I Paradossi Di Zenone

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I paradossi di Zenone

Pubblicato per la prima volta mar 30 aprile 2002; revisione sostanziale lun 11 giu 2018

Quasi tutto ciò che sappiamo di Zenone di Elea si trova nelle pagine iniziali di Parmenide di Platone. Lì apprendiamo che Zenone aveva quasi 40 anni quando Socrate era un giovane, diciamo 20. Da quando Socrate nacque nel 469 a. C., possiamo stimare una data di nascita per Zenone intorno al 490 a. C. Oltre a questo, in realtà tutto ciò che sappiamo è che era vicino a Parmenide (Platone riporta il pettegolezzo sul fatto che erano amanti quando Zenone era giovane) e che scrisse un libro di paradossi che difendevano la filosofia di Parmenide. Purtroppo questo libro non è sopravvissuto, e ciò che sappiamo dei suoi argomenti è di seconda mano, principalmente attraverso Aristotele e i suoi commentatori (qui attingiamo in particolare a Simplicius, che, sebbene scrivendo mille anni dopo Zenone, apparentemente possedeva almeno alcuni dei suoi libro). Apparentemente c'erano 40 "paradossi della pluralità",tentare di dimostrare che il pluralismo ontologico - una credenza nell'esistenza di molte cose piuttosto che una sola - porta a conclusioni assurde; di questi paradossi ne sopravvivono solo due, sebbene un terzo argomento possa essere probabilmente attribuito a Zenone. Aristotele parla di altri quattro argomenti contro il movimento (e per estensione il cambiamento in generale), che dà e tenta di confutare. Inoltre Aristotele attribuisce altri due paradossi a Zenone. Purtroppo, quasi nessuno di questi paradossi è citato nelle parole originali di Zenone dai loro vari commentatori, ma in parafrasi. Aristotele parla di altri quattro argomenti contro il movimento (e per estensione il cambiamento in generale), che dà e tenta di confutare. Inoltre Aristotele attribuisce altri due paradossi a Zenone. Purtroppo, quasi nessuno di questi paradossi è citato nelle parole originali di Zenone dai loro vari commentatori, ma in parafrasi. Aristotele parla di altri quattro argomenti contro il movimento (e per estensione il cambiamento in generale), che dà e tenta di confutare. Inoltre Aristotele attribuisce altri due paradossi a Zenone. Purtroppo, quasi nessuno di questi paradossi è citato nelle parole originali di Zenone dai loro vari commentatori, ma in parafrasi.

  • 1. Contesto
  • 2. I paradossi della pluralità

    • 2.1 L'argomento dalla densità
    • 2.2 L'argomento dalle dimensioni finite
    • 2.3 L'argomento dalla completa divisibilità
  • 3. I paradossi del movimento

    • 3.1 La dicotomia
    • 3.2 Achille e la tartaruga
    • 3.3 La freccia
    • 3.4 Lo stadio
  • 4. Altri due paradossi

    • 4.1 Il paradosso del luogo
    • 4.2 Il grano di miglio
  • 5. L'influenza di Zenone sulla filosofia
  • Ulteriori letture
  • Bibliografia
  • Strumenti accademici
  • Altre risorse Internet
  • Voci correlate

1. Contesto

Prima di esaminare i paradossi stessi, sarà utile delineare alcuni dei loro significati storici e logici. Innanzitutto, Zenone ha cercato di difendere Parmenide attaccando i suoi critici. Parmenide respinse il pluralismo e la realtà di ogni tipo di cambiamento: per lui tutto era una realtà indivisibile, immutabile, e ogni apparenza al contrario erano illusioni, da dissipare dalla ragione e dalla rivelazione. Non sorprende che questa filosofia abbia trovato molti critici, che hanno ridicolizzato il suggerimento; dopo tutto vola di fronte ad alcune delle nostre credenze più elementari sul mondo. (È interessante notare che la relatività generale, in particolare la relatività generale quantistica, fornisce probabilmente un romanzo, se la novità è possibile, argomento per la negazione del cambiamento parmenidea: Belot e Earman, 2001.) In risposta a questa critica Zenone fece qualcosa che può sembrare ovvio,ma che ha avuto un profondo impatto sulla filosofia greca che si fa sentire fino ai nostri giorni: ha cercato di dimostrare che pari assurdità seguivano logicamente dalla negazione delle opinioni di Parmenide. Pensi che ci siano molte cose? Quindi devi concludere che tutto è sia infinitamente piccolo che infinitamente grande! Pensi che il movimento sia infinitamente divisibile? Quindi ne consegue che nulla si muove! (Questo è un "paradosso": una dimostrazione che una contraddizione o una conseguenza assurda segue da ipotesi apparentemente ragionevoli.)Pensi che il movimento sia infinitamente divisibile? Quindi ne consegue che nulla si muove! (Questo è ciò che è un "paradosso": una dimostrazione che una contraddizione o una conseguenza assurda segue da ipotesi apparentemente ragionevoli.)Pensi che il movimento sia infinitamente divisibile? Quindi ne consegue che nulla si muove! (Questo è ciò che è un "paradosso": una dimostrazione che una contraddizione o una conseguenza assurda segue da ipotesi apparentemente ragionevoli.)

Mentre leggiamo gli argomenti è fondamentale tenere presente questo metodo. Sono sempre diretti verso un obiettivo più o meno specifico: i punti di vista di una persona o di una scuola. Dobbiamo tenere presente che gli argomenti sono "ad hominem" nel senso letterale latino di essere diretti "verso (le opinioni di) persone", ma non "ad hominem" nel tradizionale senso tecnico di attaccare il (carattere di) le persone che avanzano le opinioni anziché attaccarle. Funzionano supponendo temporaneamente "per l'argomentazione" che tali affermazioni siano vere, e quindi sostenendo che se ne conseguono conseguenze assurde, nulla si muove per esempio: sono argomenti "reductio ad absurdum" (o "dialettica" nel senso del periodo). Quindi, se l'argomento è logicamente valido e la conclusione è davvero inaccettabile,le asserzioni devono essere false dopo tutto. Quindi, quando osserviamo gli argomenti di Zenone, dobbiamo porre due domande correlate: chi o quale posizione sta attaccando Zenone e cosa si suppone esattamente per amore dell'argomento? Se scopriamo che Zenone fa ipotesi nascoste al di là di ciò a cui la posizione sotto attacco si impegna, allora l'assurda conclusione può essere evitata negando una delle ipotesi nascoste, mantenendo la posizione. In effetti i commentatori almeno da quando Aristotele hanno risposto a Zenone in questo modo.pur mantenendo la posizione. In effetti i commentatori almeno da quando Aristotele hanno risposto a Zenone in questo modo.pur mantenendo la posizione. In effetti i commentatori almeno da quando Aristotele hanno risposto a Zenone in questo modo.

Quindi, di chi sono i punti di vista degli argomenti di Zenone? C'è un'enorme letteratura che discute sull'esatto obiettivo storico di Zenone. Come discuteremo brevemente di seguito, alcuni affermano che l'obiettivo era una dottrina tecnica dei Pitagorici, ma la maggior parte di questi oggi vede Zenone come opposte nozioni di senso comune della pluralità e del movimento. Affronteremo i paradossi in questo spirito e riferiremo il lettore alla letteratura riguardante il dibattito interpretativo.

Detto questo, è anche opinione della maggioranza che, con alcune qualifiche, i paradossi di Zenone rivelino alcuni problemi che non possono essere risolti senza le piene risorse della matematica elaborate nel diciannovesimo secolo (e forse oltre). Ciò non significa (necessariamente) che la matematica moderna sia richiesta per rispondere a qualsiasi problema che Zenone volesse esplicitamente sollevare; probabilmente Aristotele e altri antichi avevano risposte che avrebbero o avrebbero dovuto soddisfare Zenone. (Né dovremo avanzare pretese particolari sull'influenza di Zenone sulla storia della matematica.) Tuttavia, man mano che la matematica si sviluppava e si pensava ai paradossi, da essi sorsero nuove difficoltà; queste difficoltà richiedono la matematica moderna per la loro risoluzione. Queste nuove difficoltà sorgono in parte in risposta all'evoluzione della nostra comprensione di ciò che richiede il rigore matematico: soluzioni che soddisferebbero gli standard di rigore di Zenone non soddisferebbero le nostre. Quindi spingeremo molti dei paradossi dalle loro formulazioni di buonsenso alla loro risoluzione nella matematica moderna. (Un'altra qualifica: offriremo risoluzioni in termini di matematica "standard", ma anche altre formulazioni moderne sono in grado di trattare con Zenone, e probabilmente in modi che meglio rappresentano i suoi concetti matematici.)ma anche altre formulazioni moderne sono in grado di trattare con Zenone, e probabilmente in modi che meglio rappresentano i suoi concetti matematici.)ma anche altre formulazioni moderne sono in grado di trattare con Zenone, e probabilmente in modi che meglio rappresentano i suoi concetti matematici.)

2. I paradossi della pluralità

2.1 L'argomento dalla densità

Se ce ne sono molti, devono essere tanti quanti ne sono e né più né meno di quello. Ma se fossero tanti quanti sarebbero, sarebbero limitati. Se ce ne sono molti, le cose sono illimitate. Perché ci sono sempre altri tra le cose che sono, e ancora altri tra quelli che sono, e quindi le cose che sono illimitate. (Simplicius (a) Sulla fisica di Aristotele, 140.29)

Questo primo argomento, espresso nelle parole di Zenone secondo Simplicius, tenta di dimostrare che non potrebbe esserci più di una cosa, pena la contraddizione: se ci sono molte cose, allora sono sia "limitate" che "illimitate", una contraddizione. Da un lato, afferma che qualsiasi collezione deve contenere un certo numero di cose, o nelle sue parole "né più né meno". Ma se hai un numero definito di cose, conclude, devi avere un numero finito 'illimitato' di loro; nel trarre questa inferenza assume che avere infinitamente molte cose sia averne un numero indefinito. D'altra parte, immagina qualsiasi raccolta di "molte" cose disposte nello spazio-immagine, allineate in una dimensione per chiarezza. Tra due qualsiasi, sostiene, è un terzo; e tra questi tre elementi altri due;e altri quattro tra questi cinque; e così via senza fine. Pertanto anche la raccolta è "illimitata". Quindi la nostra assunzione originale di una pluralità porta a una contraddizione, e quindi è falsa: dopo tutto non ci sono molte cose. Almeno, quindi il ragionamento di Zenone scorre.

