Teorie Assiomatiche Della Verità

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Teorie assiomatiche della verità

Pubblicato per la prima volta lunedì 26 dicembre 2005; revisione sostanziale gio 18 gen 2018

Una teoria assiomatica della verità è una teoria deduttiva della verità come predicato primitivo indefinito. A causa del bugiardo e di altri paradossi, gli assiomi e le regole devono essere scelti con cura per evitare incoerenze. Molti sistemi assiomi per il predicato della verità sono stati discussi in letteratura e le loro rispettive proprietà sono state analizzate. Diversi filosofi, inclusi molti deflazionisti, hanno appoggiato le teorie assiomatiche della verità nei loro resoconti della verità. Le proprietà logiche delle teorie formali sono rilevanti per varie domande filosofiche, come domande sullo stato ontologico delle proprietà, i teoremi di Gödel, il deflazionismo teorico della verità, l'eliminazione delle nozioni semantiche e la teoria del significato.

  • 1. Motivazioni

    • 1.1 Verità, proprietà e insiemi
    • 1.2 Verità e riflessione
    • 1.3 Deflazionismo verità-teorico
  • 2. La teoria di base

    • 2.1 La scelta della teoria di base
    • 2.2 Convenzioni notazionali
  • 3. Teorie tipizzate della verità

    • 3.1 Predicati della verità definibili
    • 3.2 Le frasi (T)
    • 3.3 Verità compositiva
    • 3.4 Teorie gerarchiche
  • 4. Verità senza tipi

    • 4.1 Frasi di tipo (T) libere
    • 4.2 Composizionalità
    • 4.3 La teoria di Friedman-Sheard e la semantica delle revisioni
    • 4.4 La teoria di Kripke-Feferman
    • 4.5 Catturare il punto fisso minimo
    • 4.6 Assiomatizzazioni della teoria di Kripke con sopravvalutazioni
  • 5. Approcci non classici all'autoreferenzialità

    • 5.1 Il predicato della verità nella logica intuizionista
    • 5.2 Assiomatizzare la teoria di Kripke
    • 5.3 Aggiunta di un condizionale
  • Bibliografia
  • Strumenti accademici
  • Altre risorse Internet
  • Voci correlate

1. Motivazioni

Ci sono stati molti tentativi di definire la verità in termini di corrispondenza, coerenza o altre nozioni. Tuttavia, è tutt'altro che chiaro che la verità sia una nozione definibile. In contesti formali che soddisfano determinate condizioni naturali, il teorema di Tarski sull'indefinibilità del predicato della verità mostra che una definizione di predicato della verità richiede risorse che vadano oltre quelle del linguaggio formale per il quale verrà definita la verità. In questi casi gli approcci alla verità devono fallire. Al contrario, l'approccio assiomatico non presuppone che la verità possa essere definita. Invece, un linguaggio formale viene espanso da un nuovo predicato primitivo per la verità o la soddisfazione, e vengono quindi definiti gli assiomi per quel predicato. Questo approccio di per sé non esclude la possibilità che il predicato della verità sia definibile,sebbene in molti casi si possa dimostrare che il predicato della verità non è definibile.

Nelle teorie semantiche della verità (ad esempio, Tarski 1935, Kripke 1975), al contrario, viene definito un predicato della verità per una lingua, il cosiddetto linguaggio degli oggetti. Questa definizione viene effettuata in un metalinguaggio o in una metateoria, che in genere viene presa per includere la teoria degli insiemi o almeno un'altra teoria forte o un linguaggio interpretato espressamente ricco. Il teorema di Tarski sull'indefinibilità del predicato della verità mostra che, date certe ipotesi generali, le risorse del metalinguaggio o della metateoria devono andare oltre le risorse del linguaggio-oggetto. Quindi gli approcci semantici di solito richiedono l'uso di un metalinguaggio che è più potente del linguaggio degli oggetti per il quale fornisce una semantica.

Come con altri sistemi deduttivi formali, le teorie assiomatiche della verità possono essere presentate in strutture logiche molto deboli. Questi quadri richiedono pochissime risorse e, in particolare, evitano la necessità di una forte lingua e metateoria.

Il lavoro formale sulle teorie assiomatiche della verità ha contribuito a far luce sulle teorie semantiche della verità. Ad esempio, ha prodotto informazioni su ciò che è richiesto da un metalinguaggio sufficiente per definire un predicato di verità. Le teorie semantiche della verità, a loro volta, forniscono uno con gli strumenti teorici necessari per studiare i modelli delle teorie assiomatiche della verità e con le motivazioni per certe teorie assiomatiche. In questo modo si intrecciano approcci assiomatici e semantici alla verità.

Questa voce delinea le teorie assiomatiche più popolari della verità e menziona alcuni dei risultati formali che sono stati ottenuti su di loro. Diamo solo suggerimenti sulle loro applicazioni filosofiche.

1.1 Verità, proprietà e insiemi

Le teorie della verità e delle previsioni sono strettamente correlate alle teorie delle proprietà e dell'attribuzione delle proprietà. Dire che una formula aperta (phi (x)) è vera per un individuo (a) sembra equivalente (in un certo senso) all'affermazione che (a) ha la proprietà di essere tale che (phi) (questa proprietà è indicata dalla formula aperta). Ad esempio, si potrebbe dire che '(x) è un povero filosofo' è vero per Tom invece di dire che Tom ha la proprietà di essere un povero filosofo. La quantificazione su proprietà definibili può quindi essere imitata in una lingua con un predicato di verità quantificando le formule. Invece di dire, ad esempio, che (a) e (b) hanno esattamente le stesse proprietà, si dice che le stesse formule sono vere per (a) e (b). La riduzione delle proprietà alla verità funziona anche in una certa misura per gruppi di individui.

Ci sono anche riduzioni nella direzione opposta: Tarski (1935) ha dimostrato che alcune ipotesi di esistenza di secondo ordine (ad esempio, assiomi di comprensione) possono essere utilizzate per definire la verità (vedere la voce sulla definizione di verità di Tarski). L'analisi matematica delle teorie assiomatiche della verità e dei sistemi di secondo ordine ha mostrato molte equivalenze tra queste ipotesi di esistenza di secondo ordine e ipotesi teoriche di verità.

Questi risultati mostrano esattamente ciò che è necessario per definire un predicato della verità che soddisfa determinati assiomi, affinando così le intuizioni di Tarski sulla definibilità della verità. In particolare, le equivalenze teorico-dimostrative descritte nella Sezione 3.3 che segue chiariscono fino a che punto un metalinguaggio (o meglio metateoria) deve essere più ricco del linguaggio dell'oggetto per poter definire un predicato di verità.

L'equivalenza tra teorie del secondo ordine e teorie della verità ha anche attinenza con argomenti metafisici tradizionali. Le riduzioni delle teorie del secondo ordine (cioè teorie delle proprietà o degli insiemi) sulle teorie assiomatiche della verità possono essere concepite come forme di nominalismo riduttivo, poiché sostituiscono le ipotesi di esistenza per insiemi o proprietà (ad esempio, assiomi di comprensione) con assunzioni ontologicamente innocue, nella fattispecie ipotesi sul comportamento del predicato della verità.

1.2 Verità e riflessione

Secondo i teoremi di incompletezza di Gödel, l'affermazione secondo cui Peano Arithmetic (PA) è coerente, nella sua veste di affermazione teorica numerica (data la tecnica della numerazione di Gödel), non può essere derivata nella stessa PA. Ma la PA può essere rafforzata aggiungendo questa dichiarazione di coerenza o con assiomi più forti. In particolare, si possono aggiungere assiomi che esprimono parzialmente la solidità di PA. Questi sono noti come principi di riflessione. Un esempio di principio di riflessione per la PA sarebbe l'insieme di frasi (Bew_ {PA} (ulcorner / phi / urcorner) rightarrow / phi) dove (phi) è una formula del linguaggio dell'aritmetica, (ulcorner / phi / urcorner) un nome per (phi) e (Bew_ {PA} (x)) è il predicato standard di dimostrabilità per PA ('(Bew)' è stato introdotto da Gödel ed è l'abbreviazione della parola tedesca "beweisbar", cioè "dimostrabile").

