Il Paradosso Di Russell

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Il paradosso di Russell

Pubblicato per la prima volta venerdì 8 dicembre 1995; revisione sostanziale dom 9 ott 2016

Il paradosso di Russell è il più famoso dei paradossi logici o teorici. Conosciuto anche come paradosso di Russell-Zermelo, il paradosso sorge nella teoria degli insiemi ingenui considerando l'insieme di tutti gli insiemi che non sono membri di se stessi. Tale insieme sembra essere un membro di se stesso se e solo se non è un membro di se stesso. Da qui il paradosso.

Alcuni set, come il set di tutte le tazze da tè, non sono membri di se stessi. Altri insiemi, come l'insieme di tutte le tazze da tè, sono membri di se stessi. Chiama l'insieme di tutti gli insiemi che non sono membri di se stessi "R". Se R è un membro di se stesso, allora per definizione non deve essere un membro di se stesso. Allo stesso modo, se R non è un membro di se stesso, allora per definizione deve essere un membro di se stesso.

Anche se notato anche da Ernst Zermelo, la contraddizione non è stata ritenuta importante fino a quando non è stata scoperta in modo indipendente da Bertrand Russell nella primavera del 1901. Da allora, il paradosso ha suscitato molto lavoro nella logica, nella teoria degli insiemi e nella filosofia e basi della matematica.

  • 1. Il paradosso
  • 2. Storia del paradosso
  • 3. Prime risposte al paradosso
  • 4. Russell's Paradox in Contemporary Logic
  • Bibliografia
  • Strumenti accademici
  • Altre risorse Internet
  • Voci correlate

1. Il paradosso

Centrale in ogni teoria degli insiemi è una dichiarazione delle condizioni in cui gli insiemi si formano. Oltre a elencare semplicemente i membri di un set, inizialmente si supponeva che qualsiasi condizione ben definita (o proprietà specificata con precisione) potesse essere utilizzata per determinare un set. Ad esempio, se T è la proprietà di essere una tazza da tè, allora l'insieme, S, di tutte le tazze da tè potrebbe essere definito come S = {x: T (x)}, l'insieme di tutti gli individui, x, in modo che x abbia il proprietà di essere T. Anche una proprietà contraddittoria potrebbe essere utilizzata per determinare un set. Ad esempio, la proprietà di essere T e non T determinerebbe l'insieme vuoto, l'insieme non ha membri.

Più precisamente, la teoria degli insiemi ingenui assume il cosiddetto Assioma della comprensione ingenuo o senza restrizioni, l'assioma che per ogni formula φ (x) contenente x come variabile libera, esisterà l'insieme {x: φ (x)} i cui membri sono esattamente quegli oggetti che soddisfano φ (x). Pertanto, se la formula φ (x) sta per "x è primo", allora {x: φ (x)} sarà l'insieme dei numeri primi. Se φ (x) sta per “~ (x = x)”, allora {x: φ (x)} sarà l'insieme vuoto.

Ma dal presupposto di questo assioma, segue la contraddizione di Russell. Ad esempio, se lasciamo φ (x) per x ∈ x e lasciamo R = {x: ~ φ (x)}, allora R è l'insieme i cui membri sono esattamente quegli oggetti che non sono membri di se stessi.

R è un membro di se stesso? Se lo è, allora deve soddisfare la condizione di non essere membro di se stesso e quindi non lo è. In caso contrario, non deve soddisfare la condizione di non essere un membro di se stesso, e quindi deve essere un membro di se stesso. Poiché per logica classica un caso o l'altro devono valere - o R è un membro di se stesso o non lo è - ne consegue che la teoria implica una contraddizione.

Come ci dice Russell, fu dopo aver applicato lo stesso tipo di ragionamento trovato nell'argomento diagonale di Cantor a una "presunta classe di tutti gli oggetti immaginabili" che fu portato alla contraddizione:

La classe globale che stiamo prendendo in considerazione, che deve abbracciare tutto, deve abbracciare se stessa come uno dei suoi membri. In altre parole, se esiste qualcosa come "tutto", allora "tutto" è qualcosa ed è un membro della classe "tutto". Ma normalmente una classe non è un membro di se stessa. L'umanità, ad esempio, non è un uomo. Formare ora l'assemblaggio di tutte le classi che non sono membri di se stessi. Questa è una classe: è un membro di se stessa o no? Se lo è, è una di quelle classi che non sono membri di se stessi, ovvero non è un membro di se stesso. In caso contrario, non è una di quelle classi che non sono membri di se stessi, ovvero è un membro di se stesso. Pertanto, le due ipotesi - che sia, e che non sia, un membro di se stesso - implicano ognuna la sua contraddizione. Questa è una contraddizione. (1919, 136)