Consideriamo i due sottoargomenti, in ordine inverso. Innanzitutto ci sono "sempre altri tra le cose che sono"? (Nella terminologia moderna, perché gli oggetti devono sempre essere "densamente" ordinati?) Supponiamo di aver immaginato una raccolta di dieci mele allineate; poi c'è davvero un'altra mela tra il sesto e l'ottavo, ma non c'è nessuno tra il settimo e l'ottavo! Partendo dal presupposto che Zenone non sia semplicemente confuso, che cosa ha in mente? I testi non dicono, ma qui ci sono due possibilità: in primo luogo, si potrebbe sostenere che per ogni coppia di oggetti fisici (due mele dicono) essere due oggetti distinti e non solo uno (una "doppia mela") ci deve essere un terzo tra di loro, separandoli fisicamente, anche se è solo aria. E si potrebbe pensare che affinché questi tre siano distinti, ci devono essere altri due oggetti che li separano,e così via (questo punto di vista presuppone che la loro composizione di sostanze diverse non sia sufficiente a renderle distinte). Quindi forse Zenone sta discutendo contro la pluralità data una certa concezione di distinzione fisica. Ma in secondo luogo, si potrebbe anche sostenere che qualsiasi corpo ha parti che possono essere densamente ordinate. Naturalmente 1 / 2s, 1 / 4s, 1 / 8s e così via delle mele non sono densi - tali parti possono essere adiacenti - ma potrebbero esserci parti sufficientemente piccole che li chiamano "parti-punto". In effetti, se tra due parti qualsiasi di punti si trova una distanza finita, e se le parti punto possono essere arbitrariamente vicine, allora sono dense; un terzo si trova a metà strada di qualsiasi due. In particolare, i punti geometrici familiari sono così, e quindi densi. Quindi forse Zenone offre una discussione sulla divisibilità dei corpi. In entrambi i casi,L'assunzione di densità di Zenone richiede ulteriori assunzioni sulla pluralità in questione e focalizza di conseguenza l'obiettivo del suo paradosso.

Ma supponiamo che si ritenga che una raccolta (i punti in una linea, diciamo) sia densa, quindi "illimitata" o infinita. Il primo polo dell'attacco di Zenone pretende di dimostrare che, poiché contiene un determinato numero di elementi, è anche "limitato", o finito. È possibile sfuggire a questa contraddizione? L'ipotesi che qualsiasi numero definito sia finito sembra intuitiva, ma ora sappiamo, grazie al lavoro di Cantor nel diciannovesimo secolo, come capire i numeri infiniti in un modo che li rende altrettanto definiti dei numeri finiti. L'elemento centrale di questa teoria dei "numeri transfiniti" è una definizione precisa di quando due raccolte infinite hanno le stesse dimensioni e quando una è più grande dell'altra. Con una tale definizione in mano, è quindi possibile ordinare i numeri infiniti così come vengono ordinati i numeri finiti: ad esempio, ci sono diversi,numeri infiniti definiti di frazioni e punti geometrici in una linea, anche se entrambi sono densi. (Vedi ulteriori letture di seguito per i riferimenti alle introduzioni a queste idee matematiche e alla loro storia). Quindi, contrariamente a quanto ipotizzato da Zenone, è significativo confrontare infinite raccolte rispetto al numero dei loro elementi, per dire se due hanno più di, oppure meno di o 'tanti quanti' tra loro: ci sono, per esempio, più numeri decimali che numeri interi, ma tanti numeri pari come numeri interi. Così matematicamente, il ragionamento di Zenone è insensato quando afferma che, poiché una raccolta ha un numero definito, deve essere finita e il primo sottoargumento è fallace. (Anche se ovviamente questo dimostra solo che infinite collezioni sono matematicamente coerenti, non che esistono fisicamente.)))anche se entrambi sono densi. (Vedi ulteriori letture di seguito per i riferimenti alle introduzioni a queste idee matematiche e alla loro storia). Quindi, contrariamente a quanto ipotizzato da Zenone, è significativo confrontare infinite raccolte rispetto al numero dei loro elementi, per dire se due hanno più di, oppure meno di o 'tanti quanti' tra loro: ci sono, per esempio, più numeri decimali che numeri interi, ma tanti numeri pari come numeri interi. Così matematicamente, il ragionamento di Zenone è insensato quando afferma che, poiché una raccolta ha un numero definito, deve essere finita e il primo sottoargumento è fallace. (Anche se ovviamente questo dimostra solo che infinite collezioni sono matematicamente coerenti, non che esistono fisicamente.)anche se entrambi sono densi. (Vedi ulteriori letture di seguito per i riferimenti alle introduzioni a queste idee matematiche e alla loro storia). Quindi, contrariamente a quanto ipotizzato da Zenone, è significativo confrontare infinite raccolte rispetto al numero dei loro elementi, per dire se due hanno più di, oppure meno di o 'tanti quanti' tra loro: ci sono, per esempio, più numeri decimali che numeri interi, ma tanti numeri pari come numeri interi. Così matematicamente, il ragionamento di Zenone è insensato quando afferma che, poiché una raccolta ha un numero definito, deve essere finita e il primo sottoargumento è fallace. (Anche se ovviamente questo dimostra solo che infinite collezioni sono matematicamente coerenti, non che esistono fisicamente.)e la loro storia.) Quindi, contrariamente a quanto ipotizzato da Zenone, è significativo confrontare infinite raccolte rispetto al numero dei loro elementi, per dire se due hanno più o meno di, o "quante altre" tra loro: ci sono, ad esempio, più numeri decimali di numeri interi, ma tanti numeri pari come numeri interi. Così matematicamente, il ragionamento di Zenone è insensato quando afferma che, poiché una raccolta ha un numero definito, deve essere finita e il primo sottoargumento è fallace. (Anche se ovviamente questo dimostra solo che infinite collezioni sono matematicamente coerenti, non che esistono fisicamente.)e la loro storia.) Quindi, contrariamente a quanto ipotizzato da Zenone, è significativo confrontare infinite raccolte rispetto al numero dei loro elementi, per dire se due hanno più o meno di, o "quante altre" tra loro: ci sono, ad esempio, più numeri decimali di numeri interi, ma tanti numeri pari come numeri interi. Così matematicamente, il ragionamento di Zenone è insensato quando afferma che, poiché una raccolta ha un numero definito, deve essere finita e il primo sottoargumento è fallace. (Anche se ovviamente questo dimostra solo che infinite collezioni sono matematicamente coerenti, non che esistono fisicamente.)per esempio, più numeri decimali che numeri interi, ma tanti numeri pari come numeri interi. Così matematicamente, il ragionamento di Zenone è insensato quando afferma che, poiché una raccolta ha un numero definito, deve essere finita e il primo sottoargumento è fallace. (Anche se ovviamente questo dimostra solo che infinite collezioni sono matematicamente coerenti, non che esistono fisicamente.)per esempio, più numeri decimali che numeri interi, ma tanti numeri pari come numeri interi. Così matematicamente, il ragionamento di Zenone è insensato quando afferma che poiché una raccolta ha un numero definito, deve essere finita e il primo sottoargumento è fallace. (Anche se ovviamente questo dimostra solo che infinite collezioni sono matematicamente coerenti, non che esistono fisicamente.)

2.2 L'argomento dalle dimensioni finite

… se dovesse essere aggiunto a qualcos'altro che esiste, non lo renderebbe più grande. Se non fosse di dimensioni e fosse aggiunto, non potrebbe aumentare di dimensioni. E così segue immediatamente che ciò che viene aggiunto non è nulla. Ma se quando viene sottratto, l'altra cosa non è più piccola, né aumenta quando viene aggiunta, chiaramente la cosa aggiunta o sottratta non è nulla. (Simplicius (a) Sulla fisica di Aristotele, 139.9)

Ma se esiste, ogni cosa deve avere una certa dimensione e spessore, e parte di essa deve essere separata dal resto. E lo stesso ragionamento vale per la parte che sta di fronte. Anche per questo avrà dimensioni e parte di esso sarà di fronte. Ora è la stessa cosa dirlo una volta e continuare a dirlo per sempre. Perché nessuna parte del genere sarà ultima, né ci sarà una parte non correlata ad un'altra. Pertanto, se ci sono molte cose, devono essere sia piccole che grandi; così piccolo da non avere dimensioni, ma così grande da essere illimitato. (Simplicius (a) Sulla fisica di Aristotele, 141.2)

Ancora una volta abbiamo le stesse parole di Zenone. Secondo la sua conclusione, ci sono tre parti in questo argomento, ma solo due sopravvivono. Il primo argomento mancante pretende di dimostrare che se esistono molte cose, allora non devono avere alcuna dimensione. In secondo luogo, da questo Zenone sostiene che ne consegue che non esistono affatto; poiché il risultato di unire (o rimuovere) un oggetto senza dimensioni a nulla non è affatto un cambiamento, egli conclude che la cosa aggiunta (o rimossa) è letteralmente nulla. L'argomento a questo punto è una confutazione autonoma del pluralismo, ma Zenone continua a generare un ulteriore problema per qualcuno che continua a sollecitare l'esistenza di una pluralità. Questa terza parte dell'argomento è messa piuttosto male, ma sembra funzionare in questo modo: supponiamo che ci sia una pluralità, quindi esiste un oggetto spazialmente esteso (dopo tutto,ha appena sostenuto che non esistono cose estese). Poiché è esteso, ha due parti spazialmente distinte (una "di fronte" all'altra). E le parti esistono, quindi hanno estensione, e quindi hanno anche due parti spazialmente distinte; e così via senza fine. E quindi, la linea dell'argomento finale sembra concludersi, l'oggetto, se esteso a tutti, ha estensione infinita.

Ma cosa potrebbe giustificare questo passaggio finale? Non sembra che, poiché un oggetto ha due parti, deve essere infinitamente grande! E nemmeno segue da nessuna delle divisioni che Zenone descrive qui; quattro, otto, sedici o qualunque parte finita formi un insieme finito. Ancora una volta, sicuramente Zenone è a conoscenza di questi fatti, e quindi deve avere in mente qualcos'altro, presumibilmente quanto segue: presume che se l'infinita serie di divisioni che descrive fosse ripetuta all'infinito molte volte, ne conseguirebbe una raccolta definita di parti. E nota che non deve presumere che qualcuno possa effettivamente eseguire le divisioni - non c'è abbastanza tempo e i coltelli non sono abbastanza affilati - solo che un oggetto può essere decomposto geometricamente in tali parti (né ipotizza che queste parti sono quelli che classificheremmo naturalmente come oggetti fisici distinti come mele, cellule, molecole, elettroni e così via, ma solo che sono parti geometriche di questi oggetti). Ora, se - come potrebbe benissimo accettare un pluralista - tali parti esistano, dalla seconda parte della sua argomentazione risulta che esse sono estese e, a quanto pare presume, una somma infinita di parti finite è infinita.dalla seconda parte della sua argomentazione risulta che sono estese e, a quanto pare presume, una somma infinita di parti finite è infinita.dalla seconda parte della sua argomentazione risulta che sono estese e, a quanto pare presume, una somma infinita di parti finite è infinita.