Il processo di aggiunta dei principi di riflessione può essere ripetuto: si può aggiungere, ad esempio, un principio di riflessione R per PA a PA; questo si traduce in una nuova teoria PA + R. Quindi si aggiunge il principio di riflessione per il sistema PA + R alla teoria PA + R. Questo processo può essere continuato nel transfinito (vedi Feferman 1962 e Franzén 2004).

I principi di riflessione esprimono, almeno in parte, la solidità del sistema. L'espressione più naturale e piena della solidità di un sistema coinvolge il predicato della verità ed è noto come il Principio di riflessione globale (vedi Kreisel e Lévy 1968). Il Principio di riflessione globale per un sistema formale S afferma che tutte le frasi dimostrabili in S sono vere:

(forall x (Bew_S (x) rightarrow Tx))

(Bew_S (x)) esprime qui la provabilità delle frasi nel sistema S (omettiamo qui la discussione dei problemi di definizione (Bew_S (x))). Il predicato della verità deve soddisfare determinati principi; altrimenti il principio di riflessione globale sarebbe vacuo. Quindi non solo si deve aggiungere il principio della riflessione globale, ma anche gli assiomi per la verità. Se viene aggiunta una teoria naturale della verità come T (PA) di seguito, tuttavia, non è più necessario postulare esplicitamente il principio di riflessione globale, poiché teorie come T (PA) dimostrano già il principio di riflessione globale per PA. Si possono quindi vedere le teorie della verità come principi di riflessione mentre dimostrano affermazioni di solidità e aggiungono le risorse per esprimere queste affermazioni.

Quindi, invece di iterare i principi di riflessione che sono formulati interamente nel linguaggio dell'aritmetica, si possono aggiungere mediante iterazione nuovi predicati di verità e corrispondentemente nuovi assiomi per i nuovi predicati di verità. In tal modo si potrebbe sperare di rendere esplicite tutte le ipotesi implicite nell'accettazione di una teoria come la PA. La teoria risultante è chiamata la chiusura riflessiva della teoria iniziale. Feferman (1991) ha proposto l'uso di un singolo predicato di verità e di una singola teoria (KF), piuttosto che una gerarchia di predicati e teorie, al fine di spiegare la chiusura riflessiva di PA e altre teorie. (KF è discusso ulteriormente nella sezione 4.4 di seguito).

Anche la relazione tra teorie della verità e principi di riflessione (ripetuta) è diventata prominente nella discussione sul deflazionismo teorico della verità (vedi Tennant 2002 e la discussione di follow-up).

1.3 Deflazionismo verità-teorico

Molti sostenitori delle teorie deflazionistiche della verità hanno scelto di trattare la verità come nozione primitiva e di assiomatizzarla, spesso usando una versione delle frasi (T) come assiomi. (T) - le frasi sono equivalenze della forma (T / ulcorner / phi / urcorner / leftrightarrow / phi), dove (T) è il predicato della verità, (phi) è una frase e (ulcorner / phi / urcorner) è un nome per la frase (phi). (I deflazionisti hanno anche discusso di assiomi più raffinati.) A prima vista, l'approccio assiomatico sembra molto meno "deflazionistico" di quelle teorie più tradizionali che si basano su una definizione di verità in termini di corrispondenza o simili. Se la verità può essere definita in modo esplicito, può essere eliminata, mentre una nozione assiomatizzata di verità può e spesso viene con impegni che vanno oltre quello della teoria di base.

Se la verità non ha alcuna forza esplicativa, come sostengono alcuni deflazionisti, gli assiomi per la verità non dovrebbero permetterci di provare nuovi teoremi che non coinvolgono il predicato della verità. Di conseguenza, Horsten (1995), Shapiro (1998) e Ketland (1999) hanno suggerito che un'assiomatizzazione deflazionistica della verità dovrebbe essere almeno conservatrice. I nuovi assiomi per la verità sono conservativi se non implicano frasi aggiuntive (prive di occorrenze del predicato della verità) che non sono già dimostrabili senza gli assiomi della verità. Pertanto una teoria della verità non conservativa aggiunge un nuovo contenuto non semantico a una teoria e ha un vero potere esplicativo, contrariamente a molte opinioni deflazionistiche. Alcune teorie naturali della verità, tuttavia, non riescono a essere conservative (vedere la Sezione 3.3 di seguito, Field 1999 e Shapiro 2002 per ulteriori discussioni).

Secondo molti deflazionisti, la verità serve semplicemente allo scopo di esprimere infinite congiunzioni. È chiaro che non tutte le congiunzioni infinite possono essere espresse perché ci sono innumerevoli congiunzioni infinite (non equivalenti) su un linguaggio numerabile. Dal momento che il linguaggio con un predicato di verità aggiunto ha solo numerose formule, non tutte le congiunzioni infinite possono essere espresse da una diversa formula finita. Il lavoro formale sulle teorie assiomatiche della verità ha contribuito a specificare esattamente quali infinite congiunzioni possano essere espresse con un predicato di verità. Feferman (1991) fornisce un'analisi teorica di prova di un sistema abbastanza forte. (Ancora una volta, questo sarà spiegato nella discussione su KF nella sezione 4.4 di seguito).

2. La teoria di base

2.1 La scelta della teoria di base

Nella maggior parte delle teorie assiomatiche, la verità è concepita come un predicato di oggetti. Esiste una vasta discussione filosofica sulla categoria di oggetti a cui si applica la verità: sono state proposte proposizioni concepite come oggetti indipendenti da qualsiasi linguaggio, tipi e segni di frasi e espressioni, pensieri e molti altri oggetti. Poiché la struttura delle frasi considerate come tipi è relativamente chiara, i tipi di frase sono stati spesso usati come oggetti che possono essere veri. In molti casi non è necessario assumere impegni metafisici molto specifici, poiché sono necessari solo alcuni modesti presupposti sulla struttura di questi oggetti, indipendentemente dal fatto che siano finalmente considerati oggetti sintattici, proposizioni o qualcos'altro. La teoria che descrive le proprietà degli oggetti a cui la verità può essere attribuita è chiamata teoria di base. La formulazione della teoria di base non implica il predicato della verità o eventuali ipotesi teoriche della verità. La teoria di base potrebbe descrivere la struttura di frasi, proposizioni e simili, in modo che nozioni come la negazione di un tale oggetto possano quindi essere utilizzate nella formulazione degli assiomi teorici della verità.

In molte teorie assiomatiche della verità, la verità è considerata un predicato che si applica al numero di frasi di Gödel. L'aritmetica di Peano ha dimostrato di essere una teoria versatile degli oggetti a cui viene applicata la verità, principalmente perché l'aggiunta di assiomi teorici della verità all'aritmetica di Peano produce sistemi interessanti e perché l'aritmetica di Peano è equivalente a molte teorie dirette della sintassi e persino delle teorie delle proposizioni. Tuttavia, sono state prese in considerazione anche altre teorie di base, tra cui teorie di sintassi formali e teorie fisse.