Le risposte standard al paradosso tentano di limitare in qualche modo le condizioni in cui si formano gli insiemi. L'obiettivo è di solito sia quello di eliminare R (e simili insiemi contraddittori) sia, allo stesso tempo, di conservare tutti gli altri insiemi necessari per la matematica. Questo è spesso fatto sostituendo l'Assioma di Comprensione senza restrizioni con l'Assioma di Separazione più restrittivo, vale a dire l'assioma che ha dato qualsiasi set (coerente) S e qualsiasi formula φ (x) con x libero, ci sarà un set {x ∈ S: φ (x)} i cui membri sono esattamente quei membri di S che soddisfano φ (x). Se ora lasciamo φ (x) per la formula x ∉ x, si scopre che l'insieme corrispondente, {x ∈ S: x ∉ x} non sarà contraddittorio poiché consiste solo di quei membri trovati all'interno di S che non lo sono membri di se stessi. Quindi il set non riesce a includere se stesso.

Una varietà di paradossi correlati è discussa nel secondo capitolo dell'Introduzione a Whitehead e Russell (1910, 2a edizione 60-65), così come nella voce sui paradossi e la logica contemporanea in questa enciclopedia.

2. Storia del paradosso

Sembra che Russell abbia scoperto il suo paradosso alla fine della primavera del 1901, mentre lavorava ai suoi Principi di matematica (1903). Non è chiaro quando la scoperta sia avvenuta. Russell inizialmente afferma di essersi imbattuto nel paradosso "nel giugno 1901" (1944, 13). Successivamente riferisce che la scoperta ebbe luogo "nella primavera del 1901" (1959, 75). Ancora più tardi riferisce di essersi imbattuto nel paradosso, non a giugno, ma a maggio di quell'anno (1969, 221). Cesare Burali-Forti, un assistente di Giuseppe Peano, aveva scoperto un'analoga antinomia nel 1897 quando notò che poiché l'insieme degli ordinali è ben ordinato, anche questo deve avere un ordinale. Tuttavia, questo ordinale deve essere sia un elemento dell'insieme di tutti gli ordinali, sia tuttavia maggiore di ogni elemento del genere.

A differenza del paradosso di Burali-Forti, il paradosso di Russell non coinvolge né ordinali né cardinali, basandosi invece solo sulle nozioni primitive di set e inclusione di set. Zermelo notò una simile contraddizione tra il 1897 e il 1902, forse anticipando Russell di alcuni anni (Ebbinghaus e Peckhaus 2007, 43–48; Tappenden 2013, 336), anche se Kanamori conclude che la scoperta avrebbe potuto facilmente risalire al 1902 (Kanamori 2009, 411). In ogni caso, si pensava che il paradosso fosse di minore importanza fino a quando non si fosse reso conto di quanto dannoso fosse per le basi della matematica di Gottlob Frege.

Russell scrisse a Frege con notizie del suo paradosso il 16 giugno 1902. (Per la corrispondenza pertinente, vedi Russell (1902) e Frege (1902) in van Heijenoort (1967).) Il paradosso è stato significativo per il lavoro logico di Frege poiché, in effetti, ha dimostrato che gli assiomi che Frege stava usando per formalizzare la sua logica erano incoerenti. Nello specifico, l'assioma V di Frege richiede che un'espressione come φ (x) sia considerata sia una funzione dell'argomento x sia una funzione dell'argomento φ. (Più precisamente, la Legge di Frege afferma che il decorso dei valori di un concetto f è identico al decorso dei valori di un concetto g se e solo se f e g concordano sul valore di ogni argomento, ovvero se e solo se per ogni oggetto x, f (x) = g (x). Vedi la sezione 2.4.1 della voce su Gottlob Frege in questa enciclopedia per ulteriori discussioni.) In effetti,fu questa ambiguità che permise a Russell di costruire R in modo tale che potesse essere sia e non essere un membro di se stesso.

La lettera di Russell arrivò proprio mentre il secondo volume di Grundgesetze der Arithmetik (The Basic Laws of Arithmetic, 1893, 1903) di Frege era in stampa. Apprezzando immediatamente la difficoltà che il paradosso rappresentava, Frege aggiunse al Grundgesetze un'appendice composta frettolosamente che discuteva della scoperta di Russell. Nell'appendice Frege osserva che le conseguenze del paradosso di Russell non sono immediatamente chiare. Ad esempio, “È sempre consentito parlare dell'estensione di un concetto, di una classe? E se no, come possiamo riconoscere i casi eccezionali? Possiamo sempre dedurre dall'estensione di un concetto che coincide con quella di un secondo, che ogni oggetto che rientra nel primo concetto rientra anche nel secondo? Queste sono le domande ", osserva Frege," sollevate dalla comunicazione di Russell "(1903, 127). A causa di queste preoccupazioni,Frege alla fine si sentì costretto ad abbandonare molte delle sue opinioni su logica e matematica.