Qui dovremmo notare che ci sono due modi in cui può immaginare il risultato della divisione infinita.

In primo luogo, uno potrebbe leggerlo come prima dividendo l'oggetto in 1/2, quindi uno dei 1/2, come il secondo in due 1/4, quindi uno dei 1/4, il secondo ancora, in due 1 / 8s e così via. In questo caso il risultato della divisione infinita si traduce in una sequenza infinita di pezzi di dimensioni 1/2 della lunghezza totale, 1/4 della lunghezza, 1/8 della lunghezza…. E quindi la lunghezza totale è (1/2 + 1/4 + 1/8 +… della lunghezza, che Zenone conclude è una distanza infinita, cosicché il pluralista si impegna all'assurdità che i corpi finiti sono "così grandi come essere illimitato ".

Ciò che viene spesso sottolineato in risposta è che Zenone non ci dà motivo di pensare che la somma sia infinita piuttosto che finita. Potrebbe aver intuito che qualsiasi somma infinita di quantità finite, dal momento che cresce all'infinito con ogni nuovo termine, deve essere infinita, ma si potrebbe anche prendere questo tipo di esempio come dimostrando che alcune somme infinite sono dopo tutto finite. Pertanto, contrariamente a quanto pensava, Zenone non ha dimostrato che ne consegue l'assurda conclusione. Tuttavia, ciò che non è sempre apprezzato è che il pluralista non è così facile, perché non basta dire che la somma potrebbe essere finita, deve anche dimostrare che è finita, altrimenti restiamo incerti sulla sostenibilità della sua posizione. A titolo di esempio della difficoltà affrontata qui, considerare quanto segue:molti commentatori parlano come se fosse semplicemente ovvio che la somma infinita delle frazioni sia 1, che non vi sia nulla nella somma infinita. Ma per quanto riguarda la seguente somma: (1 - 1 + 1 - 1 + 1 - / ldots). Ovviamente, a quanto pare, la somma può essere riscritta ((1 - 1) + (1 - 1) + / ldots = 0 + 0 + / ldots = 0). Sicuramente questa risposta sembra intuitiva come la somma delle frazioni. Ma questa somma può anche essere riscritta (1 - (1 - 1 + 1 - 1 + / ldots) = 1 - 0) - poiché abbiamo appena mostrato che il termine tra parentesi svanisce - (= 1). Affidarsi alle intuizioni su come eseguire somme infinite porta alla conclusione che (1 = 0). Finché non si può dare una teoria di somme infinite che può dare una risposta soddisfacente a qualsiasi problema, non si può dire che la somma infinita di Zenone sia ovviamente finita. Una tale teoria non fu completamente elaborata fino al diciannovesimo secolo da Cauchy.(Nel sistema di Cauchy (1/2 + 1/4 + / ldots = 1) ma (1 - 1 + 1 - / ldots) non è definito.)

In secondo luogo, potrebbe essere che Zenone significhi che l'oggetto è diviso a metà, quindi entrambi gli 1/2 sono entrambi divisi a metà, quindi gli 1/4 sono tutti divisi a metà e così via. In questo caso i pezzi in qualsiasi fase particolare hanno tutti la stessa dimensione finita, e quindi si potrebbe concludere che il risultato di portare avanti la procedura all'infinito sarebbero pezzi della stessa dimensione, che se esistessero, secondo Zenone, è maggiore di zero; ma un'infinità di parti uguali estese è davvero infinitamente grande.

Ma questa linea di pensiero può essere contrastata. In primo luogo, supponiamo che la procedura appena descritta divida completamente l'oggetto in parti non sovrapposte. (C'è un problema con questa supposizione che vedremo poco sotto.) Implica il raddoppio del numero di pezzi dopo ogni divisione e quindi dopo (N) divisioni ci sono (2 ^ N) pezzi. Ma si scopre che per qualsiasi numero naturale o infinito, (N), (2 ^ N / gt N), e quindi il numero di (supposte) parti ottenute dall'infinità di divisioni descritte è un infinito ancora maggiore. Questo risultato non pone alcuna difficoltà immediata poiché, come detto sopra, gli infiniti hanno dimensioni diverse. Si dice che il numero di volte in cui tutto è diviso in due sia "numerabile infinito": c'è una infinità numerabile di cose in una raccolta se possono essere etichettate dai numeri 1, 2, 3,… senza resto da entrambi i lati. Ma il numero di pezzi che la divisione infinita produce è "infinitamente numerabile", il che significa che non c'è modo di etichettarli 1, 2, 3, … senza perderne alcuni, anzi infinitamente molti di essi. Tuttavia, la definizione di Cauchy di una somma infinita si applica solo a serie numericamente infinite di numeri, e quindi non si applica ai pezzi che stiamo prendendo in considerazione. Tuttavia, potremmo prendere in considerazione solo molti di loro, le cui lunghezze secondo Zenone, poiché sostiene che sono tutte uguali e diverse da zero, si sommeranno a una lunghezza infinita; la lunghezza di tutti i pezzi non potrebbe essere inferiore a questo. La definizione di Cauchy di una somma infinita si applica solo a serie numericamente infinite di numeri, e quindi non si applica ai pezzi che stiamo prendendo in considerazione. Tuttavia, potremmo prendere in considerazione solo molti di essi, le cui lunghezze secondo Zenone, poiché afferma che sono tutti uguali e diversi da zero, si sommeranno a una lunghezza infinita; la lunghezza di tutti i pezzi non potrebbe essere inferiore a questo. La definizione di Cauchy di una somma infinita si applica solo a serie numericamente infinite di numeri, e quindi non si applica ai pezzi che stiamo prendendo in considerazione. Tuttavia, potremmo prendere in considerazione solo molti di loro, le cui lunghezze secondo Zenone, poiché sostiene che sono tutte uguali e diverse da zero, si sommeranno a una lunghezza infinita; la lunghezza di tutti i pezzi non potrebbe essere inferiore a questo.

A questo punto il pluralista che crede che la divisione di Zenone divide completamente gli oggetti in parti non sovrapposte (vedi il paragrafo successivo) potrebbe rispondere che le parti in realtà non hanno estensione, anche se esistono. Ciò bloccherebbe la conclusione che gli oggetti finiti sono infiniti, ma sembra respingerla sull'altro corno dell'argomentazione di Zenone, perché come possono tutti questi pezzi di lunghezza zero costituire un tutto diverso da zero? (Si noti che secondo Cauchy (0 + 0 + 0 + / ldots = 0) ma questo risultato non mostra nulla qui, poiché come abbiamo visto ci sono innumerevoli pezzi da aggiungere, più di quelli aggiunti in questa somma.) rinviare questa domanda per la discussione del prossimo paradosso, in cui si presenta esplicitamente.

Il secondo problema con l'interpretazione della divisione infinita come divisione ripetuta di tutte le parti è che non divide un oggetto in parti distinte, se gli oggetti sono composti in modo naturale. Per vedere questo, facciamo la domanda su quali parti sono ottenute da questa divisione in 1/2, 1/4, 1/8, … Poiché la divisione viene ripetuta senza fine, non esiste un ultimo pezzo che possiamo dare come risposta, e quindi dobbiamo pensare alla domanda in modo diverso. Se supponiamo che un oggetto possa essere rappresentato da un segmento di linea di lunghezza unitaria, la divisione produce raccolte di segmenti, in cui la prima è la prima o la seconda metà dell'intero segmento, la seconda è il primo o il secondo trimestre, oppure terzo o quarto trimestre, e in generale il segmento prodotto dalle divisioni (N) è la prima o la seconda metà del segmento precedente. Ad esempio, scrivendo il segmento con endpoint (a) e (b) come ([a, b]), alcune di queste raccolte (tecnicamente note come "catene" poiché gli elementi della raccolta sono ordinati per dimensione) inizierebbe ({[0,1], [0,1 / 2], [1 / 4,1 / 2], [1 / 4,3 / 8], / ldots }). (Quando abbiamo discusso in precedenza che la divisione di Zenone ha prodotto innumerevoli pezzi dell'oggetto, ciò che avremmo dovuto dire più attentamente è che produce innumerevoli catene come questa.)ciò che avremmo dovuto dire più attentamente è che produce innumerevoli catene come questa.)ciò che avremmo dovuto dire più attentamente è che produce innumerevoli catene come questa.)

La domanda su quali parti sceglie la divisione è quindi la domanda su quale parte sceglie una determinata catena; è naturale dire che una catena individua la parte della linea che è contenuta in ognuno dei suoi elementi. Considera ad esempio la catena ({[0,1 / 2], [1 / 4,1 / 2], [3 / 8,1 / 2], / ldots }), in altre parole la catena che inizia con la metà sinistra della linea e per la quale ogni altro elemento è la metà destra di quella precedente. Il punto a metà strada è in ognuno dei segmenti di questa catena; è l'endpoint destro di ciascuno. Ma nessun altro punto è in tutti i suoi elementi: chiaramente nessun punto oltre la metà è; e scegli qualsiasi punto (p) prima della metà, se prendi la metà destra di [0,1 / 2] abbastanza volte, l'estremità sinistra del segmento sarà alla destra di (p). Quindi l'unica parte della linea che si trova in tutti gli elementi di questa catena è il punto a metà strada, e quindi quella è la parte della linea selezionata dalla catena. (In effetti, da un postulato della teoria dei numeri risulta che esiste esattamente un punto che tutti i membri di una tale catena hanno in comune.) Il problema è che, con un ragionamento parallelo, il punto a metà strada viene anche individuato da la catena distinta ({[1 / 2,1], [1 / 2,3 / 4], [1 / 2,5 / 8], / ldots }), dove ogni segmento dopo il primo è il metà sinistra della precedente. E così entrambe le catene scelgono lo stesso pezzo di linea: il punto a metà strada. E così via per molte altre coppie di catene. Quindi l'argomento di Zenone, interpretato in termini di una divisione ripetuta di tutte le parti a metà, non divide la linea in parti distinte. Quindi, se pensiamo che gli oggetti siano composti allo stesso modo della linea,ne consegue che, nonostante le apparenze, questa versione dell'argomento non suddivide gli oggetti in parti di cui possiamo discutere correttamente le dimensioni totali.