Naturalmente, possiamo anche investigare teorie risultanti aggiungendo gli assiomi teorici della verità a teorie molto più forti come la teoria degli insiemi. Di solito non c'è alcuna possibilità di dimostrare la coerenza della teoria degli insiemi più altri assiomi teorici della verità perché la consistenza della teoria degli insiemi non può essere stabilita senza ipotesi che trascendono la teoria degli insiemi. In molti casi non sono neppure possibili prove di coerenza relative. Tuttavia, se l'aggiunta di alcuni assiomi teorici della verità all'AP produce una teoria coerente, sembra almeno plausibile che l'aggiunta di assiomi analoghi per impostare la teoria non porti a un'incoerenza. Pertanto, la speranza è che la ricerca sulle teorie della verità sull'AP fornisca un'indicazione di ciò che accadrà quando estenderemo teorie più forti con assiomi per il predicato della verità. Però,Fujimoto (2012) ha dimostrato che alcune teorie assiomatiche della verità sulla teoria degli insiemi differiscono dalle loro controparti sull'aritmetica di Peano per alcuni aspetti.

2.2 Convenzioni notazionali

Per motivi di certezza, assumiamo che il linguaggio dell'aritmetica abbia esattamente (neg, / wedge) e (vee) come connettivi e (forall) e (exist) come quantificatori. Ha come singole costanti solo il simbolo 0 per zero; il suo unico simbolo di funzione è il simbolo unario successore (S); addizione e moltiplicazione sono espresse da simboli predicati. Pertanto gli unici termini chiusi della lingua dell'aritmetica sono i numeri (0, S) (0), (S (S) (0)), (S (S (S) (0))), ….

Il linguaggio dell'aritmetica non contiene il simbolo del predicato unario (T), quindi sia (mathcal {L} _T) essere il linguaggio dell'aritmetica aumentato dal nuovo simbolo del predicato unario (T) per la verità. Se (phi) è una frase di (mathcal {L} _T, / ulcorner / phi / urcorner) è un nome per (phi) nella lingua (mathcal {L} _T); formalmente parlando, è il numero del numero di Gödel di (phi). In generale, lettere greche come (phi) e (psi) sono variabili del metalinguaggio, ovvero la lingua usata per parlare di teorie della verità e della lingua in cui è scritta questa voce (cioè inglese arricchito da alcuni simboli). (phi) e (psi) vanno oltre le formule del linguaggio formale (mathcal {L} _T).

Di seguito, usiamo lettere corsive minuscole come ({ scriptsize A}, { scriptsize B}, / ldots) come variabili in (mathcal {L} _T) che vanno oltre le frasi (o il loro Numeri di Gödel, per essere precisi). Pertanto (forall { scriptsize A} (ldots { scriptsize A} ldots)) sta per (forall x (Sent_T (x) rightarrow / ldots x / ldots)), dove (Sent_T (x)) esprime nella lingua dell'aritmetica che (x) è una frase della lingua dell'aritmetica estesa dal simbolo predicato (T). Le operazioni sintattiche di formare una congiunzione di due frasi e operazioni simili possono essere espresse nel linguaggio dell'aritmetica. Dato che il linguaggio dell'aritmetica non contiene alcun simbolo di funzione oltre al simbolo per successore, queste operazioni devono essere espresse da espressioni predicate sutabili. Così si può dire nella lingua (mathcal {L} _T) che una negazione di una frase di (mathcal {L} _T) è vera se e solo se la frase stessa non è vera. Vorremmo scrivere questo come

(forall { scriptsize A} (T (neg { scriptsize A}] leftrightarrow / neg T { scriptsize A}).)

Le parentesi quadre indicano che l'operazione di formazione della negazione di ({ scriptsize A}) è espressa nel linguaggio dell'aritmetica. Poiché il linguaggio dell'aritmetica non contiene un simbolo di funzione che rappresenta la funzione che invia frasi alle loro negazioni, devono essere fornite parafrasi appropriate che coinvolgono predicati.

Quindi, ad esempio, l'espressione

(forall { scriptsize A} forall { scriptsize B} (T [{ scriptsize A} wedge { scriptsize B}] leftrightarrow (T { scriptsize A} wedge T { scriptsize B})))

è una singola frase della lingua (mathcal {L} _T) che dice che una congiunzione di frasi di (mathcal {L} _T) è vera se e solo se entrambe le frasi sono vere. In contrasto, [T / ulcorner / phi / wedge / psi / urcorner / leftrightarrow (T / ulcorner / phi / urcorner / wedge T / ulcorner / phi / urcorner))

è solo uno schema. Vale a dire, sta per l'insieme di tutte le frasi ottenute dall'espressione precedente sostituendo le frasi di (mathcal {L} _T) con le lettere greche (phi) e (psi). La singola frase (forall { scriptsize A} forall { scriptsize B} (T [{ scriptsize A} wedge { scriptsize B}] leftrightarrow (T { scriptsize A} wedge T { scriptsize B}))) implica tutte le frasi che sono istanze dello schema, ma le istanze dello schema non implicano la singola frase quantificata universalmente. In generale, le versioni quantificate sono più forti degli schemi corrispondenti.

3. Teorie tipizzate della verità

Nelle teorie tipizzate della verità, è provabile solo la verità delle frasi che non contengono lo stesso predicato della verità, evitando così i paradossi osservando la distinzione di Tarski tra oggetto e metalinguaggio.

3.1 Predicati della verità definibili

Alcuni predicati della verità possono essere definiti nel linguaggio dell'aritmetica. Predicati adatti come predicati della verità per le lingue secondarie del linguaggio dell'aritmetica possono essere definiti all'interno del linguaggio dell'aritmetica, purché la complessità quantificativa delle formule nel linguaggio multilingue sia limitata. In particolare, esiste una formula (Tr_0 (x)) che esprime che (x) è una vera frase atomica del linguaggio dell'aritmetica, cioè una frase della forma (n = k), dove (k) e (n) sono numeri identici. Per ulteriori informazioni sui predicati di verità parziali si vedano, ad esempio, Hájek e Pudlak (1993), Kaye (1991) e Takeuti (1987).

I predicati della verità definibili sono veramente ridondanti, perché sono espressibili in PA; pertanto non è necessario introdurli assiomaticamente. Tutti i predicati della verità che seguono non sono definibili nel linguaggio dell'aritmetica, e quindi non ridondanti almeno nel senso che non sono definibili.

3.2 Le frasi (T)

Le frasi tipizzate (T) sono tutte equivalenze della forma (T / ulcorner / phi / urcorner / leftrightarrow / phi), dove (phi) è una frase che non contiene il predicato di verità. Tarski (1935) definì qualsiasi teoria che dimostrasse queste equivalenze "materialmente adeguate". Tarski (1935) ha criticato un'assiomatizzazione della verità basandosi solo sulle frasi (T), non perché mirasse a una definizione piuttosto che ad un'assiomatizzazione della verità, ma perché una tale teoria sembrava troppo debole. Quindi, sebbene la teoria sia materialmente adeguata, Tarski pensava che le frasi (T) siano deduttivamente troppo deboli. Ha osservato, in particolare, che le frasi (T) non dimostrano il principio di completezza, cioèla frase (forall { scriptsize A} (T { scriptsize A} vee T (neg { scriptsize A})]) in cui il quantificatore (forall { scriptsize A}) è limitato a frasi che non contengono T.

Le teorie della verità basate sulle frasi (T) e le loro proprietà formali sono state anche recentemente al centro di un interesse nel contesto delle cosiddette teorie deflazionistiche della verità. Le frasi (T) (T / ulcorner / phi / urcorner / leftrightarrow / phi) (dove (phi) non contiene (T)) non sono conservative sulla logica del primo ordine con identità, cioè dimostrano una frase che non contiene (T) che non è logicamente valida. Per le frasi (T) - le prove dimostrano che le frasi (0 = 0) e (neg 0 = 0) sono diverse e che pertanto esistono almeno due oggetti. In altre parole, le frasi (T) non sono conservative rispetto alla teoria della base vuota. Se le frasi (T) vengono aggiunte a PA, la teoria risultante è conservativa su PA. Ciò significa che la teoria non dimostra (T) - frasi libere che non sono già provabili in PA. Questo risultato vale anche se oltre alle frasi (T) vengono aggiunti anche tutti gli assiomi di induzione contenenti il predicato di verità. Ciò può essere dimostrato facendo appello al Teorema di compattezza.

