vdash ELpNMNp / end {align})

Per ottenere un sistema di logica modale che rispetti l'estensione per i funzioni proposizionali, Łukasiewicz prende l'assioma di Meredith per il calcolo proposizionale (C) - (N) - (delta)

(begin {align} & / vdash C / delta pC / delta Np / delta q / end {align})

e aggiunge un'altra asserzione assiomatica e due rigetti assiomatici

(begin {align} & / vdash CpMp \& / dashv CMpp \& / dashv Mp / end {align})

insieme a regole di sostituzione e distacco sia per affermazione che per rifiuto, per ottenere la sua logica. I principi per l'affermazione sono come al solito, mentre quelli per il rifiuto sono:

(dashv) Sostituzione: Qualsiasi formula che ha un'istanza di sostituzione rifiutata viene rifiutata.

(dashv) Distacco: se (Cab) viene affermato e (b) viene rifiutato, allora (a) viene rifiutato.

Da questi può derivare tutti i principi desiderati e l'estensione.

Questa è la logica £. A differenza della logica modale standard, ha una matrice caratteristica finita, come segue, dove come Łukasiewicz ora sostituiamo '(M)' con un nuovo simbolo '(Delta)', con 1 come valore designato (vero) e 4 il valore (falso) antidesignato:

(C) 1 2 3 4 (N) ({Delta})
1 1 2 3 4 4 1
2 1 1 3 3 3 1
3 1 2 1 2 2 3
4 1 1 1 1 1 3

La matrice è stata dimostrata caratteristica da Smiley nel 1961. I fattori di necessità ((Gamma)) e la congiunzione sono definibili in modo standard. Ancora più interessante, Łukasiewicz nota che esiste un altro operatore possibilità (nabla) con la tabella di verità anche riportata di seguito:

(K) 1 2 3 4 (Gamma) ({ Nabla})
1 1 2 3 4 2 1
2 2 2 4 4 2 2
3 1 4 3 4 4 1
4 4 4 4 4 4 2

Preso in isolamento, questo è indistinguibile da (Delta), ma i due operatori interagiscono insieme in modo diverso, per entrambi (dashv / Delta / Delta p) e (dashv / nabla / nabla p), entrambi (vdash / Delta / nabla p) e (vdash / nabla / Delta p). Łukasiewicz li confronta con i gemelli che sono indistinguibili separatamente ma distinguibili insieme. Gemelli simili sono l'operatore di necessità (Gamma) e la sua controparte (con valori 3434), e in effetti i due valori di verità intermedi 2 e 3.

La logica è molto diversa dai precedenti sistemi multivalenti di Łukasiewicz e anche molto diversa dagli altri sistemi modali. È diverso dai suoi sistemi in quanto è un'estensione della logica bivalente classica e include tutte le tautologie bivalenti. Ciò è meno sorprendente quando notiamo che le matrici a quattro valori per i connettivi standard sono semplicemente il prodotto cartesiano delle matrici bivalenti standard con se stesse. Sono gli operatori modali che fanno la differenza. Diverse caratteristiche lo rendono molto diverso dai sistemi modali standard. Uno è la completa mancanza di qualsiasi verità, per non parlare dei teoremi, della forma (Gamma a), in linea con il rifiuto di Łukasiewicz di verità di "dignità superiore". Altri teoremi dispari sono:

(vdash CK { Delta} p { Delta} q { Delta} Kpq)

tutte le possibili proposizioni sono possibili

(vdash CEpqC { Delta} p { Delta} q)

sono possibili entrambe proposte materialmente equivalenti se

(vdash C { Delta} pC { Delta} Np { Delta} q)

se una proposizione e la sua negazione sono entrambe possibili, tutto è

Łukasiewicz era a conoscenza di molte di queste strane conseguenze, ma continuò a sostenere il suo sistema. Nonostante una serie di tentativi di dare un senso al sistema, si è generalmente concluso che a causa di queste stranezze non è proprio un sistema di logica modale. Se c'è una ragione dominante per questo è l'adesione di Łukasiewicz al principio di estendibilità (funzionalità della verità) anche per gli operatori modali, che ha costretto il suo resoconto della modalità a diventare multivalente in primo luogo.

6. Storia della logica

6.1 Logica proposizionale stoica

Il terzo risultato ottenuto da Łukasiewicz, insieme alle sue ricerche sulle logiche propositive e apprezzate, è il suo lavoro nella storia della logica. In effetti può ragionevolmente essere considerato il padre del modo moderno di fare la storia della logica, che viene perseguito, per citare il sottotitolo del suo libro sul sillogistico di Aristotele, "dal punto di vista della moderna logica formale". Abbiamo visto che il suo primo libro sul principio di contraddizione in Aristotele era relativamente infruttuoso nei suoi termini, sebbene dimostrasse la sua capacità di andare al cuore degli antichi testi greci.