Anche così, come sottolinea Russell, Frege ha incontrato la notizia del paradosso con notevole forza d'animo:

Mentre penso agli atti di integrità e grazia, mi rendo conto che non c'è nulla nelle mie conoscenze da confrontare con la dedizione di Frege alla verità. L'intero lavoro della sua vita era sull'orlo del completamento, gran parte del suo lavoro era stato ignorato a beneficio di uomini infinitamente meno capaci, il suo secondo volume stava per essere pubblicato e, trovando che la sua ipotesi fondamentale era in errore, ha risposto con piacere intellettuale sommergendo chiaramente ogni sentimento di delusione personale. Era quasi sovrumano e un'indicazione rivelatrice di ciò di cui gli uomini sono capaci se la loro dedizione è al lavoro creativo e alla conoscenza invece di sforzi più crudi per dominare ed essere conosciuti. (Citato in van Heijenoort (1967), 127)

Naturalmente, anche Russell era preoccupato per le conseguenze della contraddizione. Dopo aver appreso che Frege era d'accordo con lui sul significato del risultato, iniziò immediatamente a scrivere un'appendice per i suoi Principi di matematica che saranno presto pubblicati. Intitolata "Appendice B: La dottrina dei tipi", l'appendice rappresenta il primo tentativo di Russell di fornire un metodo di principio per evitare quello che presto sarebbe diventato noto come "paradosso di Russell".

3. Prime risposte al paradosso

Il significato del paradosso di Russell può essere visto una volta realizzato che, usando la logica classica, tutte le frasi derivano da una contraddizione. Ad esempio, assumendo sia P che ~ P, qualsiasi proposizione arbitraria, Q, può essere dimostrata come segue: da P otteniamo P ∨ Q dalla regola dell'Aggiunta; quindi da P ∨ Q e ~ P otteniamo Q dalla regola del sillogismo disgiuntivo. Poiché la teoria degli insiemi è alla base di tutti i rami della matematica, molte persone hanno iniziato a preoccuparsi che l'incoerenza della teoria degli insediamenti significherebbe che nessuna prova matematica potrebbe essere completamente affidabile. Solo eliminando il paradosso di Russell la matematica nel suo insieme poteva riguadagnare coerenza.

Il paradosso di Russell alla fine deriva dall'idea che qualsiasi condizione o proprietà possa essere usata per determinare un insieme. Ad esempio, la proprietà di essere uniformemente divisibile solo per se stessa e il numero uno distingue l'insieme dei numeri primi dall'insieme dei numeri interi. La proprietà di avere ghiandole mammarie distingue l'insieme di mammiferi da rettili, uccelli e altri organismi viventi. La proprietà di essere sia quadrata che non quadrata (o qualsiasi altra congiunzione di proprietà contraddittorie) determina l'insieme vuoto e così via.

Uno dei primi scettici riguardo a un assioma di Comprensione (o Astrazione) senza restrizioni fu il creatore della moderna teoria degli insiemi, Georg Cantor. Anche prima della scoperta di Russell, Cantor aveva respinto la Comprensione senza restrizioni a favore di quella che era, in effetti, una distinzione tra insiemi e classi, riconoscendo che alcune proprietà (come la proprietà di essere un ordinale) producevano collezioni che erano semplicemente troppo grandi per essere imposta e che qualsiasi ipotesi contraria porterebbe a incoerenze. (I dettagli sono disponibili in Moore (1982), Hallett (1984) e Menzel (1984).)

La risposta di Russell al paradosso è arrivata con la sua teoria dei tipi opportunamente chiamata. Credendo che l'auto-applicazione fosse al centro del paradosso, l'idea di base di Russell era che possiamo evitare l'impegno per R (l'insieme di tutti gli insiemi che non sono membri di se stessi) organizzando tutte le frasi (o, più precisamente, tutte le funzioni proposizionali, funzioni che danno proposizioni come i loro valori) in una gerarchia. È quindi possibile fare riferimento a tutti gli oggetti per i quali una determinata condizione (o predicato) vale solo se sono tutti allo stesso livello o dello stesso "tipo".