Nella forma sopra descritta, le frasi T esprimono l'equivalenza tra (T / ulcorner / phi / urcorner) e (phi) solo quando (phi) è una frase. Per acquisire l'equivalenza per le proprietà ((x) ha la proprietà P se 'P' è vero per (x)) bisogna generalizzare le frasi T. Il risultato viene generalmente indicato come T-senence uniforme e formalizzato dalle equivalenze (forall x (T / ulcorner / phi (underline {x}) urcorner / leftrightarrow / phi (x))) per ciascuno apri la formula (phi (v)) con al massimo (v) libero in (phi). Sottolineando la variabile indica che è legata dall'esterno. Più precisamente, (ulcorner / phi (underline {x}) urcorner) sta per il risultato della sostituzione della variabile (v) in (ulcorner / phi (v) urcorner) con il numero di (x).

3.3 Verità compositiva

Come già osservato da Tarski (1935), alcune desiderabili generalizzazioni non seguono dalle frasi a T. Ad esempio, insieme a teorie di base ragionevoli non implicano che una congiunzione sia vera se entrambe le congiunzioni sono vere.

Al fine di ottenere sistemi che dimostrano anche principi teorici della verità universalmente quantificati, si possono trasformare in assiomi le clausole induttive della definizione di verità di Tarski. Nei seguenti assiomi, (AtomSent_ {PA} (ulcorner { scriptsize A} urcorner)) esprime che ({ scriptsize A}) è una frase atomica del linguaggio dell'aritmetica, (Sent_ {PA } (ulcorner { scriptsize A} urcorner)) esprime che ({ scriptsize A}) è una frase del linguaggio dell'aritmetica.

  1. (forall { scriptsize A} (AtomSent_ {PA} ({ scriptsize A}) rightarrow (T { scriptsize A} leftrightarrow Tr_0 ({ scriptsize A}))))
  2. (forall { scriptsize A} (Sent_ {PA} ({ scriptsize A}) rightarrow (T (neg { scriptsize A}] leftrightarrow / neg T { scriptsize A})))
  3. (forall { scriptsize A} forall { scriptsize B} (Sent_ {PA} ({ scriptsize A}) wedge Sent_ {PA} ({ scriptsize B}) rightarrow (T [{ scriptsize A } wedge { scriptsize B}] leftrightarrow (T { scriptsize A} wedge T { scriptsize B}))))
  4. (forall { scriptsize A} forall { scriptsize B} (Sent_ {PA} ({ scriptsize A}) wedge Sent_ {PA} ({ scriptsize B}) rightarrow (T [{ scriptsize A } vee { scriptsize B}] leftrightarrow (T { scriptsize A} vee T { scriptsize B}))))
  5. (forall { scriptsize A} (v) (Sent_ {PA} (forall v { scriptsize A}) rightarrow (T (forall v { scriptsize A} (v)] leftrightarrow / forall xT [{ scriptsize A} (underline {x}))]))
  6. (forall { scriptsize A} (v) (Sent_ {PA} (forall v { scriptsize A}) rightarrow (T (esiste v { scriptsize A} (v)] leftrightarrow / esiste xT [{ scriptsize A} (underline {x}))]))

L'Assioma 1 afferma che una frase atomica del linguaggio dell'aritmetica di Peano è vera se e solo se è vera secondo il predicato della verità aritmetica per questo linguaggio ((Tr_0) è stato definito nella Sezione 3.1). Gli assiomi 2–6 sostengono che la verità commuta con tutti i connettivi e quantificatori. Axiom 5 afferma che una frase universalmente quantificata del linguaggio dell'aritmetica è vera se e solo se tutte le sue istanze numeriche sono vere. (Sent_ {PA} (forall v { scriptsize A})) dice che ({ scriptsize A} (v)) è una formula con al massimo (v) gratis (perché (forall v { scriptsize A} (v)) è una frase).

Se questi assiomi devono essere formulati per un linguaggio come la teoria degli insiemi che manca di nomi per tutti gli oggetti, gli assiomi 5 e 6 richiedono l'uso di una relazione di soddisfazione piuttosto che un predicato di verità unario.

Gli assiomi nello stile di 1-6 sopra hanno avuto un ruolo centrale nella teoria del significato di Donald Davidson e in diversi approcci deflazionistici alla verità.

La teoria fornita da tutti gli assiomi di PA e Axioms 1–6 ma con l'induzione solo per (T) - le formule libere sono conservative su PA, cioè non dimostrano alcun nuovo (T) - teoremi liberi che non già dimostrabile in PA. Tuttavia, non tutti i modelli di PA possono essere estesi ai modelli di PA + assiomi 1-6. Ciò deriva da un risultato dovuto a Lachlan (1981). Kotlarski, Krajewski e Lachlan (1981) hanno dimostrato la conservatività molto simile agli assiomi PA + 1–6 con mezzi teorici modello. Sebbene diversi autori abbiano affermato che questo risultato è anche provabile finanziariamente, nessuna prova del genere era disponibile fino a Enayat & Visser (2015) e Leigh (2015). Inoltre, la teoria fornita da PA + assiomi 1-6 è relativamente interpretabile in PA. Tuttavia, questo risultato è sensibile alla scelta della teoria di base: fallisce per le teorie finemente assiomatizzate (Heck 2015, Nicolai 2016). Questi risultati teorici delle prove sono stati ampiamente utilizzati nella discussione sul deflazionismo teorico della verità (vedi Cieśliński 2017).

Certamente gli assiomi PA + 1–6 sono restrittivi in quanto non contengono gli assiomi di induzione nella lingua con il predicato della verità. Ci sono varie etichette per il sistema che si ottiene aggiungendo tutti gli assiomi di induzione che coinvolgono il predicato di verità al sistema PA + assiomi 1-6: T (PA), CT, PA (S) o PA + 'c'è una piena soddisfazione induttiva classe'. Questa teoria non è più conservativa rispetto alla sua teoria di base PA. Ad esempio, si può formalizzare il teorema di solidità o principio di riflessione globale per la PA, cioè l'affermazione che tutte le frasi dimostrabili nella PA sono vere. Il principio di riflessione globale per la PA implica a sua volta la coerenza della PA, che non è dimostrabile nella PA pura dal secondo teorema di incompletezza di Gödel. Pertanto T (PA) non è conservativo rispetto a PA. T (PA) è molto più forte della semplice dichiarazione di coerenza per PA:T (PA) è equivalente al sistema di secondo ordine ACA di comprensione aritmetica (vedi Takeuti 1987 e Feferman 1991). Più precisamente, T (PA) e ACA sono intercambiabili in modo da preservare tutte le frasi aritmetiche. L'ACA è dato dagli assiomi della PA con piena induzione nella lingua del secondo ordine e dal seguente principio di comprensione:

(esiste X / forall y (y / in X / leftrightarrow / phi (x)))

dove (phi (x)) è una formula (in cui (x) può essere o non essere libera) che non contiene quantificatori del secondo ordine, ma eventualmente variabili libere del secondo ordine. In T (PA), la quantificazione su insiemi può essere definita come quantificazione su formule con una variabile libera e appartenenza come verità della formula applicata a un numero.