Un evento decisivo nello sviluppo di Łukasiewicz come storico della logica fu la sua scoperta dell'antica logica stoica. Sembra che stesse esaminando una tesi sugli stoici e per prepararsi a leggere i testi originali. Scoprì quindi che la logica stoica, contrariamente all'opinione standard allora, espressa da Prantl, Zeller e altri, non era un sillogistico aristotelico bowdlerized e difettoso, ma una logica proposizionale precoce, tanto che, per esempio, il primo stoico indemonibile, “se il primo, quindi il secondo; ma il primo, quindi il secondo”è semplicemente modus ponens o distacco per il 'if' condizionale, e le variabili, rappresentate non da lettere ma da numeri ordinali, sono variabili proposizionali, non variabili di termini. In primo luogo ha espresso questo punto di vista, che ora è ovviamente standard, in una riunione a Lwów nel 1923. Un trattamento più sistematico del 1934, "Sulla storia della logica delle proposizioni", è una deliziosa vignetta che prende in esame la vasta gamma degli stoici, antiche controversie sul significato del condizionale, Petrus Hispanus e Ockham sulle leggi di De Morgan, la teoria medievale delle conseguenze, che culmina con Frege e moderni calcoli proposizionali. Il moderno apprezzamento dei risultati raggiunti dalla logica stoica risale al chiarimento di Łukasiewicz e alla sua lode senza sosta per gli stoici, in particolare Chrysippus. Łukasiewicz apprezzava il fatto che Prantl non avesse il vantaggio di conoscere la logica post-Fregean e, nonostante l'erroneo rifiuto di Prantl della "stupidità" di gran parte della logica stoica, forniva almeno fonti utili. Tuttavia, il giudizio di Łukasiewicz sugli storici della logica passati è spaventoso:"On the History of the Logic of Propositions", è una deliziosa vignetta che riprende l'ampia distesa degli Stoici, antiche controversie sul significato del condizionale, Petrus Hispanus e Ockham sulle leggi di De Morgan, la teoria medievale delle conseguenze e che culmina con Frege e moderni calcoli proposizionali. Il moderno apprezzamento dei risultati raggiunti dalla logica stoica risale al chiarimento di Łukasiewicz e alla sua lode senza sosta per gli stoici, in particolare Chrysippus. Łukasiewicz apprezzava il fatto che Prantl non avesse il vantaggio di conoscere la logica post-Fregean e, nonostante l'erroneo rifiuto di Prantl della "stupidità" di gran parte della logica stoica, forniva almeno fonti utili. Tuttavia, il giudizio di Łukasiewicz sugli storici della logica passati è spaventoso:"On the History of the Logic of Propositions", è una deliziosa vignetta che riprende l'ampia distesa degli Stoici, antiche controversie sul significato del condizionale, Petrus Hispanus e Ockham sulle leggi di De Morgan, la teoria medievale delle conseguenze e che culmina con Frege e moderni calcoli proposizionali. Il moderno apprezzamento dei risultati raggiunti dalla logica stoica risale al chiarimento di Łukasiewicz e alla sua lode senza sosta per gli stoici, in particolare Chrysippus. Łukasiewicz apprezzava il fatto che Prantl non avesse il vantaggio di conoscere la logica post-Fregean e, nonostante l'erroneo rifiuto di Prantl della "stupidità" di gran parte della logica stoica, forniva almeno fonti utili. Tuttavia, il giudizio di Łukasiewicz sugli storici della logica passati è spaventoso:antiche controversie sul significato del condizionale, Petrus Hispanus e Ockham sulle leggi di De Morgan, sulla teoria medievale delle conseguenze e culminanti con Frege e i moderni calcoli proposizionali. Il moderno apprezzamento dei risultati raggiunti dalla logica stoica risale al chiarimento di Łukasiewicz e alla sua lode senza sosta per gli stoici, in particolare Chrysippus. Łukasiewicz apprezzava il fatto che Prantl non avesse il vantaggio di conoscere la logica post-Fregean e, nonostante l'erroneo rifiuto di Prantl della "stupidità" di gran parte della logica stoica, forniva almeno fonti utili. Tuttavia, il giudizio di Łukasiewicz sugli storici della logica passati è spaventoso:antiche controversie sul significato del condizionale, Petrus Hispanus e Ockham sulle leggi di De Morgan, sulla teoria medievale delle conseguenze e culminanti con Frege e i moderni calcoli proposizionali. Il moderno apprezzamento dei risultati raggiunti dalla logica stoica risale al chiarimento di Łukasiewicz e alla sua lode senza sosta per gli stoici, in particolare Chrysippus. Łukasiewicz apprezzava il fatto che Prantl non avesse il vantaggio di conoscere la logica post-Fregean e, nonostante l'erroneo rifiuto di Prantl della "stupidità" di gran parte della logica stoica, forniva almeno fonti utili. Tuttavia, il giudizio di Łukasiewicz sugli storici della logica passati è spaventoso:Il moderno apprezzamento dei risultati raggiunti dalla logica stoica risale al chiarimento di Łukasiewicz e alla sua lode senza sosta per gli stoici, in particolare Chrysippus. Łukasiewicz apprezzava il fatto che Prantl non avesse il vantaggio di conoscere la logica post-Fregean e, nonostante l'erroneo rifiuto di Prantl della "stupidità" di gran parte della logica stoica, forniva almeno fonti utili. Tuttavia, il giudizio di Łukasiewicz sugli storici della logica passati è spaventoso:Il moderno apprezzamento dei risultati raggiunti dalla logica stoica risale al chiarimento di Łukasiewicz e alla sua lode senza sosta per gli stoici, in particolare Chrysippus. Łukasiewicz apprezzava il fatto che Prantl non avesse il vantaggio di conoscere la logica post-Fregean e, nonostante l'erroneo rifiuto di Prantl della "stupidità" di gran parte della logica stoica, forniva almeno fonti utili. Tuttavia, il giudizio di Łukasiewicz sugli storici della logica passati è spaventoso:Il giudizio sugli storici della logica passati è spaventoso:Il giudizio sugli storici della logica passati è spaventoso:

La storia della logica deve essere scritta di nuovo, e da uno storico che ha una padronanza approfondita della moderna logica matematica. Prezioso come il lavoro di Prantl è come una raccolta di fonti e materiali, da un punto di vista logico è praticamente inutile […] Al giorno d'oggi non è sufficiente essere solo un filosofo per esprimere la propria opinione sulla logica. (SW, 198)

6.2 Aristotele

Nel libro di logica di Łukasiewicz del 1929, dopo aver trattato il calcolo proposizionale, non procede, come si farebbe oggi, ad esporre la logica predicata, ma fornisce un breve resoconto formale del sillogistico categorico (non modale) di Aristotele, presupponendo dodici teoremi di calcolo proposizionale. Ciò prefigurò il suo libro del 1951, Syllogistic di Aristotele, di 22 anni. Questo libro, che rivoluzionò lo studio della logica di Aristotele, ebbe una lunga e interrotta genesi. Un discorso sull'argomento tenuto a Cracovia nel 1939 fu pubblicato in polacco solo nel 1946. Nel 1939 Łukasiewicz preparò una monografia polacca, ma le prove parziali e il manoscritto furono distrutti dai bombardamenti di Varsavia. Nel 1949 fu invitato a tenere una conferenza sul sillogistico di Aristotele all'University College di Dublino, e quelle lezioni costituirono la base del libro,completato nel 1950 e pubblicato l'anno successivo, il suo primo in inglese. La prima edizione si occupava solo di sillogistica categorica. Per la seconda edizione, completata nel 1955, meno di un anno prima della sua morte, Łukasiewicz aggiunse tre capitoli sul sillogistico modale, impiegando la logica modale Ł che aveva sviluppato nel frattempo. La seconda edizione fu letta e indicizzata da Lejewski e apparve nel 1957.