Questa soluzione al paradosso di Russell è in gran parte motivata dall'adozione del cosiddetto principio del circolo vizioso. Il principio in effetti afferma che nessuna funzione proposizionale può essere definita prima di specificare l'ambito di applicazione della funzione. In altre parole, prima di poter definire una funzione, è necessario innanzitutto specificare esattamente quegli oggetti a cui verrà applicata la funzione (il dominio della funzione). Ad esempio, prima di definire il predicato "è un numero primo", è necessario innanzitutto definire la raccolta di oggetti che potrebbero soddisfare questo predicato, vale a dire l'insieme, N, dei numeri naturali.

Come spiegano Whitehead e Russell,

Un'analisi dei paradossi da evitare mostra che tutti derivano da una sorta di circolo vizioso. I circoli viziosi in questione derivano dal supporre che una raccolta di oggetti possa contenere membri che possono essere definiti solo per mezzo della raccolta nel suo insieme. Pertanto, ad esempio, la raccolta di proposizioni dovrebbe contenere una proposizione in cui si afferma che "tutte le proposizioni sono vere o false". Sembrerebbe, tuttavia, che una simile affermazione non possa essere legittima a meno che "tutte le proposizioni" non facciano riferimento a una raccolta già definita, cosa che non può fare se nuove proposizioni vengono create da dichiarazioni su "tutte le proposizioni". Dovremo quindi dire che le affermazioni su "tutte le proposizioni" sono prive di significato. … Il principio che ci consente di evitare la totalità illegittima può essere affermato come segue:"Qualunque cosa coinvolga tutta una collezione non deve far parte della collezione"; o, al contrario: "Se, purché una determinata raccolta avesse un totale, avrebbe membri definibili solo in termini di quel totale, quindi detta raccolta non ha alcun totale". Chiameremo questo "principio del circolo vizioso", perché ci consente di evitare i circoli viziosi coinvolti nell'assunzione di totalità illegittime. (1910, 2 ° edn 37)

Se Whitehead e Russell hanno ragione, ne consegue che nessun ambito di applicazione di una funzione sarà mai in grado di includere alcun oggetto presupposto dalla funzione stessa. Di conseguenza, le funzioni proposizionali (insieme alle proposizioni corrispondenti) finiranno per essere organizzate in una gerarchia del tipo proposto da Russell.

Sebbene Russell introdusse per la prima volta la sua teoria dei tipi nei suoi Principi di matematica del 1903, riconobbe immediatamente che era necessario fare altro lavoro poiché il suo resoconto iniziale sembrava risolvere alcuni, ma non tutti i paradossi. Tra le alternative che prese in considerazione c'era una cosiddetta teoria sostitutiva (Galaugher 2013). Ciò a sua volta portò all'espressione più matura della teoria dei tipi cinque anni dopo nell'articolo di Russell del 1908, "Logica matematica come basata sulla teoria dei tipi", e nell'opera monumentale che fu coautore con Alfred North Whitehead, Principia Mathematica (1910, 1912, 1913). La teoria dei tipi di Russell appare quindi in due versioni: la "teoria semplice" del 1903 e la "teoria ramificata" del 1908. Entrambe le versioni sono state criticate per essere troppo ad hoc per eliminare con successo il paradosso.

In risposta al paradosso di Russell, David Hilbert ha anche ampliato il suo programma di costruzione di basi assiomatiche coerenti per la matematica in modo da includere una base assiomatica per la logica e la teoria degli insiemi (Peckhaus 2004). Alla base di questo approccio formalista c'era l'idea di consentire l'uso solo di oggetti finiti, ben definiti e costruibili, insieme a regole di inferenza ritenute assolutamente certe.

Infine, Luitzen Brouwer sviluppò l'intuizionismo, la cui idea di base era che non si può affermare l'esistenza di un oggetto matematico a meno che non si possa definire una procedura per costruirlo.

Insieme, tutte queste risposte hanno contribuito a focalizzare l'attenzione sulle connessioni tra logica, linguaggio e matematica. Hanno anche aiutato i logici a sviluppare una consapevolezza esplicita della natura dei sistemi formali e dei tipi di risultati metalogici e metamatematici che si sono rivelati centrali nella ricerca sui fondamenti della logica e della matematica negli ultimi cento anni.

4. Russell's Paradox in Contemporary Logic

Il paradosso di Russell è talvolta visto come uno sviluppo negativo - come abbattere Grundgesetze di Frege e come uno dei peccati concettuali originali che portano alla nostra espulsione dal paradiso di Cantor. WV Quine descrive il paradosso come una "antinomia" che "racchiude una sorpresa che può essere accontentata da niente meno che un ripudio del nostro patrimonio concettuale" (1966, 11). Quine si riferisce al principio di comprensione ingenua menzionato in precedenza. Nei simboli, il principio afferma che

(NC) ∃ A ∀ x (x ∈ A ≡ φ),

dove A non è libero nella formula φ. Ciò dice: "Esiste un insieme A tale che per qualsiasi oggetto x, x è un elemento di A se e solo se la condizione espressa da φ vale." Il paradosso di Russell sorge prendendo φ come formula: x ∉ x.