Poiché il principio di riflessione globale implica coerenza formale, il risultato di conservatività per gli assiomi PA + 1–6 implica che il principio di riflessione globale per l'aritmetica di Peano non è derivabile nella teoria compositiva tipizzata senza espandere gli assiomi di induzione. In realtà, questa teoria non prova né l'affermazione che tutte le validità logiche sono vere (riflessione globale per la pura logica del primo ordine) né che tutti gli assiomi di Peano dell'aritmetica sono veri. Forse sorprendentemente, di queste due affermazioni non dimostrabili è la prima ad essere la più forte. Quest'ultimo può essere aggiunto come un assioma e la teoria rimane conservativa su PA (Enayat e Visser 2015, Leigh 2015). Al contrario, sugli assiomi PA + 1-6, il principio di riflessione globale per la logica del primo ordine è equivalente alla riflessione globale per l'aritmetica di Peano (Cieśliński 2010),e queste due teorie hanno le stesse conseguenze aritmetiche dell'aggiunta dell'assioma dell'induzione per le formule limitate ((Delta_0)) contenenti il predicato della verità (Wcisło e Łełyk 2017).

Il passaggio da PA a T (PA) può essere immaginato come un atto di riflessione sulla verità di (mathcal {L}) - frasi in PA. Allo stesso modo, il passaggio dalle frasi tipizzate (T) agli assiomi compositivi è anche legato a un principio di riflessione, in particolare il principio di riflessione uniforme rispetto alle frasi di tipo (T) uniformi. Questa è la raccolta di frasi (forall x \, Bew_S (ulcorner / phi (underline {x}) urcorner) rightarrow / phi) (x) dove (phi) spazia tra le formule in (mathcal {L} _T) con una variabile libera e S è la teoria delle frasi T tipizzate uniformi. La riflessione uniforme coglie esattamente la differenza tra le due teorie: il principio della riflessione è sia derivabile in T (PA) sia sufficiente per derivare i sei assiomi compositivi (Halbach 2001). Inoltre, l'equivalenza si estende alle iterazioni di riflessione uniforme,in questo per ogni iterazione ordinale (alpha, 1 + / alpha) di riflessione uniforme sul carattere tipizzato (T) - le frasi coincidono con T (PA) esteso per induzione transfinita fino all'ordinale (varepsilon _ { alpha}), ovvero il (alpha) - th ordinale con la proprietà that (omega ^ { alpha} = / alpha) (Leigh 2016).

Frammenti molto più forti di aritmetica di secondo ordine possono essere interpretati da sistemi di verità privi di tipo, cioè da teorie della verità che dimostrano non solo la verità delle frasi aritmetiche ma anche la verità delle frasi della lingua (mathcal {L} _T) con il predicato della verità; vedere la Sezione 4 di seguito.

3.4 Teorie gerarchiche

Le teorie della verità sopra menzionate possono essere ripetute introducendo predicati di verità indicizzati. Uno aggiunge al linguaggio dei predicati di verità di PA indicizzati da ordinali (o notazioni ordinali) o uno aggiunge un predicato di verità binario che si applica a notazioni e frasi ordinali. A questo proposito, l'approccio gerarchico non si adatta al quadro delineato nella Sezione 2, perché la lingua non presenta un unico predicato di verità unaria applicabile alle frasi ma piuttosto molti predicati di verità unari o un singolo predicato di verità binaria (o anche un singolo predicato di verità unaria applicando a coppie di notazioni e frasi ordinali).

In tale linguaggio si può formulare un'assiomatizzazione della gerarchia dei predicati della verità di Tarski. Dal lato della teoria della dimostrazione, iterando le teorie della verità nello stile di T (PA) corrisponde all'iterazione della comprensione elementare, cioè all'iterazione dell'ACA. Il sistema di teorie della verità iterate corrisponde al sistema di analisi ramificata (vedi Feferman 1991).

Visser (1989) ha studiato gerarchie non linguistiche di lingue e loro assiomatizzazioni. Se si aggiungono le frasi (T) (T_n / ulcorner / phi / urcorner / leftrightarrow / phi) al linguaggio dell'aritmetica dove (phi) contiene solo predicati di verità (T_k) con (k / gt n) in PA, si ottiene una teoria che non ha un modello standard ((omega) -).

4. Verità senza tipi

I predicati della verità nei linguaggi naturali non hanno alcuna restrizione di tipo aperto. Pertanto, le teorie tipizzate della verità (teorie assiomatiche e semantiche) sono state ritenute inadeguate per l'analisi del predicato della verità del linguaggio naturale, sebbene recentemente le teorie gerarchiche siano state sostenute da Glanzberg (di prossima pubblicazione) e altri. Questo è un motivo per investigare teorie della verità prive di tipo, cioè sistemi di verità che consentono di provare la verità delle frasi che coinvolgono il predicato della verità. Alcune teorie della verità senza tipo hanno un potere espressivo molto più elevato rispetto alle teorie tipizzate che sono state esaminate nella sezione precedente (almeno fintanto che i predicati di verità indicizzati sono evitati). Pertanto le teorie della verità senza tipo sono strumenti molto più potenti nella riduzione di altre teorie (per esempio, quelle del secondo ordine).

4.1 Frasi di tipo (T) libere

L'insieme di tutte le frasi (T) (T / ulcorner / phi / urcorner / leftrightarrow / phi), dove (phi) è qualsiasi frase della lingua (mathcal {L} _T), cioè dove (phi) può contenere (T), è incompatibile con PA (o qualsiasi teoria che provi il lemma diagonale) a causa del paradosso bugiardo. Pertanto si potrebbe provare a eliminare dall'insieme di tutte le frasi (T) solo quelle che portano a un'incoerenza. In altre parole, si possono considerare serie massime coerenti di frasi (T). McGee (1992) ha mostrato che esistono innumerevoli serie massime di (T) - frasi coerenti con PA. Quindi la strategia non porta a un'unica teoria. Ancora peggio, data una frase aritmetica (cioè una frase che non contiene (T)) che non può essere né dimostrata né smentita in PA, si può trovare una frase coerente ((T) - che decide questa frase (McGee 1992). Ciò implica che molte serie coerenti di frasi (T) dimostrano false dichiarazioni aritmetiche. Pertanto, la strategia di eliminare solo le frasi (T) che producono un'incoerenza è condannata.

Un insieme di (T) - frasi che non implicano alcuna falsa dichiarazione aritmetica può essere ottenuto consentendo solo quelle (phi) in (T) - frasi (T / ulcorner / phi / urcorner / leftrightarrow / phi) che contengono (T) solo positivamente, cioè nell'ambito di un numero pari di simboli di negazione. Come la teoria tipizzata nella Sezione 3.2, questa teoria non dimostra certe generalizzazioni ma dimostra le stesse frasi prive di T della forte teoria composizionale libera da tipo Kripke-Feferman di seguito (Halbach 2009). Schindler (2015) ha ottenuto una teoria della verità deduttivamente molto forte basata su principi squalificati stratificati.

4.2 Composizionalità

Oltre alla caratteristica interdisciplinare della verità, si vorrebbe anche catturare le caratteristiche compositive della verità e generalizzare gli assiomi della verità compositiva tipizzata nel caso privo di tipo. A tal fine, dovranno essere aggiunti assiomi o regole riguardanti la verità delle frasi atomiche con il predicato della verità e la restrizione a (T) - le frasi libere negli assiomi compositivi dovranno essere revocate. Per trattare la verità come altri predicati, si aggiungerà l'assioma (forall { scriptsize A} (T [T { scriptsize A}] leftrightarrow T { scriptsize A})) (where (forall { scriptsize A}) si estende su tutte le frasi). Se viene rimossa la restrizione di tipo dell'assioma compositivo tipizzato per la negazione, l'assioma (forall { scriptsize A} (T (neg { scriptsize A}] leftrightarrow / neg T { scriptsize A})) è ottenuto.