La comprensione di Łukasiewicz del sillogistico di Aristotele si basa su due principi interpretativi specifici e un atteggiamento generale. Il primo principio è che i sillogismi di Aristotele non sono, come era stato supposto tradizionalmente, schemi di inferenza, della forma "p, q, quindi r", ma proposizioni condizionali della forma "se p e q, quindi r". Ciò porta direttamente al secondo principio, che è che dietro al trattamento sillogistico della logica dei termini c'è una logica più profonda, quella delle proposizioni, e in particolare una logica di opposizione, "e" e "se", nonché (in modale sillogistico) 'necessariamente' e 'possibilmente'. Łukasiewicz ritiene che questa base proposizionale venga occasionalmente invocata da Aristotele, ad esempio nel trattamento delle prove indirette, ma per la maggior parte lasciato come tacito,e quindi considera legittimo criticare Aristotele (diversamente dagli stoici) per non aver formulato esplicitamente la logica proposizionale sottostante. Le opinioni controverse e controverse di Łukasiewicz hanno scatenato una controversia su come interpretare il sillogistico. Mentre i principi ottennero una prima adesione a Patzig (1968), le successive critiche di Corcoran (1972, 1974) e, indipendentemente, Smiley (1974) stabilirono chiaramente che i sillogismi non sono proposizioni ma inferenze e che Aristotele non aveva bisogno di un precedente logica delle proposizioni. Questa visione è ora universale tra gli studiosi della logica di Aristotele. In retrospettiva, sembra che Łukasiewicz desiderasse ardentemente desiderare su Aristotele la propria visione (fregea) della logica come un sistema di teoremi basato su una logica proposizionale.

L'atteggiamento generale, presente durante il trattamento di Łukasiewicz, è che il lavoro di Aristotele sia di precisione e statura sufficienti per giustificare e resistere all'esposizione usando i metodi e i concetti logici moderni più rigorosi. In altre parole, lo sviluppo della logica moderna, mentre può evidenziare lacune e deficit della logica di Aristotele, in effetti mette in evidenza i suoi meriti, innovazioni e genio in modo più chiaro rispetto ai precedenti studi tradizionali o filologici. L'atteggiamento di Łukasiewicz ha prevalso ed è ormai pervasivo tra coloro che studiano la logica di Aristotele, che siano o meno d'accordo con i suoi specifici principi interpretativi.

Dopo aver esposto le basi del trattamento del sillogistico di Aristotele, in cui critica i precedenti commentatori e osserva che Aristotele ha originato il metodo delle forme respinte per mostrare non solo quali sono i sillogismi validi ma anche per dimostrare che le forme non valide sono tali, Łukasiewicz presenta la sua formalizzazione del sillogistico categorico, basato sulle seguenti espressioni logiche

Espressione Senso
(Aab) Tutto (a) è (b) (o (b) appartiene a tutti (a))
(Eab) No (a) is (b) (o (b) appartiene a no (a))
(Iab) Alcuni (a) sono (b) (o (b) appartengono ad alcuni (a))
(OAB) Alcuni (a) non sono (b) (o (b) non appartengono ad alcuni (a))

Prendendo (A) e (I) come primitivi e definendo (E = NI) e (O = NA), gli assiomi, aggiunti al calcolo proposizionale, sono

(vdash Aaa)
(vdash Iaa)
(vdash CKAbcAabAac) (Barbara nella prima figura)
(vdash CKAbcIbaIac) (Datisi nella seconda figura)

insieme a modus ponens e una regola di sostituzione per termini variabili. Questo in effetti era il sistema che Łukasiewicz aveva avanzato nel suo libro di testo del 1929. Come indica il secondo assioma, Łukasiewicz sta seguendo Aristotele nel presupporre che tutti i termini denotino. È possibile aggiungere moduli rifiutati: Łukasiewicz dà dalla seconda cifra

(begin {align} & / dashv CKAcbAabIac & / text {and} & / dashv CKEcbEabIAc & / end {align})

che insieme al distacco e alla sostituzione per rifiuto respingono tutti i 232 stati d'animo rifiutati di Aristotele. Il verdetto di Łukasiewicz sul sillogistico categorico di Aristotele è che, nonostante la sua ristrettezza, è "un sistema la cui esattezza supera persino l'esattezza di una teoria matematica, e questo è il suo merito eterno". (AS, 131)

Il sillogistico modale d'altra parte è poco studiato, secondo Łukasiewicz, sia perché scende ben al di sotto degli standard di perfezione del categorico, sia per mancanza di un "sistema universalmente accettabile di logica modale", che Łukasiewicz si prende, con Ł, ora per aver fornito. Il trattamento di Łukasiewicz non è certo definitivo, sebbene fornisca materiale per studi successivi e non lo perseguiremo qui. È interessante notare che, nei tentativi di Aristotele nel libro I, capitolo 15 del Prior Analytics, di stabilire le tesi

(begin {align} & CCpqCLpLq \& CCpqCMpMq / end {align})

Łukasiewicz vede un'approvazione aristotelica per l'idea di un principio di estendibilità per gli operatori modali e anche per quelli categorici.