Nonostante il commento di Quine, è possibile vedere il paradosso di Russell sotto una luce più positiva. Per prima cosa, sebbene la questione rimanga controversa, le ricerche successive hanno rivelato che il paradosso non mette necessariamente in corto circuito la derivazione dell'aritmetica di Frege dalla sola logica. La versione di NC di Frege (il suo Axiom V) può essere semplicemente abbandonata. (Per i dettagli, vedere la voce sul Teorema di Frege.) Per un altro, Church offre un'elegante formulazione della semplice teoria dei tipi che si è dimostrata fruttuosa anche in aree rimosse dalle basi della matematica. (Per i dettagli, vedere la voce sulla teoria dei tipi.) Infine,lo sviluppo di teorie assiomatiche (piuttosto che ingenue) che mostrano vari modi ingegnosi e matematicamente e filosoficamente significativi per affrontare il paradosso di Russell ha spianato la strada a risultati sorprendenti nella metamatematica della teoria degli insiemi. Questi risultati hanno incluso i teoremi di Gödel e Cohen sull'indipendenza dell'assioma della scelta e l'ipotesi del continuum di Cantor. Vediamo quindi, approssimativamente, come alcuni di questi metodi, in particolare i cosiddetti metodi "non tipizzati", affrontano il paradosso di Russell.

Zermelo sostituisce NC con il seguente schema assiomatico di Separation (o Aussonderungsaxiom):

(ZA) ∀ A ∃ B ∀ x (x ∈ B ≡ (x ∈ A ∧ φ)).

Ancora una volta, per evitare circolarità, B non può essere libero in φ. Ciò richiede che per ottenere l'ingresso in B, x deve essere un membro di un set A esistente. Come si potrebbe immaginare, ciò richiede una serie di assiomi di esistenza di insiemi aggiuntivi, nessuno dei quali sarebbe necessario se NC avesse resistito.

In che modo ZA evita il paradosso di Russell? All'inizio si potrebbe pensare che non lo sia. Dopotutto, se lasciamo A essere V - l'intero universo degli insiemi - e φ essere x ∉ x, sembra sorgere di nuovo una contraddizione. Ma in questo caso, tutte le contraddizioni mostrano che V non è un insieme. Tutta la contraddizione mostra che "V" è un nome vuoto (cioè, che non ha riferimenti, che V non esiste), poiché l'ontologia del sistema di Zermelo è costituita esclusivamente da insiemi.

Questo stesso punto può essere fatto in un altro modo, coinvolgendo una forma relativizzata dell'argomento di Russell. Sia B qualsiasi set. Per ZA, esiste l'insieme R B = {x ∈ B: x ∉ x}, ma non può essere un elemento di B. Perché se è un elemento di B, allora possiamo chiederci se è o meno un elemento di R B; ed è se e solo se non lo è. Quindi qualcosa, vale a dire R B, è "mancante" da ogni set B. Quindi, ancora una volta, V non è un insieme, dal momento che nulla può mancare da V. Ma nota la seguente sottigliezza: a differenza dell'argomento precedente relativo all'applicazione diretta di Aussonderungs a V, l'argomento attuale suggerisce l'idea che, mentre V non è un impostato, "V" non è un nome vuoto. La prossima strategia per affrontare il paradosso di Russell sfrutta questo suggerimento.

Il metodo non tipizzato di John von Neumann (1925) per affrontare i paradossi, e in particolare il paradosso di Russell, è semplice e geniale. Von Neumann introduce una distinzione tra appartenenza e non appartenenza e, su questa base, traccia una distinzione tra insiemi e classi. Un oggetto è un membro (simpliciter) se è un membro di una classe; ed è un non-membro se non è un membro di nessuna classe. (In realtà, von Neumann sviluppa una teoria delle funzioni, presa come primitiva, piuttosto che come classi, in cui in corrispondenza della distinzione membro / non membro si fa una distinzione tra un oggetto che può essere un argomento di una funzione e uno che non può. la sua forma moderna, dovuta a Bernays e Gödel, è una teoria delle classi a senso unico.)