Tuttavia, gli assiomi (forall { scriptsize A} (T [T { scriptsize A}] leftrightarrow T { scriptsize A})) e (forall { scriptsize A} (T (neg { scriptsize A}] leftrightarrow / neg T { scriptsize A})) sono incoerenti rispetto alle teorie deboli della sintassi, quindi una di esse deve essere abbandonata. Se (forall { scriptsize A} (T (neg { scriptsize A}] leftrightarrow / neg T { scriptsize A})) viene mantenuto, si dovranno trovare assiomi o regole più deboli per l'iterazione della verità, ma la verità rimane un concetto classico nel senso che (forall { scriptsize A} (T (neg { scriptsize A}] leftrightarrow / neg T { scriptsize A})) implica la legge del mezzo escluso (per ogni frase o la frase stessa o la sua negazione è vera) e la legge di non contraddizione (per nessuna frase la frase stessa e la sua negazione sono vere). Se, al contrario,(forall { scriptsize A} (T (neg { scriptsize A}] leftrightarrow / neg T { scriptsize A})) viene rifiutato e (forall { scriptsize A} (T [T { scriptsize A}] leftrightarrow T { scriptsize A})) conservato, quindi sarà dimostrabile che alcune frasi sono vere insieme alle loro negazioni o che per alcune frasi né loro né le loro negazioni sono vere, e quindi i sistemi di si ottiene una verità non classica, sebbene i sistemi stessi siano ancora formulati nella logica classica. Nelle prossime due sezioni presentiamo il sistema più importante di ogni tipo.allora si dimostrerà che alcune frasi sono vere insieme alle loro negazioni o che per alcune frasi né loro né le loro negazioni sono vere, e quindi si ottengono sistemi di verità non classica, sebbene i sistemi stessi siano ancora formulati nella logica classica. Nelle prossime due sezioni presentiamo il sistema più importante di ogni tipo.allora si dimostrerà che alcune frasi sono vere insieme alle loro negazioni o che per alcune frasi né loro né le loro negazioni sono vere, e quindi si ottengono sistemi di verità non classica, sebbene i sistemi stessi siano ancora formulati nella logica classica. Nelle prossime due sezioni presentiamo il sistema più importante di ogni tipo.

4.3 La teoria di Friedman-Sheard e la semantica delle revisioni

Il sistema FS, che prende il nome da Friedman e Sheard (1987), mantiene l'assioma della negazione (forall { scriptsize A} (T (neg { scriptsize A}] leftrightarrow / neg T { scriptsize A})). Gli ulteriori assiomi compositivi si ottengono elevando la restrizione del tipo alle loro controparti non tipizzate:

  1. (forall { scriptsize A} (AtomSent_ {PA} ({ scriptsize A}) rightarrow (T { scriptsize A} leftrightarrow Tr_0 ({ scriptsize A}))))
  2. (forall { scriptsize A} (T (neg { scriptsize A}] leftrightarrow / neg T { scriptsize A}))
  3. (forall { scriptsize A} forall { scriptsize B} (T [{ scriptsize A} wedge { scriptsize B}] leftrightarrow (T { scriptsize A} wedge T { scriptsize B})))
  4. (forall { scriptsize A} forall { scriptsize B} (T [{ scriptsize A} vee { scriptsize B}] leftrightarrow (T { scriptsize A} vee T { scriptsize B})))
  5. (forall { scriptsize A} (v) (Sent (forall v { scriptsize A}) rightarrow (T (forall v { scriptsize A} (v)] leftrightarrow / forall xT [{ scriptsize A} (underline {x}))])
  6. (forall { scriptsize A} (v) (Sent (forall v { scriptsize A}) rightarrow (T (esiste v { scriptsize A} (v)] leftrightarrow / esiste xT [{ scriptsize A} (underline {x}))]))

Questi assiomi vengono aggiunti alla PA formulata nella lingua (mathcal {L} _T). Poiché l'assioma di iterazione della verità (forall { scriptsize A} (T [T { scriptsize A}] leftrightarrow T { scriptsize A})) è incoerente, vengono aggiunte solo le seguenti due regole:

Se (phi) è un teorema, si può dedurre (T / ulcorner / phi / urcorner), e viceversa, se (T / ulcorner / phi / urcorner) è un teorema, si può dedurre (phi).

Dai risultati di McGee (1985) risulta che FS è (omega) - incoerente, ovvero FS dimostra (esiste x / neg / phi (x)), ma dimostra anche (phi) (0), (phi) (1), (phi) (2), … per alcune formule (phi (x)) di (mathcal {L} _T). I teoremi aritmetici di FS, tuttavia, sono tutti corretti.

In FS si possono definire tutti i livelli finiti della gerarchia tararsiana classica, ma FS non è abbastanza forte da consentire di recuperare uno qualsiasi dei suoi livelli transfiniti. In effetti, Halbach (1994) ha determinato che la sua forza teorica della prova era precisamente quella della teoria della verità ramificata per tutti i livelli finiti (cioè, T (PA) ripetutamente iterato; vedi Sezione 3.4) o, equivalentemente, la teoria dell'analisi ramificata tutti i livelli finiti. Se una delle due direzioni della regola viene abbandonata ma l'altra viene mantenuta, FS mantiene la sua forza teorica di prova (Sheard 2001).

È una virtù di FS che è completamente classico: è formulato nella logica classica; se una frase è dimostrabilmente vera in FS, allora la frase stessa è dimostrabile in FS; e viceversa se una frase è provabile, allora è anche dimostrabilmente vero. Il suo svantaggio è la sua incoerenza (omega). La FS può essere vista come un'assiomatizzazione della semantica della regola di revisione per tutti i livelli finiti (vedere la voce sulla teoria della revisione della verità).

4.4 La teoria di Kripke-Feferman

La teoria di Kripke-Feferman mantiene l'assioma di iterazione della verità (forall { scriptsize A} (T [T { scriptsize A}] leftrightarrow T { scriptsize A})), ma la nozione di verità assiomatizzata non è più classica perché l'assioma di negazione (forall { scriptsize A} (T (neg { scriptsize A}] leftrightarrow / neg T { scriptsize A})) viene eliminato.

La costruzione semantica catturata da questa teoria è una generalizzazione della definizione induttiva tipizzata Tarskiana di verità catturata da T (PA). Nella definizione generalizzata si inizia con la vera frase atomica del linguaggio aritmetico e poi si dichiarano vere le frasi complesse a seconda che i suoi componenti siano veri o no. Ad esempio, come nel caso tipizzato, se (phi) e (psi) sono veri, anche la loro congiunzione (phi / wedge / psi) sarà vera. Nel caso delle frasi quantificate il loro valore di verità è determinato dai valori di verità delle loro istanze (si potrebbe rendere le clausole di quantificazione puramente compositive usando un predicato di soddisfazione); per esempio, una frase universalmente quantificata sarà dichiarata vera se e solo se tutte le sue istanze sono vere. Ora è possibile estendere questa definizione induttiva della verità alla lingua (mathcal {L} _T) dichiarando una frase della forma (T / ulcorner / phi / urcorner) vera se (phi) è già vero. Inoltre si dichiarerà vero (neg T / ulcorner / phi / urcorner) se (neg / phi) è vero. Rendendo precisa questa idea, si ottiene una variante della teoria della verità di Kripke (1975) con il cosiddetto schema di valutazione di Strong Kleene (vedere la voce sulla logica a molti valori). Se assiomatizzato porta al seguente sistema, noto come KF ("Kripke – Feferman"), di cui diverse varianti compaiono in letteratura:si ottiene una variante della teoria della verità di Kripke (1975) con il cosiddetto schema di valutazione di Strong Kleene (vedere la voce sulla logica a molti valori). Se assiomatizzato porta al seguente sistema, noto come KF ("Kripke – Feferman"), di cui diverse varianti compaiono in letteratura:si ottiene una variante della teoria della verità di Kripke (1975) con il cosiddetto schema di valutazione di Strong Kleene (vedere la voce sulla logica a molti valori). Se assiomatizzato porta al seguente sistema, noto come KF ("Kripke – Feferman"), di cui diverse varianti compaiono in letteratura:

  1. (forall { scriptsize A} (AtomSent_ {PA} ({ scriptsize A}) rightarrow (T { scriptsize A} leftrightarrow Tr_0 ({ scriptsize A}))))
  2. (forall { scriptsize A} (AtomSent_ {PA} ({ scriptsize A}) rightarrow (T (neg { scriptsize A}] leftrightarrow / neg Tr_0 ({ scriptsize A}))))
  3. (forall { scriptsize A} (T [T { scriptsize A}] leftrightarrow T { scriptsize A}))
  4. (forall { scriptsize A} (T (neg T { scriptsize A}] leftrightarrow T (neg { scriptsize A})])
  5. (forall { scriptsize A} (T (neg / neg { scriptsize A}] leftrightarrow T { scriptsize A}))
  6. (forall { scriptsize A} forall { scriptsize B} (T [{ scriptsize A} wedge { scriptsize B}] leftrightarrow (T { scriptsize A} wedge T { scriptsize B})))
  7. (forall { scriptsize A} forall { scriptsize B} (T (neg ({ scriptsize A} wedge { scriptsize B})] leftrightarrow (T (neg { scriptsize A}] vee T (neg { scriptsize B})]))
  8. (forall { scriptsize A} forall { scriptsize B} (T [{ scriptsize A} vee { scriptsize B}] leftrightarrow (T { scriptsize A} vee T { scriptsize B})))
  9. (forall { scriptsize A} forall { scriptsize B} (T (neg ({ scriptsize A} vee { scriptsize B})] leftrightarrow (T (neg { scriptsize A}] wedge T (neg { scriptsize B})]))
  10. (forall { scriptsize A} (v) (Sent (forall v { scriptsize A}) rightarrow (T (forall v { scriptsize A} (v)] leftrightarrow / forall xT [{ scriptsize A} (underline {x}))])
  11. (forall { scriptsize A} (v) (Sent (forall v { scriptsize A}) rightarrow (T (neg / forall v { scriptsize A} (v)] leftrightarrow / esiste xT (neg { scriptsize A} (underline {x}))])
  12. (forall { scriptsize A} (v) (Sent (forall v { scriptsize A}) rightarrow (T (esiste v { scriptsize A} (v)] leftrightarrow / esiste xT [{ scriptsize A} (underline {x}))]))
  13. (forall { scriptsize A} (v) (Sent (forall v { scriptsize A}) rightarrow (T (neg / esiste v { scriptsize A} (v)] leftrightarrow / forall xT (neg { scriptsize A} (underline {x}))]))

A parte gli assiomi teorici della verità, KF comprende tutti gli assiomi di PA e tutti gli assiomi di induzione che coinvolgono il predicato di verità. Il sistema viene accreditato a Feferman sulla base di due lezioni per l'Associazione di Logica Simbolica, una nel 1979 e la seconda nel 1983, nonché nei successivi manoscritti. Feferman pubblicò la sua versione del sistema sotto l'etichetta Ref (PA) ("debole chiusura riflettente dell'AP") solo nel 1991, dopo che diverse altre versioni di KF erano già apparse in stampa (ad esempio, Reinhardt 1986, Cantini 1989, che fanno entrambe riferimento a questo lavoro inedito di Feferman).

KF stesso è formulato nella logica classica, ma descrive una nozione non classica di verità. Ad esempio, si può provare (T / ulcorner L / urcorner / leftrightarrow T / ulcorner / neg L / urcorner) se (L) è la frase bugiarda. Quindi KF dimostra che sia la frase bugiarda che la sua negazione sono vere o che nessuna delle due è vera. Quindi o la nozione di verità è paraconsistente (una frase è vera insieme alla sua negazione) o paracomplete (né è vera). Alcuni autori hanno aumentato la KF con un assioma che esclude le eccedenze del valore della verità, il che rende KF il suono per la costruzione del modello di Kripke, poiché Kripke aveva escluso le eccedenze del valore della verità.

Feferman (1991) ha dimostrato che KF è teoricamente equivalente alla teoria dell'analisi ramificata attraverso tutti i livelli al di sotto di (varepsilon_0), il limite della sequenza (omega, / omega ^ { omega}, / omega ^ { omega ^ { omega}}, / ldots) o una teoria della verità ramificata attraverso gli stessi ordinali. Questo risultato mostra che in KF esattamente (varepsilon_0) è possibile recuperare molti livelli della gerarchia tararsiana classica nella sua forma assiomatizzata. Quindi KF è molto più forte di FS, per non parlare di T (PA). Feferman (1991) ha anche ideato un rafforzamento della KF forte quanto l'analisi predicativa completa, ovvero l'analisi ramificata o la verità fino all'ordinale (Gamma_0).

Proprio come con il predicato della verità tipizzato, la teoria KF (più precisamente, una variante comune di essa) può essere ottenuta attraverso un atto di riflessione su un sistema di frasi non tipizzate (T). Il sistema di (T) - frasi in questione è l'estensione del non tipizzato positivo uniforme (T) - frasi di un predicato di falsità primitiva, cioè la teoria presenta due predicati unari (T) e (F) e assiomi

(begin {align *} & / forall x (T / ulcorner / phi (underline {x}) urcorner / leftrightarrow / phi (x)) & / forall x (F / ulcorner / phi (underline {x}) urcorner / leftrightarrow / phi '(x)) end {align *})

per ogni formula (phi (v)) positiva sia in (T) che (F), dove (phi ') rappresenta il doppio di De Morgan di (phi) (scambio (T) per (F) e viceversa). Da un'applicazione di riflessione uniforme su questa teoria squilibrata, gli assiomi della verità per la corrispondente versione a due predicati di KF sono derivabili (Horsten e Leigh, 2016). Vale anche il contrario, così come la generalizzazione per iterazioni di riflessione finite e transfinite (Leigh, 2017).

4.5 Catturare il punto fisso minimo

Come osservato sopra, se KF dimostra (T / ulcorner / phi / urcorner) per qualche frase (phi), allora (phi) vale in tutti i modelli a virgola fissa di Kripke. In particolare, ci sono (2 ^ { aleph_0}) punti fissi che formano un modello della teoria interna di KF. Quindi dal punto di vista di KF, il punto meno fisso (da cui viene definita la teoria di Kripke) non viene individuato. Burgess (di prossima pubblicazione) fornisce un'espansione di KF, denominata (mu) KF, che tenta di catturare il punto fisso kripkiano minimo. KF è espanso da ulteriori assiomi che esprimono che la teoria interna di KF è la classe più piccola chiusa sotto gli assiomi che definiscono la verità kripkeana. Questo può essere formulato come uno schema singolo assioma che afferma, per ogni formula aperta (phi), Se (phi) soddisfa gli stessi assiomi di KF del predicato (T), allora (phi) vale per ogni frase vera.

Da una prospettiva teorica delle prove (mu) KF è significativamente più forte di KF. Lo schema a singolo assioma che esprime la minimalità del predicato della verità consente di incorporare in (mu) KF l'ID di sistema (_ 1) di una definizione induttiva aritmetica, una teoria impredicativa. Sebbene intuitivamente plausibile, (mu) KF soffre della stessa incompletezza espressiva di KF: dal momento che il punto fisso kripkiano minimo forma un insieme completo (Pi ^ {1} _1) e la teoria interna di (mu) KF rimane ricorsivamente enumerabile, ci sono modelli standard della teoria in cui l'interpretazione del predicato della verità non è in realtà il punto fisso minimo. Al momento manca un'analisi approfondita dei modelli di (mu) KF.