7. Posizioni filosofiche

Nella sua prima filosofia, la posizione più significativa e influente adottata da Łukasiewicz è il suo anti-psicologismo nella logica. Ciò è stato influenzato da Frege, Husserl e Russell. Si manifestò terminologicamente nella sostituzione di Łukasiewicz del termine tradizionale sąd (giudizio), usato da Twardowski, con il termine zdanie (frase). Questo cambiamento di prospettiva e terminologia è stato adottato in massa dai successivi logici polacchi. Dopo il 1920, Łukasiewicz è molto parsimonioso nelle sue affermazioni riguardanti la filosofia e i problemi filosofici. Abbiamo notato il suo costante impegno nei confronti dell'indeterminismo. I suoi commenti principali e anzi l'ira sono riservati a coloro che criticano il posto della logica matematica (o logistica, come era allora noto) nella filosofia e nel pensiero in generale. Ha notato alcune convergenze nel metodo e nello stile tra la scuola Lwów-Varsavia e il Circolo di Vienna, ma ha criticato quest'ultima per il loro convenzionalismo e il rifiuto di tutta la metafisica e per il loro tentativo di trasformare problemi sostanziali in linguistici. Nonostante la sua astrattezza, la logica non è più distaccata dalla realtà di qualsiasi altra scienza ed è costretta a conformarsi agli aspetti del mondo. Era la sua convinzione che il determinismo fosse falso che ha guidato il suo rifiuto della logica bivalente. Pur mantenendo la neutralità metafisica della logica, ha ammesso più tardi negli anni '30 che mentre era stato in precedenza un nominalista, ora era un platonista. La fonte di questa convinzione è dichiarata alla fine della sua polemica del 1937 "In difesa della logistica":ma ha criticato quest'ultimo per il loro convenzionalismo e il rifiuto di tutta la metafisica e per il loro tentativo di trasformare problemi sostanziali in linguistici. Nonostante la sua astrattezza, la logica non è più distaccata dalla realtà di qualsiasi altra scienza ed è costretta a conformarsi agli aspetti del mondo. Era la sua convinzione che il determinismo fosse falso che ha guidato il suo rifiuto della logica bivalente. Pur mantenendo la neutralità metafisica della logica, ha ammesso più tardi negli anni '30 che mentre era stato in precedenza un nominalista, ora era un platonista. La fonte di questa convinzione è dichiarata alla fine della sua polemica del 1937 "In difesa della logistica":ma ha criticato quest'ultimo per il loro convenzionalismo e il rifiuto di tutta la metafisica e per il loro tentativo di trasformare problemi sostanziali in linguistici. Nonostante la sua astrattezza, la logica non è più distaccata dalla realtà di qualsiasi altra scienza ed è costretta a conformarsi agli aspetti del mondo. Era la sua convinzione che il determinismo fosse falso che ha guidato il suo rifiuto della logica bivalente. Pur mantenendo la neutralità metafisica della logica, ha ammesso più tardi negli anni '30 che mentre era stato in precedenza un nominalista, ora era un platonista. La fonte di questa convinzione è dichiarata alla fine della sua polemica del 1937 "In difesa della logistica":ed è costretto a conformarsi agli aspetti del mondo. Era la sua convinzione che il determinismo fosse falso che ha guidato il suo rifiuto della logica bivalente. Pur mantenendo la neutralità metafisica della logica, ha ammesso più tardi negli anni '30 che mentre era stato in precedenza un nominalista, ora era un platonista. La fonte di questa convinzione è dichiarata alla fine della sua polemica del 1937 "In difesa della logistica":ed è costretto a conformarsi agli aspetti del mondo. Era la sua convinzione che il determinismo fosse falso che ha guidato il suo rifiuto della logica bivalente. Pur mantenendo la neutralità metafisica della logica, ha ammesso più tardi negli anni '30 che mentre era stato in precedenza un nominalista, ora era un platonista. La fonte di questa convinzione è dichiarata alla fine della sua polemica del 1937 "In difesa della logistica":

ogni volta che lavoro anche sul problema logistico meno significativo, ad esempio, quando cerco l'assioma più breve del calcolo proposizionale, ho sempre l'impressione di trovarmi di fronte a una struttura potente, più coerente e più resistente. Sento quella struttura come se fosse un oggetto concreto, tangibile, realizzato con il metallo più duro, cento volte più resistente dell'acciaio e del cemento. Non posso cambiare nulla in esso; Non creo nulla di mia volontà, ma con un lavoro faticoso scopro in essa dettagli sempre nuovi e arrivo a verità irremovibili ed eterne. (SW, 249)

Raramente la motivazione per il platonismo è stata dichiarata in modo così eloquente.

Nella filosofia della logica, una delle convinzioni più profonde di Łukasiewicz, una che condivideva con gli altri logici della Scuola di Varsavia, era che la logica deve essere estensiva, che è lo studio dei calcoli non di significati linguistici o psicologici giudizi ma dei valori di verità, siano essi solo i due classici o più. Il suo punto di vista è che le frasi denotano valori di verità e che la logica è la scienza di tali valori logici, non di frasi (che è grammatica) o di giudizi (che è psicologia), o di contenuti espressi da proposizioni, o di oggetti in generale (ontologia). Non giustifica questa posizione, ma semplicemente la accetta e la assume. Come abbiamo visto, ha conseguenze di vasta portata per il suo trattamento della logica modale, costringendolo ad essere apprezzato.

Oltre all'atteggiamento generale nei confronti della filosofia scientifica che deriva da Twardowski, esiste una fonte identificabile di alcune altre posizioni filosofiche di Łukasiewicz riguardo alla logica, o se non una fonte, almeno un punto di convinzioni convergenti. Uno è il rifiuto di una "super verità" al di sopra della verità ordinaria. Ciò risulta particolarmente evidente nella logica modale Ł. L'altro è suo gradimento per i gradi di possibilità intermedi tra verità (1) e falsità (0), in contrasto con il terzo caso non quantitativo di possibilità (o in £ gemelli terzi casi). Una distinzione esattamente simile tra due tipi di possibilità, "non aumentabile", senza gradi, e "espandibile", con gradi infiniti, si trova nel massiccio trattato di Meinong del 1915 Über Möglichkeit und Wahrscheinlichkeit. Come Łukasiewicz,Meinong non accorda alle proposizioni una dignità di necessità superiore alla verità, e nonostante abbia la più ampia ontologia nota alla filosofia, alla teoria degli oggetti di Meinong mancano gli oggetti descritti come necessari: non menziona mai Dio e gli oggetti ideali come i numeri sono presi da lui per sopravvivere, non esistere o sussistere necessariamente. Forse non è un caso che al ritorno a Lwów dopo la sua visita a Graz, Łukasiewicz parlò nel 1910 della legge del mezzo escluso, concludendo che come il principio di contraddizione non è fondamentale e ha un significato pratico piuttosto che logico. Ha ipotizzato che fallisse per oggetti generali come il triangolo in generale, che non è né equilatero né equilatero. Meinong ha accettato tali oggetti, che ha definito "incompleti", e in effetti aveva adottato l'idea di Łukasiewicz 's insegnante Twardowski. Łukasiewicz ha anche considerato l'applicazione del principio agli oggetti reali come “connessa al determinismo universale dei fenomeni, non solo quelli presenti e passati ma anche quelli futuri. Se qualcuno negasse che tutti i fenomeni futuri oggi sono già predeterminati sotto tutti gli aspetti, probabilmente non sarebbe in grado di accettare il principio in questione. " I semi della logica a tre valori stavano già germogliando nel 1910, dopo la visita a Graz."I semi della logica a tre valori stavano già germogliando nel 1910, dopo la visita a Graz."I semi della logica a tre valori stavano già germogliando nel 1910, dopo la visita a Graz.