Gli insiemi vengono quindi definiti come membri e i non membri vengono etichettati come "classi appropriate". Quindi, ad esempio, la classe Russell, R, non può essere un membro di nessuna classe, e quindi deve essere una classe corretta. Se si presume che R sia un elemento di una classe A, da uno degli assiomi di von Neumann deriva che R non è equivalente a V. Ma R è equivalente a V, e quindi non è un elemento di A. Pertanto, il metodo di von Neumann è strettamente correlato al risultato sopra indicato sull'insieme R B, per B arbitrario. Il metodo di Von Neumann, sebbene ammirato da artisti del calibro di Gödel e Bernays, è stato sottovalutato negli ultimi anni.

Allo stesso modo, Quine (1937) e (1967) forniscono un altro metodo non tipizzato (nella lettera se non nello spirito) per bloccare il paradosso di Russell, e che è pieno di interessanti anomalie. L'idea di base di Quine è quella di introdurre un assioma di comprensione stratificato. In effetti, l'assioma blocca la circolarità introducendo una gerarchia (o stratificazione) che è simile alla teoria dei tipi in qualche modo e dissimile in altri. (I dettagli sono disponibili nella voce sulle Nuove Fondazioni di Quine.)

Contrariamente alle strategie di Zermelo, von Neumann e Quine, che sono in un certo senso puramente teoriche, ci sono stati anche tentativi di evitare il paradosso di Russell alterando la logica sottostante. Ci sono stati molti tentativi di questo tipo e non li esamineremo tutti, ma uno si distingue in questo momento come radicale e piuttosto popolare (anche se non con i teorici stabiliti di per sé): questo è l'approccio paraconsistente, che limita il complesso effetto di una contraddizione isolata su un'intera teoria. La logica classica impone che ogni contraddizione banalizzi una teoria rendendo dimostrabile ogni frase della teoria. Questo perché, nella logica classica, il seguente è un teorema:

(Ex Falso Quadlibet) A ⊃ (~ A ⊃ B).

Ora, praticamente l'unico modo per evitare l'EFQ è rinunciare al sillogismo disgiuntivo, cioè, date le solite definizioni dei connettivi, modus ponens! Quindi alterare la logica sentenziale di base in questo modo è davvero radicale, ma possibile. Sfortunatamente, persino rinunciare a EFQ non è sufficiente per mantenere una parvenza di NC. Bisogna anche rinunciare al seguente teorema aggiuntivo della logica sentenziale di base:

(Contrazione) (A ⊃ (A ⊃ B)) ⊃ (A ⊃ B).

Si può quindi sostenere che NC conduce direttamente, non solo a una contraddizione isolata, ma alla banalità. (Per l'argomento che è così, vedi la voce sul paradosso di Curry, sezione 2.2. Nota anche che non è sufficiente semplicemente mantenere il nome "modus ponens"; è la regola stessa che viene modificata all'interno di logiche non tradizionali.) Quindi sembra che i guai di NC non siano limitati al paradosso di Russell ma includano anche un paradosso senza negazione dovuto a Curry.

Un altro suggerimento potrebbe essere quello di concludere che il paradosso dipende da un'istanza del principio del Medio Escluso, che R è un membro di R o non lo è. Questo principio è respinto da alcuni approcci non classici alla logica, compreso l'intuizionismo. Tuttavia è possibile formulare il paradosso senza fare appello al Medio Escluso basandosi invece sulla Legge della non contraddizione. Lo facciamo come segue: data la definizione di R, segue che R ∈ R ≡ ~ (R ∈ R). Quindi R ∈ R ⊃ ~ (R ∈ R). Ma sappiamo anche che R ∈ R ⊃ R ∈ R. Quindi R ∈ R ⊃ (R ∈ R ∧ ~ (R ∈ R)). Ma dalla Legge di non contraddizione sappiamo che ~ (R ∈ R ∧ ~ (R ∈ R)). Quindi per modus tollens concludiamo che ~ (R ∈ R). Allo stesso tempo sappiamo anche che da R ∈ R ≡ ~ (R ∈ R), segue che ~ (R ∈ R) ⊃ R ∈ R, e quindi che R that R. Quindi possiamo dedurre sia R ∈ R che la sua negazione usando solo metodi intenzionalmente accettabili.

Sembra, quindi, che i sostenitori della logica non classica non possano pretendere di aver conservato NC in alcun senso significativo, oltre a preservare la forma puramente sintattica del principio, e né l'intuizionismo né la paraconsistenza oltre all'abbandono della Contrazione offriranno un vantaggio rispetto al soluzioni non tipizzate di Zermelo, von Neumann o Quine. (Ulteriori discussioni si possono trovare in Meyer, Routley e Dunn (1979), Irvine (1992), Priest (2006, cap. 18), Weber (2010), Weber (2012), e nelle voci sul paradosso di Curry (sec. 2.2) e logica paraconsistente (sec. 2.3).)