(Potresti pensare che questo problema possa essere risolto prendendo gli elementi delle catene come segmenti senza endpoint a destra. Quindi la prima delle due catene che abbiamo considerato non ha più il punto a metà in nessuno dei suoi segmenti, e quindi non rileva quel punto. Il problema ora è che non riesce a scegliere alcuna parte della linea: il ragionamento precedente ha mostrato che non rileva alcun punto maggiore o minore del punto a metà strada, e ora non capisce nemmeno questo punto!)

2.3 L'argomento dalla completa divisibilità

… Ogni volta che un corpo è per sua natura divisibile per intero, sia per sezione, sia in generale con qualsiasi metodo, non sarebbe risultato nulla di impossibile se fosse stato effettivamente diviso … anche se forse nessuno in realtà potrebbe dividerlo.

Cosa rimarrà quindi? Un magnitudo? No: è impossibile, da allora ci sarà qualcosa di non diviso, mentre ex ipotesi il corpo era divisibile fino in fondo. Ma se si ammette che non rimarranno né un corpo né una grandezza … il corpo sarà costituito da punti (e i suoi costituenti saranno senza grandezza) o non sarà assolutamente nulla. Se quest'ultimo, allora potrebbe nascere dal nulla ed esistere come un composto di niente; e quindi presumibilmente l'intero corpo non sarà altro che un'apparenza. Ma se è costituito da punti, non avrà alcuna grandezza. (Aristotele su generazione e corruzione, 316a19)

Queste parole sono di Aristotele non di Zenone, e in effetti l'argomento non è nemmeno attribuito a Zenone da Aristotele. Comunque abbiamo l'opinione di Simplicius ((a) su Aristotele's Physics, 139.24) che ha origine con Zenone, motivo per cui è incluso qui. Aristotele inizia ipotizzando che un certo corpo sia completamente divisibile, "attraverso e attraverso"; il secondo passo dell'argomentazione chiarisce che intende in tal modo che è divisibile in parti che esse stesse non hanno dimensioni-parti con qualsiasi grandezza che rimangono divise in modo incompleto. (Ancora una volta ciò che conta è che il corpo è veramente composto da tali parti, non che qualcuno abbia il tempo e gli strumenti per fare la divisione; e ricordando dalla sezione precedente che non si ottengono tali parti dividendo ripetutamente tutte le parti a metà.) Supponiamo quindi che il corpo sia diviso nelle sue parti senza dimensioni. Queste parti potrebbero non essere affatto nulla, come sosteneva Zenone, o "parti puntuali". Se le parti non sono nulla, lo è anche il corpo: è solo un'illusione. E l'argomento si conclude, anche se si tratta di punti, poiché questi non sono ampliati, il corpo stesso non sarà esteso: sicuramente qualsiasi somma, anche uno infinito, di zero è zero.

Quella ipotesi finale potrebbe essere messa in discussione? È (come notato sopra) una conseguenza della definizione di Cauchy di una somma infinita; tuttavia Grünbaum (1967) ha sottolineato che tale definizione si applica solo a somme numerabili, e Cantor ha fornito una prova 'diagonale' bellissima, sorprendente ed estremamente influente che il numero di punti nel segmento è infinitamente numeroso. Non c'è modo di etichettare tutti i punti nella linea con l'infinito dei numeri 1, 2, 3, … e quindi ci sono più punti in un segmento di linea che sommare in una somma di Cauchy. In breve, l'analisi utilizzata per la divisione infinitamente numerabile non si applica qui.

Supponiamo quindi che ti sia stato appena assegnato il numero di punti in una linea e che le loro lunghezze siano tutte zero; come determineresti la lunghezza? Abbiamo bisogno di una nuova definizione, che estende Cauchy a somme infinite infinite? Si scopre che ciò non aiuterebbe, perché Cauchy ha ulteriormente dimostrato che qualsiasi segmento, di qualsiasi lunghezza (e in effetti un'intera linea infinita) ha esattamente lo stesso numero di punti del nostro segmento di unità. Quindi conoscere il numero di punti non determinerà la lunghezza della linea e quindi non è possibile nulla come un'aggiunta familiare, in cui il tutto è determinato dalle parti. Invece dobbiamo pensare alle proprietà della distanza di una linea come logicamente posteriori alla sua composizione in punti: in primo luogo abbiamo un insieme di punti (ordinati in un certo modo, in modo che ci sia un fatto, ad esempio,su quale dei tre è tra gli altri) quindi definiamo una funzione di coppie di punti che specifica quanto sono distanti (soddisfacendo tali condizioni come la distanza tra (A) e (B) più la distanza tra (B) e (C) è uguale alla distanza tra (A) e (C) - se (B) è compreso tra (A) e (C)). Quindi rispondiamo a Zenone nel modo seguente: l'argomento presupponeva che la dimensione del corpo fosse una somma delle dimensioni delle parti puntuali, ma non è così; secondo la matematica moderna, un segmento di linea geometrica è un'infinità infinita di punti più una funzione di distanza. (Si noti che Grünbaum ha usato il fatto che la composizione in punti non riesce a determinare una lunghezza per supportare la sua visione "convenzionale" che una linea non ha alcuna lunghezza determinata, indipendentemente da uno standard di misurazione.)))))Quindi rispondiamo a Zenone nel modo seguente: l'argomento presupponeva che la dimensione del corpo fosse una somma delle dimensioni delle parti puntuali, ma non è così; secondo la matematica moderna, un segmento di linea geometrica è un'infinità infinita di punti più una funzione di distanza. (Si noti che Grünbaum ha usato il fatto che la composizione in punti non riesce a determinare una lunghezza per supportare la sua visione "convenzionale" che una linea non ha alcuna lunghezza determinata, indipendentemente da uno standard di misurazione.)Quindi rispondiamo a Zenone nel modo seguente: l'argomento presupponeva che la dimensione del corpo fosse una somma delle dimensioni delle parti puntuali, ma non è così; secondo la matematica moderna, un segmento di linea geometrica è un'infinità infinita di punti più una funzione di distanza. (Si noti che Grünbaum ha usato il fatto che la composizione in punti non riesce a determinare una lunghezza per supportare la sua visione "convenzionale" che una linea non ha alcuna lunghezza determinata, indipendentemente da uno standard di misurazione.)(Si noti che Grünbaum ha usato il fatto che la composizione in punti non riesce a determinare una lunghezza per supportare la sua visione "convenzionale" che una linea non ha alcuna lunghezza determinata, indipendentemente da uno standard di misurazione.)(Si noti che Grünbaum ha usato il fatto che la composizione in punti non riesce a determinare una lunghezza per supportare la sua visione "convenzionale" che una linea non ha alcuna lunghezza determinata, indipendentemente da uno standard di misurazione.)

Come sottolinea Ehrlich (2014), potremmo persino stabilire che una "somma non numerabile" di zero è zero, poiché la lunghezza di una linea non è uguale alla somma delle lunghezze dei punti che contiene (rivolgendosi a Sherry, 1988, preoccupa che rifiutare di estendere la definizione sarebbe ad hoc). Quindi, se si stabilisce che la lunghezza di una linea è la somma di qualsiasi raccolta completa di parti appropriate, ne consegue che i punti non sono parti di una linea propriamente parlando (a differenza di metà, quarti e così via di una linea). In senso stretto nella moderna teoria delle misure (che generalizza la struttura di Grünbaum), i punti in una linea sono incommensurabili con essa, e la stessa struttura data da Aristotele in cui la lunghezza dell'insieme viene analizzata in termini di punti è illegittima.

3. I paradossi del movimento

3.1 La dicotomia

Il primo afferma la non esistenza del movimento sul terreno che ciò che è in locomozione deve arrivare a metà percorso prima che arrivi al traguardo. (Aristotele Physics, 239b11)

Questo paradosso è noto come "dicotomia" perché implica una divisione ripetuta in due (come il secondo paradosso della pluralità). Come gli altri paradossi del movimento, l'abbiamo da Aristotele, che ha cercato di confutarlo.

Supponiamo che un corridore molto veloce, come il mitico Atalanta, debba correre per l'autobus. Chiaramente prima di raggiungere la fermata dell'autobus deve correre a metà strada, come dice Aristotele. Non c'è nessun problema lì; supponendo un movimento costante, le occorrerà metà del tempo per correre a metà strada e metà del tempo per percorrere il resto della strada. Ora deve anche correre a metà strada verso il punto a metà strada, ovvero un 1/4 della distanza totale, prima di raggiungere il punto a metà strada, ma di nuovo le viene lasciato un numero finito di lunghezze finite, e un sacco di tempo per farlo. E prima di raggiungere 1/4 del modo in cui deve raggiungere (1/2) di (1/4 = 1/8) del percorso; e prima ancora un 1/16; e così via. Non vi è alcun problema in nessun punto finito di questa serie, ma cosa succede se il dimezzamento viene eseguito all'infinito molte volte? La serie risultante non contiene la prima distanza da percorrere,perché ogni possibile prima distanza potrebbe essere divisa a metà, e quindi non sarebbe la prima volta dopo tutto. Tuttavia contiene una distanza finale, vale a dire 1/2 della strada; e una penultima distanza, 1/4 del cammino; e una terza all'ultima distanza, 1/8 del cammino; e così via. Quindi la serie di distanze che Atalanta deve percorrere è:…, quindi 1/16 di cammino, quindi 1/8 di cammino, quindi 1/4 di cammino e infine 1/2 di cammino (per ora non stiamo suggerendo che si fermi alla fine di ogni segmento e poi inizi a correre all'inizio del prossimo, stiamo pensando alla sua corsa continua composta da tali parti). E ora c'è un problema, perché questa descrizione della sua corsa le fa viaggiare un numero infinito di distanze finite, che, vorrebbe far concludere Zenone, deve impiegare un tempo infinito, vale a dire che non è mai completato. E poiché l'argomento non dipende dalla distanza o da chi o cosa sia il motore, ne consegue che nessuna distanza finita può mai essere percorsa, vale a dire che ogni movimento è impossibile. (Si noti che il paradosso potrebbe essere facilmente generato nell'altra direzione in modo che Atalanta debba prima correre a metà strada, quindi metà della strada rimanente, quindi metà di quella e così via, in modo che debba eseguire la seguente sequenza infinita di frazioni del totale distanza: 1/2, quindi 1/4, quindi 1/8, quindi….)in modo che lei debba eseguire la seguente sequenza infinita di frazioni della distanza totale: 1/2, quindi 1/4, quindi 1/8, quindi …)in modo che lei debba eseguire la seguente sequenza infinita di frazioni della distanza totale: 1/2, quindi 1/4, quindi 1/8, quindi …)