Meinong ha usato i molti valori di possibilità crescente per dare un resoconto della probabilità. Mentre la procedura di Łukasiewicz nella sua monografia del 1913 era basata su un'idea diversa, continuò ad essere attratto dall'idea che la logica a valore infinito potesse essere in grado di far luce sulla probabilità. Al più tardi nel 1935, con la pubblicazione di un breve articolo sulla probabilità e la logica a molti valori di Tarski, sapeva che l'approccio più diretto, quello di identificare le probabilità con valori di verità compresi tra 0 e 1, non avrebbe funzionato. La ragione è che a causa della dipendenza probabilistica, la probabilità non è estensiva: se (p) è la proposizione che domani pioverà a Dublino e (Np) è la sua negazione, la probabilità della congiunzione contraddittoria (KpNp) è 0, ma se (p) ha il grado di verità (tfrac {1} {2}), anche (Np),e quindi (tval {KpNp} = / tfrac {1} {2}) sia in Ł (_ 3) che in Ł (_ { aleph_0}). Nonostante ciò, già nel 1955 Łukasiewicz poteva ancora ispirare,

Ho sempre pensato che solo due sistemi modali sono di possibile importanza filosofica e scientifica: il sistema più semplice modale, in cui possibilità è considerata come non avere gradi a tutti, questo è il nostro modello di sistema a quattro valori, e il ℵ 0 sistema di -valued in cui esistono infiniti gradi di possibilità. Sarebbe interessante indagare ulteriormente questo problema, poiché qui possiamo trovare un collegamento tra la logica modale e la teoria della probabilità. (AS, 180)

8. Legacy

Łukasiewicz una volta dichiarò in qualche modo immodestamente che la scoperta di logiche dai molti valori era paragonabile a quella delle geometrie non euclidee (SW 176). Qualunque sia il loro significato, le speranze di Łukasiewicz per tali logiche non sono state realizzate nel modo previsto. La semantica e la matematica pura della logica multivalore sono fiorite, portando allo sviluppo di algebre MV utilizzate per la semantica algebrica della logica di Łukasiewicz. La logica infinita o sfocata ha una sua matematica, e tra i suoi sviluppatori spicca il logico matematico ceco Petr Hájek, il cui lavoro è influenzato da quello di Łukasiewicz. La logica fuzzy si trova in molte applicazioni pratiche, dove viene utilizzata per gestire vaghezza, inesattezza o mancanza di conoscenza, siano esse uguali o diverse. Ma Łukasiewicz 'La difesa della multivalenza nell'analisi della modalità è stata quasi universalmente respinta e la logica della modalità ha inesorabilmente seguito altri percorsi, per lo più bivalenti, non estensivi. La sua logica finale Ł ha resistito all'interpretazione consensuale ed è considerata nella migliore delle ipotesi una stranezza e nella peggiore delle ipotesi un vicolo cieco.

L'eccezionale lavoro che Łukasiewicz e i suoi studenti hanno compiuto nella logica e nel metalogico del calcolo proposizionale, la specialità polacca di assiomi sempre più corti e così via, ora appartiene all'epoca eroica passata della logistica. I suoi risultati sono stati effettivamente migliorati solo occasionalmente da dimostratori di teoremi automatizzati. D'altra parte l'enfasi sulla semantica logica, nonostante l'uso abbondante di valori di verità da parte di Łukasiewicz, ha spostato l'interesse dal virtuosismo assiomatico.

Nella storia della logica, gli studi pionieristici di Łukasiewicz hanno aperto una nuova e più fruttuosa interazione tra il passato e il presente e la riscoperta e il nuovo apprezzamento delle figure del passato della logica "alla luce della moderna logica formale" sono continuate fino ad oggi, sebbene non tutte le opinioni di Łukasiewicz su come affrontare Aristotele o gli Stoici abbiano superato la prova del tempo. Il suo lavoro ha anche contribuito a ispirare quegli storici della logica della tradizione cattolica a Cracovia, in particolare Jan Salamucha e Józef Bocheński, che hanno applicato metodi moderni per l'indagine di problemi logici e argomenti della storia della filosofia.