4.6 Assiomatizzazioni della teoria di Kripke con sopravvalutazioni

KF vuole essere un'assiomatizzazione della teoria semantica di Kripke (1975). Questa teoria si basa su una logica parziale con lo schema di valutazione di Strong Kleene. Nella logica di Strong Kleene non tutte le frasi (phi / vee / neg / phi) sono un teorema; in particolare, questa disgiunzione non è vera se (phi) manca di un valore di verità. Di conseguenza (T / ulcorner L / vee / neg L / urcorner) (dove (L) è la frase bugiardo) non è un teorema di KF e la sua negazione è persino provabile. Cantini (1990) ha proposto un sistema VF che si ispira allo schema delle sopravvalutazioni. Nella VF tutte le tautologie classiche sono di fatto vere e (T / ulcorner L / vee / neg L / urcorner), per esempio, è un teorema della VF. VF può essere formulato in (mathcal {L} _T) e usa la logica classica. Non è più una teoria compositiva della verità, poiché il seguente non è un teorema di VF:

(forall { scriptsize A} forall { scriptsize B} (T [{ scriptsize A} vee { scriptsize B}] leftrightarrow (T { scriptsize A} vee T { scriptsize B})).)

Non solo questo principio è incompatibile con gli altri assiomi della VF, ma non si adatta al modello supervalutalista poiché implica (T / ulcorner L / urcorner / vee T / ulcorner / neg L / urcorner), che ovviamente non è corretto perché secondo la semantica prevista né la frase bugiarda né la sua negazione sono vere: entrambi mancano di un valore di verità.

Estendendo un risultato a causa di Friedman e Sheard (1987), Cantini mostrò che VF è molto più forte di KF: VF è teoricamente equivalente alla teoria ID (_ 1) delle definizioni induttive non iterate, che non è predicativa.

5. Approcci non classici all'autoreferenzialità

Le teorie della verità discusse finora sono tutte assiomatizzate nella logica classica. Alcuni autori hanno anche esaminato teorie assiomatiche della verità basate sulla logica non classica (vedi, ad esempio, Field 2008, Halbach e Horsten 2006, Leigh e Rathjen 2012). Ci sono una serie di ragioni per cui una logica più debole della logica classica può essere preferita. Il più ovvio è che indebolendo la logica, alcune raccolte di assiomi di verità che prima erano incoerenti diventano coerenti. Un altro motivo comune è che la teoria assiomatica in questione intende catturare una particolare semantica non classica della verità, per la quale una teoria di base classica può rivelarsi non fondata.

Esiste anche un gran numero di approcci che impiegano logiche paraconsistenti o sottostrutturali. Nella maggior parte dei casi questi approcci non impiegano una teoria di base assiomatica come l'aritmetica di Peano e quindi si discostano dall'impostazione considerata qui, sebbene non vi siano ostacoli tecnici nell'applicare logiche paraconsistenti o sottostrutturali alle teorie della verità su tali teorie di base. Qui copriamo solo gli account vicini all'impostazione considerata sopra. Per ulteriori informazioni sull'applicazione delle logiche sostrutturali e paraconsistenti ai paradossi teorici della verità, consultare la sezione pertinente nella voce sul paradosso bugiardo.

5.1 Il predicato della verità nella logica intuizionista

L'incoerenza delle frasi (T) non si basa sul ragionamento classico. È inoltre incoerente su logiche molto più deboli come la logica minima e la logica parziale. Tuttavia, la logica classica gioca un ruolo nel limitare il libero uso dei principi di verità. Ad esempio, su una teoria di base classica, l'assioma compositivo per l'implicazione ((rightarrow)) è equivalente al principio di completezza, (forall { scriptsize A} (T [{ scriptsize A}] vee T (neg { scriptsize A})]). Se la logica sotto il predicato della verità è classica, la completezza è equivalente all'assioma compositivo per la disgiunzione. Senza la legge del mezzo escluso, la FS può essere formulata come una teoria completamente compositiva senza provare il principio di completezza della verità (Leigh & Rathjen 2012). Inoltre,la logica classica ha un effetto sui tentativi di combinare assiomi compositivi e auto-applicabili della verità. Se, ad esempio, si elimina l'assioma della coerenza della verità da FS (la direzione da sinistra a destra dell'assioma 2 nella Sezione 4.3) e la legge del mezzo escluso per il predicato della verità, è possibile aggiungere coerentemente il assioma della verità-iterazione (forall { scriptsize A} (T [{ scriptsize A}] rightarrow T [T { scriptsize A}])). La teoria risultante ha ancora una forte somiglianza con FS in quanto la versione costruttiva della semantica della regola di revisione per tutti i livelli finiti fornisce un modello naturale della teoria e le due teorie condividono lo stesso (Pi ^ {0} _2) conseguenze (Leigh & Rathjen 2012; Leigh, 2013). Questo risultato dovrebbe essere contrastato con KF che, se formulato senza la legge del mezzo escluso,rimane massimamente coerente rispetto alla sua scelta degli assiomi della verità, ma è un'estensione conservativa dell'aritmetica di Heyting.

5.2 Assiomatizzare la teoria di Kripke

La teoria di Kripke (1975) nelle sue diverse forme si basa su una logica parziale. Al fine di ottenere modelli per una teoria nella logica classica, l'estensione del predicato della verità nel modello parziale viene nuovamente utilizzata come estensione della verità nel modello classico. Nel modello classico le frasi false e quelle senza valore di verità nel modello parziale sono dichiarate non vere. KF è valido rispetto a questi modelli classici e incorpora quindi due logiche distinte. La prima è la logica "interna" delle dichiarazioni sotto il predicato della verità ed è formulata con lo schema di valutazione di Strong Kleene. La seconda è la logica "esterna" che è la logica classica completa. Un effetto della formulazione di KF nella logica classica è che la teoria non può essere costantemente chiusa sotto la regola dell'introduzione della verità

Se (phi) è un teorema di KF, lo è anche (T / ulcorner / phi / urcorner).

Un secondo effetto della logica classica è l'affermazione del mezzo escluso per la frase bugiardo. Né la frase Bugiardo né la sua negazione ottengono un valore di verità nella teoria di Kripke, quindi la disgiunzione dei due non è valida. Il risultato è che KF, se visto come un'assiomatizzazione della teoria di Kripke, non è valido rispetto alla sua semantica prevista. Per questo motivo Halbach e Horsten (2006) e Horsten (2011) esplorano un'assiomatizzazione della teoria di Kripke con logica parziale come logica interna ed esterna. Il loro suggerimento, una teoria etichettata PKF ('KF parziale'), può essere assiomatizzato come un calcolo sequenziale su due lati in stile Gentzen basato sulla logica di Strong Kleene (vedere la voce sulla logica a molti valori). La PKF è formata aggiungendo a questo calcolo gli assiomi dell'aritmetica di Peano-Dedekind, compresa l'induzione completa e le regole compositive e di iterazione della verità per il predicato della verità, come vietato dalla teoria di Kripke. Il risultato è una teoria della verità che è solida rispetto alla teoria di Kripke.

Halbach e Horsten mostrano che questa assiomatizzazione della teoria di Kripke è significativamente più debole della sua cugina classica KF. Il risultato dimostra che limitare la logica solo per le frasi con il predicato della verità può ostacolare anche la derivazione dei teoremi liberi dalla verità.

5.3 Aggiunta di un condizionale

Field (2008) e altri hanno criticato le teorie basate su una logica parziale per l'assenza di un condizionale "adeguato" e di due condizioni. Vari autori hanno proposto condizionali e bi-condizionali che non sono definibili in termini di (neg, / vee) e (wedge). Field (2008) mira a una teoria assiomatica della verità non dissimile dal PKF ma con una nuova condizione. Feferman (1984) ha anche introdotto una condizione condizionale per una teoria nella logica non classica. A differenza di Field e della sua teoria del 1984, la teoria DT di Feferman (2008) è formulata nella logica classica, ma la sua logica interna è di nuovo una logica parziale con un forte condizionale.

Bibliografia

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