Un paio di risposte comuni non sono adeguate. Uno potrebbe - come Simplicius ((a) sulla fisica di Aristotele, 1012.22) che ci dice Diogene che il cinico fece in piedi e indicando silenziosamente che è una questione dell'esperienza più comune che le cose in realtà si muovano e che sappiamo molto bene che Atalanta non avrebbe avuto problemi a raggiungere la sua fermata dell'autobus. Ma questo non impressionerebbe Zenone, che, in quanto parmenide pagato, sostenne che molte cose non sono come sembrano: può sembrare che Diogene stia camminando o che Atalanta stia correndo, ma le apparenze possono essere ingannevoli e sicuramente abbiamo una prova logica che in realtà non si muovono affatto. In alternativa, se non si accetta che Zenone abbia fornito la prova che la mozione è illusoria, come speriamo non fare, allora si deve un resoconto di ciò che non va nella sua argomentazione: ha fornito ragioni per cui la mozione è impossibile,e quindi una risposta adeguata deve dimostrare perché tali motivi non sono sufficienti. E non farà semplicemente sottolineare che ci sono alcuni modi per tagliare l'incontro di Atalanta in sole due metà, per esempio, in cui non ci sono problemi. Perché se accetti tutti i passaggi dell'argomentazione di Zenone, allora devi accettare la sua conclusione (supponendo che abbia ragionato in modo logicamente deduttivo): non è sufficiente mostrare una divisione non problematica, devi anche mostrare perché quella data divisione non è problematica.non è sufficiente mostrare una divisione non problematica, devi anche mostrare perché la divisione indicata non è problematica.non è sufficiente mostrare una divisione non problematica, devi anche mostrare perché la divisione indicata non è problematica.

Un'altra risposta data dallo stesso Aristotele è di sottolineare che mentre dividiamo le distanze percorse, dovremmo anche dividere il tempo totale impiegato: c'è 1/2 del tempo per l'ultimo 1/2, un 1/4 del tempo per il precedente 1/4, un 1/8 del tempo per l'1 / 8 della corsa e così via. Pertanto ogni distanza frazionata ha la frazione giusta del tempo totale finito affinché Atalanta lo completi, e quindi la distanza può essere completata in un tempo finito. Aristotele riteneva che questa risposta dovesse soddisfare Zenone, tuttavia si rese anche conto (Fisica, 263a15) che non poteva essere la fine della questione. Per ora stiamo dicendo che il tempo impiegato da Atalanta per raggiungere la fermata dell'autobus è composto da un numero infinito di pezzi finiti -…, 1/8, 1/4 e 1/2 del tempo totale - e non è che un tempo infinito?

Naturalmente, si potrebbe ancora affermare che alcune somme infinite hanno totali finiti, e in particolare che la somma di questi pezzi è (1 / volte) il tempo totale, che è ovviamente finito (e ancora una soluzione completa richiederebbe un resoconto rigoroso della somma infinita, come Cauchy). Tuttavia, Aristotele non ha fatto una simile mossa. Invece ha fatto una netta distinzione tra quella che ha definito una linea "continua" e una linea divisa in parti. Considera una semplice divisione di una linea in due: da una parte c'è la linea non divisa, e dall'altra la linea con un punto medio selezionato come confine delle due metà. Aristotele afferma che si tratta di due cose distinte: e che la seconda è solo "potenzialmente" derivabile dalla prima. Successivamente, Aristotele ritiene che il tempo sia come una linea geometrica,e considera il tempo necessario per completare la corsa. Possiamo di nuovo distinguere i due casi: c'è l'intervallo continuo dall'inizio alla fine, e l'intervallo è diviso nell'infinito di mezzo ciclo di Zenone. Il primo è "potenzialmente infinito", nel senso che potrebbe essere diviso nel secondo "infinito reale". Ecco il passaggio cruciale: Aristotele pensa che, poiché questi intervalli sono geometricamente distinti, devono essere fisicamente distinti. Ma come potrebbe essere? Afferma che il corridore deve fare qualcosa alla fine di ogni mezzo giro per renderlo distinto dal successivo: deve fermarsi, rendendo la corsa stessa discontinua. (Non è chiaro perché qualche altra azione non sia sufficiente a dividere l'intervallo.) Quindi la risposta completa di Aristotele al paradosso è che la questione se la serie infinita di corse sia possibile o meno è ambigua:la serie potenzialmente infinita di metà in una corsa continua è possibile, mentre una vera infinità di mezze corse discontinue non è -Zeno non identifica un'impossibilità, ma non descrive il solito modo di correre giù per le tracce!

Forse è difficile dal nostro punto di vista moderno vedere come questa risposta possa essere completamente soddisfacente. In primo luogo, presuppone che si possa tracciare una chiara distinzione tra infiniti potenziali e reali, qualcosa che non è mai stato raggiunto completamente. Secondo, supponiamo che il problema di Zenone si basi sull'affermazione che infinite somme di quantità finite sono invariabilmente infinite. Quindi la distinzione di Aristotele aiuterà solo se può spiegare perché le somme potenzialmente infinite sono in realtà finite (non potremmo potenzialmente aggiungere (1 + 1 + 1 + / ldots), che non ha un totale finito); o se può dare una ragione per cui somme potenzialmente infinite non esistono. O forse Aristotele non vedeva il problema come somme infinite, ma piuttosto se il completamento di un'infinità di azioni finite è metafisicamente, concettualmente e fisicamente possibile. Discuteremo brevemente questo numero di "Supertasks" di seguito, ma notiamo che esiste una sequenza ben definita in cui le fasi della corsa di Atalanta sono punteggiate da pause finite, mostrando probabilmente la possibilità di completare una serie infinita di attività finite in un tempo finito (Huggett 2010, 21–2). Infine, la distinzione tra infinito potenziale e reale non ha avuto alcun ruolo in matematica da quando Cantor ha domato i numeri transfiniti - sicuramente il potenziale infinito non ha avuto alcun ruolo nelle moderne soluzioni matematiche discusse qui.la distinzione tra infinito potenziale e reale non ha avuto alcun ruolo in matematica da quando Cantor ha domato i numeri transfiniti - sicuramente il potenziale infinito non ha avuto alcun ruolo nelle moderne soluzioni matematiche discusse qui.la distinzione tra infinito potenziale e reale non ha avuto alcun ruolo in matematica da quando Cantor ha domato i numeri transfiniti - certamente il potenziale infinito non ha avuto alcun ruolo nelle moderne soluzioni matematiche discusse qui.

3.2 Achille e la tartaruga

Il [secondo] argomento è stato chiamato "Achille", di conseguenza, dal fatto che Achille è stato preso [come personaggio] in esso, e l'argomento dice che gli è impossibile superare la tartaruga quando la insegue. Infatti, è necessario che ciò che deve sorpassare [qualcosa], prima di sorpassarlo, prima raggiunga il limite da cui è stabilito ciò che sta fuggendo. Nel [tempo in cui arriva ciò che sta perseguendo, ciò che sta fuggendo avanzerà di un certo intervallo, anche se è inferiore a quello che ciò che sta perseguendo avanza…. E nel tempo in cui ciò che persegue attraverserà questo [intervallo] che ciò che sta fuggendo è avanzato, in questo tempo ciò che sta fuggendo attraverserà un certo ammontare … E così in ogni momento in cui ciò che persegue attraverserà [l'intervallo] che ciò che sta fuggendo, essendo più lento, ha già avanzato,ciò che sta fuggendo avanzerà anche un po 'di importo. (Simplicius (b) Sulla fisica di Aristotele, 1014.10)

Questo paradosso si basa sulle stesse considerazioni dell'ultima. Immagina Achille che insegue una tartaruga e supponi che Achille stia correndo a 1 m / s, che la tartaruga stia strisciando a 0,1 m / se che la tartaruga inizi a 0.9 m davanti ad Achille. A prima vista Achille dovrebbe catturare la tartaruga dopo 1 secondo, ad una distanza di 1 metro da dove inizia (e quindi a 0,1 metri da dove inizia la Tartaruga). Potremmo spezzare il movimento di Achille come facevamo a metà di quello di Atalanta, oppure potremmo farlo come segue: prima che Achille possa catturare la tartaruga, deve raggiungere il punto in cui la tartaruga è iniziata. Ma nel tempo impiegato per farlo, la tartaruga striscia un po 'più avanti. Quindi il prossimo Achille deve raggiungere questo nuovo punto. Ma nel tempo impiegato da Achille per raggiungere questo obiettivo, la tartaruga striscia un po 'più avanti. E così all'infinito:ogni volta che Achille raggiunge il luogo in cui si trovava la tartaruga, la tartaruga ha avuto abbastanza tempo per avanzare un po 'di più, e così Achille ha un'altra corsa da fare, e così Achille ha un numero infinito di recuperi finiti da fare prima di lui può catturare la tartaruga, e così, conclude Zenone, non cattura mai la tartaruga.

Un aspetto del paradosso è quindi che Achille deve attraversare le seguenti infinite serie di distanze prima di catturare la tartaruga: prima 0,9 m, poi 0,09 m aggiuntivi, quindi 0,009 m,…. Queste sono le serie di distanze che la tartaruga raggiunge all'inizio di ogni incontro di Achille. Considerato in questo modo il puzzle è identico alla dicotomia, poiché è giusto dire che "ciò che è in locomozione deve arrivare [nove decimi di strada] prima che arrivi all'obiettivo". E quindi tutto ciò che abbiamo detto sopra vale anche qui.