Durante il periodo di massimo splendore della scuola di Varsavia, 1920-1939, Łukasiewicz ebbe un ruolo chiave nell'educare la prossima generazione di ricercatori logici e ispirarli con metodi, risultati e problemi. Persino le idee che aveva scartato quando gli esercizi hanno cambiato la logica, ad esempio un suggerimento del 1929 di formalizzare la procedura informale di prova dalle ipotesi portò al sistema di deduzione naturale del 1934 di Stanisław Jaśkowski, in sostanza il modo in cui la logica viene insegnata principalmente agli studenti di oggi. La guerra interruppe irrevocabilmente il loro lavoro. Molti dei migliori studenti di Łukasiewicz erano ebrei e furono uccisi nei campi di sterminio nazisti. Nel suo esilio dalla Polonia dopo il 1944, Łukasiewicz ebbe scarse opportunità di continuare questo lavoro pedagogico, occupando una posizione di ricerca in un istituto di non insegnamento in un paese senza tradizione logica. Le sue interazioni con i contemporanei erano molto più rare, e quelle principalmente attraverso la corrispondenza. L'unico logico notevole che ha interagito con Łukasiewicz in questo momento e il cui lavoro si interseca con i suoi interessi (tempo, modalità, molte valutazioni) e atteggiamenti (l'importanza della logica per la filosofia) è Arthur Prior, che è stato l'unico logico principale a adotta la notazione polacca e che ha anche speso più sforzi di chiunque altro nel tentativo di trovare un'interpretazione plausibile per il sistema Ł. È anche giusto dire che delle figure più importanti tra i logici di Varsavia, Łukasiewicz ha ricevuto la minima attenzione da commentatori e storici. Ci sono relativamente meno monografie e documenti su Łukasiewicz rispetto ad altre figure importanti della scuola Lwów-Varsavia. L'unico logico notevole che ha interagito con Łukasiewicz in questo momento e il cui lavoro si interseca con i suoi interessi (tempo, modalità, molte valutazioni) e atteggiamenti (l'importanza della logica per la filosofia) è Arthur Prior, che è stato l'unico logico principale a adotta la notazione polacca e che ha anche speso più sforzi di chiunque altro nel tentativo di trovare un'interpretazione plausibile per il sistema Ł. È anche giusto dire che delle figure più importanti tra i logici di Varsavia, Łukasiewicz ha ricevuto la minima attenzione da commentatori e storici. Ci sono relativamente meno monografie e documenti su Łukasiewicz rispetto ad altre figure importanti della scuola Lwów-Varsavia. L'unico logico notevole che ha interagito con Łukasiewicz in questo momento e il cui lavoro si interseca con i suoi interessi (tempo, modalità, molte valutazioni) e atteggiamenti (l'importanza della logica per la filosofia) è Arthur Prior, che è stato l'unico logico principale a adotta la notazione polacca e che ha anche speso più sforzi di chiunque altro nel tentativo di trovare un'interpretazione plausibile per il sistema Ł. È anche giusto dire che delle figure più importanti tra i logici di Varsavia, Łukasiewicz ha ricevuto la minima attenzione da commentatori e storici. Ci sono relativamente meno monografie e documenti su Łukasiewicz rispetto ad altre figure importanti della scuola Lwów-Varsavia.molte valutazioni) e atteggiamenti (l'importanza della logica per la filosofia) è Arthur Prior, che era l'unico logico principale ad adottare la notazione polacca e che ha anche speso più sforzi di chiunque altro nel tentativo di trovare un'interpretazione plausibile per il sistema Ł. È anche giusto dire che delle figure più importanti tra i logici di Varsavia, Łukasiewicz ha ricevuto la minima attenzione da commentatori e storici. Ci sono relativamente meno monografie e documenti su Łukasiewicz rispetto ad altre figure importanti della scuola Lwów-Varsavia.molte valutazioni) e atteggiamenti (l'importanza della logica per la filosofia) è Arthur Prior, che era l'unico logico principale ad adottare la notazione polacca e che ha anche speso più sforzi di chiunque altro nel tentativo di trovare un'interpretazione plausibile per il sistema Ł. È anche giusto dire che delle figure più importanti tra i logici di Varsavia, Łukasiewicz ha ricevuto la minima attenzione da commentatori e storici. Ci sono relativamente meno monografie e documenti su Łukasiewicz rispetto ad altre figure importanti della scuola Lwów-Varsavia. Łukasiewicz ha ricevuto la minima attenzione da commentatori e storici. Ci sono relativamente meno monografie e documenti su Łukasiewicz rispetto ad altre figure importanti della scuola Lwów-Varsavia. Łukasiewicz ha ricevuto la minima attenzione da commentatori e storici. Ci sono relativamente meno monografie e documenti su Łukasiewicz rispetto ad altre figure importanti della scuola Lwów-Varsavia.

Nonostante tali delusioni, i risultati e le invenzioni di Łukasiewicz gli assicurano un posto permanente e onorevole nella storia della logica matematica e filosofica. Łukasiewicz era giustamente orgoglioso della preminenza raggiunta dai logici polacchi tra le guerre e merita pienamente la sua commemorazione da una delle quattro statue di Adam Myjak di importanti membri della scuola Lwów-Varsavia all'ingresso della Biblioteca dell'Università di Varsavia.

Bibliografia

Revisione generale

I titoli sono stati dati nella loro lingua originale, seguiti nel caso di pezzi originariamente in polacco dal titolo di qualsiasi traduzione inglese pubblicata dove ne esiste una, o dalla nostra traduzione inglese dove nessuno lo fa. La bibliografia degli scritti pubblicati da Łukasiewicz non è completa, poiché un gran numero dei suoi pezzi pubblicati sono costituiti da riassunti di una o due pagine o abstract di discorsi tenuti in vari luoghi, come era la pratica polacca dell'epoca. Di questo tipo, sono stati inclusi solo quelli che sono importanti per lo sviluppo di Łukasiewicz o l'esposizione delle sue opinioni. Le traduzioni in lingue diverse dall'inglese non sono state incluse, con una sola eccezione, la monografia del 1910 su Aristotele.

Una bibliografia completa in polacco, compilata dall'editore Jacek Juliusz Jadacki, è pubblicata nella collezione Logika i Metafizyka (1998), che ristampa la maggior parte dei saggi di Łukasiewicz, insieme a una serie di discorsi, recensioni ed estratti casuali interessanti della corrispondenza, una biografia biografica cronologia e un gran numero di fotografie.

Abbreviazioni

  • (AS) Syllogistic di Aristotele dal punto di vista della logica formale moderna, 2a ed.
  • (PF) Przegl ± d Filozoficzny
  • (PL) Polish Logic, 1920–1939, ed. S. McCall.
  • (PWN) Państwowe Wydawnictwo Naukowe
  • (RF) Ruch Filozoficzny
  • (SW) Opere selezionate, ed. L. Borkowski.
  • (Z) Z zagadnień logiki i filozofii. Pisma wybrane, ed. J. Słupecki.

Fonti primarie: opere di Łukasiewicz

collezioni

  • Z zadadnień logiki i filozofii. Wybrane di Pisma. [Temi di logica e filosofia. Scritti selezionati], ed. J. Słupecki. Varsavia: PWN, 1961.
  • Opere selezionate, ed. L. Borkowski. Amsterdam: Olanda Settentrionale, 1970.
  • Logika i Metafizyka. Miscellanea. [Logica e metafisica. A Miscellany], ed. JJ Jadacki. Varsavia: Towarzystwo Naukowe Warszawskie, 1998.
  • Pamiętnik. [Diario], ed. JJ Jadacki e P. Surma. Varsavia: Wydawnictwo Naukowe Sempre, 2013. [Contiene le voci del diario di Łukasiewicz e un numero di pezzi casuali di nota biografica da lui e altri.]