Vale anche la pena notare che il paradosso di Russell non è stato l'unico paradosso che ha turbato Russell e, quindi, non è l'unica motivazione per le restrizioni di tipo che si trovano in Principia Mathematica. Nel suo precedente lavoro, The Principles of Mathematics, Russell dedica un capitolo a "The Contradiction" (il paradosso di Russell), presentandolo in diverse forme e respingendo diverse risposte non iniziali. Quindi segnala che discuterà "a breve" della dottrina dei tipi. Questo non accade per diverse centinaia di pagine, fino a quando non raggiungiamo la fine del libro, nell'Appendice B! Lì Russell presenta una teoria dei tipi incipiente e semplice, non la teoria dei tipi che troviamo in Principia Mathematica. Perché era necessaria la teoria successiva? Il motivo è che nell'Appendice B Russell presenta anche un altro paradosso che pensa non possa essere risolto mediante la semplice teoria dei tipi. Questo nuovo paradosso riguarda proposizioni, non classi, e, insieme ai paradossi semantici, ha portato Russell a formulare la sua versione ramificata della teoria dei tipi.

La nuova versione proposizionale del paradosso non ha avuto un ruolo di spicco nel successivo sviluppo della logica e della teoria degli insiemi, ma ha profondamente sconcertato Russell. Per prima cosa, sembra contraddire il teorema di Cantor. Russell scrive: "Non possiamo ammettere che ci sono più gamme [classi di proposizioni] che proposizioni" (1903, 527). Il motivo è che sembrano esserci facili, una a una correlazione tra classi di proposizioni e proposizioni. Ad esempio, la classe m di proposizioni può essere correlata alla proposizione che ogni proposizione in m è vera. Questo, unitamente a un principio di individuazione per proposizioni ben definito (affermando, per prima cosa, che se le classi m e n delle proposizioni differiscono, qualsiasi proposizione su m differirà da qualsiasi proposizione su n) porta alla contraddizione.

Si è discusso relativamente poco di questo paradosso, sebbene abbia avuto un ruolo chiave nello sviluppo della logica di senso e denotazione della Chiesa. Mentre abbiamo diverse teorie tra cui scegliere, non abbiamo nulla di simile a una teoria ben sviluppata delle proposizioni russelliane, sebbene tali proposizioni siano centrali per le opinioni di Millian e teorici di riferimento diretto. Si potrebbe pensare che una tale teoria sarebbe necessaria per le basi della semantica, se non per le basi della matematica. Pertanto, mentre uno dei paradossi di Russell ha portato allo sviluppo fecondo delle basi della matematica, il suo "altro" paradosso non ha ancora portato a qualcosa di remotamente simile nelle basi della semantica. Per essere sicuro,Church (1974a) e Anderson (1989) hanno tentato di sviluppare una logica intenzionale russelliana basata sulla teoria ramificata dei tipi, ma si può sostenere che la teoria ramificata è troppo restrittiva per servire da base per la semantica del linguaggio naturale. Ci sono stati anche alcuni recenti tentativi di ottenere gli inizi di una logica intensionale russelliana basata su teorie non tipizzate (Cantini 2004; Deutsch 2014). È piuttosto ironico che sebbene le proposizioni russelliane a grana fine siano favorite nella filosofia del linguaggio, lo sviluppo formale della logica intensionale è dominato dalla grammatica di Montague, con la sua teoria delle proposizioni a grana fine. Ci sono stati anche alcuni recenti tentativi di ottenere gli inizi di una logica intensionale russelliana basata su teorie non tipizzate (Cantini 2004; Deutsch 2014). È piuttosto ironico che sebbene le proposizioni russelliane a grana fine siano favorite nella filosofia del linguaggio, lo sviluppo formale della logica intensionale è dominato dalla grammatica di Montague, con la sua teoria delle proposizioni a grana fine. Ci sono stati anche alcuni recenti tentativi di ottenere gli inizi di una logica intensionale russelliana basata su teorie non tipizzate (Cantini 2004; Deutsch 2014). È piuttosto ironico che sebbene le proposizioni russelliane a grana fine siano favorite nella filosofia del linguaggio, lo sviluppo formale della logica intensionale è dominato dalla grammatica di Montague, con la sua teoria delle proposizioni a grana fine.

Vale anche la pena notare che un certo numero di principi apparentemente puramente teorici stabiliti sono in realtà (applicati) esempi di teoremi di logica pura (cioè di teoria della quantificazione del primo ordine con identità)! C'è un elenco (parziale) di questi in Kalish, Montague e Mar (2000). Il paradosso di Russell è un'istanza di T269 in questo elenco:

(T269) ~ ∃ y ∀ x (Fxy ≡ ~ Fxx).