Ma ciò che il paradosso in questa forma mette in risalto in modo più vivido è il problema di completare una serie di azioni che non ha un membro finale, in questo caso la serie infinita di incontri prima che Achille raggiunga la tartaruga. Ma qual è il problema? Forse il seguente: Achille corre al punto in cui dovrebbe raggiungere la tartaruga, a quanto pare, può essere completamente scomposto in una serie di rastrellamenti, nessuno dei quali lo porta alla tartaruga. Pertanto, da nessuna parte nella sua corsa raggiunge la tartaruga dopo tutto. Ma se questo è ciò che Zenone aveva in mente, non lo farebbe. Naturalmente Achille non raggiunge la tartaruga in nessun punto della sequenza, poiché ogni corsa nella sequenza si verifica prima che ci aspettiamo che Achille la raggiunga! Pensando in termini di punti che Achille deve raggiungere nella sua corsa, 1m non si verifica nella sequenza 0.9m, 0.99m, 0.999m, …,quindi ovviamente non cattura mai la tartaruga durante quella sequenza di corse! (E la stessa situazione si presenta nella dicotomia: nessuna prima distanza nella serie, quindi non contiene l'inizio di Atalanta!) Quindi la serie di recuperi non dopo tutto decompone completamente la corsa: l'ultimo punto in cui Achille fa catturare la tartaruga - deve essere aggiunto ad esso. Quindi c'è qualche enigma? Probabilmente sì.

La corsa di Achille passa attraverso la sequenza di punti 0,9 m, 0,99 m, 0,999 m, …, 1 m. Ma una strana sequenza composta da un'infinità di membri seguita da un altro senso ha un senso matematico? In caso contrario, la nostra descrizione matematica della corsa non può essere corretta, ma che cos'è? Fortunatamente la teoria dei transfiniti introdotta da Cantor ci assicura che una tale serie è perfettamente rispettabile. Si è realizzato che le proprietà dell'ordine delle serie infinite sono molto più elaborate di quelle delle serie finite. Qualsiasi modo di disporre i numeri 1, 2 e 3 fornisce una serie nello stesso modello, ad esempio, ma ci sono molti modi distinti per ordinare i numeri naturali: 1, 2, 3, … per esempio. Oppure …, 3, 2, 1. Oppure …, 4, 2, 1, 3, 5, … O 2, 3, 4, …, 1, che è esattamente lo stesso tipo di serie delle posizioni che Achille deve percorrere. Quindi la teoria dei transfiniti tratta non solo i numeri "cardinali" - che dipendono solo da quante cose ci sono - ma anche i numeri "ordinali" che dipendono ulteriormente da come sono disposte le cose. Poiché gli ordinali sono normalmente considerati numeri matematicamente legittimi e poiché la serie di punti che Achille deve superare ha un numero ordinale, dovremo considerare che la serie è matematicamente legittima. (Di nuovo, vedi 'Supertasks' di seguito per un altro tipo di problema che potrebbe sorgere per Achille '.)prenderemo che la serie è matematicamente legittima. (Di nuovo, vedi 'Supertasks' di seguito per un altro tipo di problema che potrebbe sorgere per Achille '.)prenderemo che la serie è matematicamente legittima. (Di nuovo, vedi 'Supertasks' di seguito per un altro tipo di problema che potrebbe sorgere per Achille '.)

3.3 La freccia

Il terzo è … che la freccia volante è a riposo, il risultato deriva dal presupposto che il tempo è composto da momenti … dice che se tutto quando occupa uno spazio uguale è a riposo, e se ciò che è in locomozione è sempre in un ora, la freccia volante è quindi immobile. (Aristotele Physics, 239b30)

Zenone abolisce il movimento, dicendo "Ciò che è in movimento non si muove né nel luogo in cui si trova né in quello in cui non è". (Diogenes Laertius Lives of Famous Philosophers, IX.72)

Questo argomento contro il movimento accende esplicitamente un particolare tipo di presupposto della pluralità: quel tempo è composto da momenti (o "nows") e nient'altro. Considera una freccia, apparentemente in movimento, in qualsiasi momento. In primo luogo, Zenone presume che durante quel momento non percorra alcuna distanza: "occupa uno spazio uguale" per l'intero istante. Ma l'intero periodo del suo movimento contiene solo istanti, ognuno dei quali contiene una freccia a riposo, e quindi, conclude Zenone, la freccia non può muoversi.

Una preoccupazione immediata è il motivo per cui Zenone è giustificato nel ritenere che la freccia sia ferma in qualsiasi momento. Segue immediatamente se si presume che un istante dura 0 secondi: qualunque sia la velocità della freccia, non andrà da nessuna parte se non ha tempo. Ma cosa succede se si sostiene che le parti più piccole del tempo sono limitate, anche se minuscole, in modo che una freccia in movimento possa effettivamente spostarsi a una certa distanza in un istante? Un modo per sostenere l'assunto - che richiede di leggere molto nel testo - parte dal presupporre che gli istanti siano indivisibili. Supponiamo quindi che una freccia si sia effettivamente mossa durante un istante. Sarebbe in posizioni diverse all'inizio e alla fine dell'istante, il che implica che l'istante ha un 'inizio' e una 'fine', che a sua volta implica che ha almeno due parti, e quindi è divisibile, contrariamente a la nostra ipotesi.(Si noti che questo argomento stabilisce solo che nulla può muoversi durante un istante, non che gli istanti non possono essere limitati.)

Quindi, nulla si muove in nessun istante, ma il tempo è interamente composto da istanti, quindi nulla si muove mai. Una prima risposta è sottolineare che determinare la velocità della freccia significa dividere la distanza percorsa in un certo tempo per la lunghezza di quel tempo. Ma supponendo da ora in poi che gli istanti abbiano durata zero, questa formula non ha senso nel caso di un istante: la freccia percorre 0m negli 0 che dura l'istante, ma 0/0 m / s non è affatto un numero. Quindi è fallace concludere dal fatto che la freccia non percorre alcuna distanza in un istante che è a riposo; se è in movimento in un istante o meno dipende dal fatto che percorra qualsiasi distanza in un intervallo finito che include l'istante in questione.

La risposta è corretta, ma implica l'implicazione controintuitiva che il movimento non è qualcosa che accade in qualsiasi istante, ma piuttosto solo per periodi di tempo finiti. Pensaci in questo modo: il tempo, come abbiamo detto, è composto solo da istanti. Non viene percorsa alcuna distanza in nessun istante. Quindi quando si muove effettivamente la freccia? Come si passa da un luogo all'altro in un momento successivo? C'è solo una risposta: la freccia ottiene dal punto (X) al tempo 1 al punto (Y) al tempo 2 semplicemente in virtù del fatto che si trova in punti intermedi successivi in periodi intermedi successivi - la freccia non cambia mai posizione durante un istante ma solo su intervalli composti da istanti, dall'occupazione di posizioni diverse in momenti diversi. Nelle memorabili parole di Bergson - che secondo lui esprimeva un'assurdità - "il movimento è composto da immobilità" (1911, 308):passare da (X) a (Y) è una questione di occupare esattamente un posto tra ogni istante (nel giusto ordine, ovviamente). Per ulteriori discussioni su questa concezione del tempo "at-at" si veda Arntzenius (2000) e Salmon (2001, 23-4).

3.4 Lo stadio

Il quarto argomento è quello relativo a corpi uguali che si muovono a fianco di corpi uguali nello stadio da direzioni opposte - quelli dalla fine dello stadio, gli altri dal centro - a parità di velocità, in cui pensa che ne consegue che metà del tempo è uguale al suo doppio … (Aristotele Physics, 239b33)

Aristotele continua elaborando e confutando una discussione per l'ultimo paradosso del moto di Zenone. Il testo è piuttosto enigmatico, ma di solito viene interpretato secondo le seguenti linee: immagina tre serie di cubi toccanti, tutti esattamente uguali, in un movimento relativo. Un set-the (A) s-sono a riposo, e gli altri-\ / B) se (C) s si spostano rispettivamente a destra e a sinistra, a una velocità costante uguale. E supponiamo che in qualche momento il più a destra (B) e il più a sinistra (C) siano allineati con il centro (A), come mostrato (tre di ognuno sono raffigurati per semplicità).

(UN) (UN) (UN)
(B) (B) (B)
(C) (C) (C)

Poiché i (B) se (C) si muovono alla stessa velocità, saranno allineati con i (A) contemporaneamente.

(UN) (UN) (UN)
(B) (B) (B)
(C) (C) (C)

In questo momento, il più a destra (B) ha attraversato tutti i (C) s, ma solo la metà dei (A) s; poiché hanno le stesse dimensioni, ha percorso sia una certa distanza che metà di quella distanza. La contraddizione putativa non è tracciata qui, presumibilmente perché è chiaro che queste distanze contrarie sono relative rispettivamente a (C) se (A); generalmente non c'è contraddizione nello stare in relazioni diverse con cose diverse. Invece, le distanze vengono convertite in tempi dividendo le distanze per la velocità di (B) s; metà della distanza a una determinata velocità richiede metà del tempo. Quindi una contraddizione minaccia perché il tempo tra gli stati è inequivocabile, non relativo: il processo richiede del tempo (diverso da zero) e metà del tempo.

Il verdetto generale è che Zenone era irrimediabilmente confuso riguardo alle velocità relative in questo paradosso. Se i (B) si stanno muovendo con velocità S m / s verso destra rispetto a (A) s, e se i (C) si stanno muovendo con velocità S m / s verso sinistra rispetto a (A) s, quindi (C) s si muovono con velocità (S + S = 2) S m / s verso sinistra rispetto a (B) s. E così, ovviamente, mentre i (B) viaggiano due volte rispetto ai (C) s rispetto ai (A) s, lo fanno a una velocità doppia rispetto a quella, e quindi i tempi sono allo stesso modo. Ma Zenone poteva essere così confuso? (Sattler, 2015, discute contro questa e altre letture comuni dello stadio.)

Forse (Davey, 2007) aveva invece in mente quanto segue (mentre Zenone è più intelligente secondo questa lettura, non si adatta molto bene alle parole di Aristotele): supponiamo che (A) s, (B) s e (C) sono della più piccola estensione spaziale, "dimensioni dei punti", dove "punti" sono di dimensione zero se lo spazio è continuo, o finito se lo spazio è "atomico". Supponiamo inoltre che non vi siano spazi tra i (A) s, o tra i (B) s o tra i (C) s. Durante il movimento sopra il (B) in primo piano passa tutti i (C) s e la metà dei (A) s, quindi la metà di (A) s quanti (C) s. Ora, mentre un punto si muove continuamente lungo una linea senza spazi vuoti, c'è una corrispondenza 1: 1 tra gli istanti del tempo e i punti sulla linea - per ogni istante un punto e per ogni punto un istante. Perciò,il numero di '(A) - istanti' del tempo impiegato dai primi (B) per passare il (A) s è la metà del numero di '(C) - gli istanti' impiegano per passare il (C) s-anche se questi processi richiedono lo stesso tempo. Se poi, fondamentalmente, assumiamo che metà degli istanti significhi metà del tempo, concludiamo che metà del tempo equivale a tutto il tempo, una contraddizione.