Monografie

  • O zasadzie sprzeczności u Arystotelesa, Studium krytyczne. [Sul principio di contraddizione in Aristotele. Uno studio critico.] Cracovia: Akademia Umiejętności, 1910. 2nd ed., Ed. J. Woleński, Varsavia: PWN, 1987. Traduzioni: Über den Satz vom Widerspruch bei Aristoteles. Hildesheim: Olms, 1993; Del principio di contradizzione in Aristotele. Macerata: Quodlibet, 2003.
  • Die logischen Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Cracovia: Spółka Wydawnicza Polska, 1913. Traduzione: basi logiche della teoria della probabilità, in SW, 16–63.
  • Elementy logiki matematycznej. Skrypt autoryzowany, ed. M. Presburger. Varsavia: Wydawnictwo Koła Matematyczno-Fizycznego Słuchaczów Uniwersytetu Warszawskiego, 1929. 2a ed., Ed. J. Słupecki, Varsavia: PWN, 1958. Traduzione: Elements of Mathematical Logic. Oxford: Pergamon Press, 1966.
  • La slogistica di Aristotele dal punto di vista della logica formale moderna. Oxford: Clarendon Press, 1951. 2a, ingrandita ed., 1957.

documenti

  • O indukcji jako inwersji dedukcji [Sull'induzione come inversione della detrazione]. PF 6 (1903), 9–24, 138–152.
  • Analiza i konstrukcja pojęcia przyczyna [Analisi e costruzione del concetto di causa]. PF 9 (1906), 105–179.
  • O zasadzie wyłączonego środka. PF 13 (1910), 372–3. Traduzione: sul principio del mezzo escluso. Storia e filosofia della logica 8 (1987), 67-9.
  • A proposito di Satz von Widerspruch bei Aristoteles. Bollettino internazionale dell'Académie des Sciences de Cracovie, Classe de Philosophie (1910), 15–38. Traduzione: sul principio di contraddizione in Aristotele. Review of Metaphysics 24 (1970/71), 485-509; Aristotele sulla legge della contraddizione, in: J. Barnes, M. Schofield e R. Sorabji, eds., Articoli su Aristotele 3. Metafisica. Londra: Duckworth, 1979, 50–62.
  • O twórczości w nauce, Księga pamiątkowa ku uczczeniu 250-tej rocznicy zalożenia Uniwersytetu Lwowskiego przez Króla Jana Kazimierza r. 1661. Lwów: Uniwersytet Lwowski, 1912, 3–15. Traduzione: Elementi creativi nella scienza, in SW, 1–15.
  • W sprawie odwracalności stosunku racji i następstwa [Per quanto riguarda la reversibilità della relazione tra ragione e conseguenza], PF 26 (1913), 298–314.
  • O nauce i filozofii [Su scienza e filosofia], PF 28 (1915), 190–196.
  • O pojęciu wielkości, PF 19 (1916), 1–70. Traduzione: Sul concetto di grandezza. in SW, 64–83.
  • Treść wykładu pożegnalnego wygłoszonego w auli Uniwersytetu Warszawskiego 7 marca 1918 r. Pro arte et studio 3 (1918), 3–4. Traduzione: lezione di addio tenutasi nella sala di lettura dell'Università di Varsavia il 7 marzo 1918, in SW, 84–6.
  • O pojęciu możliwości, RF 5 (1920), 169–170. Traduzione: Sul concetto di possibilità, in PL, 15–16.
  • O logice trójwartościowej, RF 5 (1920), 170–1. Traduzione: sulla logica a tre valori, in PL, 16–18 e in SW, 87–8.
  • Logika dwuwartościowa, PF 23 (1921), 189–205. Traduzione: logica a due valori, in SW, 89-109.
  • Interpretacja liczbowa teorii zdań, RF 7 (1922/23), 92–3. Traduzione: un'interpretazione numerica della teoria delle proposizioni, in SW, 129–30.
  • O logice stoikow [On Stoic logic], PF 30 (1927), 278–9.
  • O znaczeniu i potrzebach logiki matematycznej [Sull'importanza e le esigenze della logica matematica], Nauka Polska 10 (1929), 604–20.
  • (con A. Tarski) Untersuchungen über den Aussagenkalkül, Compte rendus of the Société of Sciences and des Lettres de Varsovie, cl. iii, 23 (1930), 1–21. Traduzione: Indagini sul Calcolo Sentenziale, in SW, 131–52.
  • Philosophische Bemerkungen zu mehrwertigen Systemen des Aussagenkalküls, Comptes rendus of the Société of Sciences and des Lettres de Varsovie, cl. iii, 23 (1930), 51–77. Traduzione: osservazioni filosofiche su sistemi di logica proposizionale molto apprezzati, in PL, 40–65 e in SW, 153–78.
  • Uwagi o aksjomacie Nicoda i “dedukcji uogólniającej”, Księga pamiątkowa Polskiego Towarzystwa Filozoficznego, Lwów, 1931, 366–83. Traduzione: commenti sull'assioma di Nicod e sulla "generalizzazione della deduzione", in SW, 179–96.
  • Ein Vollstandigkeitsbeweis des zweiwertigen Aussagenkalküls, Comptes rendus of the Société of Sciences and des Lettres de Varsovie, cl. iii, 24 (1931), 153–83.
  • Z historii logiki zdań, PF 37 (1934), 417–37. Traduzione: Sulla storia della logica delle proposizioni, in PL, 66–87 e in SW, 197–217.
  • Znaczenie analizy logicznej dla poznania [L'importanza dell'analisi logica per la cognizione], PF 37 (1934), 369–77.
  • Bedeutung der logischen Analizzare für die Erkenntnis, Actes du VIII Congrès International de Philosophie, Praga (1936), 75–84.
  • W obronie logistyki. Myśl katolicka wobec logiki wspólczesnej, Studia Gnesnensia 15 (1937), 12–26. Traduzione: In difesa della logistica, in SW, 236–49.
  • Kartezjusz [Cartesio], Kwartalnik Filozoficzny 15 (1938), 123–8.
  • Geneza logiki trójwartościowej [Le origini della logica a tre valori]. Nauka Polska 24 (1939). 215-223.
  • O sinlogistia Arystotelesa [Sul sillogistico di Aristotele], Sprawozdania PAU, 44 (1939), 220–7. Pubblicato 1946.
  • Der Äquivalenzkalkül, Collectanea logica 1 (1939), 145–69. Quindi non è apparso. Un offprint sopravvisse a Münster e servì per la traduzione: The Equivalential Calculus, in PL, 88-115 e in SW, 250–77.
  • Die Logik und das Grundlagenproblem, Les entretiens de Zurich sur the fondements et the méthode des sciences mathématiques 6–9. XII.1938, Zurich: Leemann, 1941, 82–100.
  • Il più breve assioma del calcolo implicazionale delle proposizioni, Atti della Royal Irish Academy, Sez. A, 52 (1948), 25–33.
  • W sprawie aksjomatyki implikacyjnego rachunku zdań [Sul sistema di assiomi del calcolo preposizionale implicazionale], Annales de la Société Polonaise de Mathématique 22 (1950), 87–92.
  • Su variabili variabili degli argomenti proposizionali, Atti della Royal Irish Academy, Sez. A, 54 (1951), 25–35.
  • Sulla teoria intuitiva della deduzione, Indagationes Mathematicae. Koninklijke Nederlandse Academie van Wetenschappen, Proceedings Series A 14 (1952), 201–212, repr. in SW, 325–40.
  • Sur the formalization des théories mathématiques. Colloqui internazionali del Centro nazionale della ricerca scientifica, 36: Les méthodes formelles en axiomatique, Paris, 1953, 11-19. Traduzione: Formalizzazione di teorie matematiche, in SW, 341–51.
  • A System of Modal Logic, The Journal of Computing Systems, 1 (1953), 111–49, repr. in SW, 352–90.
  • Arithmetic and Modal Logic, The Journal of Computing Systems, 1 (1954), 213–9, repr. in SW, 391–400.
  • Il principio di individuazione, Atti della società aristotelica, volume supplementare XXVII (Berkeley e problemi moderni) (1953), 69–82.
  • Su un controverso problema del sillogistico modale di Aristotele, Dominican Studies 7 (1954), 114–28.
  • Curriculum vitae [1953], Philosophical Studies 6 (1956), 43–6.
  • O determinizmie, in Z, 114-26. Traduzione: Sul determinismo, in PL 19–39, e in SW, 110–28.