Leggendo la lettera di predicato diadico "F" come "è un membro di", ciò dice che non è un caso tale che per ogni x, x sia un membro di y se e solo se x non è un membro di X. Questo significa che il paradosso di Russell si riduce a T269?

Certamente la prova di T269 distilla l'essenza dell'argomento di Russell, il suo modello di ragionamento. Ma quel modello sottoscrive anche un elenco infinito di "paradossi" apparentemente frivoli come il famoso paradosso del barbiere che si rade tutti e solo quelli che non si radono o, allo stesso modo, il paradosso del Dio benevolo ma efficiente che aiuta tutto e solo quelli che non si aiutano da soli.

In che modo questi "pseudo paradossi", come talvolta vengono chiamati, differiscono, se non del tutto, dal paradosso di Russell? Lo schema del ragionamento è lo stesso e la conclusione - che non esiste un barbiere simile, un dio così efficiente, un tale insieme di insiemi non indipendenti - è la stessa: tali cose semplicemente non esistono. (Tuttavia, come ha mostrato von Neumann, non è necessario andare così lontano. Il metodo di Von Neumann ci dice non che cose come R non esistono, ma solo che non possiamo dire molto su di esse, in quanto R e simili non possono rientrare nell'estensione di qualsiasi predicato che si qualifica come classe.)

La risposta standard a questa domanda è che la differenza sta nell'argomento. Quine chiede: "Perché [il paradosso di Russell] conta come antinomia e il paradosso del barbiere no?"; e lui risponde: "La ragione è che nelle nostre abitudini di pensiero c'è stata una presunzione schiacciante che ci sia una tale classe ma nessuna presunzione che ci sia un tale barbiere" (1966, 14). Anche così, il parlare psicologico di "abitudini di pensiero" non è particolarmente illuminante. Più precisamente, il paradosso di Russell solleva sensibilmente la questione di quali siano i set; ma non ha senso chiedersi, per motivi come T269, quali barbieri o dei ci siano!

Questo verdetto, tuttavia, non è abbastanza giusto per i fan del Barber o del T269 in generale. Insisteranno sul fatto che la domanda sollevata da T269 non è quali barbieri o dei ci siano, ma piuttosto quali oggetti non paradossali ci siano. Questa domanda è praticamente la stessa sollevata dal paradosso stesso di Russell. Pertanto, da questo punto di vista, la relazione tra il paradosso di Barber e Russell è molto più stretta di quanto molti (dopo Quine) siano stati disposti a consentire (Salmon 2013).

Notiamo che esiste una formula logica del primo ordine che ha la stessa relazione con il principio della R B che T269 porta al paradosso di Russell. È il seguente:

(T273) ∀ z ∀ y (∀ x [Fxy ≡ (Fxz ∧ ~ Fxx)] ⊃ ~ Fyz).

(Abbiamo preso la libertà di estendere la numerazione usata in Kalish, Montague e Mar (2000) a T273.) Ma non tutti i paradossi set-teorici sono collegati in modo simile ai teoremi logici del primo ordine. Il paradosso Burali-Forti è un esempio, poiché la nozione di un buon ordinamento non è elementare; cioè, non è definibile per il primo ordine.

Il paradosso di Russell non è mai stato superato, ma recentemente c'è stata un'esplosione di interesse da parte di studiosi coinvolti nella ricerca nella logica matematica e negli studi filosofici e storici della logica moderna. Uno sguardo al contenuto del volume del 2004 Il paradosso di Russell del secolo mostra importanti logici e storici matematici e filosofici e storici della logica che si riversano sul paradosso, proponendo nuove vie nel paradiso di Cantor o altri modi di risolvere il problema. Le loro ricerche includono vie radicalmente nuove per uscire dal dilemma posto dal paradosso, nuovi studi sulle teorie dei tipi (semplici e ramificati e relative estensioni), nuove interpretazioni del paradosso di Russell e teorie costruttive, del paradosso delle proposizioni di Russell e dei suoi tentativo di una teoria non tipizzata (la teoria della sostituzione) e così via.

Tutto ciò ci ricorda che il lavoro fecondo può derivare dalla più improbabile delle osservazioni. Come ha affermato Dana Scott, “È chiaro fin dall'inizio che il paradosso di Russell non deve essere considerato un disastro. E i relativi paradossi mostrano che la nozione ingenua di collezioni all-inclusive è insostenibile. Questo è un risultato interessante, non c'è che dire”(1974, 207).

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