Abbiamo visto sopra, nella nostra discussione sulla completa divisibilità, il problema con tale ragionamento applicato alle linee continue: ogni segmento di linea ha lo stesso numero di punti, quindi nulla può essere dedotto dal numero di punti in questo modo, certamente non quella metà punti (qui, istantanei) significa metà della lunghezza (o tempo). Il paradosso fallisce come affermato. Ma la stessa affermazione che gli intervalli contengano lo stesso numero di istanti non è in conflitto con il passo dell'argomento che conclude che ci sono metà degli istanti (A) come (C)? Questo problema è sottile per insiemi infiniti: per dare un esempio diverso, 1, 2, 3, … è nella corrispondenza 1: 1 con 2, 4, 6, … e quindi c'è lo stesso numero di ciascuno. È in questo senso di 1:1 corrispondenza - il preciso senso dello "stesso numero" usato in matematica - che ogni linea finita ha lo stesso numero di punti di qualunque altra. Tuttavia, informalmente parlando, ci sono anche 'metà' di numeri pari come numeri interi: le coppie (1, 2), (3, 4), (5, 6), … possono anche essere messe in corrispondenza 1: 1 con 2, 4, 6,…. Allo stesso modo, ci sono-informalmente parlando la metà di (A) - istanti (C) - istanti: (A) - gli istanti sono in corrispondenza 1: 1 con coppie di (C) - istanti. Quindi non vi è alcuna contraddizione nel numero di punti: la metà informale è uguale al tutto rigoroso (per una teoria atomica è necessaria una soluzione diversa, secondo le linee presentate nel paragrafo finale di questa sezione).1 corrispondenza con 2, 4, 6,…. Allo stesso modo, ci sono-informalmente parlando la metà di (A) - istanti (C) - istanti: (A) - gli istanti sono in corrispondenza 1: 1 con coppie di (C) - istanti. Quindi non vi è alcuna contraddizione nel numero di punti: la metà informale è uguale al tutto rigoroso (per una teoria atomica è necessaria una soluzione diversa, secondo le linee presentate nel paragrafo finale di questa sezione).1 corrispondenza con 2, 4, 6,…. Allo stesso modo, ci sono-informalmente parlando la metà di (A) - istanti (C) - istanti: (A) - gli istanti sono in corrispondenza 1: 1 con coppie di (C) - istanti. Quindi non vi è alcuna contraddizione nel numero di punti: la metà informale è uguale al tutto rigoroso (per una teoria atomica è necessaria una soluzione diversa, secondo le linee presentate nel paragrafo finale di questa sezione).

(Lasciatemi menzionare un simile paradosso del movimento, la "macina" attribuita a Maimonide. Immaginate due ruote, una doppia il raggio e la circonferenza dell'altra, fissate su un singolo asse. Lasciatele correre lungo un binario, con una rotaia sollevata mantenere l'asse orizzontale, per un giro di entrambe le ruote [ruotano alla stessa velocità dell'asse]: ogni punto di ogni ruota entra in contatto con esattamente un punto della sua rotaia e ogni punto di ciascuna rotaia esattamente con un punto della sua ruota. L'assemblea percorre una distanza uguale alla circonferenza della grande ruota? Della piccola? Entrambe? Qualcos'altro? Come? Anche questo problema richiede la comprensione del continuum; ma non è un paradosso di Zenone quindi dovremo lasciarlo all'ingegnosità del lettore.)

Una possibile ricostruzione finale dello stadio di Zeno lo prende come argomento contro una teoria atomica dello spazio e del tempo, il che è interessante perché la fisica contemporanea esplora tale visione quando tenta di "quantizzare" lo spaziotempo. Supponiamo quindi che i lati di ciascun cubo siano uguali al "quanto" di lunghezza e che i due momenti considerati siano separati da un singolo quanto di tempo. Quindi deve accadere qualcosa di strano, poiché il più a destra (B) e il mezzo (C) si incrociano durante il movimento, eppure non c'è momento in cui siano a livello: poiché i due momenti sono separati dal più piccolo tempo possibile, non ci può essere nessun istante tra di loro: sarebbe un tempo più piccolo del tempo più piccolo tra i due momenti che abbiamo considerato. Al contrario, se uno ha insistito sul fatto che se passano, ci deve essere un momento in cui sono a livello,quindi mostra che non può essere un intervallo finito più breve, qualunque esso sia, basta eseguire questo argomento contro di esso. Tuttavia, perché si dovrebbe insistere su questo assunto? Il problema è che uno immagina naturalmente lo spazio quantizzato come una scacchiera, su cui i pezzi degli scacchi vengono congelati durante ogni quantum di tempo. Quindi ci si chiede quando la regina rossa, diciamo, passa da una casella all'altra o come supera la regina bianca senza essere all'altezza di lei. Ma l'analogia è fuorviante. È meglio pensare allo spazio quantizzato come una gigantesca matrice di luci che contiene un modello di luci illuminate per ogni quanto di tempo. In questa analogia una lampadina accesa rappresenta la presenza di un oggetto: ad esempio una serie di lampadine in una linea che si illumina in sequenza rappresenta un corpo che si muove in una linea retta. In questo caso non vi è alcuna tentazione di chiedere quando la luce "passa" da una lampadina all'altra o in analogia come il corpo si sposta da una posizione all'altra. (Qui tocchiamo le domande sulle parti temporali e se gli oggetti "resistono" o "perdono".)

4. Altri due paradossi

Altri due paradossi sono attribuiti a Zenone da Aristotele, ma sono dati nel contesto di altri punti che sta facendo, quindi l'intento di Zenone non può essere determinato con certezza: anche se sono intesi a discutere contro la pluralità e il movimento. Ne discuteremo brevemente per completezza.

4.1 Il paradosso del luogo

La difficoltà di Zenone richiede una spiegazione; perché se tutto ciò che esiste ha un posto, anche un luogo avrà un posto, e così via all'infinito. (Aristotele Physics, 209a23)

Quando imposta la sua teoria del luogo - la nozione spaziale cruciale nella sua teoria del movimento - Aristotele elenca varie teorie e problemi che i suoi predecessori, incluso Zenone, hanno formulato sull'argomento. L'argomento solleva ancora problemi dell'infinito, poiché il secondo passo dell'argomento sostiene un regresso infinito di luoghi. Tuttavia, Aristotele lo presenta come un argomento contro l'idea stessa di luogo, piuttosto che la pluralità (probabilmente togliendolo dal contesto). È difficile sentire la forza della conclusione, perché non dovrebbe esserci una serie infinita di luoghi di luoghi di luoghi di …? Presumibilmente la preoccupazione sarebbe maggiore per qualcuno che (come Aristotele) credeva che non ci potesse essere un vero infinito di cose, poiché l'argomento sembra mostrare che ci sono. Ma come abbiamo discusso sopra, oggi non abbiamo bisogno di tali scrupoli;non sembra nulla di problematico con un vero infinito di luoghi.

L'unico altro modo in cui si potrebbe trovare il problema del regresso è se si sostiene che i corpi hanno posti "assoluti", nel senso che esiste sempre una risposta privilegiata unica alla domanda "dov'è"? Il problema quindi non è che ci sono infiniti posti, ma solo che ce ne sono molti. E Aristotele avrebbe potuto avere questa preoccupazione, poiché nella sua teoria del moto, il moto naturale di un corpo è determinato dalla relazione del suo posto con il centro dell'universo: un resoconto che richiede che il luogo sia determinato, perché lo è il moto naturale. (Vedi Sorabji 1988 e Morrison 2002 per i resoconti generali e contrastanti delle opinioni di Aristotele sul posto; il capitolo 3 di quest'ultimo in particolare per una discussione sul trattamento del paradosso da parte di Aristotele). Ma supponendo che uno sostenga quel posto è assoluto per qualsiasi motivo, quindi per esempio,dove sono mentre scrivo? Se il paradosso è giusto, allora sono al mio posto, e sono anche al posto mio, al posto mio e al mio … Dato che sono in tutti questi posti, qualcuno potrebbe sembrare una risposta appropriata alla domanda. Sono possibili diverse risposte: negare i luoghi assoluti (soprattutto perché la nostra fisica non li richiede), definire una nozione di luogo unica in tutti i casi (probabilmente la soluzione di Aristotele), o forse affermare che i luoghi sono i propri luoghi, tagliando così il regresso !definire una nozione di luogo che sia unica in tutti i casi (probabilmente la soluzione di Aristotele), o forse affermare che i luoghi sono i loro posti, interrompendo così il regresso!definire una nozione di luogo che sia unica in tutti i casi (probabilmente la soluzione di Aristotele), o forse affermare che i luoghi sono i loro posti, interrompendo così il regresso!

4.2 Il grano di miglio

… Il ragionamento di Zenone è falso quando sostiene che non vi è parte del miglio che non emette alcun suono; poiché non vi è alcun motivo per cui una parte non dovrebbe in alcun modo non riuscire a spostare l'aria che l'intero bushel si muove in caduta. (Aristotele Physics, 250a19)

Nel contesto, Aristotele sta spiegando che una frazione di una forza molti non producono la stessa frazione di movimento. Ad esempio, mentre 100 stevedores possono rimorchiare una chiatta, uno potrebbe non farlo muovere affatto, figuriamoci 1/100 della velocità; così dato tutto il tempo che desideri, potrebbe non spostarlo fino al 100. (Descriviamo questo fatto come l'effetto dell'attrito.) Allo stesso modo, solo perché un moggio che cade di miglio emette un suono sibilante mentre cade, lo fa non seguire che ogni singolo grano lo farebbe o no: dato tutto il tempo che desideri, non muoverà la stessa quantità di aria del moggio. Tuttavia, pur confutando questa premessa, Aristotele non spiega quale ruolo ha avuto per Zenone, e possiamo solo speculare. Non è nemmeno chiaro se fa parte di un paradosso o di qualche altra disputa:Zenone ha anche affermato di dimostrare che un singolo chicco di miglio non emette alcun suono? Una speculazione è che i nostri sensi lo rivelano, poiché non riusciamo a sentire cadere un solo grano. Quindi la risposta di Aristotele è appropriata; e così è la risposta simile che l'ascolto stesso richiede un movimento nell'aria al di sopra di una certa soglia.

5. L'influenza di Zenone sulla filosofia

In questa sezione finale dovremmo considerare brevemente l'impatto che Zenone ha avuto su vari filosofi; una ricerca nella letteratura rivelerà che questi dibattiti continuano.