Traduzione

David Hume, Badania dotycące rozumu ludzkiego [Un'inchiesta sulla comprensione umana]; traduzione di Jan L. Łukasiewicz e Kazimierz Twardowski. Lwów: Nakładem Polskiego Towarzystwa Filozoficznego, 1905

Letteratura secondaria selezionata

  • Agassi, A. e Woleński, J., 2010, Łukasiewicz e Popper on Induction. Storia e filosofia della logica, 31: 385–388. [Contiene la traduzione inglese di due piccoli testi di Łukasiewicz sull'induzione.]
  • Betti, A., 2002, La storia incompleta di Łukasiewicz e bivalenza. In: T. Childers, ed., The Logica 2002 Yearbook, Praga: The Czech Academy of Sciences-Filosofia, 21–36.
  • Childers, T. and Majer, O., 1998, Sulla teoria della probabilità di Łukasiewicz, in K. Kijania-Placek e J. Woleński, eds., The Lvov-Warsaw School and Contemporary Philosophy, Dordrecht: Kluwer, 303–122.
  • Corcoran, J., 1972, Completezza di un'antica logica, Journal of Symbolic Logic, 37: 696–705.
  • –––, 1974, Syllogismi aristotelici: argomenti validi o veri condizionali universalizzati ?, Mente, 83: 278–81.
  • Font, JP e Hájek, P., 2002, Sulla logica modale a quattro valori di Łukasiewicz. Studia Logica, 70: 157–82.
  • McCall, S. (ed.), 1967, Polish Logic 1920-1939, Oxford: Clarendon Press.
  • Malinowski, G., 1993, Many-Valued Logics, Oxford: Clarendon Press.
  • Patzig, G., 1968. Die aristotelische Syllogistik, Göttingen: Vandenhoeck e Ruprecht, 3a ed. (1 ° ed. 1959.) Traduzione: Aristotele's Theory of the Syllogism, tr. J. Barnes, Dordrecht: Reidel, 1969.
  • Priore, AN, 1954, L'interpretazione di due sistemi di logica modale. The Journal of Computing Systems, 1: 201–8.
  • Quine, Virginia Occidentale, 1953, tre gradi di coinvolgimento modale. Atti del XI Congresso Internazionale di Filosofia (Vol. XIV), Bruxelles, pp. 80 e seguenti.
  • Schmidt am Busch, H.-C. e Wehmeier, KF, 2007, Sulle relazioni tra Heinrich Scholz e Jan Łukasiewicz. Storia e filosofia della logica, 28: 67–81.
  • Seddon, F., 1996, Aristotele e Łukasiewicz sul Principio di contraddizione. Ames: Modern Logic Publishing.
  • Simons, P., 1992, Łukasiewicz, Meinong e Many-Valued Logic. In K. Szaniawski, a cura di, The Vienna Circle e Lvov-Warsaw School. Dordrecht: Kluwer, 1989, 249–91, repr. in P. Simons, Filosofia e logica nell'Europa centrale da Bolzano a Tarski. Dordrecht: Kluwer, 193–225.
  • Faccina, TJ, 1961, sul sistema Ł-modale di Łukasiewicz. Diario di Logica formale di Notre Dame, 2: 149–53.
  • –––, 1974, What is a Syllogism ?, Journal of Philosophical Logic, 2: 136–154.
  • Sobociński, B., 1956, In memoriam Jan Łukasiewicz (1878–1956). Studi filosofici, 6: 3–49. [Include in appendice il Curriculum Vitae di Łukasiewicz del 1953.]
  • Tarski, A., 1935/6, Wahrscheinlichkeitslehre und mehrwertige Logik. Erkenntnis, 5: 174–5.
  • Wójcicki, R. e Malinowski, G. (a cura di), 1977, documenti selezionati sui calcoli delle sentenze di Łukasiewicz. Breslavia: Ossolineum.
  • Woleński, J., 1994, Jan Łukasiewicz su Liar Paradox, Logical Consequence, Truth, and Induction. Modern Logic, 4: 392–400.
  • –––, 2000, Jan Łukasiewicz und der Satz vom Widerspruch, in: N. Öffenberger e M. Skarica, eds. Beiträge zum Satz vom Widerspruch und zur Aristotelischen Prädikationtheorie. Hildesheim: Olms, 1–42.
  • –––, 2013, L'ascesa della logica a molti valori in Polonia, nei suoi saggi storico-filosofici, vol. 1. Cracovia: Copernicus Press, 37–50.
  • Zinoviev, AA, 1963, Problemi filosofici della logica a molti valori. Dordrecht: Reidel.

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