  • I Pitagorici: per la prima metà del XX secolo, la maggior parte che leggeva la conceria (1885) di Zeno sosteneva che i suoi argomenti erano diretti contro una dottrina tecnica dei Pitagorici. Secondo questa lettura sostenevano che tutte le cose erano composte da elementi che avevano le proprietà di un numero di unità, un punto geometrico e un atomo fisico: questo tipo di posizione si adatterebbe alla loro dottrina secondo cui la realtà è fondamentalmente matematica. Tuttavia, a metà del secolo una serie di commentatori (Vlastos, 1967, riassume l'argomento e contiene riferimenti) sostenevano con forza che l'obiettivo di Zenone era invece una comprensione del senso comune della pluralità e del movimento, fondata su nozioni geometriche familiari, e in effetti quello la dottrina non era una parte importante del pensiero di Pitagora. Abbiamo assunto implicitamente che questi argomenti siano corretti nelle nostre letture dei paradossi. Detto questo, l'interpretazione di Tannery ha ancora i suoi difensori (vedi ad esempio Matson 2001).
  • Gli atomisti: Aristotele (On Generation and Corruption 316b34) afferma che il nostro terzo argomento - quello relativo alla completa divisibilità - è stato ciò che ha convinto gli atomisti che ci devono essere parti più piccole e indivisibili della materia. Vedi Abraham (1972) per un'ulteriore discussione sulla connessione di Zenone con gli atomisti.
  • Diventare temporale: nella prima parte del ventesimo secolo diversi filosofi influenti tentarono di mettere le argomentazioni di Zenone al servizio di una metafisica del "divenire temporale", il (presunto) processo attraverso il quale nasce il presente. Pensatori come Bergson (1911), James (1911, Ch 10–11) e Whitehead (1929) hanno sostenuto che i paradossi di Zenone mostrano che lo spazio e il tempo non sono strutturati come un continuum matematico: hanno sostenuto che il modo di preservare la realtà del movimento era negare che lo spazio e il tempo sono composti da punti e istanti. Tuttavia, abbiamo visto chiaramente che gli strumenti della matematica moderna standard sono all'altezza del compito di risolvere i paradossi, quindi nessuna conclusione del genere sembra giustificata: se il presente effettivamente "diventa", non c'è motivo di pensare che il processo non sia catturato dal continuum.
  • Applicare il continuum matematico allo spazio fisico e al tempo: a seguito di una guida data da Russell (1929, 182-198), un certo numero di filosofi - in particolare Grünbaum (1967) - intrapresero il compito di mostrare come la matematica moderna potesse risolvere tutto lo Zenone paradossi; il loro lavoro ha influenzato a fondo la nostra discussione sugli argomenti. Ciò che hanno realizzato è stato che una soluzione puramente matematica non era sufficiente: i paradossi non solo mettono in discussione la matematica astratta, ma anche la natura della realtà fisica. Quindi quello che cercavano era una discussione non solo sul fatto che Zenone non rappresentasse una minaccia per la matematica dell'infinito, ma anche che quella matematica descrivesse correttamente oggetti, tempo e spazio. Non risponderebbe ai paradossi di Zenone se il quadro matematico che abbiamo invocato non fosse una buona descrizione dello spazio, del tempo e del movimento reali!L'idea che una legge matematica - dice la legge della gravità universale di Newton - possa o meno descrivere correttamente le cose è familiare, ma alcuni aspetti della matematica dell'infinito - la natura del continuum, la definizione di somme infinite e così via - sembrano così basilari che all'inizio potrebbe essere difficile vedere che anche loro si applicano in modo contingente. Ma sicuramente lo fanno: nulla garantisce a priori che lo spazio abbia la struttura del continuum, o anche che parti dello spazio si sommino secondo la definizione di Cauchy. (Il salmone offre un bell'esempio per aiutare a chiarire il punto: poiché l'alcool si dissolve in acqua, se mescoli i due finisci con meno della somma dei loro volumi, dimostrando che l'aggiunta ordinaria non è applicabile a tutti i tipi di sistema.) La nostra convinzione che la teoria matematica dell'infinito descriva lo spazio e il tempo è giustificata nella misura in cui le leggi della fisica ritengono che ciò avvenga, e nella misura in cui tali leggi sono esse stesse confermate dall'esperienza. Mentre è vero che quasi tutte le teorie fisiche presumono che lo spazio e il tempo abbiano effettivamente la struttura del continuum, è anche vero che le teorie quantistiche della gravità implicano che probabilmente non lo fanno. Sebbene nessuno sappia davvero dove condurrà questa ricerca, è possibile che lo spazio e il tempo si rivelino, al livello più fondamentale, abbastanza diversi dal continuum matematico che abbiamo assunto qui. Mentre è vero che quasi tutte le teorie fisiche presumono che lo spazio e il tempo abbiano effettivamente la struttura del continuum, è anche vero che le teorie quantistiche della gravità implicano che probabilmente non lo fanno. Sebbene nessuno sappia davvero dove condurrà questa ricerca, è possibile che lo spazio e il tempo si rivelino, al livello più fondamentale, abbastanza diversi dal continuum matematico che abbiamo assunto qui. Mentre è vero che quasi tutte le teorie fisiche presumono che lo spazio e il tempo abbiano effettivamente la struttura del continuum, è anche vero che le teorie quantistiche della gravità implicano che probabilmente non lo fanno. Sebbene nessuno sappia davvero dove condurrà questa ricerca, è possibile che lo spazio e il tempo si rivelino, al livello più fondamentale, abbastanza diversi dal continuum matematico che abbiamo assunto qui.

    Si dovrebbe anche notare che Grünbaum ha assunto il compito di dimostrare che la matematica moderna descrive lo spazio e il tempo per coinvolgere qualcosa di piuttosto diverso dal sostenere che è confermato dall'esperienza. La visione dominante all'epoca (sebbene non al momento) era che i termini scientifici avessero un significato nella misura in cui si riferivano direttamente a oggetti dell'esperienza - come "1m righello" - o, se si riferivano a entità "teoriche" piuttosto che "osservabili" -come "un punto di spazio" o "1/2 di 1/2 di … 1/2 una pista", quindi ottennero significato dalle loro relazioni logiche, attraverso definizioni e leggi teoriche, con tali termini di osservazione. Così Grünbaum intraprese un programma impressionante per dare un significato a tutti i termini coinvolti nella moderna teoria dell'infinito, interpretata come una descrizione dello spazio e del tempo.

  • Supertasks: un ulteriore filone di pensiero riguarda ciò che Black (1950-1951) soprannominò "macchine dell'infinito". Black e i suoi seguaci volevano dimostrare che, sebbene i paradossi di Zenone non offrissero alcun problema alla matematica, mostrarono che dopo tutto la matematica non era applicabile allo spazio, al tempo e al movimento. In modo più netto, la nostra risoluzione alla dicotomia e ad Achille presupponeva che l'intera serie potesse essere suddivisa in una serie infinita di mezze serie, che potevano essere sommate. Ma è davvero possibile completare una serie infinita di azioni: completare quella che è conosciuta come una 'supertask'? Altrimenti, e supponendo che Atalanta e Achille possano completare i loro compiti, le loro corse complete non possono essere correttamente descritte come una serie infinita di mezze corse, sebbene la matematica moderna le descriverebbe così. Ciò che si suppone che le macchine all'infinito stabiliscano è che una serie infinita di attività non può essere completata, quindi qualsiasi attività completa non può essere suddivisa in un'infinità di attività più piccole, qualunque cosa la matematica suggerisca.
  • Infinitesimi: infine, abbiamo visto come affrontare i paradossi usando le risorse della matematica sviluppate nel diciannovesimo secolo. Per molto tempo è stata considerata una delle grandi virtù di questo sistema il fatto che alla fine ha mostrato che quantità infinitesimali, più piccole di qualsiasi numero finito ma più grandi di zero, non sono necessarie. (Il calcolo di Newton, ad esempio, ha effettivamente utilizzato tali numeri, trattandoli a volte come zero e talvolta come finiti; il problema con un tale approccio è che il modo di trattare i numeri è una questione di intuizione e non di rigore.) Tuttavia, nel ventesimo secolo Robinson ha mostrato come introdurre numeri infinitesimali in matematica: questo è il sistema di "analisi non standard" (il sistema familiare di numeri reali, dato un rigoroso fondamento da Dedekind, è invece solo "analisi"). Analogamente,Bell (1988) spiega come i segmenti di linea infinitesimali possono essere introdotti nella geometria e commenta la loro relazione con Zenone. Inoltre, McLaughlin (1992, 1994) mostra come i paradossi di Zenone possano essere risolti in analisi non standard; non sono più argomenti contro l'analisi non standard che contro la matematica standard che abbiamo assunto qui. Va sottolineato tuttavia che, contrariamente ai suggerimenti di McLaughlin, non è necessario effettuare analisi non standard per risolvere i paradossi: entrambi i sistemi hanno lo stesso successo. (Reeder, 2015, sostiene che l'analisi non standard non è soddisfacente per quanto riguarda la freccia e offre un conto alternativo che utilizza una diversa concezione di infinitesimi.) La costruzione di analisi non standard solleva tuttavia un'ulteriore domanda sull'applicabilità dell'analisi al fisico spazio e tempo:sembra plausibile che tutte le teorie fisiche possano essere formulate in entrambi i termini, e per quanto la nostra esperienza si estenda entrambi sembrano ugualmente confermati. Ma non possono essere entrambi veri per lo spazio e il tempo: o lo spazio ha parti infinitesimali o no.

Ulteriori letture

Dopo le voci pertinenti in questa enciclopedia, il luogo per iniziare qualsiasi ulteriore indagine è Salmon (2001), che contiene alcuni dei più importanti articoli su Zeno fino al 1970 e una bibliografia incredibilmente completa di opere in inglese nel XX secolo.

Si potrebbe anche dare un'occhiata a Huggett (1999, cap. 3) e Huggett (2010, cap. 2–3) per ulteriori passaggi e discussioni sulla fonte. Per le introduzioni alle idee matematiche alla base delle risoluzioni moderne, l'Appendice a Salmon (2001) o Stewart (2017) sono buoni inizi; Russell (1919) e Courant et al. (1996, Chs. 2 e 9) sono anche entrambe fonti meravigliose. Infine, tre raccolte di fonti originali per i paradossi di Zenone: Lee (1936 [2015]) contiene tutto ciò che è noto, Kirk et al (1983, Ch. 9) contiene una grande quantità di materiale (in inglese e greco) con utili commenti, e Cohen et al. (1995) ha anche i passaggi principali.

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